2019年数学中考专题复习训练：专题八 图形折叠问题

图形的展开与叠折.选择题1. （2019，山西，3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一中展开图，那么在原正方体中，与点”字所在面相对的面上的汉字是（）A.青B.春C.梦D.想亮青春梦想【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面面想"相对，而面青"与面梦”目对.故选B2. （2019，四川成都，3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若/仁30°,则/ 2的度数为（）【解析】此题考查平行线的性质（两直线平行内错角相等）以及等腰直角三角形的性质,故选B3. （2019，四川巴中，4分）如图是由一些小立方体与圆锥组合成的立体图形，它的主视图是（）点”与面春”相对，面亮”与---------- ---- . 故选：C .【点评】本题考查实物体的三视图.在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出 来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉.4. （2019?贵州毕节?3分）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对【分析】正方体的展开图有 11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个 面的对面.【解答】解：根据正方体相对的面的特点， “中”字所在的面的对面的汉字是“的” 故选：B .【点评】本题考查了正方体侧面展开图，熟记正方体侧面展开图对面和相邻的面是解题 的关键.5 （2019?江苏连云港?3分）一个几何体的侧面展开图如图所示， 则该几何体的底面是（）C .中D .梦 面的汉字是（A .B .【分析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形. 【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边 形.故选：B .【点评】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键.6 （2019?湖南邵阳?3 分）如图，在 Rt △ ABC 中，/ BAC = 90°,/ B = 36°, AD 是斜边 BC 上的中线，将△ ACD 沿AD 对折，使点C 落在点F 处，线段DF 与AB 相交于点E ,则 / BED 等于（）A . 120°B . 108°C . 72°D . 36°【分析】根据三角形内角和定理求出/ C = 90°-/ B = 54° .由直角三角形斜边上的中线的性质得出 AD = BD = CD ，利用等腰三角形的性质求出/ BAD = / B = 36°,/ DAC=/ C = 54°,利用三角形内角和定理求出/ADC = 180° -/ DAC -/ C = 72° .再根据折叠的性质得出/ ADF =/ ADC = 72 °，然后根据三角形外角的性质得出/ BED = /BAD+ / ADF = 108 ° .【解答】解：•••在 Rt A ABC 中，/ BAC = 90°,/ B = 36°, •••/ C = 90°-/ B = 54 ° .T AD 是斜边BC 上的中线，AD = BD = CD ,• / BAD = / B = 36°,/ DAC = / C = 54° , • / ADC = 180°-/ DAC -/ C = 72°.•••将△ ACD 沿AD 对折，使点C 落在点F处，•••/ ADF = Z ADC = 72°,•••/ BED = Z BAD + Z ADF = 36°+72° =108 ° .故选：B.【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质.7. （2019?浙江金华?3分）如图物体由两个圆锥组成，其主视图中, 若上面圆锥的侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为（）故答案为：D.Z A=90； Z ABC=105°A. 2B.【答案】D【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设BD=2r ,•••Z A=90°,• AB=AD= . 2 r, Z ABD=45 ,C.-D. 2上面圆锥的侧面积S=丄2 nrJ2 r=1 ,2• Z ABC=105 ,•Z CBD=60 ,又• CB=CD ,•△ CBD是边长为2r的等边三角形,F面圆锥的侧面积S=丄2 n 2r=2 n 2=2 nX2A'2.【分析】设 BD=2r ，根据勾股定理得 AB=AD= J2 r , / ABD=45 ,由圆锥侧面积公式得 2n • 2 r=1，求得r 2=1，结合已知条件得 / CBD=60，根据等边三角形判定得△ CBD 是边长为2r 的等边三角形，由圆锥侧面积公式得下面圆锥的侧面积即可求得答案 8（ 2019?广东深圳?3分）下列哪个图形是正方体的展开图（）【答案】B【考点】立体图形的展开9（2019?广西贵港？ 3分）将一条宽度为2cm 的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为 AB ,重 叠部分ABC （图中阴影部分），若/ ACB = 45°,则重叠部分的面积为（）【分析】过B 作BD 丄AC 于D ，则/ BDC = 90°,依据勾股定理即可得出BC 的长，进而得到重叠部分的面积.【解答】解：如图，过 B 作BD 丄AC 于D ，则/ BDC = 90°, •••/ ACB = 45 ° , •••/ CBD = 45°, BD = CD = 2cm , • Rt △ BCD 中，BC = . 2222 = 2 ~2 ( cm ),•重叠部分的面积为 1 x 2-、2 x 2 = 2、、2 ( cm ),2故选：A .B . 2 3 cm 2 2C . 4cm 2cmA . 2 ■- 2cm 2【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图 形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.10 （ 2019?浙江金华？3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图 去一个角，展开铺平后得到图 ⑤，其中FM , GN 是折痕，【答案】 A 【考点】剪纸问题点0,如图,④，再沿虚线剪若正方形EFGH 与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）5 _ 一 2 A.21 C.22 D.2【解析】【解答】解:设大正方形边长为 a ,小正方形边长为 x ,连结NM ，作GO 丄NM 于依题可得:2NM= 一 2a -42xa , FM=GN= 一2/B. 2•••正方形EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等, • 2_(2x+V2a)(T2a-2x) 1 2 •• x = + — a16 8• a= 5 x ,• FM _ a - T5x_血x 亦"FG 一 2x = 2x = 2.故答案为：A.【分析】设大正方形边长为 a ,小正方形边长为x ，连结NM ，作GO 丄NM 于点O ,根据题意可得，NM=迈 a , FM=GN= a _ 2x , NO = 2=、习心,2 4(2x . 2a)(、,2a -2x)+ a1611. （2019?山东省济宁市 ?3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体,且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）AAAUB .••• NO=手-x 2-2X• GO= , GN2_N02=2a -2x 42 2根据勾股定理得V2a -2x2G0=,由题意建立方程x =4解之可得 a= ,5x ，由FMFG2x，将a= .5x 代入即可得出答案【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面.【解答】解：选项 A 和C 带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式； 选项B 能折叠成原几何体的形式；选项D 折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不 同.故选：B .【点评】本题主要考查了几何体的展开图.解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开 图的各种情形.注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力.