山西省吕梁市2018届高三上学期第一次模拟考试理数试题【解析版】
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1 山西省吕梁市2018届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题
全析全解
1．C
【解析】由题意得，集合{1Axx或1},0xByy，
所以1ABxx，故选C．
2．C
【解析】，
因为13,122ziz，所以1322zzi，故选C．
3．A
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等．
4．A
【解析】试题分析：由图形知，无信号的区域面积，所以由几何概型知，所求事件概率，故选A．
考点：几何概型．
2 视频
7．C
【解析】 由题意得223,2623Aww，即23sin3fxx，
把点2,23代入方程可得34，
所以323cos34gxx，可得函数gx的一个对称中心为10,0，故选C．
8．D
【解析】由函数sin,xyex不是偶函数，排除A、C；学！科网
当,22x时， sinyx为单调递增函数，而外层函数xye也是增函数，
所以sin,xyex在,22x上为增函数，故选D．
9．D
【解析】根据条件可知球心O在侧棱DA中点，从而有AC垂直CD，可得4AD，
所以球的半径为2r，故球的表面积为2416Sr．
10．B
【解析】设00,Mxy，∵四边形OFMN为平行四边形，∴02cx ，
∵四边形OFMN的面积为bc，∴0ycbc，即0yb，∴,2cMb，
3 代入双曲线方程得2114e，∵1e，∴22e，故选B．
11．D
考点：1．线性规划．2．圆的知识．
12．C
【解析】令(0)xfxxex ，则'10xfxex ，函数fx 在定义域内单调递增，
方程即： 00022ln200002ln,2lnxxxxexxeex ，即002lnfxfx ，
结合函数的单调性有： 00002ln,2ln0xxxx ．
本题选择C选项．
点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
13．0
【解析】 因为51x展开式中含3x项的系数为2510C，含2x项的系数为3510C，
所以 511xx展开式中含3x项的系数为10100．
14．355
【解析】由题知24,21ab，又2ab与c共线，可得248210，得1，则a在方向上的投影为33555abb．故本题应填355．
4 15．45
【解析】由正弦定理，原等式可化为sinsinsinsinsin2sincoscoscosBABBBCBAB，进一步化为cossinsinAcosB2ABsinCcosA，则sin2ABsinCcosA，即1cos2A．在三角形中2π3A．由面积公式1sin432ABCSbcA，可知16bc，由余弦定理22222cosabcbcAbcbc，代入可得45bc．故本题应填45．
点睛：本题主要考查正余弦定理．在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状．解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角．选择余弦定理和面积时，要以已知角的为主．
16．8,12
17．（1）见解析；（2）111222nnnnTn．
【解析】试题分析：
(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列1nSn为首先为2，公比为2的等比数列；
(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得 111222nnnnTn．
试题解析：
5 （1）因为11nnnaSS，所以121nnnnSSnSnn，
即1211nnnSnSnn，则1211nnSSnn，
所以11211nnSSnn，又1121S，故数列1nSn为等比数列．
（2）由（1）知1111221nnnSSn，所以2nnSnn，
故21222212nnTnn．
设212222nMn，
则231212222nMn，
所以212222nnMn 11222nnn，
所以1122nMn，
所以111222nnnnTn．
点睛：证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明1nnaa ＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明2na ＝an－1·an＋1．若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
18．(1)见解析(2) 33
【解析】试题分析：
(1)利用题意证得EF平面AFC．由面面垂直的判断定理可得平面AEF平面AFC．
(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角EACF的余弦值为33．
试题解析：
（1）因为底面ABCD为菱形，所以ACBD，
又平面BDEF底面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，
因此AC平面BDEF，从而ACEF．
又BDDE，所以DE平面ABCD，
6 由2ABa， 222DEBFa， 120ABC，
可知22426AFaaa， 2BDa，
22426EFaaa， 224823AEaaa，
从而222AFFEAE，故EFAF．
又AFACA，所以EF平面AFC．
又EF平面AEF，所以平面AEF平面AFC．
（2）取EF中点G，由题可知//OGDE，所以OG平面ABCD，又在菱形ABCD中， OAOB，所以分别以OA，
OB，
OG的方向为x， y， z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz（如图示），
则0,0,0O， 3,0,0Aa， 3,0,0Ca， 0,,22Eaa， 0,,2Faa，
所以0,,223,0,0AEaaa 3,,22aaa， 3,0,03,0,0ACaa
23,0,0a， 0,,20,,22EFaaaa 0,2,2aa．
由（1）可知EF平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为0,2,2EFaa．
设平面AEC的法向量为,,nxyz，
则0,{0,nAEnAC即3220,{0,xyzx即22,{0,yzx令2z，得4y，
所以0,4,2n．
从而cos,nEF
63363nEFaanEF．
故所求的二面角EACF的余弦值为33．
点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足
7 作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率．
（Ⅱ）女生志愿者人数X=0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望．
【解答】（Ⅰ）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是，
∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×=2人，
参与整理、打包衣物者被抽中的有30×=3人，
故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P=1﹣=．
（Ⅱ）解：女生志愿者人数X=0，1，2，
则，
，
，
∴X的分布列为：
∴X的数学期望EX==．
8 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
20．（1）22198xy；（2）见解析．
试题解析：（1）由题意可得26a，所以3a．由椭圆C与圆M： 224029xy的公共弦长为4103，恰为圆M的直径，可得椭圆C经过点2102,3，所以2440199b，解得28b．所以椭圆C的方程为22198xy．
（2）直线l的解析式为2ykx，设1122,,,AxyBxy， AB的中点为00,Exy．假设存在点,0Dm，使得ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DEAB．由222,{1,98ykxxy得228936360kxkx，故1223698kxxk，所以021898kxk， 00216298ykxk．因为DEAB，所以1DEkk，即221601981898kkkmk，所以2228989kmkkk．当0k时，
89298122kk，所以2012m；当0k时， 89122kk，所以2012m．
综上所述，在x轴上存在满足题目条件的点E，且点D的横坐标的取值范围为22,00,1212．
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用．解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为
