北师大版九年级上册数学期中考试试卷带答案 2022年

北师九年级〔上〕期中数学试卷一、选择题〔此题总分值24分，共有8道小题，每题3分〕1．以下说法正确的有〔〕个．①菱形的对角线相等；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有两个角是直角的四边形是矩形；④正方形既是菱形又是矩形；⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．A．1 B．2 C．3 D．42．关于方程x2﹣2=0的理解错误的选项是〔〕A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是〔〕A．15 B．10 C．4 D．34．关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是〔〕A．不存在B．4 C．0 D．0或45．如图在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB=1：3：6，那么S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB=〔〕A．1：8：27 B．1：4：9C．1：8：36 D．1：9：366．如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，假设过点A作AE⊥BC，垂足为E，那么AE的长为〔〕A．8 B．C． D．7．如图，ABCD是正方形，E是边CD上〔除端点外〕任意一点，AM⊥BE于点M，CN ⊥BE于点N，以下结论一定成立的有〔〕个．①△ABM≌△BCN；②△BCN≌△CEN；③AM﹣CN=MN；④M有可能是线段BE的中点．A．1 B．2 C．3 D．48．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，那么新矩形与原矩形相似．乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，那么新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，以下说法正确的选项是〔〕A．两人都对 B．两人都不对C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对二、填空题〔此题总分值18分，共有6道小题，每题3分〕9．假设===，〔a+c+e≠0〕，那么=．10．直角三角形的三边恰好是三个连续整数，那么这个直角三角形的斜边长是．11．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3，绿色卡片两张，标号分别为1，2，假设从五张卡片中任取两张，那么两张卡片的标号之和小于4的概率为．12．方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，那么a的取值范围是．13．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为〔0，〕，那么点E的坐标是．14．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC 于点M，N，连接CM，那么CM的长为．三、作图题〔此题总分值10分，第一小题4分，第二小题6分〕15．〔10分〕△ABC，作△DEF，使之与△ABC相似，且=4．要求：〔1〕尺规作图，保存作图痕迹，不写作法．〔2〕简要表达作图依据．四、解答题〔此题共5小题，总分值68分〕16．〔16分〕计算〔1〕用两种不同方法解方程：x2﹣3﹣2x=0〔2〕解方程：x2=2x；〔3〕解方程：3+2x2﹣x=0．17．〔12分〕某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表〔单位：人〕：〔1〕从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率；〔2〕在既参加音乐社团，又参加美术社团的6名同学中，有4名男同学A1、A2、A3、A4，两名女同学B1、B2，现从这4名男同学和两名女同学中个随机选取1人，求A1未被选中但B1被选中的概率．18．〔12分〕：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，P、Q分别是DM、BN的中点．〔1〕求证：DM=BN；〔2〕四边形MPNQ是怎样的特殊四边形，请说明理由；〔3〕矩形ABCD的边长AB与AD满足什么长度关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理由．19．〔12分〕某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克本钱80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间存在如下图的变化规律．〔1〕求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．〔2〕假设某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元．20．〔16分〕：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；假设设运动的时间为t〔s〕〔0＜t＜3〕，解答以下问题：〔1〕如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；〔2〕如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；〔3〕如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？假设存在，试求出BG长；假设不存在请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题〔此题总分值24分，共有8道小题，每题3分〕1．以下说法正确的有〔〕个．①菱形的对角线相等；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有两个角是直角的四边形是矩形；④正方形既是菱形又是矩形；⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】矩形的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答．【解答】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；④正方形既是菱形又是矩形，故正确；⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误；应选：A．【点评】此题考查了菱形和矩形的判定与性质．注意：正方形是一特殊的矩形，也是一特殊的菱形．2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的选项是〔〕A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解【考点】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】根据一元二次方程的定义、解法、一般式逐一判断即可．【解答】解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=±，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；应选：B．【点评】此题主要考查一元二次方程的定义和解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．3．一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是〔〕A．15 B．10 C．4 D．3【考点】利用频率估计概率．【分析】因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的时机是均等的，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的可能性稳定在20%，可知红球占总球数大约就是20%，问题就转化成了一个数的20%是2，求这个数，用除法计算即可．【解答】解：根据题意得：2÷20%=10〔个〕，答：可以估算a的值是10；应选B．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题．4．关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是〔〕A．不存在B．4 C．0 D．0或4【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值．【解答】解：∵方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4m=0，解得：m=0或m=4．应选D．【点评】此题考查了根的判别式，由方程有两个相等的实数根找出关于m的一元二次方程是解题的关键．5．如图在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB=1：3：6，那么S△ADE：S四边形DEGF：S=〔〕四边形FGCBA．1：8：27 B．1：4：9 C．1：8：36 D．1：9：36【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：AF：AB=1：3：6，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△AFG：S△ABC=1：9：36，然后设△ADE的面积是a，那么△AFG和△ABC的面积分别是9a，36a，即可求两个梯形的面积，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴AD：AF：AB=1：3：6，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=1：9：36，设△ADE的面积是a，那么△AFG和△ABC的面积分别是9a，36a，那么S四边形DFGE=S△AFG﹣S△ADE=8a，S四边形FBCG=S△ABC﹣S△AFG=27a，∴S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=1：8：27．应选A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．6．如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，假设过点A作AE⊥BC，垂足为E，那么AE的长为〔〕A．8 B．C． D．【考点】菱形的性质．【分析】连接对角线BD，根据勾股定理求对角线BD=24，由菱形的面积列式得：S菱形=BC•AE=AC•BD，代入计算可求AE的长．ABCD【解答】解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×10=5，∵AB=13=BC，由勾股定瑆得：OB===12，∴BD=2OB=24，∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD=BC•AE=AC•BD，13AE=×10×24，AE=，应选C．【点评】此题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形以下的性质是关键：①菱形的对角线互相平分且垂直，②菱形的四边相等，③菱形的面积=两条对角线积的一半=底边×高；根据面积法可以求菱形的边或高．7．如图，ABCD是正方形，E是边CD上〔除端点外〕任意一点，AM⊥BE于点M，CN ⊥BE于点N，以下结论一定成立的有〔〕个．①△ABM≌△BCN；②△BCN≌△CEN；③AM﹣CN=MN；④M有可能是线段BE的中点．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】①根据AAS可以证明△ABM≌△BCN，利用了同角的余角相等；②根据两角对应相等，可以证明△BCN∽△CEN，因为斜边CE和BE不相等，所以一定不全等；③根据①中听全等可以得结论；④根据正方形的对角线垂直平分可知：当M是线段BE的中点时，E在点D处，而中E是边CD上〔除端点外〕任意一点，所以得出：M不可能是线段BE的中点．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABM+∠NBC=90°，∵AM⊥BE于点M，CN⊥BE于点N，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴∠NBC=∠BAM，∴△ABM≌△BCN；故①正确；②∵∠BCE=∠CNE=90°，∠CEN=∠CEB，∵CE≠BE，∴△BCN∽△CEN，故②不正确；③∵△ABM≌△BCN，∴AM=BN，BM=CN，∴MN=BN﹣BM=AM﹣CN，故③正确；④当M是线段BE的中点时，E在点D处，而中E是边CD上〔除端点外〕任意一点，所以M不可能是线段BE的中点．故④不正确；所以正确的有：①③2个，应选B．【点评】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，正方形的性质较多，要熟练掌握：①正方形的四边相等，②正方形的四个角都是直角，③正方形的对角线垂直平分且平分一组对角等；在正方形判定两三角形全等时，经常运用同角的余角相等证明角相等，从而证明两三角形全等．8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，那么新矩形与原矩形相似．乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，那么新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，以下说法正确的选项是〔〕A．两人都对 B．两人都不对C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对【考点】相似图形．【分析】利用位似图形的性质以及相似多边形的判定方法得出即可．【解答】解：由题意可得新矩形边长为：7和10，≠，故两矩形不相似，当新三角形的对应边间距离均为1时，那么两三角形的对应边平行，且对应点连线相交于一点，故两三角形位似，即相似，应选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．二、填空题〔此题总分值18分，共有6道小题，每题3分〕9．假设===，〔a+c+e≠0〕，那么=2．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质，反比性质，可得答案．【解答】解：由===，得=，由反比性质，得=2，故答案为：2．【点评】此题考查了比例的性质，利用等比性质，反比性质是解题关键．10．直角三角形的三边恰好是三个连续整数，那么这个直角三角形的斜边长是5．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．【分析】首先设中间的数为x，表示出其余2个数，利用勾股定理求解即可．【解答】解：设较小的边长为x．那么最小的边长为〔x﹣1〕，斜边长为〔x+1〕，〔x﹣1〕2+x2=〔x+1〕2，解得x1=0，〔不合题意，舍去〕x2=4，故斜边长为x+1=5．故答案为：5．【点评】此题考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的应用，利用勾股定理得到三边的关系是解决此题的关键．11．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3，绿色卡片两张，标号分别为1，2，假设从五张卡片中任取两张，那么两张卡片的标号之和小于4的概率为．【考点】列表法与树状图法．【分析】从五张卡片中任取两张的所有可能情况，用列举法求得有10种情况，其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，从而求得所求事件的概率．【解答】解：从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1绿1，红1绿2，红2红3，红2绿1，红2绿2，红3绿1，红3绿2，绿1绿2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，红1绿1，红1绿2，红2绿1，故所求的概率为P=；故答案为：．【点评】此题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一局部的最主要思想，属于根底题．12．方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，那么a的取值范围是a＜且a≠0．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，∴，解得：a＜且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．13．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为〔0，〕，那么点E的坐标是〔3，3〕．【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为〔0，〕，即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，∴OA：OD=1：，∵点A的坐标为〔0，〕，即OA=，∴OD=3，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=3．∴E点的坐标为：〔3，3〕．故答案为：〔3，3〕．【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比拟简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．14．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC 于点M，N，连接CM，那么CM的长为．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】由线段垂直平分线的性质求出AM=CM，在Rt△DMC中，由勾股定理得出DM2+DC2=CM2，得出方程〔6﹣CM〕2+32=CM2，求出CM即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD=BC=6，AB=DC=3，∵MN是AC的垂直平分线，∴AM=CM，∴DM=AD﹣AM=AD﹣CM=4﹣CM，在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM2+DC2=CM2，〔6﹣CM〕2+32=CM2，CE=，故答案为：．【点评】此题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于CM的方程．三、作图题〔此题总分值10分，第一小题4分，第二小题6分〕15．〔10分〕△ABC，作△DEF，使之与△ABC相似，且=4．要求：〔1〕尺规作图，保存作图痕迹，不写作法．〔2〕简要表达作图依据．【考点】作图—相似变换．【分析】〔1〕利用相似三角形的性质得出：△DEF的边长与△ABC边长的关系进而得出答案；〔2〕利用相似三角形的性质结合作三角形的方法得出答案．【解答】解：〔1〕如下图：△DEF即为所求；〔2〕∵△DEF∽△ABC，且=4，∴===，∴作AB，AC的垂直平分线，进而得出AB，AC的中点，即可得出ED，EF，DF的长．【点评】此题主要考查了相似变换以及三角形的做法，正确得出△DEF边长变化规律是解题关键．四、解答题〔此题共5小题，总分值68分〕16．〔16分〕计算〔1〕用两种不同方法解方程：x2﹣3﹣2x=0〔2〕解方程：x2=2x；〔3〕解方程：3+2x2﹣x=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】〔1〕因式分解法和配方法求解可得；〔2〕因式分解法求解可得；〔3〕由根的判别式小于0可得答案．【解答】解：〔1〕因式分解法：〔x+1〕〔x﹣3〕=0，∴x+1=0或x﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3；配方法：x2﹣2x=3，x2﹣2x+1=3+1，即〔x﹣1〕2=4，∴x﹣1=±2，解得：x=﹣1或x=3；〔2〕x2﹣2x=0，x〔x﹣2〕=0，∴x=0或x=2；〔3〕∵a=2，b=﹣，c=3，∴△=﹣4×2×3＜0，∴原方程无实数根．【点评】此题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择适宜的方法是解题的关键．17．〔12分〕某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表〔单位：人〕：〔1〕从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率；〔2〕在既参加音乐社团，又参加美术社团的6名同学中，有4名男同学A1、A2、A3、A4，两名女同学B1、B2，现从这4名男同学和两名女同学中个随机选取1人，求A1未被选中但B1被选中的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】〔1〕先判断出这是一个古典概型，所以求出根本领件总数，“至少参加一个社团〞事件包含的根本领件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；〔2〕先求根本领件总数，即从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1不被选中，而B1被选中〞事件包含的根本领件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：〔1〕设“至少参加一个社团〞为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴根本领件数为45；通过列表可知事件A的根本领件数为6+4+5=15；这是一个古典概型，∴P〔A〕==；〔2〕从4名男同学中任选一个有4种选法，从2名女同学中任选一名有2种选法；从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人的选法有4×2=8，即根本领件总数为8；设“A1未被选中，而B1被选中〞为事件B，显然事件B包含的根本领件数为3；这是一个古典概型，那么P〔B〕=．【点评】主要考查了事件的分类和概率的求法．用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比．18．〔12分〕：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，P、Q分别是DM、BN的中点．〔1〕求证：DM=BN；〔2〕四边形MPNQ是怎样的特殊四边形，请说明理由；〔3〕矩形ABCD的边长AB与AD满足什么长度关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】〔1〕根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；〔2〕四边形MPNQ是菱形，连接AN，有〔1〕可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形；〔3〕利用对角线相等的菱形是正方形即可．【解答】证明：〔1〕∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，在△MAB和△NDC中，∴△MBA≌△NDC〔SAS〕；〔2〕四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AP，MN，那么四边形ABNM是矩形，∵AN和BM互相平分，那么A，P，N在同一条直线上，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，在△MQD和△NPB中，，∴△MQD≌△NPB〔SAS〕．∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∵MP=BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形；〔3〕当AD=2AB时，四边形MQNP是正方形；如图1，连接PQ，∵PQ⊥MN．AD⊥MN，∴PQ∥AD，∵点P是BM的中点，∴AD=2PQ，∵AD=2AB，∴PQ=AB，∵MN=AB，∴MN=PQ，由〔2〕知，四边形MQNP是菱形；∴菱形MQNP是正方形．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、正方形的性质，全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，判断出四边形MQNP是菱形是解此题的关键，属于根底题目．19．〔12分〕某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克本钱80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间存在如下图的变化规律．〔1〕求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．〔2〕假设某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元．【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．【分析】〔1〕设函数解析式为y=kx+b，将〔90，100〕，〔100，80〕代入y=kx+b即可；〔2〕每千克利润乘以销售量即为总利润；根据某月获得的利润等于1350元，求出x的值即可．【解答】解：〔1〕设一次函数解析式为y=kx+b，把〔90，100〕，〔100，80〕代入y=kx+b得，，解得，，y与销售单价x之间的函数关系式为y=﹣2x+280．〔2〕根据题意得：w=〔x﹣80〕〔﹣2x+280〕=﹣2x2+440x﹣22400=1350；解得〔x﹣110〕2=225，解得x1=95，x2=125．答：销售单价为95元或125元．【点评】此题一元二次方程及一次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数和方程模型，难度不大．20．〔16分〕：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；假设设运动的时间为t〔s〕〔0＜t＜3〕，解答以下问题：〔1〕如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；〔2〕如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；〔3〕如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？假设存在，试求出BG长；假设不存在请说明理由．【考点】相似形综合题．〔1〕先根据勾股定理求出AB，再用△APC∽△ACB，得出，即：，【分析】求出时间；〔2〕先用垂直平分线的性质得出QM=CM=CQ=〔3﹣t〕，然后用平行线分线段成比例建立方程求出结论；〔3〕先由平行四边形的性质建立方程求出时间t，即求出PQ，PB，即可得到PQ≠PB判断出四边形PQGB不可能是菱形．【解答】解：〔1〕在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，∴AB=6，由运动知，BP=2t，AQ=t，∴AP=6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴，∴，∴t=；〔2〕存在，理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ=t，∴AP=6﹣2t，CQ=3﹣t，∵点P是CQ的垂直平分线上，∴QM=CM=CQ=〔3﹣t〕，∴AM=AQ+QM=t﹣〔3﹣t〕=〔t﹣1〕过点P作PM⊥AC，∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，∴，∴，∴t=或t=〔舍〕，∴t=．〔3〕不存在，理由：由运动知，BP=2t，AQ=t，∴AP=6﹣2t，假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，∴PQ∥BG，PQ=BG，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴t=，PQ=，∴BP=2t=3，∴PQ≠BP，∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解此题的关键是用方程的思想解决问题．【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，应选：B．【点评】此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的．二、填空题11．〔2021•株洲〕单项式5mn2的次数3．【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：单项式5mn2的次数是：1+2=3．故答案是：3．【点评】考查了单项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．12．〔2021•岳阳〕a2+2a=1，那么3〔a2+2a〕+2的值为5．【分析】利用整体思想代入计算即可；【解答】解：∵a2+2a=1，∴3〔a2+2a〕+2=3×1+2=5，故答案为5．【点评】此题考查代数式求值，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于根底题．13．〔2021•荆州〕如下图，是一个运算程序示意图．假设第一次输入k的值为125，那么第2021次输出的结果是5．【分析】根据运算程序可找出前几次输出的结果，根据输出结果的变化找出变化规律“第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1〔n为正整数〕〞，依此规律即可得出结论．【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是1，…，∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1〔n为正整数〕，∴第2021次输出的结果是5．故答案为：5．【点评】此题考查了代数式求值以及规律型中数字的变化类，根据输出结果的变化找出变化规律是解题的关键．14．a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为=﹣1；﹣1的差倒数是=；a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3差倒数，…依此类推，那么a2021=﹣．【考点】规律型：数字的变化类；倒数．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据差倒数定义表示出各项，归纳总结即可得到结果．【解答】解：a1=3，a2是a1的差倒数，即a2==﹣，a3是a2的差倒数，即a3==，a4是a3差倒数，即a4=3，…依此类推，∵2021÷3=672…2，∴a2021=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，以及新定义，找出题中的规律是解此题的关键．15．〔2021•德阳〕如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，那么第2021个格子的数为﹣1．3a b c﹣12……【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是3可得b=2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴a+b+c=b+c+〔﹣1〕，3+〔﹣1〕+b=﹣1+b+c，∴a=﹣1，c=3，∴数据从左到右依次为3、﹣1、b、3、﹣1、b，∵第9个数与第3个数相同，即b=2，∴每3个数“3、﹣1、2〞为一个循环组依次循环，∵2021÷3=672…2，∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及有理数的加法，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．16．〔2021•金华〕对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y．假设1*〔﹣1〕=2，那么〔﹣2〕*2的值是﹣1．【分析】根据新定义的运算法那么即可求出答案．【解答】解：∵1*〔﹣1〕=2，。

北师大版九年级数学上册期中复习试卷姓名：______班级：___考号：_____一、选择题（每题3分，共24分）1．下列性质中，矩形一定具有的是 （ ）A ．四边相等B ．对角线垂直C ．邻边相等D ．对角线相等2．已知菱形的两条对角线的长分别是4和10则菱形的面积 （ ）A ．14B ．48C ．40D ．203．下列方程中，关于x 的一元二次方程是 （ ）A ．20ax bx c ++=B ．1x y +=C ．2230x x --=D ．211x x+= 4．用配方法解方程2890x x +-=，下列变形正确的是 （ ）A ．2425x +=（）B ．249x +=（）C ．2873x +=（）D ．2425x -=（）5．已知粉笔盒里只有4支黄色粉笔和6支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是 （ ）．A ．15 B ．25 C ．35 D ．23 6．在下列条件中，能判定ABCD 是菱形的是 （ ）A ．AC BD ⊥B ．AD AC = C ．=AC BD D ．AB BC ⊥7．若一元二次方程2++0ax bx c = (a ≠0)的系数满足42+0a b c -=，则这个方程必有一个根是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-8．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 面积的最大值是 （ ）A ．15B ．16C ．19D ．20二、填空题（每题3分，共24分）9．已知关于x 的方程x 2＋kx －10＝0的一个根是－2，则k ＝______．10．方程2510x x --=的根的判别式的值为_________.11．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若BF ＝5，则DE ＝___．12．乌鲁木齐市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为____________．13．一个不透明口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.7，那么口袋中白球的个数很可能是______个．14．从①AB BC =，②AC BD =，③AC BD ⊥，④90A ∠=︒四个关系中，任选1个作为条件，那么选到能够判定平行四边形ABCD 是菱形的概率是_______．15．已知,αβ是方程x 2+2021x +1＝0的两个根，则()()222022120221ααββ++++=_____．16．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，连接FG ，若8AB =，则FG 的最小值为_____．三、解答题（每题8分，共72分）17．解方程：(1)2(32)60x x x --=；(2)24112x x -=；(3)22(2)(25)x x -=+．18．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，且AF ＝CE ，求证：DF ＝BE ．19．已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1)求实数k 的取值范围_________．(2)设方程的两个实数根分别为12x x ，，若()()12112x x ++=-，求k 的值．20．如图：在矩形ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF ．求证：四边形BFDE 是菱形．21．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．(1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；(2)现再将n 个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为34，求n 的值．22．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．(1)若降价x 元后，每件衬衫的利润=________元，平均每天销售数量为________件（用含x的代数式表示）；(2)若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？，AB=5，BC=12，点P从点A开始沿边AB向23．如图，在ΔABC中，=90?B点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：(1)经过几秒，ΔPBQ的面积等于62cm？(2)是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．24．(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，=CB CD，问四边形ABCDAB AD，=是垂美四边形吗？请说明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以Rt ACB△的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知8AB=，求AC=，10GE长．25．如图，以ABC的三边为边在BC的同侧作等边ABD△、BCE、ACF，请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF为平行四边形：（2）当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，并说明理由：（3）如图（2），若90∠=，BC=AB和AC的长为一元二次方程BAC︒2100x x m-+=的两个根，求四边形ADEF的面积．参考答案：1．矩形的对边平行且相等，但是邻边不一定相等，故本选项不符合题意；矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意；矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意；矩形的对角线相等，故本选项符合题意；故选：D2．解：由已知可得，这个菱形的面积=4×10÷2=20，故选：D．3．解：A、该方程没有规定0a≠，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程不是整式方程，故本选项错误；故选：C．4．解：2890x x+-=，移项得：289x x+=，配方得：281625x x++=，即2425x+=（）．故选A．5．解：根据题意得，取出黄色粉笔的概率是42 465=+．故选：B．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：A．7．解：由题意，一元二次方程2++=0ax bx c (a ≠0)的系数满足42+0a b c -=， 所以，当2x -=时，一元二次方程2++0ax bx c =即为：()()2×2+?2+0a b c --=，即42+0a b c -=， 综上可知，方程必有一根为2-．故选：D ．8．