河南省漯河市第二中学2014年秋八年级数学上册 14.3.1 分解因式—提公因式法学案

14.3 因式分解14.3.1 提公因式法◇教学目标◇【知识与技能】1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念;2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.【过程与方法】经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用. 【情感、态度与价值观】培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含义与价值.◇教学重难点◇【教学重点】[*&~#%]了解因式分解的意义,掌握用提公因式法把多项式分解因式.【教学难点】[@#^~&]整式乘法与因式分解之间的关系.正确地确定多项式的最大公因式.[~#*&^]◇教学过程◇一、情境导入试计算:37×337+63×337.这里用到了什么运算律?二、合作探究探究点1 因式分解的意义[@#*%~]典例1 下列从左边到右边的变形,是因式分解的是( )A.(3-x)(3+x)=9-x2B.x2+2x+1=x(x+1)+1 [~*@#%]C.a2b+ab2=ab(a+b)D.(a-b)(n-m)=(b-a)(n-m) [~@^%#][解析] (3-x)(3+x)=9-x2,是多项式乘法,故A错误;x2+2x+1=(x+1)2,故B错误;a2b+ab2=ab(a+b),C正确;(a-b)(n-m)≠(b-a)(n-m),不是因式分解,故D错误. [答案] C探究点2 公因式的概念典例2 多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是( )A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn2[解析] 多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中,各项系数的最大公约数是5,各项都含有的相同字母是m,n,字母m的指数最低是2,字母n的指数最低是1,所以它的公因式是5m2n. [~@%^&][答案] C探究点3 提公因式法因式分解[^&~@*]典例3 将3a2m-6amn+3a分解因式,下面是四位同学分解的结果:[&#@*%]①3am(a-2n+1);②3a(am+2mn-1);③3a(am-2mn);④3a(am-2mn+1).[*@~#%]其中,正确的是( )A.①B.②C.③D.④[解析] 提公因式3a后因式分解,即可做出判断.原式=3a(am-2mn+1).[#%~@^][答案] D多项式x2y(a-b)-xy(b-a)+y(a-b)提公因式后,另一个因式为( ) [~@#^*]A.x2-x+1B.x2+x+1C.x2-x-1D.x2+x-1[答案] B三、板书设计[%#@~*]提公因式法提公因式法◇教学反思◇本节的内容是因式分解的概念,以及提公因式,学生刚学要通过练习正确理解因式分解与整式乘法的区别和联系,进一步讨论明确.因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算,而是一种变形的手段,是一种恒等变形,对于公因式的概念以及确定方法从小组探究、讨论找好确定方法,通过练习理解掌握.1.2 一定是直角三角形吗基础导练1．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为自然数），则这个三角形为 ，理由是 ．2．有一个三角形的两条边长是6和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长为 ．3．已知在ABC ∆中，BC ＝6，BC 边上的高为4，若AC ＝5，则AC 边上的高为 ． [%@~^&]4．若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是 三角形． [^@&~#]5．若一个三角形的三边长为m ＋1 ，m ＋2 ，m ＋3，当m 时，此三角形是直角三角形． [#~^@%]6．已知ABC ∆的三边长为BC ＝41，AC ＝40，AB ＝9，则ABC ∆为_________三角形，最大角是∠ ．7．以ABC ∆的三条边向外作正方形，依次得到的面积为25，144，169， 则这个三角形是________三角形． [&~@*#]8．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组，其中不是直角三角形的是 （ ）A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶1699．下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝1.5，b＝2，c＝3 B．a＝7，b＝24，c＝25C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝510．如图，有一块四边形地ABCD，∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，DA＝13m，求该四边形地ABCD的面积？[@~%&*][~&@%^]11．如图，在四边形ABCD中，AC DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求△ABC的面积．D CBA[~#&%*]能力提升12．如图：为修通铁路需凿通隧道AC，测得∠A＝50°，∠B＝40°，AB＝5km，BC＝4km，若每天开凿隧道0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通？CAB13．如图，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，其中一个角便是直角，说明这种做法的根据．(13)(4)(3)(1)[&~@*%]14．初春时分，两组同学到村外平坦的田野中采集植物标本，分手后，他们向不同的方向前进，第一组的速度是30米/分，第二组的速度是40米/分，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500米．（1）两组同学行走的方向是否成直角？ [%&~@^]（2）如果接下来两组同学以原速相向而行，多长时间后能相遇？[~@#*&]15．已知：如图，△ABC中，CD AB ，垂足为D ，且平分AB ，CD ＝12AB ，△ABC 是等腰直角三角形吗？为什么？请你与同伴交流，并说明理由．16.四年一度的国际数学家大会会标如图甲．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5．（1）求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）[~@^%&][@*#&^][~*@&#]参考答案[#*^~%]1．直角三角形；9k2＋16k2＝25k22．8或3．4、8 4．直角5．m ＝2 6．直角、90°7．直角8．C 9．A 10．四边形地ABCD的面积为36 cm211．S△ABC＝6 cm212．10天13．32＋42＝52，应用勾股定理逆定理得直角三角形14．（1）是．提示：（30×30）2＋（40×30）2＝（50×30）2；（30×30）2＋（40×30）2＝15002；（2）1507分钟15．是．提示：∵BD＝AD＝DC，CD⊥AB ∴∠A＝∠B＝45°＝∠BCD＝∠ACD ∴BC＝AC ∠BCA＝90°16.提示：（1）小正方形的面积为1；（2）分割成四个直角三角形和两个小长方形[@#~&^]课时分层作业(十三) 如何选择家居装修材料(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．陶瓷和水泥材料是家庭进行装修时经常会用到的材料。