二.填空题1 （2019?甘肃？ 3分）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 10, AD = 6, E 为BC 上一点，把厶CDE10沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，贝U CE 的长为 一.3【分析】设 CE = x ,贝U BE = 6- x 由折叠性质可知，EF = CE = x , DF = CD = AB = 10,所2 2 2 2 2以 AF = 8, BF = AB — AF = 10- 8 = 2，在 Rt A BEF 中，BE +BF = EF ,即（6 - x ） +2 =x 2,解得 x = 一 .3【解答】解:设CE = x ,贝U BE = 6- x 由折叠性质可知，EF = CE = x , DF = CD = AB = 10, 在 Rt △ DAF 中，AD = 6, DF = 10, ••• AF = 8,••• BF = AB - AF = 10- 8= 2,2 2 2在 Rt △ BEF 中，BE 2+BF 2= EF 2,【考点】网版权所几何体的展开图即（6_ x ） 2+22 = x 2,10解得x =—【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键.2. （2019?广西贵港？ 3分）如图，在扇形 OAB 中，半径OA 与OB 的夹角为120°，点A 与 点B的距离为2、_3，若扇形OAB 恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为2 3 —【分析】利用弧长=圆锥的周长这一等量关系可求解. 【解答】解：连接 AB ，过O 作OM 丄AB 于M ,•••/ AOB = 120°, OA = OB , •••/ BAO = 30°, AM =、., 3 , ••• OA = 2,120二 2 180 • r = 232故答案是：一3【点评】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键.三.解答题1 （2019?湖南岳阳？ 10分）操作体验：如图，在矩形ABCD 中，点E.F 分别在边AD.BC 上,故答案为10 3将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点D 恰好与点B 重合，点C 落在点C '处.点P 为直 线EF 上一动点（不与 E.F 重合），过点P 分别作直线BE.BF 的垂线，垂足分别为点 M 和N ,以PM 、PN 为邻边构造平行四边形 PMQN .（1） 如图1,求证：BE = BF ;（2） 特例感知：如图 2，若DE = 5, CF = 2,当点P 在线段EF 上运动时，求平行四边形PMQN 的周长；（3） 类比探究：若DE = a , CF = b .①如图3,当点P 在线段EF 的延长线上运动时， 试用含A.b 的式子表示QM 与QN 之间 的数量关系，并证明②如图4,当点P 在线段FE 的延长线上运动时，请直接用含【分析】（1）证明/ BEF = Z BFE 即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）.（2）如图2中，连接BP ,作EH 丄BC 于H ，则四边形 ABHE 是矩形.利用面积法证明PM + PN = EH ，利用勾股定理求出 AB 即可解决问题.(3) ①如图3中，连接 BP ,作 EHL BC 于H .由S A EBP- S A BFA S A EBF ,可得 丄2BE?PM -?BF?PN= - ?BF?EH 由 BE = BF ,推出 PM- PN= EH=、. a 2 — b ? 由此即可解决 2 2 ' 问题.②如图4，当点 P 在线段 FE 的延长线上运动时，同法可证： QM - QN = PN - PM = a 2 -b 2 .【解答】（1）证明：如图1中, A.b 的式子表示 QM 与QN 之间的数量关系.（不要求写证明过程）•••四边形ABCD是矩形，••• AD // BC,•••/ DEF = Z EFB , 由翻折可知：/ DEF = Z BEF,•••/ BEF =Z EFB ,• BE= BF .(2)解：如图2中，连接BP，作EH丄BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH= AB.•/ DE = EB= BF = 5, CF = 2,AD = BC= 7, AE= 2,在Rt△ ABE 中，•••/ A= 90°, BE= 5, AE= 2,• AB= •, 52匚22=21 ,T S^BEF = S PBE+S A PBF, PM _L BE, PN丄BF ,1 1 1•— ?BF?EH = - ?BE?PM+ —?BF?PN ,2 2 2•/ BE= BF ,PM+PN = EH =、、21 ,•••四边形PMQN是平行四边形，•四边形PMQN 的周长=2 ( PM + PN)= 2 •. 21 .(3)①证明：如图3中，连接BP,作EH丄BC于H .C P\竝\••• ED = EB = BF = a, CF = b,AD = BC= a+b,••• AE= AD - DE = b,••• EH = AB = -, a2 -b2,T S^EBP - S BFP = S EBF ,1 1 1•——BE?PM - ?BF?PN = ?BF?EH ,2 2 2•/ BE= BF ,PM - PN= EH =、.、a2 _b2,•••四边形PMQN是平行四边形，• QN - QM =( PM - PN) = .. a2_ b2.②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM - QN = PN - PM =【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题.2 (2019?湖南衡阳？12分)如图，在等边厶ABC中，AB = 6cm,动点P从点A出发以lcm/s 的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t (s).过点P作PE丄AC于E,连接PQ交AC边于D .以CQ、CE为边作平行四边形CQFE .(1 )当t为何值时，△ BPQ为直角三角形；(2)是否存在某一时刻t,使点F在/ ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；(3 )求DE的长；(4)取线段BC的中点M，连接PM，将△ BPM沿直线PM翻折，得厶B' PM，连接AB 当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值.【分析】(1 )当BQ = 2BP时，/ BPQ = 90°，由此构建方程即可解决问题.(2)如图1中，连接BF交AC于M .证明EF = 2EM，由此构建方程即可解决问题.1(3)证明DE = AC即可解决问题.2(4)如图3中，连接AM , AB '.根据AB ' > AM-MB '求解即可解决问题.【解答】解：(1)v^ ABC是等边三角形，•••/ B= 60°,•••当BQ= 2BP 时，/ BPQ= 90°,• 6+t= 2 (6 - t),• -1= 3,• t= 3时，△ BPQ是直角三角形.(2)存在.理由：如图1中，连接BF交AC于M .•/ BF 平分/ ABC, BA = BC,• BF 丄AC, AM = CM = 3cm,•/ EF // BQ ,•••/ EFM =Z FBC = - / ABC = 30°,12• EF = 2EM ,1• t = 2?( 3 - t ),2解得t = 3.(3)如图2中，作PK // BC 交AC 于K .@2 .•••△ ABC 是等边三角形，•-Z B =Z A = 60°,•/ PK // BC ,• / APK =Z B = 60°,• / A =Z APK =Z AKP = 60°,• △ APK 是等边三角形，• PA = PK ,•/ PE 丄 AK ,• AE = EK ,•/ AP = CQ = PK ，/ PKD = Z DCQ ，/ PDK = Z QDC ,• △ PKD ◎△ QCD (AAS ),• DK = DC ,1 1 • DE = EK+DK = - (AK+CK )= — AC = 3 (cm ).2 2(4) 如图3中，连接AM ,ABBM = CM = 3, AB = AC,••• AM 丄BC,••• AM = , AB?匚BM 2= 3.3 ,•/ AB'> AM - MB ',• AB，》3、.3 - 3,• AB'的最小值为3 ...3 - 3.【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质, 翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.。