如图1，作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，，∵AD ∥BC,AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S 四边形ABCD=AE ⋅BC=AF ⋅CD ，∴BC=CD ，∴平行四边形ABCD 是菱形．如图2，，设AB=BC=x ，则BE=9−x ，∵BC 2=BE 2+CE 2，∴x 2=(9−x)2+32，解得x=5，∴四边形ABCD 面积的最大值是：5×3=15.故选A.9．解：把x =-2代入x 2+kx -10=0得:4-2k -10=0，解得k =-3．故答案为：-3．10．解：∵a =1，b =-5，c =-1，∴224(5)41(1)29b ac ∆=-=--⨯⨯-=．故答案为：29．11．解：∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，F 为CA 的中点，BF =5，∴AC =2BF =10．又∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点，∴DE 是Rt △ABC 的中位线，∴DE =12AC =5．故答案为：5．12．解：由统计图可知，该树苗成活的频率在0.9附近摆动，∴估计该树苗成活的概率为0.9，故答案为：0.9．13．设口袋中白球的个数可能是m 个，因为摸到白球的频率稳定在0.7，根据多次实验中，可用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值， 所以10m =0.7， 解得m =7．故答案为：7．14．解：①∵ABCD中，AB BC=，∴ABCD是菱形，故①正确；②∵ABCD，AC BD=，∴ABCD是矩形，故②不正确；③∵ABCD，AC BD⊥，∴ABCD是菱形，故③正确；④∵ABCD，90A∠=︒，∴ABCD是矩形，故④不正确；故选到能够判定ABCD是菱形的有①AB BC=、③AC BD⊥，2种结果，∴选到能够判定ABCD是菱形的概率是21 42 =，故答案为：12．15．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）＝（0+α）（0+β）＝αβ＝1．故答案是：1．16．解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴90ABC∠=︒，8AB BC==，45BAC BCA∠=∠=︒，∵EF AB⊥，EG BC⊥，∴四边形EFBG是矩形，∴BE FG=，∴FG最小即是BE最小，∴当BE AC⊥时，BE最小，∵8AB BC==，90ABC∠=︒，∴AC=∵AB BC =，BE AC ⊥，90ABC ∠=︒， ∴BE 是ABC 的中线，∴12BE AC == ∴FG 最小为故答案为：17． （1）解：∵2(32)6=0x x x --， ∴2320x x +=，∴()320x x +=，∴=0x 或320x +=， ∴112=0,=3x x -．（2）解：∵241=12x x -， ∴24121=0x x --，∵=4a ，=12b -，=1c -， ∴Δ=144+16=160，∴x ，∴1233==22x x - （3）解：∵22(2)=(2+5)x x -， ∴(2)=?(2+5)x x -，∴2=25x x ---或2=2+5x x -，∴12=1,=7x x --．18．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠B ＝90°，在Rt △ADF 与Rt △CBE 中，AD ＝CB ，AF ＝CE ，∴Rt △ADF ≌Rt △CBE （HL ），∴DF ＝BE ．19． （1）解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根，∴23420k ， 解得：174k ； 故答案为：174k（2）解：∵方程2320x x k ++-=的两个实数根分别为12x x ，，∴12123,2x x x x k ，∵()()12112x x ++=-，∴121212x x x x ，∴2312k ，解得：=2k ．20． 证明：四边形ABCD 是矩形， AD BC ∴，=ADB CBD ∴∠∠，EF 垂直平分BD ，=BO DO ∴，在DOE 和BOF 中，===ADB CBD BO DODOE BOF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， DOE BOF ∴≌（ASA ），=EO FO ∴，∴四边形EBFD 是平行四边形，EF BD ⊥，∴四边形EBFD 是菱形．21． （1）解：如图画出树状图，∵由图可知总共有六种情况，其中都是红球的情况有两种， ∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为2163=（2）解：由题意得，1334n n +=+， 解得5n =所以n 的值为5．22． （1）解：依题意得：降价x 元后，每件衬衫的利润为(40)x -元，平均每天的销售量为(303)x +件．故答案为：(40)x -；(303)x +；（2）解：依题意得：(40)(303)1800x x -+=，整理得：2302000x x -+=，解得：1x =10，2x =20，又∵要尽快减少库存、增加盈利，∴x =20．答：每件商品应降价20元．23． （1）解：设经过x 秒，△PBQ 的面积等于26cm ，则BP ＝5−x ，BQ ＝2x ， 所以1·5?262PBQ S x x -＝（）＝，即26+80x x -＝， 可得：x ＝2或3，即经过2秒或3秒，△PBQ 的面积等于26cm ；（2）解：不存在，理由如下：设经过t 秒，线段PQ 恰好平分△ABC 的面积，△PBQ 的面积等于230cm ， ∴1=52=302PBQ S t t ⋅-⋅（）， 即25+30=0t t -，∵2Δ4b ac -＝＝25−4×30＝−95＜0，∴△PBQ 的面积不会等于230cm ，则线段PQ 不能平分△ABC 的面积．24． （1）解：∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，故答案为：③④；（2）解：四边形ABCD 是垂美四边形，理由如下：如图2，∵AB ＝AD ，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，∵CB ＝CD ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，∴AC ⊥BD ，即四边形ABCD 是垂美四边形；（3）解：2222AD BC AB CD +=+，证明如下：如图①，∵AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（4）解：如图3，连接BE 、CG ，设AB 与CE 交于点M ，∵∠CAG ＝∠BAE ＝90°，∴∠CAG +∠BAC ＝∠BAE +∠BAC ，即∠GAB ＝∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，===AG AC GAB GAE AB AE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG ＝∠AEC ，∵∠AEC +∠AME ＝90°，∴∠ABG +∠BMC ＝90°，即CE ⊥BG ，∴四边形CGEB 是垂美四边形，∴2222CG BE CB GE +=+，∵AB ＝10，AC ＝8，∴222==36BC AB AC -，222128CG AC AG =+=，222200BE AB AE =+=， ∴2=128+20036=292GE -，则GE＝25．解：（1）∵△ABD ，△EBC 都是等边三角形．∴AD=BD=AB ，BC=BE=EC ，∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA ．∴∠DBE=∠ABC ．在△DBE 和△ABC 中，∵BD=BA ，∠DBE=∠ABC ，BE=BC ，∴△DBE ≌△ABC （SAS ）．∴DE=AC ．又∵△ACF 是等边三角形，∴AC=AF ．∴DE=AF ．同理可证：AD=EF ，∴四边形ADEF 平行四边形；（2）当∠BAC=60°时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在；理由如下： ∵∠BAC=60°，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=180°，∴点D 、A 、F 共线，∴以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在；（3）过点A 作AH ⊥DE 于点H ，∵AB 和AC 的长为一元二次方程2100x x m -+=的两根，∴2100AB AB m -+=，①2100AC AC m -+=，②①+②，得：()221020AB AC AB AC m +-++=，在Rt △ABC 中，∵BC=∴2252AB AC +=，AB+AC=b a-=10，∴有52101020m -⨯+=，解得：m=24，∴原方程为210240x x -+=，解得：16x =，24x =，若AB=6，AC=4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AF ，DE=AF=AC=4，AD=EF=AB=6， ∴∠ADE+∠DAF=180°，∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°， ∴∠ADE=30°，∴AH=12AD=3，∴S 平行四边形ADEF =DE×AH=12；若AB=4，AC=6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AF ，DE=AF=AC=6，AD=EF=AB=4， ∴∠ADE+∠DAF=180°，∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°， ∴∠ADE=30°，∴AH=12AD=2，∴S 平行四边形ADEF =DE×AH=12；综上：四边形ADEF 的面积为12．。

北师大版2022～2023学年九年级数学第一学期期中质量检测试卷（分值：120分）一．选择题（共12小题）1．下列说法正确的有（ ）个．①菱形的对角线相等；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有两个角是直角的四边形是矩形；④正方形既是菱形又是矩形；⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．A．1B．2C．3D．42．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（ ）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是（ ）A．15B．10C．4D．34．关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）A．不存在B．4C．0D．0或45．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ）A．10B．14C．16D．406．已知=，那么下列等式中一定正确的是（ ）A ．=B ．=C ．=D ．=7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +kb +1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx +b 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．a ，b ，c 为常数，且（a ﹣c ）2＞a 2+c 2，则关于x 的方程ax 2+bx +c=0根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为011．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（ ）A．2B．4C．4D．812．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．14．下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是 （只填序号）15．如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为 米．16．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是 ．三．解答题（共6小题）17．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．18．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．19．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 ；（3）当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．20．如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线，分别交AD 、BC 于E 、F （保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连接BE ，DF ，问四边形BEDF 是什么四边形？请说明理由．21．如图，在△ABC 中，AB=AC=1，BC=，在AC 边上截取AD=BC ，连接BD ．（1）通过计算，判断AD 2与AC•CD 的大小关系；（2）求∠ABD 的度数．22．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x 轴于点C ，点A （3，1）在反比例函数y=x k的图象上.(1)求反比例函数y=x k的表达式；(2)在x 轴上是否存在一点P ，使得S ΔAOP =21S ΔAOB ，若存在求点P 的坐标；若不存在请说明理由.（3）若将ΔBOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到ΔBDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由.备用图答案一．选择题（共12小题）1．A．2．B．3．B．4．D．5．A．6．A．7．C．8．A．9．B．10．B．11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（ ）A．2B．4C．4D．8【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．解：连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=2，DE=2，∴OE=2，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，则S菱形ODEC=OE•DC=×2×2=2．故选A【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．12．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．故选C．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二．填空题（共4小题）13．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　　．【考点】一元二次方程根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．14．下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是　③④　（只填序号）【考点】相似多边形的判定．【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；③两个等边三角形一定相似；④两个正方形一定相似；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故错误，故③④．【点评】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断．对多边形主要是判断对应的角和对应的边．15．如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为　8　米．【考点】相似三角形的性质．【专题】应用题．【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．解：如图：∵AB∥CD，∴CD：AB=CE：BE，∴1.6：AB=2：10，∴AB=8米，∴灯杆的高度为8米．答：灯杆的高度为8米．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出灯杆的高度，体现了方程的思想．16．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是 ．【考点】正方形的性质．【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S四边形=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB即可解决问题．ABFE′解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE=DE′，AE=AE′，∴AD垂直平分EE′，∴EN=NE′，∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，∴AM=EM=EN=AN=1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN=EO=1，AO=+1，∴AB=AO=2+，∴S△AEB=S△AED=S△ADE′=×1×（2+）=1+，S△BDE=S△ADB﹣2S△AEB=1+，∵DF=EF，∴S△EFB=，∴S△DEE′=2S△ADE﹣S△AEE′=+1，S△DFE′=S△DEE′=，∴S四边形AEFE′=2S△ADE﹣S△DFE′=，∴S四边形ABFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB=．故答案为．【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共6小题）17．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【考点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）直接把x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0求出m的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．18．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．解：∵△OBD∽△OAC，∴==，∴=，解得OA=6，∴AB=OA+OB=4+6=10．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．19．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是　2　；（3）当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．【考点】利用频率估计概率．【分析】（1）当n=1时，利用概率公式可得到摸到红球和摸到白球的概率都为；（2）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.25，根据概率公式得到=0.25，然后解方程即可；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同；（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25，则=0.25，解得n=2，故答案为2；（3）解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的结白色的结果共有2 种，所以两次摸出的球颜色不同的概率==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【考点】矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A +∠ABC +∠C=180°，∴x +2x +2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD ∽△ABC 是解题的关键．22．∵点A （3，1）在反比例函数y=x k的图象上∴k=3×1=3∴y=x 3-------------------------------------2分（2）∵A （3，1）∴OC=3，AC=1由△OAC ∽△BOC 得OC 2=AC•BC 可得BC=3，∴BA=4---------6分∴S ΔA O B =21×3×4=23∵S ΔA O P =21S ΔA O B∴S ΔA O P =3设P （m ，0）∴21×m ×1=3∴m =23∴m=-23或23∴P （-23，0）或（23，0）----------10分（3）E （-3，-1），点E 在反比例函数y=x 3的图象上，---11分理由如下：当x=-3时，133y -=-=∴点E 在反比例函数y=x 3的图象上.---------- -------------14分注：若说明∵（-3）×（-1）=3=k ，也可.。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．一元二次方程（x﹣3）2﹣4＝0的解是（）A．x＝5 B．x＝1 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x1＝1，x2＝52．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20，则AC为（）A．10 B．10﹣C．30﹣D．20﹣3．不解方程，判断方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为A．116B．18C．14D．125．下列语句中正确的是（）A．四边都相等的四边形是矩形B．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形C．菱形的对角线相等D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形6．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．210(1)36.4x+=B．21010(1)36.4x++=C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．21010(1)10(1)36.4x x++++=7．若关于x的方程(k－1)x 2+4x＋1=0有两不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5 B．k<5 C．k≤5且k≠1 D．k＜5且k≠18．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A 作AF△BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（）A．AD ACAC AB=B．AD CDCD BD=C．DE CDCD DG=D．EG BDEF BG=9．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝12，BD ＝16，点P 为边BC 上一点，且点P 不与点B 、C 重合．过点P 作PE△AC 于点E ，PF△BD 于点F ，连结EF ，则EF 的最小值为（ ）A ．4B ．4.8C ．5D ．610．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点.若60AOB ∠=︒，8AC =，则AB 的长为（ ）A ．4B ．C ．3D ．5二、填空题11．已知关于x 的一元二次方程20x x m ++=的一个根是x=1，那么这个方程的另一个根是 ．12．如图所示，在△ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF = 4：25，则DE ：EC=_____．13．在一个布袋中装有只有颜色不同的a 个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验和发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a 大约是____________.14．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm ，OA′=20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是_________．15．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是___.16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH△BC于点H，AH交OB于点E，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OE的长为_____．三、解答题17．用适当方法解下列方程（1）3（x+2）2＝x（2+x）；（2）2x2+3x﹣2＝0．18．已知关于的方程2220++-=.x x a（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．19．把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，方5，洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是；（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率． 20．在矩形ABCD 中，如图，AB=10，P 是边AB 上一点，把△PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点G ，过点B 作BE△CG ，垂足为E 且在AD 上，BE 交PC 于点F ．（1）求证：BP=BF ； （2）当BP=8时，求BE·EF 的值．21．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？22．EF 是平行四边ABCD 的对角线BD 的垂直平分线，EF 与边AD ，BC 分别交于点E ，F ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）若ED=5，BD=8，求菱形BFDE 的面积．23．如图，在ABCD □中，E M 、分别为AD AB 、的中点，DB AD ⊥，延长ME 交CD 的延长线于点N ，连接AN ．(1)证明：四边形AMDN 是菱形；(2)若45DAB ∠=︒，判断四边形AMDN 的形状，请直接写出答案．24．如图，矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝4，点P 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连结BP ，作PE△PB ，交射线DC 于点E ，以线段PE ，PB 为邻边作矩形BPEF ．过点P 作GH△CD ，分别交AB 、CD 于点G 、H ．（1）求证：△PGB△△EHP ；（2）求PE PB的值； （3）求矩形BPEF 的面积的最小值．25．如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥；()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．参考答案1．D2．A3．B4．C5．B6．D7．D8．D9．B10．A11．2x=-【详解】把x=1代入原方程得1+1+m=0，解得m=-2，△220+-=x x（x-1）(x+2)=0解得x1=1,x2=-2,故另一个解为x=-2【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.12．2：3【解析】【详解】试题分析：由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，利用两直线平行得到两对内错角相等，进而得到三角形DEF与三角形ABF相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方求出相似比，即可求出所求之比．解：△四边形ABCD为平行四边形，△DC△AB，DC=AB，△△EDF=△FBA，△DEF=△FAB，△△DEF△△BAF，△S△DEF：S△ABF=（DE）2：（AB）2=4：25，即DE：AB=2：5，△DE：DC=2：5，则DE ：EC=2：3，故答案为2：3【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．13．10【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】 解：由题意可得，2a=0.2， 解得，a=10．故估计a 大约有10个．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．14．1：2【解析】【分析】由五边形ABCDE 与五边形A B C D E '''''位似，可得五边形ABCDE ∽五边形A B C D E '''''，又由10OA cm =，20OA cm '=，即可求得其相似比，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案．【详解】 解：五边形ABCDE 与五边形A B C D E '''''位似，10OA cm =，'20OA cm =，∴五边形ABCDE ∽五边形A B C D E '''''，且相似比为：1:10:202OA OA '==，∴五边形ABCDE 的周长与五边形A B C D E '''''的周长的比为：1:2OA OA '=． 故答案为：1：2．【点睛】本题考查了多边形位似的知识．解题的关键是注意位似是相似的特殊形式与相似多边形的周长的比等于其相似比知识的应用．15．7【解析】根据线段中点的定义可得CG=DG ，然后利用“角边角”证明△DEG 和△CFG 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF ，EG=FG ，设DE=x ，表示出BF ，再利用勾股定理列式求EG ，然后表示出EF ，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF ，然后列出方程求出x 的值，从而求出AD ，再根据矩形的对边相等可得BC=AD ．【详解】△矩形ABCD 中，G 是CD 的中点，AB=8， △CG=DG=12×8=4， 在△DEG 和△CFG 中， 90D DCF CG DGDGE CGF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△DEG△△CFG(ASA)，△DE=CF ，EG=FG ，设DE=x ，则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x ，在Rt△DEG 中16，△EF=△FH 垂直平分BE ，△BF=EF ，△4+2x=解得x=3，△AD=AE+DE=4+3=7，△BC=AD=7.故答案为7.【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键在于综合运用勾股定理、全等三角形的性质解答即可.16．2.25【解析】【分析】依据菱形的面积，即可得到AH=4.8，进而得出BH的长，再根据相似三角形的对应边成比例，即可得到BE的长，进而得出OE的长．【详解】解：△菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝4，△BD＝8，又△S菱形ABCD＝24，△2 241BD AC，△AC＝6，CO＝3，△Rt△BCO中，BC＝5，又△AH△BC，△24BC AH，△ 4.8AH，△Rt ABH中，2222548 1.4BH AB AH．，△△EBH＝△CBO，△BHE＝△BOC＝90°，△△BEH△△BCO，△BH BE BO BC ，即1.445BE，△ 1.75BE，△4 1.75 2.25EO BO BE，故答案为：2.25．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质是解决问题的关键．17．（1）x1＝﹣2，x2＝﹣3；（2）x1＝-2，x2＝12【解析】【分析】（1）利用提公因式法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可．【详解】解：（1）△3（x+2）2＝x （2+x ），△3（x+2）2﹣x （2+x ）＝0，△（x+2）（3x+6﹣x ）＝0，△x+2＝0或2x+6＝0，△x 1＝﹣2，x 2＝﹣3；（2）△2x 2+3x ﹣2＝0，△（x+2）（2x -1）＝0，△x+2＝0或2x -1＝0，△x 1＝-2，x 2＝12．18．（1）3a <；（2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．【解析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.【详解】解：（1）△方程有两个不相等的实数根，△△=b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3，△a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得： 111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．19．（1）14；（2）图表见解析，13【分析】（1）根据概率的意义，从4张扑克牌中，任选一张，是红心的概率为14；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再求相应的概率即可．【详解】解：（1）从黑2，红3，梅4，方5这4张扑克牌中任摸一张，是红心的可能性为14，故答案为：14；共有12种等可能出现的结果，其中和大于7的有4种，所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为412＝13．【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法要不重复不遗漏所有可能的结果，概率=所求情况与总情况数之比.20．（1）见解析；（2）BE·EF=80.【解析】【分析】（1）利用折叠的性质，得出△PGC=△PBC=90°，△BPC=△GPC，进而判断出△GPF=△PFB 即可得出结论；（2）判断出△GEF△△EAB，即可得出结论．【详解】（1）在矩形ABCD中，△ABC=90°，△△BPC沿P折叠得到△GPC，△△PGC=△PBC=90°，△BPC=△GPC，△BE△CG，△BE△GP，△△GPF=△PFB，△△BPF=△BFP，△BP=BF；（2）连接GF，△△GEF=△BAE=90°，△BF△PG，BF=PG，△四边形BPGF是平行四边形，△BP=BF，△平行四边形BPGF是菱形，△BP△GF，△△GFE=△ABE，△△GEF△△EAB，△FE AB FG BE，△BE·EF=AB·GF=10×8=80．【点睛】主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质．21．(1) 4800元；(2) 降价60元【解析】【分析】（1）先求出降价前每件商品的利润，乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题．【详解】解：（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元），即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设每件商品应降价x元，由题意得（360－x－280）（5x＋60）＝7200，解得x1＝8，x2＝60，要更有利于减少库存，则x＝60，即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的销售问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．22．（1）见解析；（2）24【解析】【分析】（1）证△EOD△△FOB，得出EO=OF，根据四边形BFDE对角线垂直且相互平分得出菱形；（2）先根据菱形的性质，得出EF的长，然后利用菱形面积公式求解即可．【详解】（1）△四边形ABCD是平行四边形△AD△BC△△EDO=△FBO，△DEO=△BFO△EF是BD的垂直平分线△DO=BO，EF△BD△△EOD△△FOB(AAS)△EO=OF△BO=OD，EF△BD△四边形BFDE是菱形（2）△四边形BFDE是菱形，BD=8△BO=OD=4△ED=5，EF△BD△在Rt△EOD中，EO=3△OF=3，△EF=6△168242EBFDS=⨯⨯=菱形【点睛】本题考查菱形的证明和求菱形的面积，解题关键是通过全等得出EO=OF，从而证四边形EBFD是菱形．23．（1）证明见解析（2）正方形【分析】()1由平行四边形的性质可得DC//AB ，可得DAM NDA ∠∠=，可证NED △MEA ，可得AM ND =，可证四边形AMDN 是平行四边形，由直角三角形的性质可得AM MD =，可得四边形AMDN 是菱形；()2由菱形的性质可得DAB ADM 45∠∠==，可得AM DM ⊥，则四边形AMDN 是正方形．【详解】()1四边形ABCD 是平行四边形，DC//AB ∴DAM NDA ∠∠∴=，且DE AE =，NED AEM ∠∠=NED ∴△()MEA ASAAM ND ∴=，且CD//AB∴四边形AMDN 是平行四边形又BD AD ⊥，M 为AB 的中点，∴在Rt ABD 中，AM DM MB ==∴四边形AMDN 是菱形()2正方形理由如下：四边形AMDN 是菱形AM DM ∴=DAB ADM 45∠∠∴==，AMD 90∠∴=∴菱形AMDN 是正方形.故答案为（1）证明见解析（2）正方形.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用这些性质进行推理．24．（1）见解析；（2）34；（3）10825【分析】（1）通过已知条件求得△PBG＝△EPH，即可得证；（2）连接BE，求得△PBE＝△PCE，证明Rt△BPE△Rt△ADC，即可得到结果；（3）设AP的长为x，利用勾股定理求得AG，利用三角函数值求出AG，PG，再根据面积计算公式计算即可；【详解】（1）证明：△△PGB＝△EHP＝△BPE＝90°，△△PBG＝△EPH（同角的余角相等），△△PGB△△EHP；（2）解：连接BE，△PE△PB，△△BPE＝90°，△△BCE＝90°，△△BCE+△BPE＝180°，△P，B，E，C四点共圆，△△PBE＝△PCE，在Rt△BPE与Rt△ADC中，△D＝△BPE＝90°，△ACD＝△PBE，△Rt△BPE△Rt△ADC，△PE PB AD DC=，即34 PE ADPB DC==；（3）设AP的长为x．△AD＝3，AB＝4，△由勾股定理得到：AC5=，△cos△GAP＝45 AG ABAP AC==，△AG＝45AP＝45x．同理，sin△GAP＝35BC GPAB AP==，则GP＝35x．在Rt△PBG中，PB2＝BG2+PG2＝（4﹣45x）2+（35x）2＝x2﹣325x+16，△34PF AD PB DC ==． △PE ＝34PB ， △S 矩形BPEF ＝PB•PE ＝34PB 2＝34（x 2﹣325x+16）＝34（x ﹣165）2+10825， △0＜x ＜5，△x ＝165时，S 有最小值10825．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理和三角函数的概念，准确分析计算是解题的关键．25．（1）见解析；（2；（3）见解析 【解析】【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF△△DAB ，则有△E=△ADB ，进而证得△EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x ，利用矩形性质知AF△BC ，则有EA AF EB BC=，进而得到x 的方程，解之即可； （3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明△EHA△△DGA ，得到△EAH=△DAG ，AH=AG ，则证得△HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．【详解】（1）△四边形ABCD 是矩形，△△BAD=△EAD=90º，AO=BC ，AD△BC ，在△EAF 和△DAB ，AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EAF△△DAB(SAS)，△△E=△BDA ，△△BDA+△ABD=90º，△△E+△ABD=90º，△△EGB=90º，△BG△EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ，△AF△BC ，△E=△E ，△△EAF△△EBC ， △EAAFEB BC =，又AF=AB=1， △11xx x =+即210x x --=，解得：x =，x =（舍去）即；（3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ，在△EAH 和△DAG ，AE ADHEA GDA EH DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EAH△△DAG(SAS)，△△EAH=△DAG ，AH=AG ，△△EAH+△DAH=90º，△△DAG+△DAH=90º，△△HAG=90º，△△GAH 是等腰直角三角形，△222AH AG GH +=即222AG GH =，，△GH=EG -EH=EG -DG ，△EG DG -．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．。