八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《新人教版八年级数学上册》第14.3节讲述了因式分解中的提公因式法。

这一节内容是在学生已经掌握了多项式的基本概念、多项式的乘法以及十字相乘法的基础上进行学习的。

提公因式法是因式分解的一种常用方法，它可以帮助学生更好地理解多项式的结构，提高解题效率。

本节内容的学习，既是对前面知识的巩固，也是为后面学习更复杂的因式分解方法打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对多项式的基本概念和运算已经有了一定的了解。

但是，学生在学习因式分解时，可能会对提公因式法的应用范围和选择公因式的方法感到困惑。

因此，在教学过程中，需要引导学生积极参与，通过实例分析和练习，让学生掌握提公因式法的应用技巧。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法，能够运用提公因式法进行因式分解。

2.过程与方法：通过实例分析，引导学生学会如何选择公因式，如何进行因式分解。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：提公因式法的应用。

2.难点：如何选择合适的公因式，以及如何进行因式分解。

五. 教学方法采用讲授法、引导法、实例分析法、练习法等方法，通过讲解、提问、讨论、练习等形式，引导学生积极参与，提高学生的学习兴趣和主动性。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括提公因式法的定义、应用范围、选择公因式的方法等。

2.准备一些练习题，包括简单的和复杂的题目，以便在课堂上进行练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的多项式乘法例子，引导学生思考如何将乘法转化为因式分解，从而引出提公因式法。

