高三上学期第一次月考数学试题含答案

高三年级数学学科第一次月考试卷（2024.10）一､单选题1.已知角的终边过点，则（）C.D.2.已知数列满足：且，则（）A. B. C.0 D.13.若，则（ ）A. B. C. D.4.已知，则（ ）B.D.5.设满足，则（ ）A.C. D.6.数列是递增的等差数列，前项和为，满足，则下列选项不正确的是（）A.B.C.当时，最小D.时，的最小值为77.锐角､满足，若，则（ ）A.D.8.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的α(-cos α={}n a 11a =()*1101n na n a ++=∈+N 2022a =2-12-π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2425-2425725725-44π1,0,sin cos 22x x x ⎛⎫∈-+= ⎪⎝⎭sin cos x x -=αsin 2αα=-()cos π2α-=1212-{}n a n n S 853a a =0d >10a <4n =n S 0n S >n αβ()sin cos sin βαβα=+1tan 2α=()cos αβ+=12ABC ,,A B C ,,a b c ,,cos cos cos a b c A B C sin cos cos AB C最小值为（ ）A.3B.4C.5D.6二､多选题9.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减10.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）A.点第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点距离水面1米C.当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米D.点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为11.已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）A.当或10时，取得最大值B.()π2sin 2(01)3f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭π6()y g x =12ω=()f x π,03⎛⎫-⎪⎝⎭()y g x =π4x =π23y g x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,99⎡⎤-⎢⎥⎣⎦O P 0P P P P P h t ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭{}n a n 1,0n S a >316S S =9n =n S 190S >C.成立的的最大值为20D.三､填空题12.已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为__________.13.为了测量隧道口间的距离，开车从A 点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是__________.14等差数列的前项和分别为，且，则__________；若的值为正整数，则__________.四､解答题15.锐角的内角所对的边分别为，若，且.（1）求边的值；（2）求内角的角平分线的长.16.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.17.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.0n S <n 9110a a <{}n a 11089100,2a a a a ==-n T {}n a n n T nA B ､D D C C B BD AB {}{},n n a b n ,n n S T 313n n S n T n +=+220715a a b b +=+nna b n =ABC ,,A B C ,,a b c 2cos 2b a B c +=3a b ==c A AD ()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()f x 12π6()g x ()65g α=-π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos2αABC ,,A B C ,,a b c sin sin 2A Ca b A +=B ABC b =ABC18.已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.已知数列的前项和.若，且数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：数列的前项和；（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围.高三年级数学学科第一次月考试卷答案1.【答案】C 【详解】由题意，.{}n a n ()()()*11,1,221nnn n n n S n a S S S +∈==--N {}n a ()()11211n n n n b a a -+=++{}n b n n T {}n a n ()()*113nn S a n =-∈N 1423log n n b a +={}n c n n nc a b =⋅{}n b {}n c n 23n T <()2114n c t t ≤+-*n ∈N t cos α==2.【答案】A 【详解】因为，所以，故数列为周期是3的数列，所以.3.【答案】D 【详解】由可知，即.4.【答案】B 【详解】解：，，又，即，5.【答案】C【详解】依题意，，则，于是，即，所以.6.【答案】C 【详解】由是递增的等差数列，得，选项A 正确；由，得，则，选项B 正确；由，得当时，有最小值，且最小值为选项错*1111,,1n na a n a +==-∈+N 234123111111,2,1112111212a a a a a a =-=-=-=-=-=-=-=+++--{}n a 2022367432a a a ⨯===-π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22ππ47cos 22cos 12166525αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππ7sin 2sin 2cos 2662625ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()2442222221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2x x x xx x x x +=+-=-=221sin cos 4x x ∴=π,0,sin 0,cos 02x x x ⎛⎫∈-∴<> ⎪⎝⎭1sin cos 2x x =-sin cos x x -====1sin 12αα=-πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ππ2π,32k k α-=-+∈Z π2π,6k k α=-∈Z ()ππ1cos π2cos2cos 4πcos 332k αα⎛⎫-=-=--=-=- ⎪⎝⎭{}n a 0d >853a a =()11734a d a d +=+1502a d =-<()2119(3)222n n n d S na d n d -=+=--3n =nS 9,C 2d -误；又，解得，所以时，的最小值为7，选项D 正确；7.【答案】B 【详解】由，所以，所以；又､均为锐角，所以，所以.所以.8.【答案】A【详解】由题知，由正弦定理得，即，因为，所以，又，所以，得，所以最多有一个是钝角，所以，因为，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.