北师大版2022～2023学年九年级数学第一学期期中质量检测题（ 分值：150分）本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本题共15个小题，每题只有一个正确答案，每小题4分，共60分）1． 菱形不具备的性质是（ ）A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2． 已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）A ．∠A＝∠B B ．∠A＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB⊥BC3．解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（ ）A ．（x+4）2=11B ．（x﹣4）2=11C ．（x+4）2=21D ．（x﹣4）2=214．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M 与N 的大小关系正确的为（ ）A ．M ＞NB ．M=NC ．M ＜ND ．不确定5．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）　A ．21B ．41C ．61D ．1216.在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是（ ）A ．12B ．9C ．4D ．37.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =6，BD =3，AE =4，则EC 的长为（ ）A.1 B .2 C.3 D. 4第7题 图 第8题 图 第9题图 第10题图8.如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ）A ．∠ABD ＝∠ACB B ．∠ADB ＝∠ABC B ．AB 2＝AD •AC D ．AD AB AB BC=9．如图，点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：110.如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)11.已知点A （-2，y 1），B （-3，y 2）是反比例函y=x 6-图象上的两点，则有（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1＝ y 2 D.不能确定12.函数xa y ＝（0≠a ）与a ax y －＝（0≠a ）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）13.某村耕地总面积为 50 公顷，且该村人均耕地面积 y （单位：公顷/人）与总人口x （单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B ．该村人均耕地面积 y 与总人口 x 成正比例C ．若该村人均耕地面积为 2 公顷，则总人口有 100 人A CBD ．当该村总人口为 50 人时，人均耕地面积为 1 公顷14. 如图，菱形ABCD 的边AD⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数()0,0y >≠=x k x k 的图象同时经过顶点C.D ，若点C 的横坐标为5，BE=3DE.则k 的值为( ) A.25B.3C.415D.515.如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE 2+PF 2=PO 2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP 时，点P 是AB 的中点.其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共7个小题，每题4分，共28分）16.若3x=5y ，则y x = ；已知0,2≠++===f d b f e d c b a 且，则fd be c a ++++= .17. 一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是 .18.把长度为20cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是________cm ．（结果保留根号）19.如图所示，一个底面为等边三角形的三棱柱，底面边长为2，高为4，如图放置，则其左视图的面积是 .主视图 俯视图 左视图20.如下图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，实验学校“玩转数学”社团做了如下的探索：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB ）9米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.8米，则树（AB）的高度为____________米.第20题图第21题图21．如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为．22.如图，在RT△A BC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．当t= 秒时△APQ与△ABC相似.三.解答题23.（8分）同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为多少米？24.（8分）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖.（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率.25.（8分）如图，在△ABC 中, 点D,E 分别是AB,AC 边上的两点，且AB=8,AC=6,AD=3,AE=4,DE=6,求BC 的长.26.（12分）如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E 、H 分别在AB 、AC 上，已知BC=40cm ，AD=30cm ．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积.27.（12分）如图，已知反比例函数x k y =与一次函数b x y +=的图象在第一象限相交于点A （1，4+-k ）.（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数的另一个交点B的坐标，并求出△AOB的面积.（3）直接写出当反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围.28（14分）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．数学试题答案一选择题1—5BB DB C 6～10 ABDBA 11～15 AADCB二填空题16. 35 217. 用A 和a 分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；12用B 和b 分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa 、Ab 、Ba 、Bb ．所以颜色搭配正确的概率是．1218. （105—10） 注：无括号也不再扣分19. 4320. 621. 622. 13501130或三解答题23.解设电线杆高x 米，由题意得：x 1.6=91.2 ---------------------------------------------------5分 X=12 ---------------------------------------------------7分答：电线高为12米 --------------------------------------------------8分24.解：（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率=433 =73；---------------------------------------------2分（2）画树状图为：---------------5分共有12种等可能的结果数，------------------------6分其中刚好是一男生一女生的结果数为6，----------------------------7分所以刚好是一男生一女生的概率==．----------------------8分25解：∵，-------------------------------1分， -----------------------------------2分∴AC AD =AB AE-------------------------------------3分∵∠A=∠A ，---------------------------------4分∴△ADE ∽△ACB.----------------------------------5分∴21==AC AD BC DE 即216=BC --------------------------------------7分∴BC=12---------------------------------------------8分26解：（1）证明：∵四边形EFGH 是正方形，∴EH ∥BC ，-----------------------1分∴∠AEH=∠B ，----------------------2分∠AHE=∠C ，-----------------------3分∴△AEH ∽△ABC ．-------------------4分（2）解：如图设AD 与EH 交于点M ．-----------------------5分∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM 是矩形，∴EF=DM ，设正方形EFGH 的边长为x ，-------------------6分∵△AEH ∽△ABC ，∴=，-------------------------------------------8分∴=，-------------------------------------10分∴x=，-----------------------------------------11分∴正方形EFGH 的边长为cm ，面积为cm 2．------------------------12分27题（1）∵点A （1，4k -+）在反比例函数k y x =的图象上∴=4k k -+解得=2k ----------------------------------------------------1分∴A （1，2）∵点A （1，2）在一次函数y x b =+的图象上∴12b +=解得1b =-----------------------------------------2分反比例函数的解析式为2y x =，一次函数的解析式为1y x =+-------4分（2）解方程组12y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =⎧⎨=⎩∵点B 在第三象限 ∴点B 坐标为2-1------------------6分∵1y x =+，当0y =时1x =-∴点C 坐标为1-0------------7分∴S △A O B =23-----------------------------10分（3）x<- 2或0<x<1----------------------------------12分注：写出一种情况给1分28题已知：如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=3cm ，点P 由B 点出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为2cm/s ；点Q 由A 点出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为cm/s ；若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先根据勾股定理求出AB，再用△APC∽△ACB，得出，即：，求出时间；（2）先用垂直平分线的性质得出QM=CM=CQ=（3﹣t），然后用平行线分线段成比例建立方程求出结论；（3）先由平行四边形的性质建立方程求出时间t，即求出PQ，PB，即可得到PQ≠PB判断出四边形PQGB不可能是菱形．解：（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，∴AB=6，由运动知，BP=2t，AQ=t，∴AP=6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴，∴，∴t=；（2）存在，理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ=t，∴AP=6﹣2t，CQ=3﹣t，∵点P是CQ的垂直平分线上，∴QM=CM=CQ=（3﹣t），∴AM=AQ+QM=t﹣（3﹣t）=（t﹣1）过点P作PM⊥AC，∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，∴，∴，∴t=或t=（舍），∴t=．（3）不存在，理由：由运动知，BP=2t，AQ=t，∴AP=6﹣2t，假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，∴PQ∥BG，PQ=BG，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴t=，PQ=，∴BP=2t=3，∴PQ≠BP，∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解本题的关键是用方程的思想解决问题．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题(共36分)1．(本题3分)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不相同的几何体是（）A．①②B．②③C．②④D．③④2．(本题3分)将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（）A．B．C．D．3．(本题3分)在如图所示的图形中，形状相同的是（）A．图①与图②B．图②与图③C．图②与图④D．图①与图④4．(本题3分)如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为()A ．3B ．3或43C ．3或34D ．435．(本题3分)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF=DE ，连接CF ，则CEF BCED S S 四边形：的值为（）A ．1：3B ．2：3C ．1：4D ．2：56．(本题3分)如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB ．若NF =NM=2，ME =3，则AN =A ．3B ．4C ．5D ．67．(本题3分)如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A 向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（）A ．主视图改变，俯视图改变B ．主视图不变，俯视图不变C ．主视图不变，俯视图改变D ．主视图改变，俯视图不变8．(本题3分)如图所示，在长为8cm ，宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是()A ．2cm 2B ．4cm 2C ．8cm 2D ．16cm 29．(本题3分)如图，等腰ABC 中，腰AB a =，A 36∠= ，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ．设51k 2=，则DE =（）A ．k 2aB ．k 3aC ．2ak D ．3ak 10．(本题3分)某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如图所示，则该几何组合体的俯视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．11．(本题3分)已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（）A ．11B ．0C ．7D ．-712．(本题3分)四边形ABCD 是面积为1的正方形；点P 为正方形内一点，且△PBC 为正三角形，那么△PBD 的面积是（）A ．3+1B ．3−1C ．3−2D ．3+2二、填空题(共15分)13．(本题3分)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为__________．14．(本题3分)如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为_______cm2．（结果可保留根号）15．(本题3分)如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝4，AE＝5，BC ＝8，则AB的长为________16．(本题3分)如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是____．17．(本题3分)△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；④△ADE的周长与△ABC 的周长之比为1：4；其中正确的有_____．（只填序号）三、解答题(共69分)18．(本题7分)如图，PN BC ∥；AD BC ⊥，交PN 于点E ，交BC 于点D ．（1）若12AP PB =，218cm ABC S =△，求APN S △的值.（2）若1=2APN PBCN S S 四边形△，求AE AD的值.（3）若15BC =cm ，10AD =cm ，且PN ED x ==cm ，求x 的值.19．(本题7分)四张形状相同的卡片如图，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片，记下数字为x ；小亮再随机抽一张卡片，记下数字为y.两人在此基础上共同协商一个游戏规则：当x y >时小明获胜，否则小亮获胜.（1）若小明抽出的卡片不放回，求小明获胜的概率.（2）若小明抽出的卡片放回后小亮再随机抽取，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由.20．(本题7分)用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：（1）求,,a b c 的值；（2）这个几何体最少有几个小立方体搭成，最多有几个小立方体搭成；（3）当2,1,2d e f ===时画出这个几何体的左视图.21．(本题8分)如图，现有一物体CD 在路灯AB 的灯泡（图上点A 处）的照射下，影子顶端正好落在墙脚的点Q 处.已知路灯AB 距物体CD 7.5m ，物体CD 的高为3m ，其影子长为5m.假如另有一高6m 的物体EF 在路灯AB 与物体CD 之间，EF 距路灯AB 2.9m ，问物体EF 的影子是否会落在墙PQ 上.22．(本题8分)（2013衡阳）如图，P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，垂足分别为点E 、F ，已知AD ＝4．证明：AE 2＋CF 2的值是一个常数．23．(本题8分)如图，在ABC 中，90B ∠=︒，6AB =cm ，3BC =cm ，点P 从点A 开始沿着AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P 、点Q 分别从点A 、点B 同时出发，只要点P 、点Q 有一点到达△ABC 的顶点便同时停止运动，经过多长时间，点P 、点Q 之间的距离等于？24．(本题8分)如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD ．连接MF ，NF ．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．25．(本题8分)如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看，水塔不见了.他心里很是纳闷.经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6.m.小张要想看到水塔；他与教学楼之间的距离至少应有多少米？26．(本题8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE（1）求证：AB⊥AE；（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．参考答案1．B2．D3．D4．B5．A6．B7．C8．C9．B10．C11．A12．B13．27．14．（+360）．15．1016．1617．①②③18．（1）22cm APN S =△（2）3AE AD =；（3）6.19．（1）12；（2）不公平.20．（1）a=3,b=1,c=1.（2）9个，11个.（3）详见解析21．物体EF 的影子会落在墙PQ 上.22．见解析23．0.4s24．（1）见解析；（2）见解析.25．小张与教学楼的距离至少应有55.2米.26．（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE ，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE ，然后根据“SAS”可判断△BCD ≌△ACE ，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．。

2022-2023学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列选项中，矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A．对边平行且相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分2．下列方程是一元二次方程的是（ ）A．（x+1）（x﹣1）＝0B．x2﹣3＝（x﹣1）2C．D．x2+42＝y23．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形4．观察表格中的数据得出方程x2+12x﹣15＝0的一个根的十分位上的数字应是（ ）x1 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.84 2.29 3.76 A．1B．2C．3D．45．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（ ）A．7B．6C．5D．46．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）A．2B．1C．0D．﹣17．如图，将直角边AC＝6cm，BC＝8cm的直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）A．B．C．D．8．如果长方形的周长为4a，一边长为a+b，则另一边长为（ ）A．3a﹣b B．2a﹣2b C．a﹣b D．a﹣3b二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝x+1化为一般形式是 ．10．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AB边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于 ．11．已知（a﹣2）x2+（a﹣1）x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a满足的条件是 ．12．某商品经过两次涨价，由每件81元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为 ．13．如图，边长为8的正方形ABCD中，E为CD边上一点，且DE＝2，M是对角线AC上的一个动点，则DM+EM的最小值为 ．14．如图，一个点在第一，四象限及x轴上运动，在第1次，它从原点运动到点（1，﹣1），用了1秒，然后按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（1，﹣1）→（2，0）→（3，1）→…，它每运动一次需要1秒，那么第2019秒时点所在的位置的坐标是 ．三．解答题（共8小题，满分78分）15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a和∠α．求作：菱形ABCD，使一个内角∠B＝∠α，边长等于a．16．解下列方程：（1）x（x+5）＝24；（2）（y+3）（1﹣3y）＝1+2y2；（3）（1997﹣x）2+（x﹣1996）2＝1．17．正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，求证：AE⊥BF．18．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长至F，使EF ＝BE．求证：DF∥AC．20．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：普通口罩N95口罩进价（元/包）820售价（元/包）1228按表中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．21．【问题背景】如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，＝＝【问题应用】如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD，（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在△ABC内部作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．（1）判断△EFC的形状，并给出证明．（2）若AE＝5，CE＝2，求BF的长．22．如图，在△ABC中，AC＝50cm，CB＝40cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s（s为秒）的速度移动，同时，另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边向点B移动，当一动点到达终点时，另一点也随之停止移动．几秒钟后，△PCQ的面积等于450cm2？参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有自己独有的性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线相等，故选：C．2．解：A．（x+1）（x﹣1）＝0属于一元二次方程，符合题意；B．x2﹣3＝（x﹣1）2化简后得到一个一元一次方程，不合题意；C.＝0不是整式方程，属于分式方程，不合题意；D．x2+42＝y2，属于二元二次方程，不合题意；故选：A．3．解：已知：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD；故选B．4．解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59；x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84，∴方程x2+12x﹣15＝0的一个根在1.1和1.2之间．故选：A．5．解：设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，根据题意得：x[x﹣（8﹣x）]＝24，解得：x＝6或x＝﹣2（舍去），故选：B．6．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+3＝0有实数根，∴a﹣1≠0，且△≥0，即Δ＝22﹣4（a﹣1）×3＝16﹣12a≥0，解得a≤，∴a的取值范围为a≤且a≠1，所以整数a的最大值是0．故选：C．7．解：设CD＝x，则DE＝8﹣x，∵△BDE是△ADE沿直线DE翻折而成，∴AD＝BD＝8﹣x，∵△ACD是直角三角形，∴AC2＝AD2﹣CD2，即62＝（8﹣x）2﹣x2，解得x＝．故选：C．8．解：根据题意得：4a÷2﹣（a+b）＝2a﹣a﹣b＝a﹣b，故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．解：x2+3x﹣2x﹣6＝x+1，x2+3x﹣2x﹣6﹣x﹣1＝0，x2﹣7＝0．故答案为：x2﹣7＝0；10．解：∵菱形ABCD的周长等于24，∴AB＝＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵H为AB边中点，∴在Rt△AOB中，OH为斜边上的中线，∴OH＝AB＝3．故答案为：3．11．解：∵（a﹣2）x2+（a﹣1）x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，∴a满足的条件是：a≠2．故答案为：a≠2．12．解：设平均增长率为x，根据题意得：81（1+x）2＝100．故答案为：81（1+x）2＝100．13．解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OB，即D、B关于AC对称，∴DM＝BM，连接BE交AC于M，则此时DM+ME最小，∴DM＝BM，∴DM+ME＝BM+ME＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝8，CE＝8﹣2＝6，由勾股定理得：BE＝＝10，∴DM+ME＝BE＝10．故答案为：10．14．解：∵（0，0）→（1，﹣1）→（2，0）→（3，1）→…，第4秒时点所在位置的坐标是：（4，0），∴第5次运动点的坐标为：（5，﹣1），第6次运动点的坐标为：（6，0），第7次运动点的坐标为：（7，1），第8次运动点的坐标为：（8，0），∴质点的横坐标为：等于运动次数，纵坐标从﹣1，0，1，0依次循环，∴第2019秒时点所在位置的坐标是：横坐标为：2019，∵2019÷4＝504…3，纵坐标为：1，∴第2019秒时点所在位置的坐标是：（2019，1）．故答案为：（2019，1）．三．解答题（共8小题，满分78分）15．解：如图菱形ABCD即为所求．16．解：（1）x2+5x﹣24＝0，（x+8）（x﹣3）＝0，x+8＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣8，x2＝3；（2）5y2+8y﹣2＝0，△＝82﹣4×5×（﹣2）＝4×26，y＝＝，所以y1＝，y2＝；（3）设x﹣1996＝t，则原方程化为（t﹣1）2+t2＝1，整理得t2﹣t＝0，解得t1＝0，t2＝1，当t＝0时，x﹣1996＝0，解得x＝1996，当t＝1时，x﹣1996＝1，解得x＝1997，所以x1＝1996，x2＝1997．17．证明：在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠1＝∠3，又∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠AGB＝90°，即AE⊥BF．18．解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x）＝60，化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）＝0．解得x1＝1，x2＝8（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度是1m．19．证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，而BE＝EF，∴OE∥DF，即AC∥DF．20．解：设普通口罩每包售价为x元，则每包的销售利润为（x﹣8）元，日均销售量为120+20（12﹣x）＝（360﹣20x）包，依题意得：（x﹣8）（360﹣20x）＝320，整理得：x2﹣26x+160＝0，解得：x1＝10，x2＝16，又∵该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，∴x＝10．答：此时普通口罩每包售价为10元．21．解：【问题应用】如图2，（1）∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠CAE，在△DAB和△EAC中，∵，∴△DAB≌△EAC，（2）结论：CD＝AD+BD．理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．如图3，（1）证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA＝BD＝BC，∵E、C关于BM对称，∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC＝∠AEC＝120°，∴∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形，（2）∵AE＝5，EC＝EF＝2，∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，∴＝cos30°，∴BF＝＝3．22．解：设x秒后，△PCQ的面积等于450m2，有：（50﹣2x）×3x＝450，∴x2﹣25x+150＝0，∴x1＝15，x2＝10．当x＝15s时，CQ＝3x＝3×15＝45＞BC＝40，即x＝15s不合题意，舍去．答：10秒后，△PCQ的面积等于450cm2．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝10B．（x﹣3）2＝8C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣3）2＝1 2．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+1=0B．y2+x=1C．x2+1=0D．1x+x2=13．若点C是线段AB的中点，则CA与BA的比值是（）A．1B．2C．12D．234．平行四边形ABCD如图所示，E为AB上的一点，F、G分别为AC与DE、DB的交点．若:3:2AB AE ，则四边形BGFE与ABCD的面积之比为（）A．7:60B．8:70C．5:43D．3:265．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且∠ADF=45°．则下列结论：①AE=BE；②△BED∽△ABC；③BD2=AD⋅DE；④，其中正确的有（）A．①④B．②③④C．①②③D．①②③④6．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A ．13B ．14C ．16D ．187．小芳掷一枚硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上的概率为（）A ．711B ．12C ．811D ．18．若0是关于x 的一元二次方程mx 2＋5x ＋m 2－m ＝0的一个根，则m 等于（）A ．1B ．0C ．0或1D ．无法确定9．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，AB BC＝23，DE ＝3，则DF 的长为（）A ．2B ．4.5C ．3D ．7.510．如图，已知ABC 与DEF 位似，位似中心为点O ，ABC 的面积与DEF 面积之比为16：9，则:CO OF 的值为（）A ．3：4B ．4：7C ．4：3D ．7：411．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，点E 在CD 上，AE ＝AB ，则∠ABE 的度数为（）A ．60°B ．70°C ．72°D ．75°12．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN ．若四边形MBND 是菱形，则AMMD等于（）A ．35B ．23C ．38D ．45二、填空题13．若23x y =，则x y y+的值为_____．14．方程x 2＝3x 的解为：_____．15．已知关于x 的一元二次方程（k ＋1）x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是________．16．如图，等边△EFG 的顶点分别在矩形ABCD 的边AD 、AB 、CD 上，若AE ＝1，DE ＝4，则DG 的值为________．三、解答题17．解方程：()()2323x x x -=-18．先化简，再求值：22122()121x x x xx x x x ----÷+++，其中x 满足x 2－2x －2=0.19．在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从盒中提出1子，则提出黑子的概率是多少？（2）随机地从盒中提出两子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．