第七章电磁感应变化电磁场
思考题
7-1感应电动势与感应电流哪一个更能反映电磁感应现象的本质？
答：感应电动势。
7-2 直流电流表中线圈的框架是闭合的铝框架，为什么？
灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就发生偏转。切断电流后线圈在回复原来位置前总要来回摆动好多次。这时如果用导线把线圈的两个接头短路，则摆动会马上停止。这是什么缘故?
答：用导线把线圈的两个接头短路，线圈中产生感应电流，因此线圈在磁场中受到一力偶矩的作用，阻碍线圈运动，使线圈很快停下来。
7-3让一块磁铁在一根很长的铅直铜管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的运动情况，并说明理由。
答：当磁铁在金属管中时，金属管内感应感生电流，由楞次定律可知，感生电流的方向，总是使它所激发的磁场去阻止引起感应电流的原磁通量的变化，即：阻碍磁铁相对金属管的运动。磁铁在金属管内除重力外，受到向上的磁力，向下的加速度减小，速度增大，相应磁力增大。当磁力等于重力时，磁铁作匀速向下运动，达到动态平衡。
7-4用金属丝绕制的标准电阻是无自感的，怎样绕制才能达到自感系数为零的目的？
答：如果回路周围不存在铁磁质，自感L的数值将与电流无关，仅由回路的几何性质、匝数以及周围磁介质的磁导率所决定。把一条金属丝接成双线绕制，就能得到自感系数为零的线圈。做纯电阻用的电阻器都是这样绕制的。
7-5 举例说明磁能是贮藏在磁场中的。
7-6如果电路中通有强电流，当你突然拉开闸刀断电时，就会有火花跳过闸刀。试解释这一现象。
答：当突然拉开通有强电流电路中的刀闸而断电时，电路中电流迅速减小，电流的变化率很大，因而在电路中会产生很大的自感电动势。此电动势可以把刀闸两端间的空气击穿，因而在刀闸处会有大的火花跳过。
7-7 变化的电场所产生的磁场，是否一定随时间而变化？变化的磁场所产生的电场，是否也一定随时间而变化？
7-8 试比较传导电流与位移电流。
答：位移电流具有磁效应-与传导电流相同。两者不同之处：产生机理不同，传导电流是电荷定向运动形成的，位移电流是变化的电场产生的；存在条件不同，传导电流需要导体，位移电流不需要导体，可以存在于真空中、导体中、介质中；位移电流没有热效应，传导电流产生焦耳热。
7-9 试由麦克斯韦方程组的积分形式，定性地说明怎样产生统一的电磁场；并说明静电场和稳恒磁场是统的一电磁场在一定条件下的一种特殊形式。
7-10 麦克斯韦方程组积分形式中，两个高斯定理与静电场和稳恒磁场的高斯定理形式相同。其物理意义是否相同？
解：上述两式形式上尽管相同，但在实质上却有原则区别，静电场中穿过任一闭合曲面的通量由静电荷的代数和决定。在电磁场中，穿过闭合曲面的通量除由静电荷的电力线外，还有变化的磁场产生的涡旋电场的电力线，而涡旋电场的电力线是闭合曲线，因而其通量总是零。
习 题
7-1 一导线ab 弯成如图的形状（其中cd 是一半圆，半径r =0.10m ，ac 和db 两段的长度均为 l =0.10m ），在均匀磁场（B =0.50T ）绕轴线 ab 转动，转速 n =60rev/s 。设电路的总电阻（包括电表M 的内阻）为1,000Ω，求导线中的感应电动势和感应电流，它们的最大值各是多大？
解：设t=0 时，半圆面的法向方向与B 同向 t 时刻时，
m B dS Φ=⋅=22
cos cos 222
B r B r t nt ππωπ= 22sin 2 2.96sin120V d B r n nt t dt επππΦ=-==
2.96m V ε=
32.96sin120V 2.9610sin120A
1000t I t R εππ-===⨯32.9610A m I -=⨯
7-2 如图所示，一长直导线载有I =5.0A 的电流，旁边有一矩形线圈ABCD （与此长直导线共面），长l 1 =0.20m ，宽l 2 =0.10m ，长边与长导线平行，AD 边与导线相距a =0.10m ，线圈共1,000匝。令线圈在速度v 垂直于长导线向右运动，v =3.0m/s ，求线圈中的感应电动势。
解：以直导线上某点作为坐标原点o ，沿水平方向建立x 轴。在矩形框内距离原点x 处取长为1l 、宽为dx 的矩形条作为面积元。则穿过此面积元的磁通量为
012m I
d B dS l dx x
μπΦ=⋅=
t 时刻穿过矩形框的磁通量为
2200121()ln 22a l vt
a l vt
m m a vt
a vt
I Il a l vt
t d l dx x a vt
μμππ++++++++Φ=Φ==+⎰
⎰
此时的感应电动势为
012
2()()2()()
m i d t v NIl l t N
dt a vt a l vt μεπΦ=-=
+++
0=t 时, 3012
2(0) 3.010V 2()
i N Ivl l a a l μεπ-=
=⨯+
7-3 如果上题中的线圈保持不动，而在长直导线中通有交变电流 A )100sin(10t I π=，t 以
秒计，则线圈中的感应电动势如何？ 解：012m I
d B dS l dx x
μπΦ=⋅=
⋅ 2
01012
ln 22a l m S a Il Il a l dx B dS x a μμππ++∴Φ=⋅=
=⎰⎰
701224100.20.10.1
ln 1000ln 10100cos(100)
220.1
0.04ln 2cos(100)V=8.710cos(100)V
m i d l a l dI N N t dt a dt t t μπεπππππππ--Φ+⨯⨯+=-=-=-⨯⨯⨯=--⨯
7-4 如图所示，质量为M 、长度约为 l 的金属棒a b 从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场B 竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系。假定摩擦可以忽略不计。 解：金属棒所受重力加速度沿斜面方向的分量为
θsin //g g =，棒的速度t g v θsin =。
磁场沿垂直于棒运动方向（垂直于斜面）的分量为θcos B B =⊥ 故棒的动生电动势为
lv B i ⊥=εθθθ2sin 2
1
sin lg cos Bltg t B =
=
7-5如图所示，金属杆AB 以匀速 v 平行于一长直导线移动，此导线通有电流I 。
问：此杆中的感应电动势为多大？杆的哪一端电势较高？
解:在AB 上距长直导线为l 处任取一微元dl , 其方向指向B ，根据动生电动势的定义式，可得：
0()ln 22B a b A a Ivdl Iv a b v B dl l a
μμεππ++=⨯⋅==⎰⎰
电动势的方向由A 指向B ，B 端的电势高。
7-6 有一均匀磁场，磁感强度为B ，B 的量值以恒定的变化率
dB
dt
在变化，把一块质量为m 的铜，拉成截面半径为 r 的导线，并用它做成一个圆形回路（半径为R ）。圆形回路的平面与B 垂直。试证：这回路中的感应电流为 dt
dB
d m i πρ4=
。式中ρ 为铜的电阻率，d 为铜的密度。
证明：磁感强度以恒定的变化率dB
dt
在变化，在周围产生感生电场，半径为R 的圆形回路上感生电场的大小为2R dB
E dt
=， 感应电动势大小为2
2dB E dl E R R
dt
εππ=
⋅=⋅=⎰