专题八 图形折叠问题类型一 折叠三角形(2018·浙江台州中考)如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E.将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E 分别交AC 于点F ，G ，连结OF ，OG ，则下列判断错误的是( )A ．△ADF≌△CGEB ．△B′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB′F 的面积是一个定值【分析】A ．根据等边三角形ABC 的外心的性质可知AO 平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得FO 平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，再根据三角形全等的性质可得△ADF≌△CGE；B ．根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF ＝GF ＝GE ，所以△ADF≌△B′GF≌△CGE，可得结论；C ．根据S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE 判断即可；D ．将S 四边形OGB′F ＝S △OAC －S △OFG ，根据S △OFG ＝12·FG·OH，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F的面积也变化，可作判断． 【自主解答】三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等，解题的关键是抓住折叠的本质是轴对称，轴对称是全等变换，找出相等的角和线段．类型二折叠平行四边形(2018·山东淄博中考)在如图所示的平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．【分析】要计算周长首先需要证明E，C，D共线，DE可求，问题得解．【自主解答】关于平行四边形折叠问题，解答时需要关注：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形，它们的对应线段、对应角相等，与特殊的平行四边形相比，它缺少了特殊的条件．1．(2018·甘肃兰州中考)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( )A ．102°B ．112°C ．122°D ．92° 类型三 折叠菱形(2018·山东烟台中考)对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B′两点重合，MN 是折痕．若B′M＝1，则CN 的长为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【分析】连结AC ，BD ，利用菱形的性质得OC ＝12AC ＝3，OD ＝12BD ＝4，∠COD＝90°，再利用勾股定理计算出CD ＝5，接着证明△OBM≌△ODN 得到DN ＝BM ，然后根据折叠的性质得BM ＝B′M＝1，从而有DN ＝1，于是计算CD －DN 即可． 【自主解答】折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．对于菱形的折叠，还要明确菱形的基本性质，在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析．2．(2018·贵州遵义中考)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处(不与B ，D 重合)，折痕为EF ，若DG ＝2，BG ＝6，则BE 的长为__________．3．如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝ 43，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF⊥AD 时， BNCN的值为____．类型四 折叠矩形(2018·浙江杭州中考)折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上．若AB ＝AD ＋2，EH ＝1，则AD ＝________．【分析】设AD ＝x ，则AB ＝x ＋2，利用折叠的性质得DF ＝AD ，EA ＝EF ，∠DFE ＝∠A＝90°，则可判断四边形AEFD 为正方形，所以AE ＝AD ＝x ，再根据折叠的性质得DH ＝DC ＝x ＋2，则AH ＝AE －HE ＝x －1，然后根据勾股定理得到x 2＋(x －1)2＝(x ＋2)2，再解方程求出x 即可． 【自主解答】此类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其他图形(圆)结合等，抓住翻折前后两个图形是全等的，把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键．4．(2018·湖北宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，CB ＝2，点E 为线段AB 上的动点，将△CBE 沿CE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是__________(写出所有正确结论的序号)． ①当E 为线段AB 中点时，AF∥CE； ②当E 为线段AB 中点时，AF ＝95；③当A ，F ，C 三点共线时，AE ＝13－2133；④当A ，F ，C 三点共线时，△CEF≌△AEF.类型五 折叠正方形(2018·江苏宿迁中考)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边AB ，CD 上，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A ，D 重合)，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，设BE ＝x. (1)当AM ＝13时，求x 的值；(2)随着点M 在边AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；(3)设四边形BEFC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并求出S 的最小值．【分析】(1)利用勾股定理构建方程，即可解决问题；(2)设AM＝y，则BE＝EM＝x，MD＝1－y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x，y的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长；(3)作FH⊥AB于H.则四边形BCFH是矩形．连结BM交EF于O，交FH于K.根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可．【自主解答】正方形的折叠同其他图形一样，要关注勾股定理、全等图形、相似等相关知识，但由于正方形的特点，所以有关正方形的折叠问题有着其他图形没有的特殊性，解题时应关注正方形本身具有的特点．5．综合与实践问题背景折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下(如图1)：操作1：将正方形ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合．再将正方形ABCD 展开，得到折痕EF ； 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C 与点E 重合，边BC 翻折至B′E 的位置，得到折痕MN ，B′E 与AB 交于点P.则P 即为AB 的三等分点，即AP∶PB＝2∶1.解决问题(1)在图1中，若EF 与MN 交于点Q ，连结CQ.求证：四边形EQCM 是菱形； (2)请在图1中证明AP∶PB＝2∶1. 发现感悟若E 为正方形纸片ABCD 的边AD 上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：(3)如图2.若DE AE ＝2.则APBP ＝________；(4)如图3，若DE AE ＝3，则APBP＝________；(5)根据问题(2)，(3)，(4)给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明．类型六 折叠圆(2018·湖北武汉中考)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ︵上，将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D.若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是( )A ．2 3B ．3 2 C.532D.652【分析】连结OD ，AC ，DC ，OB ，OC ，作CE⊥AB 于E ，OF⊥CE 于F ，利用垂径定理、勾股定理、折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及正方形的性质即可求解． 【自主解答】6．如图，将半径为4 cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为( )A ．2 3 cmB ．4 3 cm C. 3 cmD. 2 cm参考答案类型一【例1】 A ．如图，连接OA ，OC. ∵点O 是等边三角形ABC 的外心， ∴AO 平分∠BAC，∴点O 到AB ，AC 的距离相等． 由折叠得DO 平分∠BDB′， ∴点O 到AB ，DB′的距离相等， ∴点O 到DB′，AC 的距离相等，∴FO 平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝12(∠FAD＋∠ADF)．由折叠得∠BDE＝∠ODF＝12(∠DAF＋∠AFD)，∴∠OFD＋∠ODF＝12(∠FAD＋∠ADF＋∠D AF ＋∠AFD)＝120°，∴∠DOF＝60°. 同理可得∠EOG＝60°， ∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG， ∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG ，OE ＝OF ，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB， ∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG ，AF ＝CE ，∴△ADF≌△CGE，故选项A 正确； B ．∵△DOF≌△GOF≌△GOE， ∴DF＝GF ＝GE ，∴△ADF≌△B′GF≌△CGE，∴B′G＝AD ，∴△B′FG 的周长＝FG ＋B′F＋B′G＝FG ＋AF ＋CG ＝AC(定值)，故选项B 正确； C ．S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE ＝S △OCF ＋S △OAF ＝S △AOC ＝13(定值)，故选项C 正确；D ．S 四边形OGB′F ＝S △OFG ＋S △B′GF ＝S △OFD ＋S △ADF ＝S 四边形OFAD ＝S △OAD ＋S △OAF ＝S △OCG ＋S △OAF ＝S △OAC －S △OFG . 如图，过O 作OH⊥AC 于H ， ∴S △OFG ＝12·FG·OH，由于OH 是定值，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F 的面积也变化，故选项D 不一定正确．故选D.类型二【例2】 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，CD ＝AB ＝2. 由折叠知∠DAC＝∠EAC.∵∠DAC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠EAC， ∴OA＝OC.∵AE 过BC 的中点O ， ∴AO＝12BC ，∴∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝90°. 由折叠知∠ACE＝90°， ∴E，C ，D 共线，则DE ＝4， ∴△ADE 的周长为3＋3＋4＝10.故答案为10.变式训练1．B类型三【例3】 如图，连结AC ，BD.∵点O 为菱形ABCD 的对角线的交点， ∴CD＝32＋42＝5.∵AB∥CD，∴∠MBO＝∠NDO.在△OBM 和△ODN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MBO＝∠NDO，OB ＝OD ，∠BOM＝∠DON，∴△OBM≌△ODN，∴DN＝BM.∵过点O 折叠菱形，使B ，B′两点重合，MN 是折痕，∴BM＝B′M＝1，∴DN＝1，∴CN＝CD －DN ＝5－1＝4.故选D.变式训练2．2.8 3.27类型四【例4】 设AD ＝x ，则AB ＝x ＋2.∵把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，∴DF＝AD ，EA ＝EF ，∠DFE＝∠A＝90°，∴四边形AEFD 为正方形，∴AE＝AD ＝x.∵把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上， ∴DH＝DC ＝x ＋2.∵HE＝1，∴AH＝AE －HE ＝x －1.在Rt△ADH 中，∵AD 2＋AH 2＝DH 2，∴x 2＋(x －1)2＝(x ＋2)2，整理得x 2－6x －3＝0，解得x 1＝3＋23，x 2＝3－23(舍去)，即AD 的长为3＋2 3.故答案为3＋2 3.变式训练4．①②③类型五【例5】 (1)在Rt△AEM 中，AE ＝1－x ，EM ＝BE ＝x ，AM ＝13. ∵AE 2＋AM 2＝EM 2，∴(1－x)2＋(13)2＝x 2，∴x＝59. (2)△PDM 的周长不变为定值2.理由如下：设AM ＝y ，则BE ＝EM ＝x ，AE ＝1－x.在Rt△AEM 中，由勾股定理得AE 2＋AM 2＝EM 2，(1－x)2＋y 2＝x 2，解得1＋y 2＝2x ，∴1－y 2＝2(1－x)．∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D，∴Rt△AEM∽Rt△DMP，∴AE ＋EM ＋AM DM ＋MP ＋DP ＝AE DM ， 即1－x ＋x ＋y DM ＋MP ＋DP ＝1－x 1－y， 解得DM ＋MP ＋DP ＝1－y 21－x＝2， ∴△DMP 的周长为2.(3)如图，作FH⊥AB 于H.则四边形BCFH 是矩形．连结BM 交EF 于O ，交FH 于K.在Rt△AEM 中，AM ＝x 2－（1－x ）2＝2x －1.∵B，M 关于EF 对称，∴BM⊥EF，∴∠KOF＝∠KHB.∵∠OKF＝∠BKH，∴∠KFO＝∠KBH.∵AB＝BC ＝FH ，∠A＝∠FHE＝90°，∴△ABM≌△HFE，∴EH＝AM ＝2x －1，∴CF＝BH ＝x －2x －1，∴S＝12(BE ＋CF)·BC ＝12(x ＋x －2x －1) ＝12[(2x －1)2－2x －1＋1] ＝12(2x －1－12)2＋38. 当2x －1＝12时，S 有最小值为38. 变式训练5．解：(1)由折叠可得CM ＝EM ，∠CMQ＝∠EMQ，四边形CDEF 是矩形， ∴CD∥EF，∴∠CMQ＝∠EQM，∴∠EQM＝∠EMQ，∴ME＝EQ ＝MC ，又∵MC∥QE，∴四边形EQCM 是平行四边形．又∵CM＝EM ，∴四边形EQCM 是菱形．(2)如图1，设正方形ABCD 的边长为1，CM ＝x ，则EM ＝x ，DM ＝1－x.图1在Rt△DEM 中，由勾股定理可得EM 2＝ED 2＋DM 2，即x 2＝(12)2＋(1－x)2， 解得x ＝58，∴CM＝58，DM ＝38. ∵∠PEM＝∠D＝90°，∴∠AEP＋∠DEM＝90°，∠DEM＋∠EMD＝90°，∴∠AEP＝∠DME.又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AEP∽△DME，∴AP AE ＝DE DM ，即AP 12＝1238，解得AP ＝23， ∴PB＝13，∴AP∶PB＝2∶1. (3)4 (4)6(5)根据问题(2)，(3)，(4)，可得当DE AE ＝n(n 为正整数)时，则AP BP＝2n. 理由：设正方形ABCD 的边长为1，CM ＝x ，则EM ＝x ，DM ＝1－x. 在Rt△DEM 中，由勾股定理可得EM 2＝ED 2＋DM 2，即x 2＝(n n ＋1)2＋(1－x)2， 解得x ＝（n ＋1）2＋n 22（n ＋1）2， ∴DM＝1－CM ＝2n ＋12（n ＋1）2， 由△AEP∽△DME 可得AP AE ＝DE DM， 即AP 1n ＋1＝nn ＋12n ＋12（n ＋1）2，解得AP ＝2n 2n ＋1， ∴PB＝12n ＋1，∴AP BP ＝2n. 类型六【例6】 如图，连结OD ，AC ，DC ，OB ，OC ，作CE⊥AB 于E ，OF⊥CE 于F.∵D 为AB 的中点，∴OD⊥AB，∴AD＝BD ＝12AB ＝2. 在Rt△OBD 中，OD ＝（5）2－22＝1.∵将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，∴AC ︵和CD ︵所在的圆为等圆，∴AC ︵＝CD ︵，∴AC＝DC ，∴AE＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形，∴OF＝EF ＝1.在Rt△OCF 中，CF ＝（5）2－12＝2，∴CE＝CF ＋EF ＝2＋1＝3，而BE ＝BD ＋DE ＝2＋1＝3，∴BC＝3 2.故选B. 变式训练6．B。