20．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．（1）求证四边形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．21．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．650cm，求丝绸花边的宽度；（1）若丝绸花边的面积为2（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元所获利润为22500元．22．已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若△ABC是边长为4的正三角形，求四边形AODE的面积．23．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．(1)求该公司销售A产品每次的增长率；(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？24．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是对角线BD上一点．(1)如图1，当CE⊥BD时，求CE的值；(2)如图2，当△BCE为等腰三角形时，直接写出DE的值；(3)如图3，当点F 在AB 边上，且四边形CEFG 为矩形，连接BG ．①EFCE的值是否为定值？如果是，请求出此定值；若不是，请说明理由；②请直接写出BG 的最大值．参考答案1．A 2．C 3．C 4．A 5．D 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A 13．5314．x 1＝0，x 2＝315．k≤0且k≠－116．17．13x =-或23x =18．1219．（1）34；（2）12．20．（1）见解析；（2）25．【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质即可证明四边形AECF是正方形；（2）根据菱形ABCD的性质和BD＝4，BE＝3，DF＝BE，可得EF=10，OA=5，进而可得菱形ABCD的面积．【详解】证明：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∵BE=DF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；∵∠AED＝45°，∴∠OAE=90°-45°=45°=∠AED，∴OA=OE，∴AC=EF，∴四边形AECF是正方形；（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，BE＝3，DF＝BE，∴EF=BE+BD+DF=2BE+BD=10，∴OE=12EF=5，∵∠AED＝45°，AC⊥EF，∴OA=tan AED∠·OE=tan45︒·5=5，∴AC=10，∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×10×5=25．故答案为：25．21．（1）5cm；（2）75元．【解析】（1）设花边的宽度为x cm，根据题意得：(60－2x)(40－x)＝60×40－650，然后求解即可；（2）设每件工艺品降价x元出售，根据题意直接列方程求解即可．【详解】解：（1）设花边的宽度为x cm，根据题意得：(60－2x)(40－x)＝60×40－650，整理得x2－70x＋325＝0，解得：x＝5或x＝65(舍去)．答：丝绸花边的宽度为5cm．（2）设每件工艺品降价x元出售，由题意得：(100－x－40)(200＋20x)－2000=22500解得：1225x x==；∴售价为100－25＝75(元)．答：当售价定为75元时能达到利润22500元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后进行求解即可．22．（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出AC BD⊥，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE 是矩形；（2）由ABC ∆是等边三角形，得出122OA AC ==，由勾股定理得出OB =得出OD OB ==AODE 的面积．【详解】（1）证明：//DE AC ，//AE BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，∴平行四边形AODE 是矩形，故四边形AODE 是矩形；（2）解：∵ABC ∆是等边三角形，∴OA=AB=BC=4，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，OA=OC ，OB=OD.1422OA ∴=⨯=，∴OD=OB ===∴四边形AODE 的面积122OA OD =⨯== ．【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．23．(1)该公司销售A 产品每次的增长率为50%(2)每套A 产品需降价1万元【解析】（1）设该公司销售A 产品每次的增长率为x ，利用增长率表示4约分销售量为20（1＋x ）2根据4月份销量等量关系列方程即可；（2）设每套A 产品需降价y 万元，则平均每月可售出（30＋802y）套，求出每套利润，根据每套利润×销售套数=70万，列方程求解即可．(1)解：设该公司销售A 产品每次的增长率为x ，依题意，得：20（1＋x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5（不合题意，舍去）．答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．(2)解：设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30＋802y）套，依题意，得：（2－y）（30＋802y）＝70，整理，得：4y2－5y＋1＝0，解得：y1＝14，y2＝1，∵尽量减少库存，∴y＝1．答：每套A产品需降价1万元．24．（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，∵CF⊥CE，∴∠4+∠3=90°，∴∠2=∠4，∴△CDE∽△CBF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∵B 为AF 的中点，∴BF=AB ，∴设CD=BF=x ，∵△CDE ∽△CBF ，∴CD DE CB BF =，∴13x x=，∵x>0，∴即：25．(1)CE ＝245(2)DE 的值为5或4或145(3)①是，EF CE 的值为34；②BG 最大值为245【解析】（1）勾股定理求得BD ，进而根据等面积法即可求得CE 的值；（2）当△BCE 为等腰三角形时，分,,BC BE CB CE EC EB ===三种情况分析讨论；（3）①过E 作AB 、CD 的垂线，交CD 于M ，交AB 于N ，则四边形MCBN 是矩形，进而证明MCE NEF ∽，可得EF CE ＝EN CM ，由tan DBA ∠=EN BN ＝AD AB ＝34，CM BN =，即可求得EF CE 为定值；②证明△CDE ∽△CBG ，BG DE ＝BC CD ＝34，BG ＝34DE ，求BG 最大值，即求DE 最大值，又DE 在△CDE 中，当CE 取最小值即CE ⊥BD 时，DE 取最大值为325，则BG 最大值为34DE ．(1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BCD ∠=︒在Rt BCD 中，AB ＝8，BC ＝6，∴10BD ==1122BDC S BC DC DB EC =⋅=⋅ △4824105DC BCCE DB ⋅∴===∴CE ＝245；(2)①当BC BE =时，如图，6BC BE == 1064DE BD BE ∴=-=-=②当CB CE =时，如图，过点C 作CH BD ⊥于点H ，由（1）可得245CH =由cos BC BHDBC BD BC∠==则23618105BC BH BD ===,CB CE CH BD=⊥ 3625BE BH ∴==36141055DE BD BE ∴=-=-③当EC EB =时，如图，则ECB EBC∠=∠90EBC BDC ECB ECD ∠+∠=∠+∠=︒ EDC ECD∴∠=∠DE CE∴=152DE EB BD ∴===综上所述，DE 的长为5或4或145；(3)①是，EFCE 的值为34，如图，过E 作AB 、CD 的垂线，交CD 于M ，交AB 于N ，90CME ENF ∴∠=∠=︒，四边形MCBN 是矩形∴90CEM MCE ∠+∠=︒，MC BN= 四边形CEFG 是矩形90CEF ∴∠=︒90CEM NEF ∴∠+∠=︒MCE NEF∴∠=∠MCE NEF∴ ∽∴EF CE ＝ENCMtan DBA ∠= ENBN ＝AD AB ＝34；MC BN=∴EFCE ＝ENCM ＝ENBN ＝ADAB ＝34；②由①知EF ADEC AB=,,EF CG AD BC AB CD=== CGBCCE CD∴=又90DCE ECB BCG∠=︒-∠=∠∴△CDE∽△CBG，∴BGDE＝BCCD＝34，∴BG＝34DE，求BG最大值，即求DE最大值，又DE在△CDE中，当CE取最小值即CE⊥BD时，由（2）可知183255 DE DB=-=∴DE取最大值为32 5．∴BG最大值为34DE＝332=45⨯245．。

2022-2023学年北师大版九年级数学上学期期中测试调研卷【满分：120分】一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知x m =是一元二次方程2310x x -=-的一个根，则代数式232022m m --的值为( )A.-2021B.-2023C.2021D.20232.下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.2,3,2,3a b c d ==== B.4,6,5,10a b c d ==== C.2,5,23,15a b c d ==== D.2,3,4,1a b c d ====3.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.344.如图,已知////a b c ,直线m 分别交直线,,a b c 于点,,A B C ,直线n 分别交直线,,a b c 于点,,D E F .若12AB BC =,则DE EF=( )A.13B.12C.23D.15.一元二次方程2210x mx --=的根的情况是( )A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.无法确定 6.如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是( )A.13B.23C.12D.17.如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE AD =，连接EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB BE =B.BE DC ⊥C.90ADB ∠=︒D.CE DE ⊥8.一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中红球的个数为( )A.11B.15C.19D.219.如图，菱形ABCD 的边长为2，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，则PE PF +的最小值是( )A.2 3 C.1.5 510.已知实数x 满足()()2222122130x x x x -++-+-=,那么221x x -+的值为( ) A.-1或3 B.-3或1 C.3 D.111.如图，在方形ABCD 中，4AB =，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折，得到BFE ，连接DF ，则DF 的长度是( )A.55B.55C.355D.5512.如图是清代李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”.四边形ABCD ,四边形EBGF ,四边形HNQD 均为正方形,,,BG NQ BC 是某个直角三角形的三边,其中BC 是斜边,若:8:9HM EM =,2HD =,则AB 的长为( )A.114B.2910C.3D.22二、填空题：（每小题3分，共18分）13.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若5AB =，4AC =cm ，则BD 的长为________cm.14.如图，在正方形ABCD 中，以AB 为边在正方形内作等边ABE ，连接DE ，CE ，则CED ∠的度数为__________.15.如图，两个相同的可以自由转动的转盘A 和B ，转盘A 被三等分，分别标有数字2，0，-1；转盘B 被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3.如果同时转动转盘A ，B ，转盘停止时，两个指针指向转盘A ，B 上的对应数字分别为x ，y （当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点(,)x y 落在直角坐标系第二象限的概率是________.16.如图,在平面直角坐标系中,ACE △是以菱形ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形, 2AC =,点C 与点E 关于x 轴对称,则点D 的坐标是____________.17.如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，点E 是AB 的中点，矩形BCDE 的边DE 与AC 交于点F ，连接BD .点G 是AF 的中点，点H 是BD 的中点，连接GH ，则线段GH 的长为______________.18.关于x 的一元二次方程2240x mx m ++=有两个不同的实数根1x ，2x ，且2212316x x +=，则m =__________. 三、解答题（本大题共8小题，共计66分，解答题应写出演算步骤或证明过程）19.（6分）已知，在一个盒子里有红球和白球共10个，它们除颜色外都相同，将它们充分摇匀后，从中随机抽出一个，记下颜色后放回.在摸球活动中得到如下数据： 摸球总次数50 100 150 200 250 300 350 400 450500摸到红球的频数17 32 44 64 78 _____ 103 122 136 148 摸到红球的频率0.34 0.32 0.293 0.32 0.312 0.32 0.294 _____ 0.302 _____ .（2）根据上表，完成折线统计图.（3）请你估计，当摸球次数很大时，摸到红球的频率将会接近_________（精确到0.1）.20.（6分）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，连接CE 并延长，交DA 的延长线于点F .（1）求证：AEF BEC ≅△△；（2）若4CD =，30F ∠=︒，求CF 的长.21.（8分）“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2019年种植64亩，到2021年的种植面积达到100亩.（1）求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率.（2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元.若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？22.（8分）某班甲、乙两名同学被推在到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首.游戏规则如下；在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a .在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b .然后计算这两个数的和，即a b +.若a b +为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》.（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求(,)a b 所有可能出现的结果总数；（2）你认为这个游戏公平吗?如果公平，请说明理由;如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中?23.（8分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AD =，BAD ∠的平分线AE 交BC 于点E ，连结DE .（1）求证：四边形ABED 是菱形.（2）连结BD .若2CE BE =，4AE =，6BD =，则CDE △的面积是_________.24.（8分）阅读材料，解答问题：材料1：为了解方程222()13360x x -+=，如果我们把2x 看作一个整体，然后设2y x =，则原方程可化为213360y y -+=，经过运算，原方程的解为12x =，22x =-，33x =，43x =-.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.材料2：已知实数m ，n 满足210m m --=，210n n --=，且m n ≠，显然m ，n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知1m n +=，1mn =-. 根据上述材料，解决以下问题：（1）解方程22211120()()x x +--=-；（2）已知实数a ，b 满足22630a a +=-，22630b b +=-且a b ≠，求11a b+的值. 25.（10分）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上.（1）求证：ADE CDG ≅△△；（2）若2AE BE ==，求BF 的长.26.（12分）有公共顶点A 的正方形ABCD 与正方形AEGF 按如图1所示放置，点E ，F 分别在边AB 和AD 上，连接BF ，DE ，M 是BF 的中点，连接AM 交DE 于点N .【观察猜想】(1)线段DE 与AM 之间的数量关系是____________，位置关系是_________；【探究证明】(2)将图1中的正方形AEGF 绕点A 顺时针旋转45°，点G 恰好落在边AB 上，如图2，其他条件不变，线段DE 与AM 之间的关系是否仍然成立？并说明理由.答案以及解析1.答案：A 解析：m 是一元二次方程2310x x --=的一个根，231m m ∴-=，232022*********m m --=-=-∴，故选：A.2.答案：C解析：把各选项中的数值分别按照从小到大的顺序排列,若最小乘最大等于中间两项之积,则成比例;反之,则不成比例选项A,B,D 中不成比例,选项C 中,215523=,符合题意.3.答案：A解析：根据题意列表如下：红 绿 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，绿）有1种，故所求概率为14. 4.答案：B解析：////a b c ,直线m 分别交直线,,a b c 于点,,A B C ,直线n 分别交直线,,a b c 于点,,D E F ,12DE AB EF BC ∴==,选B. 5.答案：B解析：22()42(1)8m m --⨯⨯-=∆=+，又20m ≥，280m ∴+>，即0∆>，∴一元二次方程2210x mx --=有两个不相等的实数根，故选：B.6.答案：B解析：把1S 、2S 、3S 分别记为A 、B 、C ，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB 、AC 、BA 、CA ，∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为4263=，故选：B. 7.答案：B 解析：四边形ABCD 为平行四边形， //AD BC ∴，AD BC =，又AD DE =，//DE BC ∴，且DE BC =，∴四边形BCED 为平行四边形，A.AB BE =，DE AD =，BD AE ∴⊥，DBCE ∴为矩形，故本选项不符合题意； B.对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；C.90ADB ∠=︒，90EDB ∴∠=︒，DBCE ∴为矩形，故本选项不符合题意；D.CE DE ⊥，90CED ∴∠=︒，DBCE ∴为矩形，故本选项不符合题意，故选：B.8.答案：D解析：设盒子中红球的个数为m ，利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，则930%9m=+，解得21m =.所以估计这个不透明的盒子中红球的个数为21. 9.答案：A解析：如图，取AB 是中点T ，连接PT ，FT .四边形ABCD 是菱形，//CD AB ∴，CD AB =， DF CF =，AT TB =， DF AT ∴=，//DF AT ，∴四边形ADFT 是平行四边形，2AD FT ∴==，四边形ABCD 是菱形，AE DE =，AT T =，∴E ，T 关于AC 对称，PE PT ∴=，PE PF PT PF ∴+=+， 2PF PT FT +≥=， 2PE PF ∴+≥， PE PF ∴+的最小值为2.故选：A. 10.答案：D解析：设221x x a -+=.(()22221)22130xx x x -++-+-=,2230a a ∴+-=,解得3a =-或1.当3a =-时,2213x x -+=-,即2(1)3x -=-,此方程无解；当1a =时,2211x x -+=,此时方程有解.故选D. 11.答案：D解析：如图，连接CF ，交BE 于H ，在正方形ABCD 中，4AB =，E 是CD 的中点，4,2,90BC CD CE DE BCD ∠∴=====，2216425BE BC CE ∴=+=+= 将BCE 沿BE 翻折，得到BFE ，2,,CE EF BE CF FH CH ∴==⊥=，1122BCESBE CH BC CE =⋅=⋅， 45CH ∴=， 22165455EH CE CH ∴=-=-= ,CE DE FH CH ==，452DF EH ∴==， 故选D. 12.答案：B解析：:8:9,HM EM =∴设8, 9HM x EM x ==.∵四边形ABCD ,四边形EBGF ,四边形HNQD 均为正方形,2,HD NQ BG BE ∴===,BC AD AB ==.由题意得,9AH EM x ==, 8AE HM x ==,92AB BC AD x ∴===+,9282BG BE AB AE x x x ∴==-=+-=+.,,BG NQ BC 是某个直角三角形的三边,其中BC 是斜边,222BG NQ BC ∴+=，222(2)2(92)x x ∴++=+,解得1211,102x x ==-(舍去),129921010AB ∴=⨯+=，故选B.13.答案：8解析：四边形ABCD 是菱形，4AC =cm ，AC BD ∴⊥，BO DO =，2AO CO ==cm ，25AB =，224BO AB AO =-=cm ，4DO BO ∴==cm ，8BD ∴=cm ，故答案为：8. 14.答案：150°解析：四边形ABCD 是正方形，90,BAD ABC ADC BCD AB BC CD DA ∠∠∠∠∴=======.ABE 是等边三角形，,60AB AE BE BAE ABE ∠∠∴====，,30AE AD BE BC DAE CBE ∠∠∴=====，()118030752ADE BCE ∠∠∴==⨯-=，15,1801515150EDC ECD CED ∠∠∠∴==∴=--=.15.答案：16解析：列表如下：213 (2,3)(0,3)(1,3)-2 (2,2) (0,2) (1,2)- -2 (2,2)- (0,2)- (1,2)-- -3(2,3)-(0,3)-(1,3)--点(,)x y 落在直角坐标系第二象限的概率是21126=，故答案为：16. 16.答案：3⎫⎪⎪⎝⎭解析：如图,设CE 与x 轴交于点 .H ACE △是以菱形ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形,2,1, 3.AC CH AH =∴==330,ABO DCH DH AO ∠=∠=∴==3333333OD ∴=-=∴点D 的坐标为3⎫⎪⎪⎝⎭.17.5解析：连接EC ，EG .点H 是BD 的中点，四边形BCDE 是矩形，∴EC 与BD 的交点为点H ，且点H 是EC 的中点.=AB BC ，90ABC ∠=︒，45A ∴∠=︒，又90FEA ∠=︒，点G 为AF 的中点，GE AF ∴⊥，CGE ∴是直角三角形，又点H 是EC 的中点，2222125EC BE BC =++=，1522GH EC ∴==. 18.答案：18-解析：解：根据题意得122x x m +=-，122mx x =，2212316x x +=，()212123216x x x x ∴+-=，23416m m ∴-=，118m ∴=-，238m =，21680m m ∆=->，12m ∴>或0m <时，38m ∴=不合题意，故答案为：18-. 19.答案：解：（1）3000.3296⨯=，1220.305400=，1480.296500=，故答案分别为96，0.305，0.296. （2）折线统计图如图所示.（3）当摸球次数很大时，摸到红球的频率将会接近0.3. 故答案为0.3.20.答案：（1）证明见解析 （2）CF 的长为8解析：（1）证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，F BCE ∴∠=∠， E 是AB 中点，AE EB ∴=，AEF BEC ∠=∠，(AAS)AEF BEC ∴≅△△；（2）解：四边形ABCD 是矩形，90D ∴∠=︒，4CD =，30F ∠=︒，2248CF CD ∴==⨯=， 即CF 的长为8.21.答案：（1）该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为25% （2）售价应上涨6元解析：（1）设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为x ， 依题意，得()2641100x +=，解得：10.2525%x ==，2 2.25x =-（不合题意，舍去）. 答：该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为25%. （2）设售价应上涨y 元，则每天可售出()40020y -千克， 依题意，得(86)(40020)2240y y -+-=， 整理，得218720y y +=-， 解得112y =，26y =，该水果售价不能超过15元，8122015+=>，681415+=<，12y ∴=不符合题意舍去，6y =符合题意.答：售价应上涨6元. 22.答案：（1）见解析（2）这个游戏公平，理由见解析 解析：（1）方法一：列表如下.1 2 3 41 （1,1）（2,1）（3,1）（4,1）2 （1,2）（2,2）（3,2）（4,2）由上表可知(,)a b所有可能出现的结果共有8种.方法二：画树状图如图所示.开始由树状图可知(,)a b所有可能出现的结果共有8种.（2）这个游戏公平.理由：由树状图或表格可知，共有8种等可能的结果，其中a b+为奇数的结果有4种：(1,2)，(2,1)，(3,2)，(4,1)，故P（演奏（月光下的凤尾竹）=4182==，P（演奏《彩云之南》）11122=-=.故这个游戏公平.23.答案：（1）证明见解析（2）12解析：（1）//AD BC，DAE AEB∴∠=∠AE平分BAD∠，BAE DAE∴∠=∠.BAE AEB∴∠=∠AB BE∴=，AB AD=，AD BE∴=，//AD BC，即//AD BE，∴四边形ABED是平行四边形，又AB AD=，ABED∴是菱形.（2）如图，连接BD，四边形ABED 是菱形，AE BD ∴⊥，2AO OE ==， 1162622BDE S BD OE ∴=⨯⨯=⨯⨯=△，2CE BE =，CDE ∴△的面积212BDE S ==△， 故答案为12.24.答案：（1）12x =，22x =- （2）2解析：（1）设21y x =-，则原方程可化为2120y y +-=， 解得13y =，24y =-，当3y =时，213x -=，2x =±， 当4y =-时，214x -=-，方程无解， 所以原方程的解为12x =，22x =-；（2）根据题意可知，a ，b 是方程22630x x -+=的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系可知3a b +=，32ab =， 故112a ba b ab++==. 25.答案：（1）证明见解析 （2）22BF =解析：（1）证明：正方形ABCD 和菱形EFGH ，AD CD ∴=，90A D ∠=∠=︒，DE DG =， 在Rt ADE △与Rt CDG △中AD CDDE DG=⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)ADE CDG ∴≅△△（2）如图，连接EG 交DF 于点O ，2AE BE ==，2CG AE ∴==，2BG CB CG =-=， 在Rt EBG △中，2222EG EB BG ∴+=， 2EO ∴=在Rt ADE △中，24AD AE ==，2AE =，2225EF DE AE AD ∴=+=在Rt OEF △中，2220232OF EF OE -=-=262DF OF ∴==242DB == 22BF DF DB ∴=-=.26.答案：(1)四边形ABCD 和四边形AEGF 都是正方形，AD AB ∴=，AF AE =，90DAE BAF ∠=∠=︒，()SAS DAE BAF ∴≌， DE BF ∴=，ADE ABF ∠=∠，90ABF AFB ∠+∠=︒， 90ADE AFB ∴∠+∠=︒，在Rt BAF 中，M 是BF 的中点，12AM FM BM BF ∴===， 2DE AM ∴=. AM FM =， AFB MAF ∴∠=∠，又90ADE AFB ∠+∠=︒，90ADE MAF ∴∠+∠=︒，1809()0AND ADE MAF ∴∠=︒-∠+∠=︒，即AN DN ⊥；故答案为2DE AM =，DE AM ⊥. (2)仍然成立，证明如下：延长AM 至点H ，使得AM MH =，连接FH ，M 是BF 的中点，BM FM ∴=，又AMB HMF ∠=∠，()SAS AMB HMF ∴≌，AB HF ∴=，ABM HFM ∠=∠，//AB HF ∴， HFG AGF ∴∠=∠，四边形ABCD 和四边形AEGF 是正方形，90DAB AFG ∴∠=∠=︒，AE AF =，AD AB FH ==，EAG AGF ∠=∠， EAD EAG DAB AFG AGF AFG HFG AFH ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠， ()SAS EAD AFH ∴≌， DE AH ∴=， 又AM MH =，2DE AM MH AM ∴=+=，EAD AFH ≌，ADE FHA ∴∠=∠，AMB HMF ≌，FHA BAM ∴∠=∠， ADE BAM ∴∠=∠，又90BAM DAM DAB ∠+∠=∠=︒，90ADE DAM ∴∠+∠=︒，1809()0AND ADE DAM ∴∠=︒-∠+∠=︒，即AN DN ⊥.故线段DE 与AM 之间的数量关系是2DE AM =.线段DE 与AM 之间的位置关系是DE AM ⊥.。

北师大版九年级上册数学期中考试试题2022年7月一、单选题1．萎形不一定具备的性质是（）A．对边平行且相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线相等2．一元二次方程x²＋2x－3＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5，b=2.5，c=8，则线段d的长为（）A．2B．4C．5D．64．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则图中长度为5的线段共有（）A．2条B．4条C．5条D．6条5．如图，AB//CD//EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，E和点B，D，F，若AC＝1，CE＝3，BD＝1.2，则BF的长为（）A．2.4B．3.6C．4.8D．5.26．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，x满足的方程是（）A．50(1+x)2=182B．50+50(1+x)+50(1+x)2=182C．50(1+2x)=182D．50+50(1+x)+50(1+2x)2=1827．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、黑、白三种颜色的小球．已知口袋中有红球5个，白球23个，且从口袋中随机摸出一个红球的概率是110，则口袋中黑球的个数为（）A．22B．23C．25D．278．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF交于点O，则下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③O为AE中点；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题9．如果23ab=，那么b aa b-=+__________．10．定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，则方程（x+2）*5＝0的解为_____．11．有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字－1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，则抽取的两张卡片正面标有数字都是正数的概率为__________12．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD 的长等于________．13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝130°，EF垂直平分AD，交AD于点E，交对角线AC于点F，连接BF，则∠FBC的度数为___________14．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．AD ，沿过点A的直线翻折，使点D落在BC边上15．如图，在矩形ABCD中，=6AB，10的点E处，折痕与边CD相交于点F，则CF的长为_____16．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，BE2，AE＝3BE，P是对角线AC 上一动点，连接PB，PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值为________三、解答题17．按指定的方法解方程：（1）x2＋2－6＝0；（公式法）（2）2（x＋1）2＝x2－1（因式分解法）18．先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值．解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4，（y＋2）2≥0，∴（y＋2）2＋4≥4∴y²＋4y＋8的最小值是4（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；（2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．19．防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C 三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是________；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．20．如图，在平行四边形ABCD中，点E，G，F分别在AD，CD及对角线BD上，且EF//AB，FG//BC，若DE：DA＝2：5，EF＝4，求线段CG的长．21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件，同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元，设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？22．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC－21cm，动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发，以同样的速度沿CA方向运动，当点P 运动到点C时，点Q随之停止运动．（1）求运动多少s时，点P与点Q相距15cm；（2）在点P，Q运动的过程中，△PCQ的面积能否为56cm²？请说明理由．24．问题情境：如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明．参考答案1．D【解析】【分析】本题考查菱形的性质，菱形两组对边平行，四条边相等，两组对角相等，对角线互相垂直平分，以此可以求解．【详解】解：A、菱形的对边平行且四边相等，此选项说法正确，不符合题意；B、菱形的两组对角相等，此选项说法正确，不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直平分，此选项说法正确，不符合题意；D、菱形的对角线不相等，此选项说法错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质，熟悉菱形的性质是解题的关键．2．B【解析】【分析】计算一元二次方程的根的判别式，进而根据判别式的符号判断根的情况即可．【详解】由一元二次方程x²＋2x －3＝0，∴1,2,3a b c ===-，224212160b ac ∆=-=+=>,∴方程有两个不相等的实数根．故选B【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=(0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．3．B【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb ，将a ，b 及c 的值代入即可求得d ．【详解】已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb ，代入a=5cm ，b=2.5cm ，c=8cm ，解得：d=4.故线段d 的长为4cm.故选B.【点睛】本题考查成比例线段，解题突破口是根据定义进行计算即可.4．D【解析】【分析】根据矩形的性质以及等边三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA=OB=OC=OD=12AC=5，∵∠AOB＝60°，OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB=OA=OB=5，同理可得△COD为等边三角形，∴CD=OC=OD=5，∴长度为5的线段有OA、OB、OC、OD、AB、CD，共6条，故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，理解并熟练运用矩形和等边三角形的性质是解题关键．5．C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出BD，计算即可．【详解】解：∵AB//CD//EF，∴AC DB EC DF=，∴1 1.23DF =，∴DF=3.6，∴BF=BD+DF=1.2+3.6=4.8故答案为:4.8.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6．