随机过程的定义

例1． (随机徘徊) 无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子从初始位置0点出发，在直线上分别向右或向左走一步。问：抛掷了n次后，粒子恰走到m的概率。

事实上，由于粒子是从初始位置0点出发的，因此，当n＜|m|时，粒子是不可能走到m的，而“抛掷了n次后，粒子恰走到m”意味着：在n次走动中，恰好向左走了2mn步；而向右走了2mn步．此即n次抛掷中恰有2mn次掷得正面；有2mn次掷得反面．因此，这就需要m与n同为奇偶数。所求概率为nmnnC212 (当n≥|m|且m与n同为奇偶数时)，否则概率为0。

综上所述，研究一个随机试验，就是要有一个三元组：(Ω，F，P)，它称为概率空间，其中Ω是全体可能结果组成的集合；F是全体可观测事件(可以合理地给出概率的事件)组成的事件族；而P应该看成一个整体，而不是单个概率值，即P是F上定义的一个取值于[0，1]区间的函数。同时，加法公理应该满足，而且必然事件的概率应该为1。

随机过程的定义：研究对象是随时间演变的随机现象。

例1．随机相位正弦波X(t)=Acos(ωt+Θ)，t∈(－∞，+∞)；Θ～U(0，2π)

图1

例2．以X(t)表示电话交换台在时间间隔[0，t]内接到的呼叫的次数，0ttXX),(是一随机过程。

例3．独立地连续掷一骰子，设nX为第n次独立地掷一骰子所出现的点数，则｛1nXn,｝为一相互独立同分布的随机序列(过程)，其指标集为T＝｛1，2，3，…｝；状态空间为S＝｛1，2，3，4，5，6｝；如果把序列｛3，2，3，4，6，5，l，3，…｝称为nX的一条轨道，它表示第1，3，8次掷得“3”点，第2次掷得“2”点，第4次掷得“4”点，第5次掷得“6”点，…．且此时nX有均值为EnX＝3.5，方差为D(nX)＝17.5，n＝1，2，…，

协方差为Cov(iX，jX)＝0，i≠j．

定义1设(Ω，F，P)是一个概率空间，一族随机变量TttXX),(称为一个随机过程，其中T称为指标集，对T中的每个t，X(t)是一个随机变量X(t，ω)，对每个固定的ω，TttX:),(是一个定义在T上，和X(t)有同样取值范围的实值函数，称之为随机过程X的一条(样本)轨道．

对所有固定的t，X(t)的全体可能的取值，称为X的状态空间，对离散随机变量的随机过程，状态空间都可认为是正整数集，因为任何可数集与一正整数集是一一对应的．把全体状态编号，以其编号代表状态就行了。

我们常常把t解释为时间．一般来说，T是一个无限集合，如果它是可数集合，如T＝｛0，1，2，…｝，此时称X为离散参数的随机过程，或随机序列，当T＝[0，+∞)或(－∞，+∞)则称X为连续参数的随机过程。

X的全体有限维联合分布族称为X的概率分布。

例4．在上例中，如果根据每次掷得的点数决定一个粒子在平面格点上作如下运动：如果掷得l，2，3，4点，则分别向上、下、左、右移动1步，如果掷得“5”或“6”，点，则不动。如果粒子从原点(0，0)出发，记在第n步粒子所在位置为(X(n)，y(n))，则我们就得到两个随机过程｛X(n)；n＝0，l，…｝以及｛Y(n)；n＝0，l，…｝．这个随机模型称为2-维随机徘徊。

例5无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子在直线上分别向右或向左走一步。如果我们要研究，这样走下去，最终随机运动的趋向等问题，就需要将无穷多步粒子各自所在的位置作为一个整体来考虑，找出它取值的统计规律。为此，我们先要考虑无限制地抛掷硬币所得结果这一随机序列，因为它完全决定了粒子的走法。

假设每次抛掷得到正面的概率是p，这个试验的全部可能的结果组成的集合是

211021,;,:,,,,nnn

(其中“1”表示正面，“0”表示反面)。

于是，我们就有了概率空间(Ω，F，P)．若将第n步粒子所在的位置记为Sn，那么，在这里我们就需要研究一连串随机变量之间的动态关系，即同时研究21,:nSn这无穷个随机变量作为整体时，它取值的统计规律。

令

其它情形次抛掷出现正面若第0,n1,)(nnX

由于随机徘徊是按照硬币的抛掷结果或向右或向左走一步，因此，我们可引入一独立随机变量序列｛Zn｝满足

P(Zn＝1)＝p， P(Zn＝－1)＝1－p (n＝l，2，…)

显然

Sn＝Sn－1＋Zn＝S0十nkkZ1

注意到Zn与2Xn－1是同分布的，于是 ．

nkknXSS1012, 10,ia

显然，这里的,,21XX是一列同分布的随机变量序列：

P(Xn＝1)＝p， P(Xn＝0)＝1－p (n＝l，2，…)