图形的展开与叠折一、选择题1. （ 2018•安徽省,第8题4分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．2.（2019年广东汕尾，第9题4分）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（）A．我B．中C．国D．梦分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“我”与面“中”相对，面“的”与面“国”相对，“你”与面“梦”相对．故选D．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．3．（2018•浙江宁波，第3题4分）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（）．．．．那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）5.（2018•菏泽，第5题3分）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图为（）二.填空题1. （ 2018•福建泉州，第17题4分）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为 1 米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为米．r=，AB=r=r=．2.（2018•毕节地区，第20题5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．BC=x=故答案为：．3.（2018·云南昆明，第14题3分）如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 cm4. （2019年江苏南京，第14题，2分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形， 若圆锥的底面圆的半径r=2cm ，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l 为 cm ．（第1题图） 考点：圆锥的计算分析： 易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．解答：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm ，设圆锥的母线长为R ，则：=4π，解得R=6．故答案为：6．点评： 本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．5. （2018•扬州，第14题，3分）如图，△ABC 的中位线DE=5cm ，把△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，若A 、F 两点间的距离是8cm ，则△ABC 的面积为 40 cm 3．第14题图QH GFE DCBA（第2题图）×10×8=40三.解答题1. （2018•湘潭，第20题）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．（第1题图），。