B【解析】【分析】设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，根据题意第二季度共生产零件182万个，列一元二次方程即可．【详解】设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，则50+50(1+x)+50(1+x)2=182故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出一元二次方程是解题的关键．7．A【解析】【分析】设口袋中黑球的个数为x个，则随机摸出一个红球的结果有5次，所有等可能的结果有()523x++次，再利用概率的含义列方程，再解方程即可.【详解】解：设口袋中黑球的个数为x个，则51 52310x= ++2850,x∴+=22x∴=经检验：22x=是原方程的根，且符合题意；答：口袋中黑球的个数为22个.故选：A【点睛】本题考查的是随机事件的概率的含义，已知概率求数量，掌握利用随机事件的概率列方程是解题的关键.8．B【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，即可得AE与BF的关系；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则得AE与BF位置关系；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA与OE关系；最后根据△ABF ≌△DAE 得S △ABF=S △DAE ，则S △ABF-S △AOF=S △DAE-S △AOF ，即S △AOB 与S 四边形DEOF 的关系．【详解】解：连结BE，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD=DC ，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF ，∴AF=DE ，在△ABF 和△DAE 中AB DABAD ADE AF DE=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DAE ，∴AE=BF ，所以①正确；∴∠ABF=∠EAD ，而∠EAD+∠EAB=90°，∴∠ABF+∠EAB=90°，∴∠AOB=90°，∴AE ⊥BF ，所以②正确；∵BE ＞BC ，∴BA≠BE ，而BO ⊥AE ，∴OA≠OE ，所以③错误；∵△ABF ≌△DAE ，∴S △ABF=S △DAE ，∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF，所以④正确．正确的有3个．故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．9．1 5【解析】【分析】设a=2k，得到b=3k，代入b aa b-+化简即可求解．【详解】解：设a=2k，∵23 ab=，∴b=3k，∴3213255 b a k k ka b k k k--===++．故答案为：1 5【点睛】本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是解题关键．10．x1＝3，x2＝﹣7．【解析】【分析】首先根据a*b＝a2﹣b2，可得（x+2）*5＝（x+2）2﹣52，然后解方程（x+2）2﹣52＝0，首先把﹣52移到方程右边，然后再利用直接开平方法解方程即可．【详解】由题意得：（x+2）*5＝（x+2）2﹣52，（x+2）2﹣52＝0，（x+2）2＝25，两边直接开平方得：x+2＝±5，x+2＝5，x+2＝﹣5，解得：x 1＝3，x 2＝﹣7．故答案为：x 1＝3，x 2＝﹣7．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．11．13【解析】【分析】根据树状图可知所有可能总数，两个数字都是正数的个数，用概率公式计算即可得出答案．【详解】由树状图可知：总共有6种可能，两个数字都是正数的有2种，2163P ∴==．故答案为：13．12．8【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD 的长．【详解】∵BD ⊥AC 于D ，点E 为AB 的中点，∴AB=2DE=2×5=10，∴在Rt △ABD 中，BD===8．故答案为8．13．105°【解析】连接FD ，根据垂直平分线的性质得出∠FAD=∠FDA ，根据菱形的性质推出∠FBA=∠FDA ，从而得出结论即可．【详解】解：如图所示，连接FD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝130°，AC 为对角线，∴∠BAD=50°，∠FAD=12∠BAD=25°，∵EF 垂直平分AD ，交AD 于点E ，∴∠FAD=∠FDA=25°，由菱形基本性质可得AB=AD ，∠FAB=∠FAD ，在△AFB 和△AFD 中，A A FAB F D F D F A B A A =⎧⎪⎨⎪∠==⎩∠∴△AFB ≌△AFD （SAS ），∴∠FBA=∠FDA=25°，∴∠FBC=∠ABC-∠FBA=130°-25°=105°，故答案为：105°．【点睛】本题考查菱形的性质和垂直平分线的性质，理解并熟练运用菱形和垂直平分线的基本性质是解题关键．14．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x 2﹣7x+10＝0（x ﹣2）（x ﹣5）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.15．83##223【解析】【分析】在矩形ABCD 中，可得6AB DC ==，10AD BC ==，=90B C D ∠=∠=∠︒，在Rt ABE △中，易求=8BE ，从而=2CE ，设FC x =，则可得6EF x =-，在Rt EFC △中利用勾股定理建立关于x 的方程，解得答案．【详解】解：在矩形ABCD 中，=6AB ，10AD =，∴6AB DC ==，10AD BC ==，=90B C D ∠=∠=∠︒，∵矩形ABCD 沿过点A 的直线翻折，使点D 落在BC 边上的点E 处，∴=10AE AD =，DF EF =，在Rt ABE △中，B E =∴BE ，∴==108=2CE BC BE --，设FC x =，则6FD x =-，即6EF x =-，在Rt EFC △中，222FC CE EF +=，∴2222(6)x x +=-，解得83x =，即83FC =．故答案为：83．【点睛】本题考查与矩形有关的折叠问题，利用矩形的性质，可以求得各个线段的值，利用勾股定理建立方程是解题关键．16．【解析】【分析】由于BE 固定，要求△PBE 周长的最小值，即为求PE+PB 长度的最小值，根据正方形的性质推出PB=PD ，当D 、P 、E 三点共线时，PD+PE 最小，也即是PE+PB 最小，此时利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵BE PBE 周长=PB+PE+BE ，∴要求△PBE 周长的最小值，即为求PE+PB 长度的最小值，如图所示，连接PD ，∵四边形ABCD 为正方形，∴PB=PD ，∴求PD+PE 的最小值即可，显然，当D 、P 、E 三点共线时，PD+PE 最小，也即是PE+PB 最小，此时，PD+PE=DE ，∵BE ，AE ＝3BE ，∴AE=AD=AB=4BE=此时，在Rt △ADE 中，DE ==∴PD+PE 最小值为即：PB+PE 最小值为∴△PBE 周长的最小值为故答案为：【点睛】本题考查正方形的基本性质，以及最短路径问题，理解正方形的基本性质，熟练掌握最短路径问题的处理方法是解题关键．17．（1）1x =2x =-（2）121,3x x =-=-【解析】【分析】（1）根据题意用公式法解一元二次方程；（2）根据题意用因式分解法解一元二次方程．【详解】（1）x 2＋－6＝01,6,a b c ===-2482432b ac ∴∆=-=+=x ∴==∴1x =，2x =-；（2）2（x ＋1）2＝x 2－1()()()22111x x x +=+-()1(221)0x x x ++-+=解得121,3x x =-=-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．（1）3；（2）3m =，有最小值为4【解析】【分析】（1）利用配方法把224x x ++化为2(31)x ++，根据平方的非负性解答即可；（2）利用配方法把原始变形，根据平方的非负性解答即可．【详解】（1）2224(1)3x x x ++=++，2(1)0x +≥ ，2(1)33x ∴++≥224x x ∴++的最小值为3；（2）2222261363313(3)4m m m m m -+=-+-+=-+，2(3)0m -≥ ，2(3)44m ∴-+≥，∴当30m -=，即3m =时，有最小值为4．【点睛】本题考查配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．19．(1)13;(2)13．【解析】【分析】(1)因为共开设了A 、B 、C 三个测温通道，小明从A 测温通道通过的概率是13．(2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可．【详解】(1)因为共开设了A 、B 、C 三个测温通道，小明从A 测温通道通过的概率是13，故答案为：13．(2)由题意画出树状图：由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=3193=．【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率．20．6【解析】【分析】根据平行得出△DEF ∽△DAB ，求出AB 长，再根据四边形DEFG 是平行四边形得出DG 长，进而求出CG 的长．【详解】解：∵EF//AB ，∴△DEF ∽△DAB ，∴25DE EF DA AB ==，∵EF ＝4，∴AB ＝10，∵EF//AB ，FG//BC ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∴EF=DG ＝4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝10，∴CG ＝CD-DG ＝6．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的性质求出平行四边形的边长．21．（1）2200y x =-+(3060)x ≤≤；（2）55元【解析】【分析】（1）进而设销售单价为x 元，平均月销售量为y 件，根据题意先求得x 的取值范围，根据题意列出y 与x 的函数关系式；（2）根据题意列出方程，解一元二次方程，进而求得答案，注意x 的取值范围．【详解】（1）∵单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元，设销售单价为x 元，∴3060x ≤≤，平均月销售量为y 件，则602080220010x y x -=⨯+=-+∴2200y x =-+()3060x ≤≤；（2）根据题意得()304501800x y --=即()30(2200)4501800x x --+-=解得1255,75x x == 3060x ≤≤55x ∴=答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求函数关系式，根据题意列出函数关系和方程是解题的关键．22．(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】【分析】(1)先证明EO 是△DAB 的中位线，再结合已知条件OG ∥EF ，得到四边形OEFG 是平行四边形，再由条件EF ⊥AB ，得到四边形OEFG 是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=12AB=12AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD 为菱形，∴点O 为BD 的中点，∵点E 为AD 中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE ∥FG ，∵OG ∥EF ，∴四边形OEFG 为平行四边形∵EF ⊥AB ，∴平行四边形OEFG 为矩形．(2)∵点E 为AD 的中点，AD=10，∴AE=152AD =∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt △AEF 中，3=AF ．∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=12AB=5，∵四边形OEFG 为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案为：OE=5，BG=2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．23．（1）9秒或12秒；（2）不能，见解析【解析】【分析】（1）设x 秒后满足条件，根据题意分别利用含x 的式子表示PC 和CQ 的长度，从而运用勾股定理建立方程求解即可；（2）假设y 秒后满足条件，结合（1）的结论建立一元二次方程，并利用根的判别式判断即可．【详解】解：（1）设x 秒后满足点P 与点Q 相距15cm ，则由题意，BP=x ，CQ=x ，∴PC=BC-BP=21-x ，在Rt △PCQ 中，222PC CQ PQ +=，∴()2222115x x -+=，解得：9x =或12x =，∴运动9秒或12秒时，点P 与点Q 相距15cm ；（2）不能满足，理由如下：假设y 秒后满足△PCQ 的面积为56cm²，则由（1）可得：()11215622PCQ S PC CQ y y ==-= ，整理得：2211120y y -+=，∵()221411270∆=--⨯=-<，∴原方程无解，∴不能满足△PCQ 的面积为56cm²．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确建立一元二次方程，并熟练运用根的判别式是解题关键．24．（1）正方形，理由见解析；（2）CF ＝E'F ，证明见解析．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB ＝∠CE'B ＝90°，BE ＝BE'，∠EBE'＝90°，则可由正方形的判定证得四边形BE'FE 是正方形；（2）过点D 作DH ⊥AE 于点H ，由等腰三角形的性质可得AH ＝12AE ，由“AAS”可得△ADH ≌△BAE ，可得AH ＝BE ＝12AE ，由旋转的性质可得AE ＝CE'，可得结论．【详解】解：（1）四边形BE'FE是正方形．理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°．又∵∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形．又∵BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形．（2）CF＝E'F；理由如下：如图2，过点D作DH⊥AE于点H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝12AE，∠ADH+∠DAH＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°．∴∠DAH+∠EAB＝90°．∴∠ADH＝∠EAB．又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS）．∴AH＝BE＝12 AE．∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CE'．∵四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F．∴E'F＝12CE'．∴CF＝E'F．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、单选题1．方程x （x+2）＝0的根是（）A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝﹣2D ．x 1＝0，x 2＝22．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 分别交l1，l2，l3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l1，l2，l3于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DE EF （）A ．35B ．2C ．25D ．123．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ＞34B ．m≥34C ．m ＞34且m≠2D ．m≥34且m≠24．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若DG ＝2，AD ＝6，则BE 的长为（）A ．52B ．73C ．3D ．3.55．如图，以矩形ABCD 对角线AC 为底边作等腰直角△ACE ，连接BE ，分别交AD ，AC 于点F ，N ，AM 平分∠BAN ．下列结论：①BE 平分∠ABC ；②AE ＝EM ；③∠BCM ＝∠NCM ；④AN 2＝NF•NE ；⑤BN 2+EF 2＝EN 2，其中正确结论的个数是（）6．下面四组线段中，成比例的是（）A ．2a =，3b =，4c =，5d =B ．1a =，2b =，2c =，4d =C ．4a =，6b =，8c =，10d =D ．a =，b =，3c =，d =7．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于O ，DE ⊥BC 于E ，连接OE ，若∠ABC ＝140°，则∠OED 的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°8．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE ＝1，∠DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EG 、EF ．下列结论：①CG AEG 的周长为8；③ EGF 的面积为1710．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③9．目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G 用户数累计达到8.72万户．设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则x 值为（）A ．20%B ．30%C ．40%D ．50%10．若()3320a c e b d f b d f ===+-≠，则3232a c e b d f +-+-的值是（）A ．1B ．32C ．3D ．无法确定二、填空题11．若53a b =，则a b a b-+＝_____．12．设m，n分别为一元二次方程2220200x x--=的两个实数根，则2m m n-+＝____．13．如图：正方形ABCD中，BC＝AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC＝______．14．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C'的坐标为____．15．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为____．16．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD ＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为____．（用含k的式子表示）三、解答题17．解方程（1）2x2+3x﹣1＝0；（2）（2x+1）2＝3（2x+1）．18．先化简，再求代数式的值：21xx+﹣2241xx--÷2221xx x--+，其中x＝3．19．有两个可以自由转动的均匀转盘A、B都被分成了3等份，并在每一份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，观察两个指针所指份内的数字（若指针停在等分线上，那么重新转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）方程x2﹣3x＋2＝0的解为；（2）用列表法（或树状图）求出“两个指针所指的数字都是方程x2﹣3x＋2＝0的解”的概率．20．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，相似比为1：2．（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比为（不写解答过程，直接写出结果）．21．如图， ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）若AD=4，∠DAB=60°，求四边形AFED的面积．22．某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，设该款口罩每盒降价x元，每星期的销售量为y盒．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该网店某星期获得了6480元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？23．如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．（1）求证：PA＝PE；（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD＝8，DC＝4，求AP PE的值；（3）在（2）的条件下，连接AE，将△ABE沿直线AE折叠后，点P与点B重合，则DP ＝．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝K，E是边BC上一个动点（不与B，C重合），连接AE，作EF⊥AE，EF交边CD于点F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若在动点E的运动过程中，一定存在点F，使得EF＝EA，求K的取值范围；（3）若点G是边AB上一点且∠GEB＝∠FEC，求EG，EF，EA的数量关系．25．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P，求证：四边形CODP是菱形．参考答案1．C【解析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．故选：C．2．A【分析】由题意易得AB=3，然后根据平行线所截线段成比例直接求解即可．【详解】解：∴AB=3，123////l l l ，∴DE AB 3EF BC 5==；故选A ．3．C【详解】分析：本题是根的判别式的应用，因为关于x 的一元二次方程（m-2）2x 2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=b 2-4ac ＞0，从而可以列出关于m 的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．详解：∵关于x 的一元二次方程（m-2）2x 2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac ＞0，即（2m+1）2-4×（m-2）2×1＞0，解这个不等式得，m ＞34，又∵二次项系数是（m-2）2，∴m≠2，故M 得取值范围是m ＞34且m≠2．故选C ．4．A【分析】作EH ⊥BD 于H ，根据折叠的性质得到EG ＝EA ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD 为等边三角形，得到AB ＝BD ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作EH ⊥BD 于H ，由折叠的性质可知，EG ＝EA ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴AB ＝BD ＝AD ＝6，设BE ＝x ，则EG ＝AE ＝6﹣x ，在Rt △EHB 中，BH ＝12x ，EH ＝2x ，在Rt △EHG 中，EG 2＝EH 2+GH 2，即（6﹣x ）2＝（2x ）2+（4﹣12x ）2，解得，x ＝52，∴BE ＝52，故选：A ．5．A【解析】连接DE ，有矩形的性质可得：90ABC AEC ADC ∠=∠=∠=︒，AB CD =，AD BC =，由此得出点A 、B 、C 、D 、E 都在以AC 为直径的圆上，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得AEB CED ∠=∠，EAF ECD ∠=∠，根据全等三角形的判定定理及性质可得AF CD =，即AB AF =，45ABF AFB ∠=∠=︒，可证明结论①；根据三角形外角性质及角平分线的性质可得EMA EAM ∠=∠，可证明结论②；根据等边对等角及三角形外角的性质，利用各角之间的等量关系即可证明结论③；根据相似三角形的判定和性质即可证明结论④；将ABN 绕点A 逆时针旋转90°，得到AFG ，连接EG ，根据全等三角形的判定和性质可得：AEG AEN ≌，EN EG =，利用各角之间的关系可得90GFB GFE ∠=∠=︒，再由勾股定理及等量代换即可证明结论⑤．【详解】解：连接DE ，如图：∵四边形ABCD 为矩形，ACE 为AC 为底的等腰直角三角形，∴90ABC AEC ADC ∠=∠=∠=︒，AB CD =，AD BC =，∴点A 、B 、C 、D 、E 都在以AC 为直径的圆上，∵AB CD =，∴ AB CD =，∴AEB CED ∠=∠，∵ DE DE =，∴EAF ECD ∠=∠，∵ACE 为等腰直角三角形，∴AE CE =，在AEF 和CED 中，AEF CEDAE CD EAF ECD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AEF CED ≌，∴AF CD =，而CD AB =，∴AB AF =，∴45ABF AFB ∠=∠=︒，∴BE 平分ABC ∠，故①正确；∵45EMA BAM ∠=∠+︒，而45EAM MAC ∠=∠+︒，∵AM 平分BAC ∠，∴BAM MAC ∠=∠，∴EMA EAM ∠=∠，∴AE EM =，故②正确；∵AE EC =，∴EM EC =，∴EMC ECM ∠=∠，即MBC MCB ECA ACM ∠+∠=∠+∠，∵45MBC ECA ∠=︒=∠，∴MCB ACM ∠=∠，即BCM NCM ∠=∠，故③正确；∵ AB CD =，∴AEN NAF ∠=∠，∵ANF ENA ∠=∠，∴ANF ENA ∽，∴AN NF NE AN=，∴2AN NE NF = ，故④正确；将ABN 绕点A 逆时针旋转90°，得到AFG ，连接EG，如图：∵NAB GAF ∠=∠，∴90GAN BAD ∠=∠=︒，∵45EAN ∠=︒，∴45EAG EAN ∠=∠=︒，在AEG 和AEN 中，AG AN EAG EAN AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEG AEN ≌，∴EN EG =，∵将ABN 绕点A 逆时针旋转90°，得到AFG ，∴GF BN =，45AFG ABN AFB ∠=∠=∠=︒，∴90GFB GFE ∠=∠=︒，∴222BG GF EF =+，∴222BN EF EN +=，故⑤正确，∴正确的有①②③④⑤，故选：A ．【点睛】题目主要考查矩形的性质，四边形外接圆的性质，相似三角形及全等三角形的判定和性质，旋转的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质是解题关键．6．B【解析】【分析】根据成比例线段的概念逐项判断即可．【详解】解：A、2×5≠3×4，故此选项不符合题意；B、1×4=2×2，故此选项符合题意；C、4×10≠6×8，故此选项不符合题意；D3≠，故此选项不符合题意，故选：B．7．B【解析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝70°，BO＝DO，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝70°，BO＝DO，∵DE⊥BC，∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，∴∠ODE＝∠OED＝20°，故选：B．8．D【解析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，求出S△ECF，先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PF＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出FP PGFQ CQ=，求出PG35=，再根据勾股定理求得EG175=，即△AEG的周长为8，判断出②正确；先求出DG125=，进而在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG5===，故①错误，用S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC求出面积，进而求出S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG1734172510=-=，故③正确．【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝90°，∵HF∥AD，∴∠H＝90°，∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，∴∠AFH＝∠HAF．∵AF=∴AH＝HF＝1＝BE．∴AE＝3，EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，∴△EHF≌△CBE（SAS），∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴HEF+∠BEC＝90°，∴∠FEC＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，∴EC2＝BE2+BC2＝17，∴S△ECF12=EF•EC12=EC2172=，过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，∴四边形APFH是矩形，∵AH＝HF，∴矩形AHFP是正方形，∴AP＝PF＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，∵AD∥BC，∴△FPG∽△FQC，∴FP PG FQ CQ=，∴153PG =，∴PG3 5 =，∴AG＝AP+PG8 5 =，∴DG＝AD﹣AG＝4812 55-=，在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG175 ==，∴△AEG的周长为AG+EG+AE81755=++3＝8，故②正确；在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG===，故①错误；∵S△ECG ＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC＝AD212-AG•AE12-GD•DC12-EB•BC＝421825-⨯⨯311225-⨯⨯412-⨯1×4345=，∴S△EGF ＝S△ECF﹣S△ECG1734172510=-=，故③正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出AG是解本题的关键．9．C【解析】【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底5G用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的5G 用户数量之和=8.72万户即得关于x 的方程，解方程即得答案．【详解】解：设全市5G 用户数年平均增长率为x ，根据题意，得：()()2221218.72x x ++++=，解这个方程，得：10.440%x ==，2 3.4x =-（不合题意，舍去）．∴x 的值为40%．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．10．C【解析】【分析】利用比例的性质得到，3a b =，3c d =，3e f =，代入3232a c e b d f+-+-计算即可得出答案．【详解】()3320a c e b d f b d f===+-≠ ，3a b ∴=，3c d =，3e f =，32333233(32)3323232a c e b d f b d f b d f b d f b d f+-⨯+-⨯+-∴===+-+-+-．故选：C ．【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握常用的性质是解决本题的关键．11．14【解析】【分析】由题干可设a ＝5k ，b ＝3k ，将它们代入所求式子，计算即可．【详解】解：设a ＝5k ，则b ＝3k ．53215384a b k k k a b k k k --===++；故答案为14．【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．2022【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义和根与系数关系求得222020m m -=，m+n=2，再由22(2)()m m n m m m n -+=-++求解即可．【详解】解：∵m ，n 分别为一元二次方程2220200x x --=的两个实数根，∴222020m m -=，m+n=2，∴22(2)()m m n m m m n -+=-++=2020+2=2022，故答案为：2022．【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，理解一元二次方程的解的定义，能将2m m n -+变形为2(2)()m m m n -++是解答的关键．13．【解析】【分析】通过证明△APC ∽△CPB ，可得PC PA AC PB PC BC ===即PA PC ，PB ＝2PC ，由勾股定理可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝ACB ＝45°，AC ＝，∴∠1+∠BCP ＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BCP ＝45°，∴∠BPC ＝135°，∵PB ⊥PA ，∴∠APB ＝90°，∴∠APC ＝135°，∴∠APC ＝∠BPC ，∴△APC ∽△CPB ，∴PC PA AC PB PC BC ===∴PA PC ，PB ＝2PC ，∵AB 2＝PA 2+PB 2，∴80＝52PC 2，∴PC ＝，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．14．（−2，4）或（2，−4）【解析】【分析】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ，进而得出答案．【详解】解：∵点A （1，0），B （2，1），C （−1，2），以原点O 为位似中心，位似比为2，把四边形OABC 放大，∴点C 对应点C′的坐标为：（−2，4）或（2，−4）．故答案为：（−2，4）或（2，−4）．【点睛】此题主要考查了位似图形，正确掌握对应点变化规律是解题关键．15．2020【解析】【分析】由于a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b），故根据方程的解的意义，求得（a2＋a）的值，由根与系数的关系得到（a＋b）的值，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝ba-＝−1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝2020，故答案为：2020．【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．16【解析】【分析】连接AC，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，连接DG，根据相似三角形的判定与性质求出DG=kBC，然后根据题意推出∠CDG=90°，即可利用勾股定理求解．【详解】解：如图，连接AC，∵AE⊥BC，BE＝CE＝2，∴BC=4，AE垂直平分BC，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，如图所示，连接DG，则AD=AG，BD=CG，由旋转的性质可得：∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴△ABC∽△ADG，∴AD DG AB BC=，∵AD＝kAB，∴DG=kBC=4k，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∵△ABC∽△ADG，∴∠ABC=∠ADG ，∴∠ADG+∠ADC=90°，即：∠CDG=90°，∴CG ==，∴BD CG ==【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转构造辅助线，以及勾股定理解三角形等，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．17．（1）x 1=34-，x 2=34-；（2）x 1=﹣12，x 2=1．【解析】【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】解：（1）2x 2+3x ﹣1=0，∵a=2，b=3，c=﹣1，∴24b ac =- =32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，∴∴x 1，x 2（2）（2x+1）2=3（2x+1），（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，则（2x+1）（2x ﹣2）=0，∴2x+1=0或2x ﹣2=0，∴x 1=﹣12，x 2=1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．21x +；12【解析】【分析】根据分式的混合运算法则将原式化简，然后代入求值即可．【详解】解：原式＝222(2)21(1)(1)(1)x x x x x x x ---÷++--＝222(2)(1)1(1)(1)2x x x x x x x ---⨯++--＝22(1)11x x x x --++＝2221x x x -++＝21x +，当x ＝3时，原式＝2211312x ==++．【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键．19．（1）x 1＝1，x 2＝2；（2）29【解析】【分析】（1）根据解方程的步骤直接求解即可；（2）根据题意先列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）∵x 2−3x ＋2＝0，∴（x−1）（x−2）＝0，解得：x 12故答案为：x1＝1，x2＝2；（2）根据题意列表如下：2341（1，2）（1，3）（1，4）2（2，2）（2，3）（2，4）3（3，2）（3，3）（3，4）共有9种等可能的情况数，其中“两个指针所指的数字都是方程x2−3x＋2＝0的解”的有2种，则“两个指针所指的数字都是方程x2−3x＋2＝0的解”的概率是2 9．