2.呈现（10分钟）讲解提公因式法的定义、应用范围、选择公因式的方法等，通过PPT的形式，让学生清晰地了解提公因式法的相关知识。

3.操练（10分钟）给出一些简单的题目，让学生运用提公因式法进行因式分解。

14. 3因式分解14. 3.1提公因式法1.使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系.2.了解公因式概念和提取公因式的方法.3.会用提取公因式法分解因式.重点会用提取公因式法分解因式.难点如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式.一、问题导入同学们，我们先来看下面两个问题：1.630能被哪些整除，说说你是怎样想的？2.当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值.对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a＝101，b ＝99代入进行计算，但如果应用平方差公式应先把a2－b2变形成(a＋b)·(a－b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简捷.通过对上面两个问题的解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便.二、探究新知1.教材第114页的“探究”.要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔.2.提出因式分解的概念.利用教材中的因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的两种不同的变形，并强调它们的特点.下列由左到右的变形，是否是因式分解，为什么？(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(2)x2－4＝(x＋2)(x－2)；(3)x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x.[探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系，对因式分解的概念的建立很有必要.通过这次练习强化因式分解的概念]3.提公因式法研究多项式pa＋pb＋pc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念.让学生体验：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)从左到右是怎样得到的，你能对ax＋2ay进行类似的变形吗？三、举例分析例1把8a3b2＋12ab3c分解因式.分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后依照教材进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab ，另一个因式是否还有公因式？从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证.练习 用提公因式法分解因式：(1)3mx －6nx 2；(2)4a 2b ＋10ab －2ab 3.例2 把2a(b ＋c)－3(b ＋c)因式公解.分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察，从而发现把b ＋c 看作一个“整体”时公因式就是b ＋c ，再用提公因式法进行分解.例3 计算：0.84×12＋12×0.6－0.44×12.让学生观察并分析怎样计算更简单.思考：说说例1、例2和例3的公因式有什么不同？四、巩固练习1.完成教材第115页练习第1，2，3题.2.讨论：怎样检查因式分解是否正确？提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系？五、小结提高1.举一个例子说说什么是因式分解.2.什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？3.说说提公因式法的一般步骤.(1)确定提取的公因式；(2)用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.六、布置作业1.教材第119页习题14.3第1题.2.备选题：(1)下列提公因式法分解因式是否正确，为什么？若不正确，请写出正确答案. ①－25a 2x 2－20a 3x 2＝－5ax(5x －4ax)；②2a(x －y)3－3b(y －x)2＝(x －y)2[2a(x －y)＋3b].(2)用提公因式法分解因式.①a 2b －ab 2； ②－14x 2＋12xy ； ③－2p 2(p 2＋q 2)＋6pq(p 2＋q 2)；④5a(x －y －z)－2bx ＋2by ＋2bz.在学习提取公因式时首先让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成，并且引导学生得出提公因式法这一因式分解的方法其实就是将被分解的多项式除以公因式得到余下的因式的计算过程.此处的意图是充分让学生自主探索，合作学习，得出结论.接着通过例题讲解，最后让学生自主完成练习题，老师当堂讲评.。

八年级数学上册14.3.1 提公因式法（人教版）3.1 提公因式法┃教学过程设计┃【教学目标】了解因式分解的概念.能用提公因式法进行因式分解.【重点难点】重点：因式分解的概念；提公因式法分解因式.难点：正确理解因式分解的概念，准确找出公因式.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新问题：请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快.0×2＋60×；012－992；2＋2×57×43＋432.学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式.在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形成，这就是我们从今天开始要探究的内容——因式分解.从寻求简便算法入手，学生容易接受，由此提出因式分解的概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，另一方面也说明了它可以与因数分解进行类比，从而对因式分解的概念和方法有一个整体的认识，也渗透着数学中的类比思想.二、师生互动，探究新知问题1：把下列多项式写成整式的乘积的形式：x2＋x＝________；x2－1＝________；a＋b＋c＝________.师生活动：学生观察并独立思考，尝试写出答案.待学生回答后，教师归纳整理并板书：像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.追问：你认为因式分解与整式乘法有什么关系？师生活动：学生思考回答，教师归纳：因式分解与整式乘法是互逆变形关系，整式乘法是一种运算，而因式分解是对多项式的一种变形，不是运算.问题2：再观察上面问题1中的第题和第题，你能发现什么特点？学生独立思考，回答.学生可能回答有：发现中各项都有一个公共的因式x，中各项都有一个公共因式.教师讲解：因为a＋b＋c＝，于是就把a＋b＋c分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是a＋b＋c除以所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.思考：指出下列各多项式中各项的公因式：ax＋ay＋a；x－6x2；a2＋10ah；x2y＋xy2；xyz－9x2y2.让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的方法：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母；各字母的指数取次数最低的.通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作过程中，了解因式分解的概念，认识其本质属性——将和的形式化为积的形式，同时发现因式分解与整式乘法的互逆变形关系，为后续探究做铺垫.理解清楚因式分解的概念和公因式的概念是教学继续进行的关键，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系对因式分解的概念的建立很有必要，而在学生中间开展辨析、讨论是一种有效的方法.三、运用新知，解决问题将下列多项式分解因式：a3b2＋12ab3c；a－3；x2－6xy＋x；－4a3＋16a2－18a；＋x.让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结.本题是确定公因式和如何提公因式分解因式方法的具体化，根据学生的心理和发展水平，此处学生自己处理会问题较多，所以教师要细致的讲解，要让学生清楚地知道具体的方法和步骤.讨论清楚各种类型多项式提取公因式时处理的方法，是本节课的核心和关键.四、课堂小结，提炼观点举例说明什么是因式分解.提公因式法分解因式如何确定公因式？要注意什么问题？下一节我们将继续学习因式分解，你认为应怎样进行学习？结合具体实例说明因式分解的定义，避免空洞回答概念.反思学习中出现的问题，才能达到课堂的高效.五、布置作业，巩固提升教材第119页第1题。