二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。

考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。

图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。

在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。

在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。

下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。

（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

2019 重庆中考数学题位复习系统之几何图形折叠问题典例解析例 1（2018?重庆）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE， FG，获得∠ AGE=30°，若 AE=EG=2厘米，则△ ABC的边BC的长为6+4厘米．【解析】依据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点 B、点 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE，FG，∴BE=AE，AG=GC，∵∠ AGE=30°， AE=EG=2 厘米，∴AG=6，∴BE=AE=2 ，GC=AG=6，∴BC=BE+EG+GC=6+4，故答案为： 6+4 ，【评论】本题考察翻折问题，重点是依据折叠的性质和含 30°的直角三角形的性质解答．例 2 （2018?重庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△ BCD沿直线 CD翻折至△ ECD的地点，连结 AE．若 DE∥ AC，计算 AE的长度等于．【解析】依据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化能够求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE=DB=CD=AB，∴∠ DEC=∠DCE=∠DCB，∵DE∥AC，∠ DCE=∠DCB，∠ACB=90°，∴∠ DEC=∠ACE，∴∠ DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ ACD=60°，∠ CAD=60°，∴△ ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形 ACDE是菱形，∵在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°， BC=6，∠B=30°，∴AC= ，∴AE=．【评论】本题考察翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的重点是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形联合的思想解答．追踪训练1．（ 2018? 阜新）如图，将等腰直角三角形 ABC（∠ B=90°）沿 EF折叠，使点A 落在 BC边的中点 A1处， BC=8，那么线段 AE的长度为 5 ．【解析】由折叠的性质可求得 AE=A1E，可设 AE=A1E=x，则 BE=8﹣ x，且 A1B=4，在 Rt△ A1 BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E，∵△ ABC为等腰直角三角形， BC=8，∴AB=8，∵ A1为 BC的中点，∴A1B=4，设 AE=A1E=x，则 BE=8﹣ x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故答案为： 5．【评论】本题主要考察折叠的性质，利用折叠的性质获得 AE=A1E 是解题的重点，注意勾股定理的应用．2．（2018? 崇明县二模）如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=6，AC=8，点 D 是BC的中点，将△ ABD，将△ ABD沿 AD翻折获得△ AED，联络 CE，那么线段 CE的长等于．【解析】如图连结 BE交 AD于 O，作 AH⊥BC于 H．第一证明 AD垂直均分线段 BE，△BCE是直角三角形，求出 BC、BE，在 Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连结 BE交 AD于 O，作 AH⊥ BC于 H．在 Rt△ ABC中，∵ AC=8， AB=6，∴ BC==10，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=5，∵BC? AH= AB? AC，∴AH= ，∵AE=AB，∴点 A 在 BE的垂直均分线上．∵DE=DB=DC，∴点 D 在 BE使得垂直均分线上，△ BCE是直角三角形，∴AD垂直均分线段 BE，∵ AD? BO= BD? AH，∴OB= ，∴BE=2OB= ，在 Rt△ BCE中， EC===，故答案为【评论】本题考察翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的重点是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．3．（2018? 马鞍山二模）如图，△ ABC中， AC=BC=4，∠ C=90°，将△ ABC折叠，使 A 点落在 BC的中点 A' 处，折痕分别交边 AB、AC于点 D、点 E，则 AD=．【解析】连结 AA′交 DE于点 M，过点 A′作 A′N⊥ AB于点 N，依据折叠的性质、勾股定理及相像三角形的性质可求出 AD的长度．【解答】解：连结 AA′交 DE于点 M，过点 A′作 A′N⊥ AB于点 N，如下图．∵AC=BC=4，∠ C=90°， A′为线段 BC的中点，∴A′C=A′B=2，A′N=BN=，AA′==2，AB=4，∴AN=AB﹣BN=3 ．∵将△ ABC折叠，使 A 点落在 BC的中点 A' 处，折痕分别交边AB、AC于点 D、点E，∴AM= AA′= ．∵∠ DAM=∠A′AN，∠ AMD=∠ANA′=90°，∴△ ADM∽△ AA′N，∴=，即=∴AD=．故答案为．【评论】本题考察了折叠的性质、勾股定理以及相像三角形的判断及性质，证明△ ADM∽△ AA′N是解题的重点．4．（2018? 沙坪坝区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ ACB=90°，点 D 是边 AB的中点，连结 CD，将△ BCD沿直线 CD翻折获得△ ECD，连结 AE．若 AC=6， CD=5，则线段 AE的长为．【解析】连结 BE，延伸 CD交 BE与点 H，作 CF⊥AB，垂足为 F．第一证明 DC 垂直均分线段 BE，△ ABE是直角三角形，利用三角形的面积求出 EH，获得 BE的长，在 Rt△ ABE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，连结 BE，延伸 CD交 BE与点 H，作 CF⊥ AB，垂足为 F．∵在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°，点 D 是边 AB的中点， CD=5，∴AD=DB=CD=5，AB=10．∵ AC=6，∴ BC==8．∵S△ABC= AC? BC= AB? CF，∴×6×8=×10× CF，解得CF=．∵将△ BCD沿直线 CD翻折获得△ ECD，∴BC=CE，BD=DE，∴CH⊥BE，BH=HE．∵AD=DB=DE，∴△ ABE为直角三角形，∠ AEB=90°，∴S△ECD=S△ACD，∴DC? HE= AD? CF，∵DC=AD，∴HE=CF= ．∴BE=2EH= ．∵∠ AEB=90°，∴AE===．故答案为．【评论】本题考察了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的重点是学会利用面积法求高，属于中考...5．（ 2018? 双滦区一模）如图，△ ABC中，AB=AC，∠ BAC=54°，∠ BAC的均分线与 AB的垂直均分线交于点 O，将∠ C沿 EF（ E 在 BC上， F 在 AC上）折叠，点 C 与点 O恰巧重合，则∠ OEC为 108 度．【解析】连结 OB、OC，依据角均分线的定义求出∠ BAO，依据等腰三角形两底角相等求出∠ ABC，再依据线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等可得OA=OB，依据等边平等角可得∠ ABO=∠BAO，再求出∠ OBC，而后判断出点 O是△ ABC的外心，依据三角形外心的性质可得 OB=OC，再依据等边平等角求出∠ OCB=∠OBC，依据翻折的性质可得 OE=CE，而后依据等边平等角求出∠ COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，连结 OB、 OC，∵∠ BAC=54°， AO为∠ BAC的均分线，∴∠ BAO= ∠BAC= ×54°=27°，又∵ AB=AC，∴∠ ABC= （180°﹣∠ BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直均分线，∴ OA=OB，∴∠ ABO=∠BAO=27°，∴∠ OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠ BAC的均分线， AB=AC，∴△ AOB≌△ AOC（SAS），∴OB=OC，∴点 O在 BC的垂直均分线上，又∵ DO是 AB的垂直均分线，∴点 O是△ ABC的外心，∴∠ OCB=∠OBC=36°，∵将∠ C沿 EF（ E在 BC上， F 在 AC上）折叠，点 C 与点 O恰巧重合，∴OE=CE，∴∠ COE=∠OCB=36°，在△ OCE中，∠ OEC=180°﹣∠ COE﹣∠ OCB=180°﹣ 36°﹣ 36°=108°．故答案为： 108．【评论】本题考察了线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边平等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作协助线，结构出等腰三角形是解题的重点．6．（2018? 盘锦）如图，已知 Rt△ABC中，∠ B=90°，∠ A=60°， AC=2 +4，点M、N 分别在线段 AC、 AB上，将△ ANM沿直线 MN折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕 MN的长为或．【解析】依照△ DCM为直角三角形，需要分两种状况进行议论：当∠ CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠ CMD=90°时，△ CDM是直角三角形，分别依照含 30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可获得折痕MN的长．