高三数学选修2-3知识点

【必备知识点】

1.排列的定义

一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

2.排列数的定义

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.

3.排列数公式

，其中n，m∈N+，且m≤n．

4. 阶乘表示式

（1）全排列：

个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列.

全排列.

（2）阶乘的概念：

把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.

规定：．

（3）排列数公式的阶乘式：

所以．

5.组合定义：

一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．

mmnnmmnAA(1)(2)(1)mnnnnnmnn(1)(2)321nnAnnnnn!nnnA!n0!1(1)(2)(1)()21!A(1)(2)(1)()21()!mnnnnnmnmnnnnnmnmnm!A()!mnnnmnmmnnm专题二 求特定条件下方法种数 6.组合数及其公式

（1）组合数的定义：

从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．

（2）组合数的公式及推导

求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数．

根据分步计数原理，得到．

因此

这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．

7. 组合数公式：

(1)（ 、，且）

(2) （ 、，且）

8.组合数的性质

性质1：（、，且）

性质2：（、，且）

排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式

知识讲解1．排列及排列数公式

【考点归纳】1．定义

（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：

（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排

列．

（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式

（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．

（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲

排列与排列数公式

例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．AB．AC．AD．A

例2.

若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4

例3.

已知=15，那么=（）

A．20B．30C．42D．72

组合与组合数公式

知识讲解1．组合及组合数公式

【考点归纳】1．定义

（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个

元素中任取m个元素的一个组合．

（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n

个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．

3．组合数的性质：

性质1

性质2．例题精讲

组合与组合数公式

例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南

方球队（胜得1分败得0分）．'

例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标

有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．

（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；

§1.2 排列与组合

1．2.1 排 列

第1课时 排列与排列数公式

学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．

知识点一 排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

知识点二 排列数的定义及公式

1．排列数的定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．

2．排列数公式

Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！n－m！.

Ann＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.

1．123与321是相同的排列．( × )

2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( √ )

3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( × )

4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( × )

一、排列的概念

例1 判断下列问题是否为排列问题：

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；

(2)选2个小组分别去植树和种菜；

(3)选2个小组去种菜；

(4)选10人组成一个学习小组；

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(6)某班40名学生在假期相互通信．

解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．

(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．

(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．

所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．

1 选修2－1知识点

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.

2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。

若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”。

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题。中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题。

若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”。

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”。

6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题

真 真 真 真

真 假 假 真

假 真 真 假

假 假 假 假

四种命题的真假性之间的关系：

1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）。

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq。

当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题。

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq。

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题。

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p。