【点睛】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（1）见解析；（2）见解析；（3）1：4【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先求出点A1（-2，-4），B1（-2，-1），C1（-5，-2），平面直角坐标系中描点A1（-2，-4），B1（-2，-1），C1（-5，-2），然后顺次连结A1B1，B1C1，C1A1，画图即可；（2）根据位似图形的性质求出点A2（4，8），B2（4，2），C2（（10，4），然后描点，顺次连结A2（B2，B2C2，C2A2即可；（3）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方进行解答．【详解】解：（1）△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．∵△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．关于x对称点的坐标特征是横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴点A1（-2，-4），B1（-2，-1），C1（-5，-2），在平面直角坐标系中描点A1（-2，-4），B1（-2，-1），C1（-5，-2），然后顺次连结A1B1，B1C1，C1A1，如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，相似比为1：2，A1（-2，-4），B1（-2，-1），C1（-5，-2），根据相似比求出点A2（2×2,4×2）即（4，8），B2（2×2,1×2）即（4，2），C2（5×2,2×2）即（10，4），在平面直角坐标系中描点A2（4，8），B2（4，2），C2（10，4），顺次连结A2（B2，B2C2，C2A2如图，△A2B2C2即为所求；（3）∵△A1B1C1∽△A2B2C2,相似比为1：2，△A1B1C1与△A2B2C2的面积比等于相似比的平方为1：4，故答案为：1：4．【点睛】本题考查轴对称图形，位似图形，位似图形的性质，掌握轴对称图形，位似图形，位似图形的性质是解题关键．21．（1）证明见详解；（2）83【解析】【分析】（1）由题意可得，AE为∠DAB的角平分线，可得∠DAE=∠EAF，根据 ABCD，AB//CD，得到∠DEA=∠EAF，等量代换得到∠DAE=∠DEA，所以得到AD=DE，因为AD=AF，得到DE=AF，又因为DE//AF，所以可证四边形AFED为平行四边形，因为AD=DE，所以可证明四边形AFED是菱形；（2）连接DF交AE于点O，因为∠DAB=60°，所以△DAF为等边三角形，因为AD=4，可得DF=4，DO=2，AO=AE=积的一半，代入数据即可求出结果．【详解】解：（1）证明：∵AE为∠DAB的角平分线∴∠DAE=∠EAF∵AB//CD∴∠DEA=∠EAF∴∠DAE=∠DEA∴AD=DE∵AD=AF∴DE=AF∵DE//AF∴四边形AFED为平行四边形∵AD=DE∴四边形AFED是菱形．（2）连接DF交AE于点O，如图所示：∵∠DAB=60°，DA=AF∴△DAF为等边三角形∵AD=4∴DF=4，DO=2∴AO=AE=∴S 四边形AFED=1×42⨯=【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定以及菱形的面积公式，熟练菱形的判定方法和菱形面积公式是解决本题的关键．22．（1）y ＝300+30x ；（2）540盒【解析】【分析】（1）根据每降价1元，每星期可多卖30盒，列出函数关系式即可；（2）根据该网店某星期获得了6480元的利润列出方程求出每盒降价，再求出销售量即可．【详解】解：（1）由题意根据每降价1元，每星期可多卖30盒，∴函数关系式为：y ＝300+30x ；（2）()60406480x y --=，即()()6040300306480x x --+=，化简可得：210160x x -+=，解得：18x =，22x =，则销售量为：300308540+⨯=（盒）或300302360+⨯=（盒），∵要尽快减少库存，∴销售量应为540盒，答：该网店某星期获得了6480元的利润时，销售该款口罩540盒．【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．23．（1）见解析；（2）2；（3）5【解析】【分析】（1）过P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，四边形BMPN 是正方形，得出PM=PN ，∠MPN=90°，求出∠APM=∠NPE ，∠AMP=∠PNE ，证△APM ≌△EPN ，推出AP=PE 即可；（2）证△BPM ∽△BDA ，△BNP ∽△BCD ，得出,PM BP PN BP AD BD CD BD ==，推出PM PN AD CD =，求出824PM AD PN CD ===，证△APM ∽△EPN ，推出AP PM PE PN =即可；（3）根据折叠的性质得AP=AB=CD=4，AE ⊥BP ，根据等腰三角形的性质得BF=PF ，由2AP PE=得1,22PE PE AP ==，PE=2，根据tan ∠PAE=12PE AE AP ==得1tan ,22PF PAF AF PF AF ∠===，利用勾股定理求出PF BP BD ===得．【详解】解：（1）证明：过P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD ＝45°，∴∠MPB ＝45°＝∠ABD ，∴PM ＝BM ，同理PN ＝BN ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°＝∠BMP ＝∠BNP ，∴四边形BMPN 是正方形，∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°，∵∠APE ＝90°，∴都减去∠MPE 得：∠APM ＝∠NPE ，∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠AMP ＝∠PNE ，在△APM 和△EPN 中，AMP ENPPM PN APW EPN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APM ≌△EPN （ASA ），∴PA ＝PE ；（2）过P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，∵∠PMB＝∠PNB＝90°，∴PM∥AD，PN∥CD，∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，∴PM BPAD BD=，PN BPCD BD=，∴PM PN AD CD=，∴824PM ADPN CD===，∵∠AMP＝∠ENP＝90°，∠MPA＝∠EPN，∴△APM∽△EPN，∴AP PMPE PN=＝2，∴APPE＝2；（3）如图，设AE交BD于点F，∵将△ABE沿直线AE折叠后，点P与点B重合，∴AP＝AB＝CD＝4，AE⊥BP，∵APPE＝2，PEAP＝12，BF＝PF，∴PE＝2，∵tan∠PAE＝PEAP＝12，∴tan∠PAF＝PFAF＝12，∴AF＝2PF，∵AF2+PF2＝AP2，∴（2PF）2+PF2＝42，∴PF＝5，∴BP，∵BD∴DP＝BD﹣BP＝5．故答案为：5．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，锐角三角函数的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，（1）（2）证明过程类似．24．（1）见解析；（2）1＜K≤2；（3）EG＋EF＝K AE⋅．【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，得∠B＝∠C＝90°，再根据∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB ＋∠CEF＝90°，得∠BAE＝∠CEF，即可得证；（2）由（1）知△ABE∽△ECF，又EF＝EA，得△ABE≌△ECF，得出CF＝BE＝k−1，根据0＜CF≤1求出K值即可；（3）证△EBG∽△ABE，得BE EGAB EA=，由△ABE∽△ECF，得EA ABEF EC=，联立两个比例式，得K＝EG EFEA+，即可得出三线段的数量关系．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；（2）由（1）知△ABE∽△ECF，又∵EF＝EA，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴CE＝AB＝1，CF＝BE＝K−1，由题意可得1011 KK-⎧⎨-≤⎩＞，∴1＜K≤2；（3）∵∠BAE＝∠CEF，∠GEB＝∠FEC，∴∠BAE＝∠GEB，∵∠B＝∠B，∴△EBG∽△ABE，∴BE EG AB EA=，∴BE＝EGEA①，由（1）知△ABE∽△ECF，∴EA AB EF EC=，∴EC＝EFEA②，①＋②得，k＝EG EF EA+，∴EG＋EF＝K AE⋅．【点睛】本题主要考查相似形综合题，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．25．见解析【解析】【分析】根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出结论．【详解】证明：∵DP∥AC，CP∥BD，∴四边形CODP是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，∴OD=OC，∴四边形CODP是菱形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，熟练掌握矩形的性质定理，菱形的判定定理是解题的关键．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷2022年7月一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．22312x x -=- B ．()2231x x x -=- C ．2110x x+-= D ．20ax bx c ++= 2．方程294230x x -+=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 3．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行且相等B ．两组对角分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等4．用配方法解方程22103x x --=，正确的是（ ）A ．2181,393x x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭ B ．2252,393x x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭C ．22132,393x x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭ D ．21101,393x x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭5．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，若∠BAO=55°，则∠AOD 等于（ ）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120° 6．根据下列表格的对应值：判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a 、b 、c 为常数）一个解x 的取值范围是（ ） A ．5 5.17x << B ．5.17 5.18x <<C ．5.18 5.19x <<D ．5.19 5.20x <<7．如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则a 满足的条件是（ ）A ．1a <B ．1a <且0a ≠C ．1a ≥且0a ≠D ．1a ≤8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长BC 至点D ，使12CD BC =，连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，则DN =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题9．方程()224x +=的解是______．10．把方程()22331x x +-=化成一般形式______．11．一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是______．12．若关于x 的一元二次方程20x mx n -+=有一个根是1，则m n -=______．13．如图在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，2CD =，则点D 到AB 的距离是______．14．某种水果的原价为30元/箱，经过连续两次降价后的售价为15元/箱．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程是______．15．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点 E ，交 DC 的延长线于点 F ，BG∠AE ，垂足为 G ，BG ＝∠CEF 的周长为____．16．已知方程2560x mx +-=的两根为a 和b ，且1a b +=-，则m =______． 三、解答题17．解方程：（用适当的方法解方程） （1）2420x x -+=． （2）()()352350x x x +-+=（3）231x =18．新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？19．小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选． (1)用树状图或列表法求出小明先挑选的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．20．如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，求作菱形DEFG ，使点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在BC 上．小明的作法：∠如图2，在边AC 上取一点D ，过点D 作//DG AB 交BC 于点G ． ∠以点D 为圆心，DG 长为半径画弧，交AB 于点E ．∠在EB 上截取EF ED =，连接FG ，则四边形DEFG 为所求作的菱形． 证明：小明所作的四边形DEFG 是菱形21．.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ；（1）如图1，求证：AE CF =；（2）如图2，当30ADB ∠=︒时，连接AF .CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.22．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F 、H 在菱形ABCD 的对角线BD 上.（1）求证：BG DE =；（2）若E 为AD 中点，2FH =，求菱形ABCD 的周长．23．如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 边上，点M 是AE 与BF 的交点，且AE BF =；（1）求证：BE CF =；（2）如图2，以CF 为边作正方形CFGH ，H 在BC 的延长线上，连接DH ，判断BF 与DH的数量关系和位置关系并证明；（3）如图3，连接AG ，交DH 于点P ，求APD ∠的度数．参考答案1．A 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A 、22312x x -=-变形为2510x -=，是一元二次方程； B 、()2231x x x -=-变形为10x +=，不是一元二次方程； C 、2110x x +-=分母中含有未知数，不是一元二次方程； D 、当a=0时，20ax bx c ++=不是一元二次方程； 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断． 2．C 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断方程根的情况． 【详解】解：∠∠=()29342904--⨯⨯=-<， ∠方程没有实数根． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与∠=b 2-4ac 有如下关系：当∠＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∠=0时，方程有两个相等的实数根；当∠＜0时，方程无实数根．3．D【解析】根据正方形的性质以及菱形的性质，即可判断．【详解】解：A、两组对边分别平行且相等，正方形和菱形都具有，故不符合；B、两组对角分别相等，正方形和菱形都具有，故不符合；C、相邻两角互补，正方形和菱形都具有，故不符合；D、对角线相等，正方形具有，菱形不具有，故符合；故选：D．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键．4．D【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．【详解】解：2210 3x x--=，∠221 3x x-=，∠22111 399x x-+=+，∠211039x⎛⎫-=⎪⎝⎭，∠13x=故选：D．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．B【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠BAO=∠ABO=55°，再依据三角形外角性质可知∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．【详解】解：∠四边形ABCD是矩形，∠OA=OB．∠∠BAO=∠ABO=55°．∠∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线互相平分且分成的四条线段都相等．6．C【解析】【分析】根据在5.18和5.19之间有一个值能使ax2+bx+c的值为0，于是可判断方程ax2+bx+c=0一个解x的范围．【详解】解：由y=ax2+bx+c，得x＞5.17时y随x的增大而增大，得x=5.18时，y=-0.01，x=5.19时，y=0.01，∠ax2+bx+c=0的近似根是5.18＜x＜5.19，故选：C．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用函数的增减性是解题关键．7．B【解析】【分析】由二次项系数非零及根的判别式∠＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．【详解】解：∠关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根， ∠202410a a ≠⎧⎨=-⨯>⎩△， 解得：a ＜1且a≠0， 故选B ． 8．A 【解析】连接CM ，根据直角三角形的性质求出CM ，证明四边形DCMN 是平行四边形，根据平行四边形的性质解答． 【详解】 解：连接CM ，∠∠ACB=90°，M 是AB 的中点， ∠CM=12AB=3，∠M 、N 分别是AB 、AC 的中点， ∠MN=12BC ，MN∠BC ，∠BC=2CD ，∠MN=CD ，又MN∠BC ， ∠四边形DCMN 是平行四边形， ∠DN=CM=3， 故选A ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 9．x 1=0，x 2=-4【解析】 【分析】利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】 解：（x+2）2=4，开方得：x+2=2或x+2=-2， 解得：x 1=0，x 2=-4． 故答案为：x 1=0，x 2=-4． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，利用此方法解方程时，方程左边整理为完全平方式，右边合并为一个常数，利用平方根定义开方即可求出解． 10．24980x x ++= 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式的定义变形即可． 【详解】解：()22331x x +-=， ∠2491231x x x ++-=， ∠24980x x ++=，故答案为：24980x x ++=． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化． 11．310【解析】 【分析】由一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∠一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同， ∠从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是：333710=+， 故答案为：310． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12．1 【解析】 【分析】将x=1代入方程，变形可得m -n 的值． 【详解】解：∠方程20x mx n -+=有一个根是1， 则10m n -+=， ∠1m n -=， 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义． 13．2 【解析】 【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到AB 的距离=点D 到AC 的距离=CD=2． 【详解】解：由角平分线的性质，得点D 到AB 的距离=CD=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D 到AB 的距离即为CD 长是解决的关键． 14．30（1-x ）2=15 【解析】 【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降低的百分率）=15，把相应数值代入即可求解．【详解】解：第一次降价后的价格为30×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，则：30×（1-x）×（1-x），则列出的方程是30（1-x）2=15．故答案为：30（1-x）2=15．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．15．8【解析】【详解】试题解析：∠在∠ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∠∠BAF=∠DAF，∠AB∠DF，∠∠BAF=∠F，∠∠F=∠DAF，∠∠ADF是等腰三角形，AD=DF=9；∠AD∠BC，∠∠EFC是等腰三角形，且FC=CE．∠EC=FC=9-6=3，∠AB=BE．∠在∠ABG中，BG∠AE，AB=6，可得：AG=2，又∠BG∠AE，∠AE=2AG=4，∠∠ABE的周长等于16，又∠∠ABCD，∠∠CEF∠∠BEA ，相似比为1：2，∠∠CEF 的周长为816．5【解析】【分析】 根据根与系数的关系得到5m -=-1，然后解关于m 的方程即可得到满足条件的m 的值． 【详解】解：根据题意得：a+b=5m -=-1， 解得：m=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a ．17．（1）x 1=2x 2=2（2）x 1=12，x 2=53-；（3）x 1，x 2 【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解；（3）先化为一般式，然后利用公式法求解．【详解】解：（1）2420x x -+=，∠a=1，b=-4，c=2，∠∠=()24412--⨯⨯=8，∠x 1=2+x 2=2（2）()()352350x x x +-+=，∠()()12350x x -+=，∠1-2x=0，3x+5=0，∠x 1=12，x 2=53-；（3）231x =，变形可得：2310x -=，∠a=3，c=-1，∠∠=()2431-⨯⨯-=14，，∠x 1，x 2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法． 18．2750元【解析】【分析】设每台冰箱降价x 元，根据题目中的等量关系“每台冰箱的利润×销售的数量=总利润”可列方程2900250084500050x x --+⨯=（）（），解得x 即可． 【详解】解：设每台冰箱降价x 元，根据题意，得2900250084500050x x --+⨯=（）（） 解这个方程，得12 150x x ==，定价=2900-150=2750（元）因此，每台冰箱的定价应为2750元．19．(1)见解析，23；(2)不公平，见解析【解析】【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可；（2）求出小明、小亮获胜的概率即可．(1)解：根据题意可列表或树状图如下：从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∠P （和为奇数）23=； (2)解：不公平． ∠小明先挑选的概率是P （和为奇数）23=，小亮先挑选的概率是P （和为偶数）13=， 2133≠， ∠不公平．【点睛】 本题考查了列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．20．见解析【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】证明：由作图可知：DE=DG ，EF=DE ，∠DG=EF ，∠DG∠EF ，∠四边形DEFG 是平行四边形，∠四边形DEFG 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，作图-复杂作图等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理． 21．（1）详见解析；（2）ABE △的面积CDF =△的面积BCE =△的面积ADF =△的面积=矩形ABCD 面积的18． 【解析】【分析】（1）结合矩形的性质和已知条件可证ABE CDF △≌△，根据全等三角形对应边相等即知AE CF =，此题得证；（2）可利用直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半确定三角形的面积与矩形的面积之间的等量关系..【详解】（1）证明：∠四边形ABCD 是矩形，∠AB CD =，AB CD ∥ ，AD BC ∥，∠ABE CDF ∠=∠，∠AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，∠90AEB CFD ∠=∠=︒，在ABE △和CDF 中，ABE CDF AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ABE CDF AAS △≌△，∠AE CF =；（2）解：ABE △的面积CDF =△的面积BCE =△的面积ADF =△的面积=矩形ABCD 面积的18． 理由如下：∠AD BC ∥，∠30CBD ADB ∠=∠=︒，∠90ABC ∠=︒，∠60ABE ∠=︒，∠30BAE∠=︒，∠12BE AB=，12AE AD=，∠ABE△的面积111111222288BE AE AB AD AB AD=⨯=⨯⨯=⨯=矩形ABCD的面积，∠ABE CDF △≌△，∠CDF的面积18=矩形ABCD的面积；作EG BC⊥于G，如图所示：∠30CBD∠=︒，∠11112224EG BE AB AB ==⨯=，∠BCE的面积1111122488BC EG BC AB BC AB=⨯=⨯=⨯=矩形ABCD的面积，同理：ADF的面积18=矩形ABCD的面积．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直角三角形30角的性质是解题的关键.22．（1）证明见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EH∠FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD∠BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD∠BC，求得AE=BG，AE∠BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论．【详解】证明：（1）∠四边形EFGH是矩形，∠EH=FG，EH∠FG，∠∠GFH=∠EHF，∠∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，∠∠BFG=∠DHE，∠四边形ABCD是菱形，∠AD∠BC，∠∠GBF=∠EDH，∠∠BGF∠∠DEH（AAS），∠BG=DE；（2）连接EG，∠四边形ABCD是菱形，∠AD=BC，AD∠BC，∠E为AD中点，∠AE=ED，∠BG=DE，∠AE=BG，AE∠BG，∠四边形ABGE是平行四边形，∠AB=EG，∠EG=FH=2，∠AB=2，∠菱形ABCD的周长=8．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．23．（1）见解析；（2）BF=DH ，BF∠DH ，理由见解析；（3）45°【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形知AB=BC ，∠ABE=∠C=90°，利用“HL”证Rt∠ABE∠Rt∠BCF即可得；（2）延长BF 交DH 于点K ，先证∠BCF∠∠DCH 得BF=DH ，∠CBF=∠CDH ，由∠CDH+∠CHD=90°知∠CBF+∠CHD=90°，即∠BKH=90°，从而得证；（3）连接EG ，先证四边形BEGF 是平行四边形得GE∠BF ，GE=BF ，由∠ABE∠∠BCF 知∠CBF=∠BAE ，BF=AE=GE ，再证∠AEG=∠BME=90°可得∠EAG=45°，证四边形ADHE 是平行四边形得DH∠AE ，从而得∠APD=∠GAE=45°．【详解】解：（1）∠四边形ABCD 是正方形，∠AB=BC ，∠ABE=∠C=90°，在Rt∠ABE 和Rt∠BCF 中，AE BF AB BC =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ABE∠Rt∠BCF （HL ），∠BE=CF ；（2）BF=DH ，且BF∠DH ，延长BF 交DH 于点K ，∠四边形ABCD 和四边形CFGH 是正方形，∠BC=DC ，CF=CH ，∠BCF=∠DCH=90°，∠∠BCF∠∠DCH（SAS），∠BF=DH，∠CBF=∠CDH，∠∠CDH+∠CHD=90°，∠∠CBF+∠CHD=90°，∠∠BKH=90°，∠BK∠DH，即BF∠DH，综上，BF=DH，且BF∠DH；（3）如图∠，连接EG，∠FG=CH=CF=BE，且FG∠CH，即FG∠BE，∠四边形BEGF是平行四边形，∠GE∠BF，GE=BF，∠∠ABE∠∠BCF，∠∠CBF=∠BAE，BF=AE，∠GE=AE，∠∠BAE+∠AEB=90°，∠∠CBF+∠AEB=90°，∠∠AEG=∠BME=90°，∠AE=GE，∠∠EAG=45°，∠BE=CH，∠AD=BC=BE+CE=CH+CE=EH，又AD∠EH，∠四边形ADHE是平行四边形，∠DH∠AE，∠∠APD=∠GAE=45°．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．一元二次方程2430x x --=配方后可化为（ ）A ．()227x -=B ．()223x -=C ．()227x +=D ．()223x += 2．若x ＝1是方程x 2﹣ax ﹣1＝0的一个根，则实数a ＝（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．23．不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白球，已知红、白球共有60个，同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在14左右，则袋中红球个数可能为（ ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．154．如图，ABCD 中，点F 为AD 上一点，2AF DF =，连结BF ，交AC 于点E ，延长线交CD 的延长线于点G ，则EG BE的值为（ ）A ．43B ．32C ．3D ．2 5．如图，在正方形ABCD 中，F 为CD 上一点，AF 交对角线BD 于点E ，过点E 作EG AF ，交BC 于点G ，连结AG ，交BC 于点H ．现给出下列结论：①AE EG =；①BG DF FG +=；①2AH HE HD =⋅；①若F 为CD 的中点，则2CG BG =．其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．已知2x ＝3y ，那么下列结论中不正确的是（ ）A ．32x y =B ．12x y y -= C ．1413x y +=+ D ．52x y y += 7．关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣38．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（） A ．－2 B ．0 C ．1 D ．29．下列命题正确的是（ ）A ．任意两个矩形一定相似B ．相似图形就是位似图形C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么AC AB = D ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似10．如果关于x 的一元二次方程ax 2+2x -1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．a>-1 B ．a≥-1 C ．a≥-1且a≠0 D ．a>-1且a≠0二、填空题11．若23a b =，则a b b +=_________． 12．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB BC =；①AB BC ⊥；①AD BC =；①AC BD ⊥；①AC BD =．从中随机抽取一张卡片，能判定ABCD 是菱形的概率是________． 13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，点E 是AD 上的一点，若AE ＝4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ，若G 是的中点，则CM 的长是_____．14．已知点A 、B 的坐标分别为A （﹣4，2）、B （﹣1，﹣1），以原点O 为位似中心，按相似比1：2把①ABO 缩小，则点A 的对应点A'的坐标为_____．15．如图，已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，①BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是____．16．如图，①ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ：CD ＝2：3，点E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AF FC为_____．三、解答题17．解下列方程（1）2250x x +-=（2）2(2)(2)0x x x -+-=18．有A ，B 两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2，B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2和2．小明从A 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x ，再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就确定点Q 的一个坐标为（x ，y ）．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标；（2）求点Q 落在直线y=x -3上的概率．19．如图，在①ABCD 中，AE①BC ，AF①CD ，垂足分别为E ，F ，且BE=DF（1）求证：①ABCD 是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求①ABCD 的面积．20．某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销售就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元，设该口罩售价为每盒x （60x >）元．（1）用含x 的代数式表示提价后平均每天的销售量为__________盒；（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？21．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系y ＝﹣2x ＋80（1）当销售单价为24元时，销售量为 本，每周销售这种纪念册可获利 元； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？22．如图，在Rt①ABC 中，①ACB=90°，AC=8，BC=6，CD①AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）当t 为何值时，①CPQ 与①ABC 相似？（3）当t 为何值时，①CPQ 为等腰三角形？23．把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，方5，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ；（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．24．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，连接AD ，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）若4AC =，5AB =，求四边形ADCF 的面积．参考答案1．A【解析】利用完全平方公式进行配方即可得．【详解】解：2430x x--=，244430x x-+--=，2(2)70x--=，2(2)7x-=，故选：A．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．2．A【分析】把x＝1代入方程x²+ax﹣1＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x＝1代入方程x²+ax﹣1＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝0．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是使得等式左右两边成立的未知数的值是解题关键．3．D【解析】【分析】根据利用频率估计概率问题可直接进行求解．【详解】解：由题意得：160154⨯=；【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．4．