【解答】解：分两种状况：①如图，当∠ CDM=90°时，△ CDM是直角三角形，∵在 Rt △ABC中，∠ B=90°，∠ A=60°， AC=2+4，∴∠ C=30°， AB= AC=，由折叠可得，∠ MDN=∠A=60°，∴∠ BDN=30°，∴BN= DN= AN，∴ BN= AB=，∴ AN=2BN=，∵∠ DNB=60°，∴∠ ANM=∠DNM=60°，∴∠ AMN=60°，∴ AN=MN=；②如图，当∠ CMD=90°时，△ CDM是直角三角形，由题可得，∠ CDM=60°，∠ A=∠MDN=60°，∴∠ BDN=60°，∠ BND=30°，∴BD= DN= AN，BN= BD，又∵ AB=，∴AN=2， BN= ，过 N 作 NH⊥AM于 H，则∠ANH=30°，∴ AH= AN=1，HN= ，由折叠可得，∠ AMN=∠DMN=45°，∴△ MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN= ，∴MN= ，故答案为：或．【评论】本题考察了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的重点．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．7．（2018? 乌鲁木齐）如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°， BC=2，AC=2，点D 是 BC的中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿DE所在直线把△ BDE翻折到△B′DE 的地点，B′D交 AB于点 F．若△ AB′F为直角三角形，则 AE的长为3 或．【解析】利用三角函数的定义获得∠B=30°，AB=4，再利用折叠的性质得DB=DC=，EB′=EB，∠ DB′E=∠B=30°，设AE=x，则 BE=4﹣ x，EB′=4﹣ x，议论：当∠ AFB′=90°时，则∴ BF= cos30°=，则 EF=﹣（4﹣x）=x﹣，于是在 Rt△B′EF 中利用 EB′=2EF获得 4﹣x=2（ x﹣），解方程求出 x 获得此时 AE 的长；当∠ FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连结 AD，如图，证明 Rt △ADB′≌Rt △ADC获得 AB′=AC=2，再计算出∠ EB′H=60°，则 B′H=（4﹣x），EH=（ 4﹣ x），接着利用勾股定理获得（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2，方程求出x获得此时 AE的长．【解答】解：∵∠ C=90°， BC=2，AC=2，∴ tanB===，∴∠ B=30°，∴ AB=2AC=4，∵点 D 是 BC的中点，沿 DE所在直线把△ BDE翻折到△ B′DE的地点，B′D交AB 于点 F∴DB=DC= ，EB′=EB，∠ DB′E=∠B=30°，设 AE=x，则 BE=4﹣x，EB′=4﹣ x，当∠ AFB′=90°时，在 Rt△ BDF中， cosB= ，∴BF= cos30°=，∴EF= ﹣（ 4﹣ x）=x﹣，在Rt△B′EF 中，∵∠EB′F=30°，∴EB′=2EF，即 4﹣x=2（x﹣），解得x=3，此时AE为3；当∠ FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连结 AD，如图，∵DC=DB′， AD=AD，∴Rt△ADB′≌ Rt△ADC，∴A B′=AC=2，∵∠ AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，∴∠ EB′H=60°，在 Rt△EHB′中， B′H= B′E=（4﹣x），EH=B′H=（4﹣x），222在 Rt△ AEH中，∵ EH+AH=AE，∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2，解得x=，此时AE为．综上所述， AE的长为 3 或．故答案为 3或．【评论】本题考察了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．也考察了含 30 度的直角三角形三边的关系和勾股定理．8．（2018? 莘县一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E 为AB上一点，将△ BCE沿 CE翻折至△ FCE，EF与 AD订交于点 G，且 AG=FG，则线段 AE的长为1 ．...方程，解方程即可．【解答】解：如下图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ D=∠ B=∠A=90°， AB=CD=4，AD=BC=6，依据题意得：△ BCE≌△ CEF，∴EF=BE，∠ F=∠B=90°， CF=BC=6，在△ GAE和△ GFH中，，∴△ GAE≌△ GFH（ASA），∴EG=GH，AE=FH，∴AH=EF，设 BE=EF=x，则 AE=FH=4﹣x，AH=x，∴DH=6﹣ x， CH=6﹣（ 4﹣ x） =2+x，222依据勾股定理得： DC+DH=CH，即 42+（6﹣x）2=（x+2）2，解得： x=3，∴BE=3，∴ AE=1，故答案为： 1．【评论】本题考察的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．9．（2017? 沙坪坝区一模）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD订交于点 O，且AC=2，BD=6，将△ AOD沿 AD翻折获得△ AED，延伸 EA交 BD于点 F，交 BC于点 G．连结 OG，则△ FOG的面积是．【解析】作 AH⊥CD于 H，GN⊥AC于 N．思想利用勾股定理求出菱形的边长，依据菱形的两个面积公式求出 AH，利用相像三角形求出 GN、AN、OF即可解决问题．【解答】解：作 AH⊥CD于 H， GN⊥AC于 N．∵四边形 ABCD是菱形．∴AC⊥BD，OA=OC=1， OB=OD=3，∴CD==，∴? AC? BD=CD? AH，∴AH=，DH==，∵∠ CAG+2∠DAC=180°，∠ ADC+2∠DAC=180°，∴∠ CAG=∠ADC，∵∠ ACG=∠ACD=∠CAD，∠AGC=∠ ACG，∴ AG=AC=2，∵∠ANG=∠AHD，∴△AGN∽△ DAH，∴= =，∴GN= ，AN= ，∵OF∥GN，∴ = ，∴OF= ，∴S△OFG= ? OF? ON= ??=．故答案为．【评论】本题考察菱形的性质、翻折变换、勾股定理、相像三角形的判断和性质、平行线分线段成比率定理等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，结构直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10．（ 2017? 重庆）如图，正方形ABCD中， AD=4，点 E 是对角线 AC上一点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥ED，交 AB于点 F，连结 DF，交 AC于点 G，将△ EFG沿 EF 翻折，获得△ EFM，连结 DM，交 EF于点 N，若点 F 是 AB边的中点，则△ EMN的周长是．【解析】解法一：如图 1，作协助线，建立全等三角形，依据全等三角形对应边相等证明 FQ=BQ=PE=1，△ DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=，PD==3，如图 2，由平行相像证明△ DGC∽△ FGA，列比率式可得FG和CG的长，进而得 EG的长，依据△ GHF是等腰直角三角形，得GH和 FH的长，利用 DE∥ GM证明△ DEN∽△ MNH，则，得EN=，进而计算出△ EMN各边的长，相加可得周长．解法二，将解法一顶用相像得出的FG和 CG的长，利用面积法计算得出，其余解法同样．解法三：作协助线建立正方形和全等三角形，设EP=x，则 DQ=4﹣x=FP=x﹣2，求x 的值获得 PF=1，AE的长；由△ DGC和△ FGA相像，求 AG和 GE的长；证△ GHF和△ FKM全等，因此 GH=FK=4/3，HF=MK=2/3，ML=AK=10/3，DL=AD﹣ MK=10/3，即DL=LM，因此 DM在正方形对角线 DB上，设 NI=y，列比率式可得 NI 的长，分别求 MN和 EN的长，相加可得结论．【解答】解：解法一：如图 1，过 E 作 PQ⊥DC，交 DC于 P，交 AB于 Q，连结 BE，∵DC∥AB，∴ PQ⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ACD=45°，∴△ PEC是等腰直角三角形，∴PE=PC，设 PC=x，则 PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，∴ PD=EQ，∵∠ DPE=∠EQF=90°，∠ PED=∠EFQ，∴△ DPE≌△ EQF，∴DE=EF，∵ DE⊥EF，∴△DEF是等腰直角三角形，易证明△ DEC≌△ BEC，∴DE=BE，∴EF=BE，∵EQ⊥FB，∴FQ=BQ= BF，∵AB=4， F 是 AB的中点，∴ BF=2，∴ FQ=BQ=PE=1，∴ CE= ， PD=4﹣ 1=3，Rt △DAF中， DF==2 ，DE=EF=，如图 2，∵ DC∥AB，∴△ DGC∽△ FGA，∴==2，∴CG=2AG，DG=2FG，∴FG= ×=，∵ AC==4，∴CG= ×=，∴ EG=﹣ =，连结 GM、GN，交 EF于 H，∵∠ GFE=45°，∴△ GHF是等腰直角三角形，∴ GH=FH==，∴ EH=EF﹣FH=﹣=，由折叠得： GM⊥ EF，MH=GH=，∴∠ EHM=∠DEF=90°，∴DE∥HM，∴△ DEN∽△ MNH，∴，∴==3，∴EN=3NH，∵EN+NH═EH=，∴EN=，∴ NH=EH﹣EN=﹣=，Rt △GNH中， GN===，由折叠得： MN=GN，EM=EG，∴△ EMN的周长 =EN+MN+EM= ++=；解法二：如图 3，过 G作 GK⊥AD于 K，作 GR⊥AB于 R，∵ AC均分∠ DAB，∴ GK=GR，∴====2，∵==2，∴，同理，==3，其余解法同解法一，可得：∴△ EMN的周长 =EN+MN+EM= ++=；解法三：如图 4，过 E 作 EP⊥AP，EQ⊥ AD，∵ AC是对角线，∴EP=EQ，易证△ DQE和△ FPE全等，∴DE=EF，DQ=FP，且 AP=EP，设EP=x，则DQ=4﹣x=FP=x﹣2，解得 x=3，因此 PF=1，∴ AE==3 ，∵DC∥AB，∴△ DGC∽△ FGA，∴同解法一得： CG= ×=，∴EG=﹣=，AG= AC=，过 G作 GH⊥AB，过 M作 MK⊥ AB，过 M作 ML⊥AD，则易证△GHF≌△FKM全等，∴ GH=FK= ，HF=MK= ，∵ ML=AK=AF+FK=2+=，DL=AD﹣MK=4﹣=，即 DL=LM，∴∠ LDM=45°∴ DM在正方形对角线 DB上，过N 作NI⊥AB，则NI=IB ，设 NI=y，∵NI∥EP∴∴，解得 y=1.5 ，因此 FI=2 ﹣y=0.5 ，∴I 为 FP的中点，∴N是 EF的中点，∴ EN=0.5EF=，∵△ BIN 是等腰直角三角形，且BI=NI=1.5 ，∴ BN=，BK=AB﹣AK=4﹣=，BM=，MN=BN﹣BM=﹣=，∴△ EMN的周长 =EN+MN+EM= ++=；故答案为：．【评论】本题考察了正方形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相像的性质和判断、勾股定理，三角函数，计算比较复杂，作协助线，建立全等三角形，计算出 PE的长是重点．。