又因为各次抛掷是独立的，我们有

kiiniknknnaXPaXaXaXP12211,,

可见1nXn,又是相互独立的，所以，1nXn,是一列相互独立同分布的序列(简记为i．i．d．序列)．

上述这样的随机序列1nXn,是一个最简单的随机过程，称之为贝努利序列。我们称nX的取值范围S＝｛0, 1｝为随机过程1nXXn,的状态空间．对每一个固定的，1nXXn,就是一个取值为“0”或“l”的无穷序列，称之为X的一条轨道(或样本轨道)。X的一条典型的样本轨道如图2所示．我们称0nSSn,为随机徘徊，它的一条轨道是一个取值为整数的无穷序列，它的状态空间是全体整数．它的与图2相对应的一条轨道如图3所示。

图2 图3

在例1中，我们已经给出了一个随机变量nX的概率分布(这里00X)：

222knknknnnqpCkXP (q＝l－p，n＝1，2，…)

因为上面的概率就是：n个相互独立的随机事件1iZ，(i = l，2，…，n)中恰好有2kn个发生的概率．这是因为nX要到达状态k，所需的步数n不可能小于| k |，故n＞| k |。若记nN：和nN；分别表示在前n步中正面和反面的出现次数，则显然有

nnNNn

nnnNNX

两式相加，可得 nnXnN21

因此 kXn nnXnN21

注意到nnXnN2必为偶数，因此，若n为偶数，则nX也为偶数；若n为奇数，则nX也为奇数。

niiniinknMPkMXPkXP110212

niiknMP12表示n次抛掷中正面恰好出现2kn次的概率，故只有当n≥|k|且n与k的奇偶性相同时，此概率才为非零，即等于222knknknnnqpCkXP

同理，一般地，对初始状态为xXx0的简单随机徘徊niixnZxX1，类似可得

其它情形同为奇偶数与且若0,x-kn|x-k|n222,xknxknxknnxnqpCkXP

例6 对简单随机徘徊1nXXn,，求出经过，n＝4步，nX=－2的概率。

解 由上式知

331441412ppppCXP

下面我们来考察x的最重要的统计特征——有限维联合分布，这里我们先讨论简单的情形(2维的情形)，我们要求的概率是

2222221111rsnmrsnmrsnmnmrnrnrnnmniiniinmnmnppCppCrsZrZPrsXXrXPsXrXP,,,

在前面我们已经看到：随机徘徊X是一列相互独立的随机变量的部分和序列。于是，它在s个互不相交的区间ssmnmnmn,,,,,,2211上的增量分别为

,11111mniinmZXX 22221mniinmZXX,ssssmniinmZXX1

它们各自是s组相互独立的随机变量的和，因此它们也相互独立．而且对任意s个互不相交的区间，都有上述的独立性。随机过程的这种性质称为独立增量性。

定义2． 设1nXXn,是一个随机过程，如果它在任意s个互不相交的区间上的增量11nmXX，,22nmXX ，ssnmXX都相互独立，称随机过程X为一个独立增量过程．又如果对任意的n＞0，都有mnmXX(n＞0)对一切m同分布，则称X为一个时齐的独立增量过程．

显然，简单随机徘徊就是一个时齐的独立增量过程。

对独立增量过程，容易知道有如下的结论：

命题1．设1nXXn,是一个独立增量过程，我们增补定义00X，则全部随机变量nmXX， (m＞n)的概率分布21,;jzXXPjnm就决定了随机过程X的概率分布．如果X还是时齐的，则全部随机变量nX (n＞0)的分布就决定了随机过程X的分布．

在物理学中，很多确定性现象遵从如下演变原则：由时刻0t系统或过程所处的状态，可以决定系统或过程在时刻0tt所处的状态，而无需借助于0t以前系统或过程所处状态的历史资料。

例如，我们考虑一在直线上作对称随机徘徊的粒子，以nX表示粒子在时刻n时的位置，则其状态空间为Z(全体整数组成的集合)，若在n时刻粒子位于i (即nX＝i)，那么，粒子在下一时刻n＋1，或者以0.5的概率跳到i ＋ l，或者以0.5的概率跳到i－1．在这一模型中，最有趣的现象是：粒子在n＋1时刻的位置：只依额于它在n时刻的位置，而不依赖于它在n时刻前的位置。这一性质就是所谓的Markov性(这个名字由它的首创者俄国数学家Markov而得名)。具有Markov性的随机过程称为Markov过程，它是一类广泛适用于各种领域的重要的随机过程。

定义3．一随机过程0nXXn,称为一个离散参数的Markov链，如果SXn，n＝l，2，3，…)，其中S为——个有限或可数集合(称为此Markov链的状态空间)，并且对任意的,,,,,,Siiijin110都有

iXjXPiXiXiXiXjXPnnnnnn|,,,,|11111001

称条件概率iXjXPnn|1为该Markov链的(一步)转移概率；并记为)(npij，若

)(npij与n无关，则称Markov链为齐次的。

例7． (随机徘徊) 对简单随机徘徊0nXXn,，其状态空间为S=Z，由nX的定义

nkknZXX10)()()(

其中0kZk,若为独立同分布随机变量序列，满足pZPk1，qpZPk11，这里nX表示一个粒子分别以概率p、q向右与向左走一步。前面所讲简单对称随机徘徊就是这里p=0.5的情况。由于nXXX,,,10都是nZZZ,,,10的部分和，因此，它们和1nZ相互独立，故