B【解析】【分析】由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ，证明AB ＝AF ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ，①四边形ABCD 是平行四边形，①AD①BC ，AB①CD ，AD ＝BC ＝3k ， ①32EC BC AE AF ==， ①32EG CE BE AE ==, 故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．5．D【解析】【分析】由题意易得①AEG=①ABC=90°，进而可得点A 、B 、G 、E 四点共圆，然后可得①ABD=①AGE=45°，则可得①，将①ADF 绕点A 逆时针旋转90°得到ADM △，然后可证AMG AFG ≌，则可判定①，由①HAE①①HAD 可判定①，当点F 为CD 的中点可设DF=FC=1，进而根据勾股定理可进行求解．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，EG AF ， ①,90AB AD BAD ABC ADF AEG ，45ABD ADB ∠=∠=︒，①180ABG AEG ，①点A 、B 、G 、E 四点共圆，①①ABD=①AGE=45°，①①GAE=①AGE=45°，①AE EG =，故①正确；①①AHE=①DHA ，①HAE=①HDA=45°，①①HAE①①HAD ， ①AHHDHE AH =，①2AH HE HD =⋅，故①正确；将①ADF 绕点A 逆时针旋转90°得到ADM △，如图所示：①,,AM AF DAF BAM BM DF =∠=∠=，①①GAF=45°，①MAF=90°，①①MAG=①GAF=45°，①AG=AG ，①AMG AFG ≌，①MG FG =，①MG BM BG =+，①FG DF BG =+，故①正确；当点F 为CD 的中点时，则设DF=FC=BM=1，则BC=2，①BM =1，设BG=x ，则2,1CG x GM x =-=+，①在Rt①FCG 中，由勾股定理得：FG ==①MG FG =，①()()22121x x +=-+，解得：23x=，①43 CG=，①2CG BG=，故①正确；综上所述：正确的有①①①①，共4个；故选D．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、正方形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质、正方形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．6．C【解析】【分析】根据内项之积等于外项之积对A进行判断；根据分比性质对B进行判断；根据合分比性质对C进行判断；根据合比性质对D进行判断．【详解】解：A．因为2x＝3y，所以32xy=，所以A选项不符合题意；B．因为2x＝3y，则32xy=，所以32122x yy--==，所以B选项不符合题意；C．因为2x＝3y，则32xy=，所以1413xy+≠+，所以B选项符合题意；D．因为2x＝3y，所以32xy=，则32522x yy++==，所以D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例性质是解题的关键．7．B【解析】【详解】①关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，①Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，解得a＞﹣118且a≠0，本题考查了根的判别式，熟练运用判别式的公式是解题的关键．8．A【解析】【详解】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=-1，解得x=-2．故选：A．9．D【解析】【分析】A、两个相似图形不一定是位似图形．B、利用“对应边的比相等，对应角相等的多边形是相似多边形”进行判断即可．C、线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．D、根据有两角相等的三角形是相似三角形．【详解】解：A、任意两个矩形的对应边不能确定，故任意两个矩形不一定相似，故本选项错误，不符合题意；B、两个相似图形不一定是位似图形，故错误，不符合题意．C、如果C是线段AB的黄金分割点，需要（AC＞BC）且使AC是AB和BC的比例中项，AC，故错误，不符合题意，ABD、有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故本选项正确，不符合题意；故选D．【点睛】此题考查了命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．D根据题意可知Δ＞0，即22−4a×（-1）＞0，解得a>-1，又方程是一元二次方程，故二次项系数不为0，即a≠0，进而即可求解．【详解】解：①方程有两个不相等的实数根，①Δ＞0，即22−4a×（-1）＞0，解得a>-1，又①a≠0，①a>-1且a≠0，故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意Δ＞0①方程有两个不相等的实数根．11．5 3【解析】【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得2113ab+=+，通分得53a bb+=．故答案为：53．【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算．12．2 5【解析】【分析】根据菱形的判定定理判断哪个条件合适，然后根据概率公式计算．【详解】根据菱形的判断，可得①；①能判定平行四边形ABCD是菱形，①能判定ABCD 是菱形的概率是25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了菱形的判定，概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．13．32##1.5 【解析】【分析】由“ASA”可证①DEG①①CFG ，可得DE ＝CF ，EG ＝FG ，由勾股定理可求CF ＝DE ＝3，BH ＝5，通过证明①CFM①①BFH ，可得CM CF BH BF=，即可求解． 【详解】解：①矩形ABCD 中，①90D DCF ∠=∠=︒，AD=BC ，AB=CD ，①G 是CD 的中点，AB ＝8，①CG ＝DG ＝12×8＝4， 在①DEG 和①CFG 中， D DCF CG DGDGE CGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①DEG①①CFG （ASA ），①DE ＝CF ，EG ＝FG ，设DE ＝x ，则BF ＝BC+CF ＝AD+CF ＝4+x+x ＝4+2x ，在Rt①DEG 中，EG①EF ＝①FH 垂直平分BE ，①BF ＝EF ，①4+2x ＝解得x ＝3，①AD＝AE+DE＝4+3＝7，①BC＝AD＝7，BF＝4+2x＝10，如图，连接HE，①FH垂直平分BE，①BH＝EH，①AH2+AE2＝HE2，①（8﹣BH）2+16＝BH2，①BH＝5，①AB①CD，①①CFM①①BFH，①CM CF BH BF=，①3 510 CM=，①CM＝32，故答案为：32．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．14．（﹣2，1）或（2，﹣1）##（2，-1）或（-2，1）【解析】【分析】利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以12或﹣12，得出即可．【详解】解：①点A （﹣4，2），B （﹣1，﹣1），以原点O 为位似中心，相似比为12，把①ABO 缩小，①点A 的对应点A'的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题的关键．15．【解析】【分析】首先由四边形ABCD 是菱形，求得AC①BD ，OA=12AC ，①BAC=12①BAD ，然后在直角三角形AOB 中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB 的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．【详解】解：①四边形ABCD 是菱形，①AC①BD ，OA=OC=12AC=12×4=2，①BAC=12①BAD=12×120°=60°， ①AC=4，①AOB=90°，①①ABO=30°，①AB=2OA=4，OB=①BD=2OB=①该菱形的面积是：12AC•BD=12×4×故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半．16．25 【解析】【分析】如图，过点D 作DT①BF 交AC 于点T ．证明AF ＝FT ，CT ：FT ＝3：2，可得结论．【详解】解：如图，过点D 作DT//BF 交AC 于点T ．①E 为AD 的中点，①AE ＝DE ，①EF//DT ， ①1AE AF DE FT==, ①AF ＝FT ，①DT//BF ， ①32CT CD FT DB ==， ①32CT FT =， ①2352AF FC FT FT FT ==+． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．17．（1）121;1x x =;(2)122;1x x ==【解析】【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可.【详解】（1）2250x x +-=，①a=1,b=2,c=-5,①∆=4+20=24>0,1-±①121;1x x ==;（2）①2(2)(2)0x x x -+-=,①(2)(2)0x x x --+=,①x -2=0或2x -2=0，①122;1x x ==.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.18．（1）见解析，Q （1，-1）；Q （1，2）；Q （1，-2）；Q （2，-1）；Q （2，2）；Q （2，-2）；（2）13． 【解析】【分析】（1）列出树状图，求出点Q 的所有可能坐标即可；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出落在直线y=x−3上所用点，根据概率公式计算，即可得到答案．【详解】（1）树状图如下：①Q 点的所有可能是：Q （1，-1）；Q （1，2）；Q （1，-2）；Q （2，-1）；Q （2，2）；Q （2，-2）．（2）①只有Q （1，-2），Q （2，-1）在直线y=x -3上，①点Q 落在直线y=x -3上的概率为：26=13． 【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率、一次函数图象上点的坐标特征，正确利用树状图得到点QQ的所有可能坐标是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD =24【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【详解】（1）①四边形ABCD是平行四边形，①①B=①D，①AE①BC，AF①CD，①①AEB=①AFD=90°，①BE=DF，①①AEB①①AFD，①AB=AD，①四边形ABCD是菱形；（2）连接BD交AC于O，①四边形ABCD是菱形，AC=6，①AC①BD，AO=OC=12AC=12×6=3，①AB=5，AO=3，，①BD=2BO=8，①S平行四边形ABCD=12×AC×BD=24．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.20．（2）()2002x -；（2）70元【解析】【分析】（1）先确定提价多少元，乘以2即为减少的数量，与60元时的销售量作差即可； （2）先确定每盒的利润为售价减去进价，乘以销售量即可得到总利润．【详解】解：（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：()802602002x x --=-．故答案是：()2002x -．（2）根据题意得：()()5020021200x x --=，整理得：215056000x x -+=．解得：170x =，280x =． 又该款口罩的每盒售价不得高于72元，70x ∴=．所以要获得1200元利润，应按70元每盒销售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解利润，数量，总利润之间的关系是解题的关键．21．（1）32；128；（2）25元【解析】【分析】（1）将x ＝24代入题目中的函数解析式，求出相应的y 的值，即此时的销售量，再根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，计算出相应的利润即可；（2）根据文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润，可以得到关于x 的一元二次方程，然后求解即可，注意要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．【详解】解：（1）当x ＝24时，y ＝﹣2×24+80＝﹣48+80＝32，当x ＝24时，周销售这种纪念册可获利：（24﹣20）×32＝4×32＝128（元），故答案为：32，128；（2）由题意可得，（x ﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得x 1＝25，x 2＝35（舍去），答：当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是25元．22．（1）4.8．（2）t 为3或95；（3）当t 为2.4秒或14455秒或2411秒时，①CPQ 为等腰三角形． 【解析】（1）先根据勾股定理求出AB 的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用t 表示出DP ，CQ ，CP 的长，再分PQ①CD 与PQ①AC 两种情况进行讨论； （3）根据题意画出图形，分CQ=CP ，PQ=PC ，QC=QP 三种情况进行讨论．【详解】解：（1）①①ACB=90°，AC=8，BC=6，①AB=10．①CD①AB ， ①S①ABC=12BC•AC=12AB•CD ． ①CD=68=10BC ACAB ⋅⨯=4.8．①线段CD 的长为4.8．（2）由题可知有两种情形，设DP=t ，CQ=t ．则CP=4.8﹣t ．①当PQ①CD 时，如图a①①QCP①①①ABC ①=CQCPAB BC ， 即 4.8=106tt-，①t=3；①当PQ①AC ，如图b ．①①PCQ①①ABC ①CP AB =CQB C ， 即4.810t-=6t，解得t=95，①当t 为3或95时，①CPQ 与①①ABC 相似；（3）①若CQ=CP ，如图1，则t=4.8﹣t ．解得：t=2.4．①若PQ=PC ，如图2所示．①PQ=PC ，PH①QC ， ①QH=CH=12QC=2t．①①CHP①①BCA ． ①=CHCPBC AB ． = 4.82610tt -= ，解得t=14455．①若QC=QP ，过点Q 作QE①CP ，垂足为E ，如图3所示．同理可得：t=2411．综上所述：当t 为2.4秒或14455秒或2411秒时，①CPQ 为等腰三角形．【点睛】考点：相似形综合题．23．（1）14；（2）图表见解析，13 【解析】（1）根据概率的意义，从4张扑克牌中，任选一张，是红心的概率为14； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再求相应的概率即可．【详解】解：（1）从黑2，红3，梅4，方5这4张扑克牌中任摸一张，是红心的可能性为14， 故答案为：14； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种等可能出现的结果，其中和大于7的有4种，所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为412＝13． 【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法要不重复不遗漏所有可能的结果，概率=所求情况与总情况数之比.24．（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质结合已知条件得出AFE DBE ∆∆≌，得出AF DB =，从而确定四边形ADCF 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD DC =即可；（2）根据菱形的性质以及三角形面积关系可得2ACD ABC ADCF S S S ==△△菱形，即可求解．【详解】（1）证明：E 是AD 的中点，AE DE ∴=，21 //AF BC ，AFE DBE ∴∠=∠，在AEF 和DEB 中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AEF DEB ∴△≌△，AF DB ∴=， D 是 BC 的中点DB DC ∴=，AF DC ∴=，又//AF BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，12AD BC CD ∴==， ∴四边形ADCF 是菱形．（2）解：D 是BC 的中点，12ACD ABD ABC S S S ∴==△△△， 四边形ADCF 是菱形，112451022ACD ABC ADCF S S S AC AB ∴===⨯=⨯⨯=△△菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等知识，灵活熟练的掌握相关的定理是解题的关键．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷2022年7月一、单选题1．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2 2．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4-0．5x）=15 B．（x+3）（4+0．5x）=15C．（x+4）（3-0．5x）=15 D．（x+1）（4-0．5x）=153．一元二次方程2450x x-+=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤15．一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（）A．215B．13C．815D．126．下列四边形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形7．若菱形的边长为2cm，其中一内角为60°，则它的面积为（）A2B2C．2cm2D．28．在平行四边形ABCD中，∠B＝110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F ＝（）A．110° B．30° C．50° D．70°9．如图所示，将矩形ABCD 纸对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕线MN 上，（如图点B′），若AB =AE 的长为（ ）A B C ．2 D ．10．已知：菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE∠DC 交BC 于点E ， AD=6cm ，则OE 的长为（ ）A ．6cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm二、填空题11．方程（x -1）（2x+1）=2化成一般形式是______ ．12．已知关于x 的方程()22104m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是_______．13．已知菱形ABCD 的边长为6，60A ∠=︒，如果点P 是菱形内一点，且PB PD ==那么AP 的长为__________．14．如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC于点E ，F ，连接CE ，已知∠CDE 的周长为24cm ，则矩形ABCD 的周长是________cm ．15．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是______ ．16．如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠FAC=60°．连接AE ，再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n 个菱形的边长是___．三、解答题17．按要求的方法解方程，否则不得分．（1）2450x x -=+（配方法）（2）22730x x -+=（公式法）（3）(1)(2)24x x x ++=+（因式分解法）18．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且110x ），求出y 关于x 的函数关系式；（2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．19．我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A ：篮球，B ：足球，C ：排球，D ：羽毛球，E ：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．20．如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E 点，延长BC 至F 点使=CF BE ，连接AF ，DE ，DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若6AB =，8DE =，10BF =，求AE 的长．21．如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P 逆时针旋转90 得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图∠，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图∠，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；22．在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；（2）如图2，连接AH，GH．小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH∠GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证∠GAM是等腰直角三角形；想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证∠AMH∠∠HNG．…请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH∠GH．（一种方法即可）参考答案1．D【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：x2﹣x﹣2=0，（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，所以x1=2，x2=﹣1．故选D．2．A【解析】【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，由题意得(x+3)(4-0.5x)=15即可．【详解】设每盆应该多植x株，由题意得(x+3)(4-0.5x)=15，故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．3．D【解析】【分析】由根的判别式∠判断即可．【详解】解：∠=b2-4ac=(-4)2-4×5=-4＜0，方程没有实数根．故选择D．【点睛】本题考查了一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．4．D【解析】【分析】根据根的判别式即可求解．【详解】依题意可得（-2）2-4m≥0解得m≤1故选D．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的情况求解，解题的关键是熟知根的判别式．5．B【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：∠全部情况的总数；∠符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，共15个，摸到红球的概率为：51= 153，故选：B．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝mn．6．A 【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．【详解】A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；B、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意．故选A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，平行四边形和特殊平行四边形的性质，掌握以上知识点是解决问题的关键．7．D【解析】【分析】连接AC，过点A作AM∠BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．【详解】解：连接AC，过点A作AM∠BC于点M，∠菱形的边长为2cm，∠AB=BC=2cm，∠有一个内角是60°，∠∠ABC=60°，∠此菱形的面积为：2)．故选：D．本题考查菱形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练运用菱形的性质．8．D【解析】【分析】要求∠E+∠F，只需求∠ADE，而∠ADE＝∠A与∠B互补，所以可以求出∠A，进而求解问题．【详解】解：∠平行四边形ABCD中AD//BC，AB//CD，∠∠A＝∠ADE＝180°﹣∠B＝70°，∠∠E+∠F＝∠ADE，∠∠E+∠F＝70°；故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质应用，准确分析计算是解题的关键．9．C【解析】【分析】先作辅助线，然后根据折叠的性质和解直角三角形计算．【详解】解：延长EB′与AD交于点F，∠∠AB′E=∠B=90°，MN是对折折痕，∠EB′=FB′，∠AB′E=∠AB′F，在∠AEB′和∠AFB′中，AB ABAB E AB F EB FB'⎧⎪∠'∠'⎨⎪''⎩'＝＝＝，∠∠AEB′∠∠AFB′，∠∠B′AE=∠B′AD ，∠∠BAE=∠B′AE=∠B′AD ；∠∠EAB=30°， ∠EB=12EA ， 设EB=x ，AE=2x ，∠（2x ）2=x 2+AB 2，x=1，∠AE=2，则折痕AE=2，故选C ．10．C【详解】∠四边形ABCD 是菱形，∠OB=OD ，CD=AD=6cm ，∠OE∠DC ，∠OE 是∠BCD 的中位线． ∠OE=12CD=3cm ． 故选：C ．11．2x 2-x -3=0【解析】【分析】一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．【详解】方程（x -1）（2x+1）=2化成2x 2+x -2x -1-2=0,即2x 2-x -3=0.故答案为2x 2-x -3=012．0【详解】解：∠关于x 的方程()22104m x m x +-+=有两个不相等的实数根，∠()221141042m m m ∆=--⋅⋅>⇒<. ∠m 的最大整数值为0．故答案为：0．13．【解析】根据题意得，应分P 与A 在BD 的同侧与异侧两种情况进行讨论．【详解】解：当P 与A 在BD 的异侧时：连接AP 交BD 于M ，∠AD=AB ，DP=BP ，∠AP∠BD （到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角∠ABM 中，∠BAM=30°，BM=AB•sin30°=3，当P 与A 在BD 的同侧时：连接AP 并延长AP 交BD 于点MAP=AM -当P 与M 重合时，PD=PB=3，与AP 的长为故答案为：14．48【分析】利用FE 垂直平分AC 可得到AE=CE ，那么∠CDE 的周长就可以表示为AD+CD ，也就求出了矩形的周长．【详解】∠四边形ABCD是矩形，∠OA=OC，∠EF∠AC，∠AE=CE，∠矩形ABCD的周长=2(AE+DE+CD)，∠DE+CD+CE=24，∠矩形ABCD的周长=2(AE+DE+CD)=48cm．故答案为：48．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，证明AE=CE是解题的关键．15．3 16【解析】【分析】根据概率公式可得答案．【详解】由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能，∠听数学课的可能性是3 16，故答案为3 16【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义时解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比．16．1n-【解析】【分析】连接DB于AC相交于M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．【详解】解：连接DB ，四边形ABCD 是菱形，AD AB ∴=．AC DB ⊥，60DAB ∠=︒，ADB ∴∆是等边三角形，1DB AD ∴==，12BM ∴=，AM ∴=AC ∴同理可得2AE ==，3AG ==，按此规律所作的第n 个菱形的边长为1n -，故答案为：1n -．【点睛】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力，解题的关键掌握菱形的性质．17．（1）1215x x ==-，；（2）12132x x ==，；（3）1221x x ，=-=． 【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）方程整理后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（1）2450x x -=+，移项得：245x x +=，配方得：24454x x ++=+，即()229x +=，直接开平方得：23x +=±，∠1215x x ==-，；（2）22730x x -+=，∠2a =，7b =-，3c =，()2247423250b ac =-=--⨯⨯=>，∠754x ±==， ∠12132x x ==，； （3）(1)(2)24x x x ++=+，整理得：23224x x x ++=+，即220x x +-=，因式分解得：()()210x x +-=，∠20x +=或10x -=，∠1221x x ，=-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是会用配方法、公式法、因式分解法解方程． 18．（1）y=﹣10x 2+180x+400（其中x 是正整数，且1≤x≤10）；（2）该产品的质量档次为第6档【解析】【分析】(1)用x 表示出每件产品的利润和产量,进而即可表示出总利润,(2)令y=1120,代入(1)中二次函数,得到一元二次方程,解一元二次方程即可得到该产品的质量档次．【详解】解: (1)生产第x 档次的产品每件利润为[6+2(x －1)]元，可生产[95－5(x －1)]件，故总利润()()2621955110180400y x x x x =+---=-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（其中x 是正整数,且1≤x≤10）；(2)令1120y ，则2101804001120x x -++=，即218720x x -+=，解得:16x =，212x =（舍去）,答：该产品的质量档次为第6档．19．(1)50人；作图见解析；(2)13【解析】【分析】（1）根据C 科目的人数和百分比求出总人数；然后分别求出A 科目和E 科目的人数，补全统计图；（2）根据题意画出树状图，根据芥蓝菜的计算法则得出概率.【详解】解：（1）该班总人数是：12÷24%=50（人）E 类人数是：50×10%=5（人），A 类人数为：50﹣（7+12+9+5）=17（人）． 补全频数分布直方图如下：（2）画树状图如下：，共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种， 则概率是：41123=． 20．（1）见解析；（2）245【解析】【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明∠ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【详解】（1）证明：∠CF=BE，∠CF+EC=BE+EC．即EF=BC．∠在∠ABCD中，AD∠BC且AD=BC，∠AD∠EF且AD=EF．∠四边形AEFD是平行四边形．∠AE∠BC，∠∠AEF=90°．∠四边形AEFD是矩形；（2）∠四边形AEFD是矩形，DE=8，∠AF=DE=8．∠AB=6，BF=10，∠AB2+AF2=62+82=100=BF2．∠∠BAF=90°．∠AE∠BF，∠∠ABF的面积=12AB•AF=12BF•AE．∠AE=•6824105 AB AFBF⨯==．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，解决此题的关键是合理运用等面积法解决问题．21．（1）见解析；（2）四边形EPCF是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出∠PBA∠∠FBC，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形就可以得出结论；（2）由正方形的性质可以得出AB=BC ，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出∠PBA∠∠FBC ，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形就可以得出结论．【详解】（1）证明：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB=BC ，∠ABC=∠PBA=90°∠在∠PBA 和∠FBC 中，AB BCPBA FBC BP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠PBA∠∠FBC （SAS ），∠PA=FC ，∠PAB=∠FCB ．∠PA=PE ，∠PE=FC ．∠∠PAB ＋∠APB=90°，∠∠FCB+∠APB=90°，∠∠EPA=90°，∠∠APB ＋∠EPA ＋∠FCP=180°，即∠EPC ＋∠PCF=180°，∠EP∠FC ，∠四边形EPCF 是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF 是平行四边形，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB=BC ，∠ABC=∠CBF=90°，∠在∠PBA 和∠FBC 中，AB BCPBA FBC BP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠PBA∠∠FBC （SAS ），∠PA=FC ，∠APB=∠BFC ，∠PA=PE ，∠PE=FC，∠∠FCB＋∠BFC=90°，∠BPE＋∠APB=90°，∠∠BPE=∠FCB，∠EP∠FC，∠四边形EPCF是平行四边形．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定，解答时灵活运用平行四边形的判定方法是关键．22．（1；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据勾股定理得出BD，DF，进而求出BF，即可得出结论；（2）想法1、先判断∠ABH∠∠MFH，进而判断出∠ADG∠∠MFG．即可判断出∠AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；BF．进而判断出∠AMH∠∠HNG，即可判断出∠AHM+∠GHN=90°．即想法2、先判断出MN=12可得出结论．【详解】（1）∠正方形中ABCD和正方形DEFG，∠∠ABD，∠GDF为等腰直角三角形．∠AB=1，DG=2，∠由勾股定理得∠B、D、F共线，．∠H是BF的中点，∠BH=12（2）想法1：如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM．∠正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，∠AB∠EF，∠∠ABH=∠MFH．又∠BH=FH，∠AHB=∠MHF，∠∠ABH∠∠MFH，∠AH=MH，AB=MF．∠AB=AD，∠AD=MF．∠DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，∠∠ADG∠∠MFG，∠∠AGD=∠MGF，AG=MG．又∠∠DGM+∠MGF=90°，∠∠AGD+∠DGM=∠AGM=90°，∠∠AGM为等腰直角三角形．∠AH=MH，∠AH=GH，AH∠GH．想法2：如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N．∠正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，∠AC∠BF，GE∠BF，DM=AM=12BD，DN=GN=12DF，∠∠AMD=∠GNH=90°，MN=12BF．∠H是BF的中点，∠BH=12BF，∠BH=MN，∠BH﹣MH=MN﹣MH，∠BM=HN．∠AM=BM=DM，∠AM=HN=DM，∠MD+DH=NH+DH，∠MH=DN．∠DN=GN，∠MH=GN．在∠AMH和∠HNG中，∠AM=HN，∠AMD=∠HNG，MH=NG，∠∠AMH∠∠HNG，∠AH=GH，∠AHM=∠HGN．∠∠HGN+∠GHN=90°，∠∠AHM+∠GHN=90°，∠∠AHG=90°，∠AH∠GH，∠AH=GH，AH∠GH．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是求出BF，解（2）的关键是判断出∠ABH∠∠MFH和∠AMH∠∠HNG；是一道中等难度的中考常考题．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．把一元二次方程y 2＋2（y ﹣1）＝3y 化成一般形式，正确的是（ ）A ．y 2﹣y ﹣2＝0B ．y 2＋5y ﹣2＝0C ．y 2﹣y ﹣1＝0D ．y 2﹣2y ﹣1＝0 2．若34y x =，则x y x+的值为（ ） A ．1 B ．47 C ．54 D ．743．下列说法正确的有（ ）个．①菱形的对角线相等； ①对角线互相垂直的四边形是菱形； ①有两个角是直角的四边形是矩形； ①正方形既是菱形又是矩形； ①矩形的对角线相等且互相垂直平分． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知关于x 的方程mx 2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜1，且m≠0 D ．m ＞1，且m≠0 5．如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，O 为BD 的中点，则下列结论：①90AME ∠=︒，①BAF EDB ∠=∠，①23AM MF =，①ME MF +=．其中正确结论的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC 的面积为44，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．22B ．24C ．26D ．287．