第四章(2)周期信号的频谱

第一章

信号及其描述

信号的分类与描述

周期信号与离散频谱

瞬变非周期信号与连续频谱

随机信号傅里叶级数的三角函数展开式

在有限区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数

（信号）x(t)都可以展开为傅氏级数

傅里叶级数的三角函数展开式为







1000sincos

nnntnbtnaatx



dttx

TaT

T

2

20

00

01



tdtntx

TaT

Tn02

20cos2

0

0





tdtntx

TbT

Tn02

20sin2

0

0





T

0为周期，

n = 1,2,3…002

T

傅里叶级数的三角函数展开式同频项合并后得到







100sin

nnntnAatx

22

nnnbaA

nn

n

ba

tg

幅值谱：圆频率（横坐标）—幅值

相频谱：圆频率（横坐标）—相位

n 是整数序列，故频谱是离散的，频率间隔等于ω

0

ω

0 称为基频；n ω

0 称为n 次谐波三角波的傅里叶级数1三角波的时域描述











0

22

20,20

0

0

0tT

t

TA

A

T

tt

TA

Atx，三角波的傅里叶级数2







,5,3,1cos14

25cos

51

3cos

31

cos4

2

10

220

20

20

2













ntn

nAAtttAA

tx

n





周期性三角波的频谱返回傅里叶级数的复指数函数展开式

根据欧拉公式

有

三角函数展开式)1(sincosjtjtetj



eetjtjt



21

cos



eetjtj

jt



21

sin







1000sincos

nnntnbtnaatx

傅里叶级数的复指数函数展开式















1000)(

21

)(

21

ntjn

nntjn

nnebaeba

jjjatx

00ac

;)(

21

bac

nnnj;)(

21

bac

nnnj

三角函数展开式改写为

令

则



ececctjn

nntjn

nntx00

第四章 周期信号的频域分析

1. 内容提要

本章介绍连续周期信号的傅立叶级数及其基本性质；连续周期信号频谱的概念，相位谱的作用。对离散周期信号傅立叶级数和其基本性质做简单了解。

2. 学习目标

通过本章的学习，应达到以下要求：

（1）掌握周期信号频谱的概念及信号频带宽度的概念。

（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。

（3）熟悉频域分析法。

（4）了解离散傅立叶级数的概念

3. 重点难点

（1） 信号的对称性和傅立叶系数的关系

（2） 连续信号的频谱分析，包括周期信号频谱的概念，相位谱和功率谱。

4. 应用

周期信号频域分析的MATLAB实现

5. 教案内容

4.1 连续时间信号的傅立叶变换

周期信号的定义

周期信号是定义在001/fT(,)区间，每隔一定的时间间隔0T，按相同规律重复变化的信号。即对tR，存在一个大于零的0T，使得

0()(),ftTfttR

其中0T为基波周期，002/T为基波角频率，001/fT为基波频率 傅立叶级数的实质

就是将复杂信号分解成为更容易处理的信号形式。

4.1.1 指数形式的傅里叶级数

连续时间信号的傅立叶级数表示为

0()jnwtnnftCe

称nC为周期信号()ft的傅立叶系数。傅立叶系数的计算公式为

000001()tTjnttCnftedtT

4.1.2 三角形式的傅立叶级数

若函数()ft满足狄里赫利条件，周期信号f(t) 展开成傅里叶级数。

01111212111()cossincos2sin2cossinnnftaatbtatbtantbntLL

0111(cossin)nnnaantbnt

式中，n为正整数；系数0,,nnaab称为傅里叶系数，考虑到三角函数集是一组完备的正交函数集，因此，可得一个周期1(0,)T的傅里叶系数：

11120011211()()TTTaftdtftdtTT

信号与系统复习

书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章 信号与系统

1、信号的分类

①连续信号和离散信号

②周期信号和非周期信号

连续周期信号f(t)满足

f(t) = f(t + mT)，

离散周期信号f(k)满足

f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…

两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号

④因果信号和反因果信号

2、信号的基本运算（+ - × ÷）

2.1信号的（+ - × ÷）

2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换）

3、奇异信号

3.1 单位冲激函数的性质

f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)

例：

3.2序列δ(k)和ε(k)

f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)

4、系统的分类与性质

4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统

4.3 线性系统与非线性系统

①线性性质

T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性)

T [ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] （可加性）

②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： )0(d)()(ftttf)(d)()(aftattf?d)()4sin(91ttt)0('d)()('fttft)0()1(d)()()()(nnnfttft4)2(2])2[(ddd)(')2(0022tttttttt)(1||1)()()(taaatnnn)(||1)(taat)(||1)(00attatat)0()()(fkkfk y (·) = yf(·) + yx(·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性)

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第四章:傅立叶变换和系统的频域

一、信号分解为正交函数

（一）、完备正交函数

1正交函数：

实正交函数：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t1,t2）内的两个实函数，若∫φ1(𝐭),𝐭2𝐭1φ2(t)dt=0，

则称是函数的正交条件。

若∫φ1(𝐭),𝐭2𝐭1φ2*dt=∫φ1*(𝐭),𝐭2𝐭1φ2dt=0满足实函数的正交条件，则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t2）内正交。

复函数正交：：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t1,t2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。

则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t2）内正交。

2、正交函数集

若n个实函数{φi（t）}（i=1,2,3,…….）在区间（t1,t2）内满足实函数正交条件∫φi(𝐭),𝐭2𝐭1φj(t)dt={0,i≠jKi,i=j，则{φi（t）}（i=1,2,3,…….）在（t1,t2）内是正交实函数。

复正交函数集：若n个复函数{φi（t）}（i=1,2,3,…….）在区间（t1,t2）内满足复函数正交条件∫φi(𝐭),𝐭2𝐭1φj*(t)dt={0,i≠jKi,i=j，则{φi（t）}（i=1,2,3,…….）在（t1,t2）内是复正交函数集。

3、完备正交函数集：

若正交函数集{φi（t）}（i=1,2,3,…….）之外不存在gt（t）与φi(𝐭)正交，则{φi（t）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。

4、完备正交函数集举例：

ａ、三角函数集

b、复指数函数集

c、沃尔什函数

（二）信号正交分解

𝑓(𝑡)C1φ1（t）+ C2φ2（t）+……..+ Cnφn（t）=∑Cjnj=1φj(t),求系数Cj

1、 求误差的均方值最小：2= Cj1𝐭1−𝐭2∫f(t)−∑Cjnj=1φj(t)𝐭2𝐭1

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二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）