2019年中考数学图形折叠问题专题复习1.如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A.25°B.30°C.35°D.40°2.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE：EC=2:1,则线段CH的长是（）A.3B.4C.5D.63.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A.1.8B.2.4C.3.2D.3.64.如图，在Rt △ABC中,AB⊥BC，AB=10,BC=8，点D是AB上一点，且AD = 4，点E为AC上一动点，将△ADE沿DE翻折得到△A/DE,连接A/C,则A/C的最小值为( )A. B.5 C.6 D.5.如图，矩形ABCD中，将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形HGFE，已知∠CFG=400,则∠DEF= .6.如图,将矩形ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9,△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．7.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,折痕为BE,则∠EBF的大小为_______．8.矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于．9.如图,在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8）,则点E的坐标为10.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB=6，BE：EC=4：1，则线段DE的长为．11.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为 .12.如图,在一张矩形纸片ABCD中,AD=4cm,点E,F分别是CD和AB的中点.现将这张纸片折叠,使点B落在EF上的点G处，折痕为AH．若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为 .13.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，则AG的长是__________．14.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC 沿OB折叠，使点A落在A/的位置上.若OB=,OC=2BC,则点A′的坐标 .15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEO的度数是．16.如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2．（1）求∠2，∠3的度数．（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．17.如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H.(1)求证：△ABE≌△AGF；(2)若AB=6，BC=8，求△ABE的面积．18.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．19.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．20.已知矩形OABC在平面直角坐标系中，O为原点，A(8，0)，C（0，4），如图所示.D在AB上(D可以与A、B重合)，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△CDE.（1）如图1，若E点落在OA上，求D、E坐标；（2）如图2，F为CD中点，连接BF、EF、BE，若BEF为直角三角形，求E点坐标；（3）如图3，若F点始终为CD的中点，求F点运动路径长度.图1 图2 图3答案1.D2.B.3.D4.C；5.答案为：1106.答案为：127.答案为：45°8.答案为：75/16；9.答案为：（10，3）．10.答案是：2．11.答案为：3.7512.答案为：；13.答案为：1.514.答案为：(-0.6,0.8)15.答案为：100°．16.17.18.解：（1）GF=GC．理由如下：连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=4/3．19.解：（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．20.解：(1)D(8,),E(,0);(2)E();(3)F点运动路径长度为2.。