如图，已知点D 为ABC 边AB 上一点，AD ：AB ＝2：3，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，若AE ＝6，则EC 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC △∽△的是（）A ．ACDB ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．2AC AD AB =⋅ D ．AD CD AC BC = 9．如图，①A'B′C'和①ABC 是位似三角形，位似中心为点O ，OA'=2AA'，则①A'B'C'和①ABC 的位似比为（ ）A ．14B ．13C ．49D ．23 10．点P 是①ABC 的边AC 上一点，连结BP ，以下条件中，不能判定①ABP①①ACB 的是A ．AB AP ＝AC AB B ．BC BP ＝AC AB C ．①ABP ＝①C D ．①APB ＝①ABC二、填空题11．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是______个．12．已知线段AB 的长为10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝_____cm ．（结果保留根号）13．若234a b c ==≠0，则a b c a b c+--+＝__． 14．如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE //AC ，CE //BD ，连接OE ，设AC ＝12，BD ＝16，则OE 的长为_____．15．一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中．不断重复这一过程，共摸了400次球，发现有240次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有 _____个．16．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE①BD ，DE①AC ．若5AC =，则四边形AODE 的周长为_______．三、解答题17．用适当的方法解方程：（1）（x ﹣2）2＝9； （2）x 2﹣6x ﹣9＝0；（3）2x 2+3x ﹣1＝0； （4）（2x+3）2＝4（2x+3）．18．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC 三个顶点分别为A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．（1）画出ABC 关于x 轴对称的A 1B 1C 1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出A 2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．19．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分①ABC，过点D作DE①BC交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．AC，21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE①AC，且BE＝12连接EC．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长．22．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价． 23．有四张正面分别标有数字-1，0，1，2的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机抽取一张不放回，将卡片上的数字记为m ，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为n ．（1）请用画树状图或列表法写出(),m n 所有的可能情况；（2）求所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率．24．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，动点M ，N 分别从O ，B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP①OA ，交AC 于P ，连接NP ，设M 、N 运动的时间为t 秒()04t <<．（1）P 点的坐标为（ ），PC（用含t 的代数式表示）；（2）求当t为何值时，以C、P、N为顶点的三角形与①ABC相似；（3）在平面内是否存在一个点E，使以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由．25．如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．参考答案1．A2．D3．A4．C5．B6．D7．C8．D9．D10．B11．9【分析】用球的总数乘以白球的概率，即可求得白球数量．【详解】解：袋子中的白球数为：300.3=9⨯（个）．故答案为：912．5【解析】列式计算即可． 【详解】解：①点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，①AC AB ＝（5）cm ，故答案为：5．13．13【分析】 设234a b c ==＝k ，可得a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，再代入求值即可得到答案． 【详解】 设234a b c ==＝k ，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ， ①a b c a b c +--+＝234234k k k k k k+--+＝3k k ＝13． 故答案为：1314．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD ＝20，证出平行四边形OCED 为矩形，得OE ＝CD ＝10即可．【详解】解：①DE //AC ，CE //BD ，①四边形OCED 为平行四边形，①四边形ABCD 是菱形，①AC①BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12BD ＝8，①①DOC＝90︒，CD＝10，①平行四边形OCED为矩形，①OE＝CD＝10，故答案为：10．15．15【解析】根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案．【详解】解：①共摸了400次球，发现有240次摸到黑球，①摸到黑球的概率为240÷400=0.6，①袋中的黑球大约有25×0.6=15（个）；故答案为：15．16．10【解析】根据AE①BD，DE①AC，可得到四边形AODE是平行四边形，再由四边形ABCD是矩形，可证得四边形AODE是菱形，即可求解．【详解】解：①AE①BD，DE①AC，①四边形AODE是平行四边形，①四边形ABCD是矩形，①AC=BD，AO=CO，BO=DO，①AO=DO，①四边形AODE是菱形，①AO=DO=DE=AE，①5AC=，①52 AO=，①四边形AODE的周长为54102⨯=．故答案为：1017．（1）x 1=5，x 2=﹣1；（2）x 1=3+x 2=3-（3）1x =，2x =（4）x 1=32-，x 2=12． 【解析】（1）利用直接开平方法得出x ﹣2=±3，然后解一元一次方程即可；（2）利用配方法得出x 2﹣6x+9=9+9，然后化为直接开平方法求解即可；（3）利用公式解法得出231a b c ===-，，，计算24=9+8=17b ac -＞0，然后代入公式计算即可；（4）利用因式分解法得出（2x+3）（2x+3-4）=0，然后转化为2x+3=0或2x ﹣1=0，再解一元一次方程即可．【详解】解：（1）（x ﹣2）2＝9，解：两边开方得：x ﹣2=±3，解得：x 1=5，x 2=﹣1；（2）x 2﹣6x ﹣9＝0，解：移项得：x 2﹣6x=9，配方得：x 2﹣6x+9=9+9，即（x ﹣3）2=18，开方得：x ﹣3=±①原方程的解是：x 1=3+x 2=3-（3）2x 2+3x ﹣1＝0，解：231a b c ===-，，，24=9+8=17b ac -＞0代入公式得x =①1x =，2x = （4）（2x+3）2＝4（2x+3），解：（2x+3）（2x+3-4）=0，（2x+3）（2x -1）=0，①2x+3=0或2x ﹣1=0，①x 1=32-，x 2=12．18．（1）①A1B1C1为所求作，画图见详解；（2）A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），①A2B2C2为所求作，画图见详解．【解析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标的特征，分别写出A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1的坐标，然后分别描点，依次连接这三点即得符合要求的三角形；（2）根据位似图形在x轴下方，结合位似比2，把A、B、C的横纵坐标分别乘-2，即得到A2、B2、C2的坐标，描点得到①A2B2C2．【详解】解（1）①ABC三个顶点分别为A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．ABC关于x轴对称的A 1B1C1，①A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)关于x轴对称轴坐标为A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），在平面直角坐标系中描出A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），顺次连结A1B1，B1C1，C1A1，如下图，①A1B1C1为所求作；（2）A 2B2C2与ABC位似，且位似比为2，ABC三个顶点分别为A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)的位似点坐标为A2（-2×（-2）,1×（-2））即（4，-2），B2（1×（-2），2×（-2））即（-2，-4），C2（-4×（-2），4×（-2））即（8，-8）在平面直角坐标系中描点A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），顺次连结A2B2，B2C2，C2A2，如下图，①A2B2C2为所求作19．（1）见解析（2【解析】（1）由平行线的性质和角平分线得出①ADB＝①ABD，证出AD＝AB，由AB＝BC得出AD ＝BC，即可得出结论；（2）根据直角三角形的性质求出BD，在Rt①BDE中，由勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：①AD//BC，①①ADB＝①CBD，①BD平分①ABC，①①ABD＝①CBD，①①ADB＝①ABD，①AD＝AB，①AB＝BC，①AD＝BC，①AD//BC，①四边形ABCD是平行四边形，又①AB＝BC，①四边形ABCD是菱形；（2）解：①DE①BC①①BDE是直角三角形，①四边形ABCD是菱形①O点是BD的中点①BD=2OE=6①DE=【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20．（1）见解析；（2）k=3【解析】（1）先根据题意求出①的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式①的关系即可得出答案；（2）根据①ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值．【详解】解：（1）①①=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)=k2+2k+1﹣8k+12=(k-3)2+4，①无论k为何实数，(k-3)2≥0，①(k-3)2+4＞0，①无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）①AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根，由（1）可得，AC≠BC，①①ABC为等腰三角形，①AC=AB=3或BC=AB=3，①方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3，①32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，解得k=3．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式24b ac=-的关系：（1）①＞0①方程有两个不相等的实数根；（2）①=0①方程有两个相等的实数根；（3）①＜0①方程没有实数根．21．（1）见解析；（2）BF【解析】【分析】（1）由菱形的性质得①BOC=90°，OC=12AC，推出BE=OC，则四边形BECO是平行四边形，再由①BOC=90°，即可得出结论；（2）由勾股定理求出OB=8，则BD=2OB=16，再证①ODF①①CEF（ASA），得DF=EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．【详解】（1）证明：①四边形ABCD是菱形，①①BOC=90°，OC=OA=12 AC，①BE=12 AC，①BE=OC，①BE①AC，①四边形BECO是平行四边形，①①BOC=90°，①平行四边形BECO是矩形；（2）解：①四边形ABCD是菱形，①BC=AB=10，OC=12AC=6，OB=OD，AC①BD，在Rt①OBC中，由勾股定理得：，①BD=2OB=16，由（1）得：四边形BECO是矩形，①BE=OC=6，①OBE=①ECO=90°，OB=CE，OB①CE，=①ODF=①CEF ，OD=CE ，在①ODF 和①CEF 中，90DOF ECF OD CE ODF CEF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①ODF①①CEF （ASA ），①DF=EF ，①①DBE=90°， ①BF=12故BF【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明四边形BECO 为矩形是解题的关键．22．（1）280；（2）23元或19元；（3）19元【解析】【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；（2）设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为（25-15-x ）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x 的值，再将其代入（25-x ）中即可求出结论．【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．故答案为：280．（2）设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为（25-15-x ）元，平均每天可售出80+0.5x ×20=（40x+80）件，依题意，得：（25-15-x ）（40x+80）=1280，整理，得：x 2-8x+12=0，解得：x 1=2，x 2=6，①25-x=23或19．答：每件商品的定价应为23元或19元．（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，①25-x=19．答：商品的销售单价为19元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键．23．（1）（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）；（2）16【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，即可求出（m ，n ）所有的可能情况；（2）求出所选的m ，n 能在一次函数y x =-的图像上的情况数，再根据概率公式列式计算即可．【详解】解：（1）画树状图如下：则（m ，n ）所有的可能情况是（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）．（2）所选的（m ，n ）能在一次函数y x =-的图像上的情况有：（-1，1），（1，-1）共2种所以，所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率：21126=24．（1）3,64t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；54t ；（2）t=12841；（3）329t =或83． 【解析】（1）根据题意表示出OM 的长度，即求出P 点的横坐标，然后根据①APM①①ACO 即可表示出PM 和AP 的长度，即求出点P 的纵坐标和PC 的长度；（2）当CNP CBA △∽△时，PN BA ∥，可得点P 和点N 的横坐标相等，然后列方程求解即可，当CPN CBA △∽△时，分别表示出CN ，CP 的长度，根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可；（3）当四边形CPEN 是菱形时，可得CP=CN ，分别表示出CP 和CN 的长度列方程求解即可；当四边形CPNE 是菱形时，根据菱形的性质可得N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，列方程求解即可；当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质得到CN=PN ，列方程求解即可．【详解】解：（1）①点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，①CO=6，AO=8，①10AC ===，①点M 以每秒1个单位的速度运动，运动的时间为t 秒，①OM=t ，AM=AO -OM=8-t ，①P 点的横坐标为t ，①MP①OA ，①CO PM ∥，①COA PMA ∠=∠，又①CAO PAM ∠=∠，①APM ACO △∽△， ①=PM AM AP CO AO AC =，即86810PM t AP -==， 解得：364t PM =-，5104t AP =-， ①点P 的坐标为364t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ①55101044t t PC AC AP ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知点P的坐标为364tt⎛⎫-⎪⎝⎭，，由题意可知，BN=t，①CN=8-t，①点N的坐标为()86t-，，当CNP CBA△∽△时，由题意可得PN BA∥，①点P和点N的横坐标相等，①8t t-=，解得：t=4，①04t<<，①应舍去．当CPN CBA△∽△时，①CP CNBC AC=，即584810tt-=，解得：12841t=．（3）如图所示，当四边形CPEN是菱形时，①CP=CN，①CP=54t，CN=8-t，①584tt=-，解得：329t=；如图所示，当四边形CPNE是菱形时，根据菱形的性质可得，PE 垂直平分CN ，①N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，①8-t=2t ， 解得：83t =； 如图所示，当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质可得CN=PN ，①8t -=2572560t t -=， 解得：10t =(舍去)，2256457t =>，应舍去； 综上所述，329t =或83． 25．5.2米【解析】 作AH①ED 交FC 于点G ，根据题意得出AH=BD ，AG=BC ，然后根据平行线截线段成比例得出答案.【详解】解：作AH①ED 交FC 于点G ；如图所示：①FC①BD ，ED①BD ，AH①ED 交FC 于点G ，①FG①EH ， AH ED BD ED AB BC ED BC ⊥⊥⊥⊥，，，，1.62.215AH BD AG BC AB FC BC CD ∴======，，，，，， 2.21.60.66FG BD ∴===﹣，，FG EH ，0.61,6FGAGEH AH EH ∴==，解得： 3.6EH = ，① 3.6 1.6 5.2ED =+=（m ）答：电视塔的高ED 是5.2米．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2021 D ．20202．已知32a b =，则a b b-的值是（ ） A ．32 B ．23 C ．2 D ．123．如下图，在ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，若:3:4AD AB =，则:AE EC =（ ）A ．3:1B ．4:1C ．4:3D ．3:2 4．菱形的一个内角是60︒，边长是3cm ，则这个菱形的较短的对角线长是（ ）A ．3cm 2B C ．3cm D ． 5．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝6，BC ＝8，过点O 作OM⊥AC ，交BC 于点M ，过点M 作MN⊥BD ，垂足为N ，则OM+MN 的值为（ ）A ．245B ．165C ．125D ．65 6．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE ＝1，⊥DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF ，过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EG 、EF ．下列结论：⊥CG ⊥AEG 的周长为8；⊥EGF 的面积为1710．其中正确的是（ ）A ．⊥⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥7．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（ ）A ．150B ．100C ．50D ．2008．下列说法错误的是（ ）A ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B ．矩形的对角线相等C ．对角线相等的菱形是正方形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 9．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（） A ．310 B ．925 C ．425 D ．11010．如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝CA ，连接AE ，如果⊥ACB ＝38°，则⊥E 的值是（ ）A ．18°B ．19°C ．20°D ．40°11．如图，平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点E F ，分别是,OA OC 的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF 是菱形的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．2AC BD = C ．AC 平分BAD ∠ D ．AB BC = 12．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点M 在边CD 上，若AM 平分⊥DMB ，则DM 的长是（ ）AB ．14C 32D ．2二、填空题13．一元二次方程x 2﹣x=0的根是_____．14．已知x=2是关于x 的一元二次方程kx 2+（k 2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k 的值为_____． 15．有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为_____．16．图，在菱形ABCD 中，AC ＝6，AB ＝5，点E 是直线AB 、CD 之间任意一点，连接AE 、BE 、DE 、CE ，则⊥EAB 和⊥ECD 的面积和等于_____．三、解答题17．解下列方程：（1）x 2﹣4x ﹣5＝0；（2）2x 2﹣5x+1＝0．18．已知关于x 的一元二次方程（a+b ）x 2+2cx+（b ﹣a ）＝0，其中a ，b ，c 分别为⊥ABC 三边的长．（1）如果x ＝﹣1是方程的根，试判断⊥ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断⊥ABC 的形状，并说明理由．19．如图，在四边形ABCD 中，⊥BAC ＝90°，E 是BC 的中点，AD⊥BC ，AE⊥DC ，EF⊥CD 于点F ．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若AB ＝6，BC ＝10，求EF 的长．20．如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，,AE AD EC =与BD 相交于点,G 与AD 相交于点,F AF AB =．（1）求证：BD EC ⊥；（2）求:AD AB 的值；（3）连接AG ，求证：EG DG -=．21．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若⊥CAD=⊥DBC ． （1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，DH⊥CE ，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE=OF.22．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，求⊥ABC 的周长．23．如图，已知在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且EA=EC ．（8′） （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若⊥DAC=⊥EAD+⊥AED ，求证：四边形ABCD 是正方形．24．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．（1）现在每天卖出件，每件盈利元（用含x的代数式表示）；（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．25．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，（1）证明：PC=PE；（2）求⊥CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当⊥ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．参考答案1．D2．D3．A4．C5．A6．D7．A8．A9．A10．B11．B12．D13．x1=0，x2=1【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．14．﹣3【详解】【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可．【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，因为k≠0，所以k 的值为﹣3．故答案为﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．23【解析】设其中一双鞋分别为a ，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；【详解】设其中一双鞋分别为a ，a′．画树状图得：⊥共有12种情况，能配成一双的有8种情况，⊥取出两只刚好配一双鞋的概率是：82123=． 故答案为23． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．12【分析】过点A 作AF CD ⊥交CD 于点F ，过点D 作DG AC ⊥交AC 于点G ．根据菱形的性质确定AD 和CD 的长度，然后根据等腰三角形的性质确定AG 的长度，再结合勾股定理确定DG 的长度，再根据三角形面积公式确定AF 的长度，即直线AB 与直线CD 之间的距离．再根据三角形面积公式和乘法分配律即可求出阴影部分的面积．【详解】：如下图所示，过点A 作AF CD ⊥交CD 于点F ，过点D 作DG AC ⊥交AC 于点G ．⊥四边形ABCD 为菱形，AB=5，⊥AD=CD=AB=5．⊥DG AC ⊥，AC=6，⊥AG=CG=3．⊥4DG =． ⊥1122ACD S AC DG =⋅=． ⊥AF CD ⊥， ⊥12ACD S CD AF =⋅． ⊥11252AF =⨯． ⊥245AF =． ⊥直线AB 与直线CD 之间的距离为245． ⊥点E 是直线AB 、CD 之间一点，⊥设点E 到直线AB 的距离为1h ，点E 到直线CD 的距离为2h ． ⊥12245h h +=． ⊥S 阴()121212111111222222EAB ECD S S AB h CD h AB h AB h AB h h =+=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=． 故答案为：12．【点睛】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．17．（1）x 1＝5，x 2＝﹣1；（2）x 1=x 2=【解析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【详解】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，则（x﹣5）（x+1）＝0，则x﹣5＝0或x+1＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1；（2）⊥a＝2，b＝﹣5，c＝1，⊥Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，⊥x==⊥x1=x2=【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（1）等腰三角形，理由见解析；（2）直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程，即可得出答案；（2）根据方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式进行计算即可得出结果．【详解】解：（1）⊥ABC是等腰三角形，理由：把x=﹣1代入方程得，(a+b)－2c+(b－a)=0，⊥b=c，⊥⊥ABC是等腰三角形；（2）⊥ABC是直角三角形，理由：⊥方程有两个相等的实数根，⊥Δ=（2c）2－4（a+b）(b－a)，⊥a2+ c2= b2，⊥⊥ABC 是直角三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关概念，熟知一元二次方程根的判别式对应的根的情况是解本题的关键．19．（1）见解析；（2）245．【解析】【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）证明：⊥AD⊥BC ，AE⊥DC ，⊥四边形AECD 是平行四边形，⊥⊥BAC ＝90°，E 是BC 的中点，⊥AE ＝CE ＝12BC ，⊥四边形AECD 是菱形；（2）过A 作AH⊥BC 于点H ，⊥⊥BAC ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，⊥AC 8， ⊥1122ABC S BC AH AB AC ∆=⋅=⋅，⊥AH ＝6824105⨯=，⊥点E 是BC 的中点，BC ＝10，四边形AECD 是菱形，⊥CD ＝CE ＝5，⊥S⊥AECD ＝CE•AH ＝CD•EF ，⊥EF ＝AH ＝245． 【点睛】 此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答．20．（1）见解析；（2；（3）见解析 【解析】【分析】（1）由矩形的性质及已知证得⊥EAF⊥⊥DAB ，则有⊥E=⊥ADB ，进而证得⊥EGB=90º即可证得结论；（2）设,AD a AB b ==，利用矩形性质知AF⊥BC ，得,AEF BEC △∽△再根据相似三角形的性质得到,a b 的方程，变形整理即可；（3）在EF 上截取EM=DG ，进而证明⊥EMA⊥⊥DGA ，得到⊥EAM=⊥DAG ，AM=AG ，则证得⊥MAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．【详解】 ()1证明:四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，90EAF DAB ∴∠=∠=︒，又,AE AD AF AB ==，()AEF ADB SAS ∴△≌△，1E ∴∠=，21290E ∴∠+∠=∠+∠=︒，90EGB ∴∠=︒，故BD EC ⊥．()2在矩形ABCD 中，,//AD BC AD BC =，AEF BEC ∴△∽△，AF AE BC BE∴=， 设,AD a AB b ==，则b a a a b=+， 得220a ba b --=，⊥a ==（负值舍去），a b ∴:AD AB ∴； ()3如图，在线段EG 上取点M ，使得EM DG =，在AEM ∆与ADG ∆中，,1,AE AD E EM DG =∠=∠=，()AEM ADG SAS ∴△≌△，,34AM AG ∴=∠=∠，535490MAG ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，MG ∴=，EG DG EG EM MG ∴-=-==．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．21．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用菱形的对角线平方每组对角即可求解证明；（2）根据已知条件证得⊥ECO⊥⊥FDO ，即可得证.【详解】（1）证明：⊥四边形ABCD 是菱形，⊥//AD BC ，⊥BAD=2⊥DAC, ⊥ABC=2⊥DBC ;⊥⊥DAB+⊥ABC=180°;⊥⊥DAC=⊥DBC;⊥⊥BAD=⊥ABC,⊥2⊥BAD=180°;⊥⊥BAD=90°;⊥四边形ABCD是正方形.（2）证明：⊥四边形ABCD是正方形；⊥AC⊥BD,AC=BD,CO=12AC，DO=12BO⊥⊥COB=⊥DOC=90°，CO=DO⊥DH⊥CE，垂足为H；⊥⊥DHE=90°，⊥EDH+⊥DEH=90°又⊥⊥ECO+⊥DEH=90°⊥⊥ECO=⊥EDH⊥⊥ECO⊥⊥FDO；⊥OE OF.【点睛】此题主要考查正方形的性质证明，解题的关键是熟知正方形的性质与全等三角形的判定与性质.22．18．【解析】【分析】利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．【详解】⊥在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，⊥AB＝BC，⊥AOB＝90°，AO＝4，BO＝3，⊥BC＝AB，⊥⊥ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+5+8＝18．【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用勾股定理，求出菱形的边长，是解题的关键.23．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，再有EA=EC，公共边OE，即可根据“SSS”证得⊥AEO⊥⊥CEO，从而可得⊥AOE=⊥COE=90︒，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得结论；（2）根据⊥DAC=⊥EAD+⊥AED，又⊥ADO=⊥EAD+⊥AED，可得⊥DAC=⊥ADO，根据等角对等边可得OA=OD，从而可得AC=BD，根据对角线相等的菱形是正方形即可证得结论．【详解】（1）在□ABCD中，OA=OC，在⊥AEO和⊥CEO中，⊥OA OC EA EC OE OE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥⊥AEO⊥⊥CEO(SSS)，⊥⊥AOE=⊥COE=90︒，⊥AC⊥BD，⊥四边形ABCD是平行四边形，⊥四边形ABCD是菱形；（2）⊥⊥DAC=⊥EAD+⊥AED，⊥ADO=⊥EAD+⊥AED，⊥⊥DAC=⊥ADO，⊥OA=OD，⊥四边形ABCD是菱形，⊥四边形ABCD是正方形．24．（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）20；（3）不可能，见解析【解析】【分析】（1）根据题意列出相应的代数式即可；（2）根据题意列出方程，即每件童装的利润×销售量＝总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；（3）根据题意列出方程进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，每件的盈利为：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，故答案为：（20+2x），（40﹣x）；（2）由题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，解得：x1＝20，x2＝10，为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20；（3）不可能，理由如下：依题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，整理得：x2﹣30x+600＝0，Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，则原方程无实数解．则不可能每天盈利2000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”；25．（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析【解析】【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，⊥ABP=⊥CBP=45°，结合PB=PB得出⊥ABP ⊥⊥CBP，从而得出结论；(2)根据全等得出⊥BAP=⊥BCP，⊥DAP=⊥DCP，根据PA=PE得出⊥DAP=⊥E，即⊥DCP=⊥E，易得答案；(3)首先证明⊥ABP和⊥CBP全等，然后得出PA=PC，⊥BAP=⊥BCP，然后得出⊥DCP=⊥DEP，从而得出⊥CPF=⊥EDF=60°，然后得出⊥EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，⊥ABP=⊥CBP=45°，又⊥ PB=PB，⊥⊥ABP ⊥⊥CBP（SAS），⊥PA=PC，⊥PA=PE，⊥PC=PE；(2)解：由（1）知，⊥ABP⊥⊥CBP，⊥⊥BAP=⊥BCP，⊥⊥DAP=⊥DCP，⊥PA=PE，⊥⊥DAP=⊥E，⊥⊥DCP=⊥E，⊥⊥CFP=⊥EFD（对顶角相等），⊥180°﹣⊥PFC﹣⊥PCF=180°﹣⊥DFE﹣⊥E，即⊥CPF=⊥EDF=90°；(3)AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，⊥ABP=⊥CBP，在⊥ABP和⊥CBP中，又⊥ PB=PB，⊥⊥ABP⊥⊥CBP（SAS），⊥PA=PC，⊥BAP=⊥BCP，⊥PA=PE，⊥PC=PE，⊥⊥DAP=⊥DCP，⊥PA=PE，⊥⊥DAP=⊥DEP，⊥⊥DCP=⊥DEP，⊥⊥CFP=⊥EFD（对顶角相等），⊥180°﹣⊥PFC﹣⊥PCF=180°﹣⊥DFE﹣⊥DEP，即⊥CPF=⊥EDF=180°﹣⊥ADC=180°﹣120°=60°，⊥⊥EPC是等边三角形，⊥PC=CE，⊥AP=CE．。