扇形面积与弧长的关系

1 弧长、扇形面积及圆锥侧面积

【知识要点】

1．弧长公式：半径为R的圆，其周长是R2，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的3601，而为1803602RR，因此，on的弧的弧长就是180Rn，于是得到公式：)(180代表弧长lRnl。

2． （1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。

（2）扇形的周长：

（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。

S扇形=)(3602为扇形圆心角的度数为半径，nRRn

由上面两公式可知S扇形=213602nRlR．可据已知条件灵活选用公式。

3．弓形的面积

（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB。

（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB。

4．圆锥的有关概念:

圆锥可以看做是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫圆锥的侧面.

5．圆锥的侧面展开图:

圆锥的侧面展开图是一个扇形,如果圆锥的母线长l,底面半径为,那么这个扇形的半径为,弧长为,因此可得圆锥的侧面积:

圆锥的侧面积。为底面圆半径为母线长，侧)(221rlrlrlS

圆锥的表面积。为底面圆半径为母线长，（底侧表))(rSSrllrS

【典型例题】

例1如果一段弧的长度等于半径，则这段弧所对的圆心角的度数一定（ ）

A、小于60o B、等于60o C、大于60o D、无法确定

ABABlRlOBOA2· O

A B ·

A B O

m · A B

O

m

2 例2如图，在ABC△中，12023ABACABC，°，，A⊙与BC相切于点D，且交ABAC、

于MN、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．

24.7 弧长与扇形面积

第1课时 弧长与扇形面积

1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程；

2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算(难点)．

一、情境导入

在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度应该怎么计算呢？

二、合作探究

探究点一：与弧长有关的计算

【类型一】

求弧长

如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧BC︵的长为________cm.

解析：连接OB、OC，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴BC︵的长为60×π×6180＝2π.

方法总结：根据弧长公式l＝nπR180，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的圆心角n的大小．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

【类型二】 利用弧长求半径或圆心角

(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π2，则该扇形的半径是________；

(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为________．

解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得45×π×R180＝π2，解得R＝2.

(2)根据弧长公式得n×π×1180＝π3，解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°.

方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型三】 求动点运行的弧形轨迹

如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝3，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)． 解析：点A第1次落在直线l上所经历的路线的长为一个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长，此后每落在直线l上一次，都会经历一个半径长为2，圆心角为120°的扇形弧长和一个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，故点A第3次落在直线l上所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l＝3×120π×2180＋2×90π×3180＝4π＋3π.故填(4＋3)π.

1 学科教师辅导教案

教学内容

圆——弧长与扇形的面积

一、 学习目标：

1．经历探索弧长与扇形面积计算公式的过程；

2.掌握弧长、扇形面积计算公式，并会应用公式解决简单的实际问题；

3.了解弧长和扇形面积的关系.

二、 知识回顾：

1． 弧的定义是什么？

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧长是圆周长的一部分．

圆周长的计算公式：C=2πR．

2．圆的周长2πR可以看作360度的圆心角所对的弧（圆的半径为R）.

当圆的半径为R时，1°的圆心角所对的弧长是180R；2°的圆心角所对的弧长是90R；

60°的圆心角所对的弧长是3R；n°的圆心角所对的弧长是180nR；

结论：半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为180nRl.

注意：进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°的圆心角的倍数，它是不带单位的.

三、 知识梳理：

弧长公式

180nRl，其中n°为圆心角的大小，R为圆的半径．

推导过程：

由360°的圆心角所对的弧长为2πR，

可知1°的圆心角所对的弧长为2360180RR，

则n°的圆心角所对的弧长为180nR，

所以弧长公式为180nRl．

2．扇形

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

3．扇形的面积

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所以圆心角是1°的扇形面积是2360R，

2 于是，圆心角为n°的扇形面积是2=360nRS扇形.因为n°的圆心角所对的弧长为180nRl，所以21=3602180nRnRSR••扇形=12lR.

弧长及扇形的面积

27.4弧长及扇形的面积

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．

(二)能力训练要求

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．

2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．

(三)情感与价值观要求

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 教学重点

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．

2．了解弧长及扇形面积计算公式．

3．会用公式解决问题．

教学难点

1．探索弧长及扇形面积计算公式．

2．用公式解决实际问题．

教学方法

学生互相交流探索法

教具准备

2．投影片四张

第一张：(记作§A)

第二张：(记作§B)

第三张：(记作§C)

第四张：(记作§D)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．

Ⅱ．新课讲解 一、复习

1．圆的周长如何计算？

2．圆的面积如何计算？

3．圆的圆心角是多少度？

[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°．