几何图形的折叠1. 如图，在矩形ABCD中，把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF.把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，则∠HAF＝________.第1题图45°【解析】由折叠的性质可得∠DAH＝∠GAH，∠BAF＝∠EAF，∵∠DAH＋∠GAH＋∠BAF＋∠EAF＝90°，∴2∠GAH＋2∠EAF＝90°，∴∠GAH＋∠EAF＝45°，∴∠HAF＝45°.2. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边上的A′处，若AB＝3，∠EF A＝60°，则四边形A′B′EF的周长是________．第2题图5＋3【解析】由折叠知，∠EF A＝∠EF A′＝60°，又BC∥AD，∴∠A′EF＝∠EF A＝60°，∴△A′EF为等边三角形，∴A′F＝EF＝A′E，又∠B′A′F＝90°，∴∠B′A′E＝30°，∵AB＝A′B′＝3，∴B′E ＝1，A′E＝2，∴C四边形A′B′EF＝A′B′＋B′E＋A′F＋EF＝3＋1＋2＋2＝5＋ 3.3. (2018淄博)在如图所示的▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD 沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．第3题图10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，又∵△ACE是由△ACD折叠而来，∴由折叠的性质可知AE＝AD＝3，CE＝CD＝2，∴△ADE的周长为3＋3＋2＋2＝10.4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于点M，则线段AM的长为________．第4题图132 【解析】如解图，过点M 作MF ⊥BC 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠B ＝90°，∴四边形ABFM 是矩形，∴BF ＝AM ，FM ＝AB ＝6，∵将纸片折叠，使A 点与E 点重合，折痕MN 交AD 于M 点，∴AM ＝ME ，设AM ＝x ，则EF ＝BF ＝x ，∴EF ＝x －4，在Rt △MEF 中，ME 2＝EF 2＋MF 2，∴x 2＝(x －4)2＋62，解得x ＝132，∴AM ＝132.第4题解图5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，cos B ＝34，点D 在BC 边上，将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与BC 边交于点F .若BD ＝2，那么EF ＝________.第5题图3215 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H , ∵AB ＝AC ＝8，cosB ＝34， ∴BH ＝6＝CH ，BC ＝12, 由折叠可得，BD ＝DE ＝2，∠E＝∠ABC ＝∠C ，AB ＝AE ＝6, 又∵∠AFC ＝∠DFE , ∴△AFC ∽△DFE , ∴DF AF ＝EF CF ＝DE AC ＝14.设EF ＝x ，则CF ＝4x ，AF ＝8－x , ∴DF＝14AF ＝2－14x , ∵BD ＋DF ＋CF ＝BC , ∴2＋2－14x ＋4x ＝12, 解得x ＝3215，∴EF ＝3215.第5题解图6. 如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG ＝60°，GE ＝2BG ，则折痕EF 的长为________．第6题图2 【解析】∵∠AFG ＝60°，∴∠FGE ＝60°，∠GFE ＝∠DFE ＝60°，∴△EFG 为等边三角形，∵∠FGH ＝∠D ＝90°，∴在Rt △EGH 中，∠EGH ＝30°，∴GE ＝2EH ，GH ＝30tan EH ＝3EH ，∵GE ＝2BG ，∴EH ＝EC ＝BG ，∴CD ＝GH ＝3EH ＝3BG ，∴BC ＝BG ＋GE ＋EC ＝BG ＋2BG ＋BG ＝4BG ，∵S 矩形ABCD ＝43，∴BC ·CD ＝4BG ·3BG ＝43，∴BG ＝1，GE ＝2，∴EF ＝GE ＝2.7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，CD 是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE.若DE∥AC，则AE的长为________．第7题图23【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AD，∴∠B＝∠BCD，由折叠性质得BD＝DE，∠BCD＝∠DCE，∠B＝∠DEC，∴∠DEC＝∠DCE，∵DE∥AC，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DEC＝∠ACE＝∠BCD，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴∠B＝30°，∴AC＝AD＝DE，又∵DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形，∵CD ＝DE，∴四边形ACDE是菱形，∴AC＝AE，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝33BC＝33×6＝23，∴AE＝2 3.8. (2018襄阳)如图，将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD 折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E.若BE＝2，则AP的长为__________．第8题图1623【解析】∵点A与点P关于BD对称，∴BD垂直平分AP ，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，在矩形ABCD 中，∠ABE ＝∠BAD ＝90°，∴△ABE ∽△DAB ，∴AD AB AB BE =，∵BE ＝2，∴AD ＝12AB 2，∵S 矩形ABCD ＝AB ·AD ＝AB ·12AB 2＝322，∴AB ＝4，AD ＝82，∴由勾股定理得BD ＝22AD AB +＝12，∵S 四边形ABPD ＝S 矩形ABCD ，∴12AP ·BD ＝322，∴AP ＝1623.第8题解图9. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 、DE ，将△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处．若AB ＝6，BE ∶EC ＝4∶1，则线段DE 的长为________．第9题图210 【解析】由矩形ABCD ，得∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ，AD ∥BC .由△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处，得△DFE ≌△DCE ，∴DF ＝DC ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∵DF ＝AB ，∠AFD ＝90°，∴∠AFD ＝∠B ，由AD ∥BC 得∠DAF ＝∠AEB ，∴在△ABE 和△DF A 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DF AB AFD B DAF AEB ，∴△ABE ≌△DF A . ∵BE ∶EC＝4∶1，∴设CE ＝x ，BE ＝4x ，则AD ＝BC ＝5x ，由△ABE ≌△DF A ，得AF ＝BE ＝4x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得DF ＝3x ，又∵DF ＝CD ＝AB ＝6，∴x ＝2，在Rt △DCE 中，DE ＝22DC CE +＝22＋62＝210.10. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝9，BC ＝6，在矩形边上有一点P ，且DP ＝3，将矩形纸片折叠，使点B 与点P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点E ，F ，则EF 长为________．第10题图 62或210 【解析】①如解图①，当点P 在边CD 上时，∵PD ＝3，CD ＝AB ＝9，∴CP ＝BC ＝6，∵△EPF 由△EBF 折叠而来，∴PF ＝FB ，∠EPF ＝∠ABC ＝90°，又∵∠PEB ＝∠EBF ＝90°，∴四边形PFBE 是正方形，∴EF ＝62；②如解图②，当点P 在边AD 上时，过E 作EQ ⊥AB 于点Q ，∵PD ＝3，AD ＝6，∴AP ＝3，∴PB ＝AP 2＋AB 2＝310，∵EF 垂直平分PB ，∴∠FEQ ＋∠EFQ ＝∠PBA ＋∠EFQ ，∴∠FEQ ＝∠PBA ，∵∠A ＝∠EQF ，∴△ABP ∽△QEF ，∴PB FE ＝AB QE ，∴310FE ＝96，∴EF ＝210.综上所述，EF 长为62或210.第10题解图。

折叠问题一、选择题1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A. 78°B. 75°C. 60°D. 45°2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′G的长是A. 1B.C.D. 23.如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，E为AD边上一点，且AE= AB，连结BE，将△ABE沿BE翻折，若点A恰好落在CE上点F处，则∠CBF的余弦值为（）A. B. C. D.4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（）A. B. 4 C. D. 8二、填空题6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点N是线段BC上的一个动点，将△ACN沿AN折叠，使点C落在点C'处，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为________．7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．9.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点F为CD上一个动点，把△BCF沿BF折叠，当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时，EF的长为________．10.矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=________ cm．11.如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 ________.12.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为________.13.已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为________14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________．15.如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则________（结果保留根号）．三、综合题16.已知将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．（1）求证：CE=CF；（2）若AB =8 cm，BC=16 cm，连接AF，写出求四边形AFCE面积的思路．17.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠AB′B；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．参考答案一、选择题1. B2. C3.B4.A5. C二、填空题6.或7.①③8.3或9.10.5.811.3 12.50°13.80°14.或15 15.三、综合题16.（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠，顶点A与C重合，折痕为EF，∴∠1=∠2，AD∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE=CF．（2）解：思路：连接AF① 由矩形纸片ABCD折叠，易证四边形AFCE为平行四边形；② Rt△CED中，设DE为x，则CE为16-x，CD=8，根据勾股定理列方程可求得DE，CE的长；③由CF=CE，可得CF的长；运用平行四边形面积公式计算CF×CD可得四边形AFCE的面积．17.（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，∴∠ABB′+∠BEF=90°，∵∠ABB′+∠AB′B=90°，∴∠BEF=∠AB′B；（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，∴在Rt△EA B′中，EB′2=AE2+AB′2，∴（6﹣AE）2=AE2+x2解得AE=，tan∠AB′B==，tan∠BEF==，∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，∴=，化简，得y=x2﹣x+3，（0＜x≤8﹣2）②当点F在点C下方时，如图2所示．设直线EF与BC交于点K设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，则tanθ==．BK=，CK=BC﹣BK=8﹣．∴CF=CK•tanθ=（8﹣）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．在Rt△EAB′中，E B′2=AE2+AB′2，∴（6﹣BE）2+x2=BE2解得BE=．∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x2+x﹣3∴y=﹣x2+x﹣3（8﹣2＜x≤6）综上所述，y=．。

中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。