()()116022n n n dS na d n n -=+=->()6N n n +>∈0n S >n ()()()sin cos sin sin cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+⇒+-=+⎣⎦()()()()()sin cos cos sin cos sin sin cos 2cos sin αβααβααβααβααβα+-+=+⇒+=+()tan 2tan 1αβα+==αβ()0,παβ+∈π4αβ+=()cos αβ+=2cos cos cos a c bA C B+=sin sin 2sin cos cos cos A C BA C B+=()sin sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos cos cos cos cos A C A C A C B BA C A C A C B++===()0,π,sin 0B B ∈>cos 2cos cos B A C =()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+cos cos sin sin 2cos cos A C A C A C -+=tan tan 3A C =,A C tan 0,tan 0A C >>()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos B C AB C B C B CB C B C B C++===+()tan tan 13tan tan tan tan tan 1tan tan 22A C A C C C A C A C +=-++=+=+-13tan tan 322A C +≥=13tan tan 22tan tan 3A CA C ⎧=⎪⎨⎪=⎩tan 3,tan 1A C ==sin cos cos AB C二､多选题9.【答案】ABD 【详解】因为点在函数的图象上，所以，且，所以.故A 正确；因为，由，得函数的对称中心为：，当时，得对称中心为：，故B 正确；.其对称轴为：，所以不是函数的对称轴，故C 错误；，由.所以函数的单调减区间为：，因为，所以函数在区间上单调递减，故D正确.10.【答案】ACD 【详解】设点距离水面的高度为（米）和（秒）的函数解析式为，由题意，，解得，，则.当时，，则，又，则.综上，，故D 正确；π,26⎛⎫⎪⎝⎭()f x πππ2sin 1633f ω⎛⎫⎛⎫=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭01ω<<12ω=()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,3x k k +=∈Z ()f x ππ,0,3k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z 0k =π,03⎛⎫-⎪⎝⎭()ππππ2sin 2sin 2cos 6632g x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π,x k k =∈Z π4x =()g x ππ22cos 233y g x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2π22ππ,ππ,363k x k k k x k k ≤+≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z π23y g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ,π,63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ππππ,π,π,9963k k k ⎡⎤⎡⎤-⊆-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z π23y g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,99⎡⎤-⎢⎥⎣⎦P h t ()πsin ,0,0,2h A t B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭max min 66,2,2A B h h A B +=⎧==-∴⎨-+=-⎩42A B =⎧⎨=⎩2π2ππ60,30T T ωω==∴== π4sin 230h t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭0t =0,4sin 20h ϕ=∴+=1sin 2ϕ=-π2ϕ<π6ϕ=-ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭令，则，若，得秒，故A 正确；当秒时，米，故B 不正确；当秒时，，故C 正确.11.【答案】AD 【详解】因为，则，且数列为等差数列，则，可得，即，又因为，可知：当时，；当时，；对于选项A ：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A 正确；对于选项B ：因为，故B 错误；对于选项C ：由的符号性可知：①当时，单调递增，则；②当时，单调递减；且，可知：当时，；当时，；所以成立的的最小值为20，故C 错误；对选项D ：因为，所以，故D 正确；三､填空题12.【答案】7 【详解】设等比数列的公比为，其中，因为，可得，所以，解得或（舍去），则，又当时，，当时，所以当取最大值时的值为7.13.【答案】1000 【详解】在中，，由正弦定理得ππ4sin 26306h t ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭ππsin 1306t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ3062t -=20t =155t =ππ4sin 15524sin5π22306h ⎛⎫=⨯-+=+=⎪⎝⎭50t =ππ3π4sin 5024sin 223062h ⎛⎫=⨯-+=+=-⎪⎝⎭316S S =45160a a a +++= {}n a 416515102a a a a a +=+== 10130a =100a =10a >9n ≤0n a >11n ≥0n a <100a =910S S =9n =n S 1910190S a ==n a 9n ≤{}n S 110n S S a >=>10n …{}n S 190S =18n ≤0n S >20n ≥0n S <0n S <n 9110,0a a ><9110a a <{}n a q 0q >10892a a a =-9781112a q a q a q =-2210q q +-=12q =1q =-111002n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭7n =67110012a ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭8n =78110012a ⎛⎫=⨯< ⎪⎝⎭n T n BCD 400,1000,45BC BD BCD ∠=== sin BDC ∠==而，则中，，由余弦定理得：.14.【答案】或3【详解】因为都是等差数列，所以，，它为正整数，则为整数，又是正整数，所以或4，即或3.四､解答题15.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，即，又因为，则，可得，又因为，所以.余弦定理可得，即，则，解得：，或，由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取，故.（2）根据面积关系可得，即，解得：16.【详解】（1）CD AD ⊥cos sin ADB BDC ∠∠==ABD AD =1000AB ==82/2331{}{},n n a b ()()1212201212171512121121213211822121332a a a a a a Sb b b b T b b +++⨯+=====++++()1212112121321123143221311n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T n n n -----++-======-+-+++41n +n 12n +=1n =2cos 2b a B c +=()sin 2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A B C A B A B A B +==+=+sin 2cos sin B A B =0πB <<sin 0B ≠1cos 2A =0πA <<π3A =2222cos a b c bc A =+-227323cos60c c =+-⨯⨯⨯ 2320c c -+=1c =2c =2220a c b +->220c ->2c =2c =ABC AABD ACD S S S =+ 11123sin602sin303sin30222AD AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ AD =()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ11sin coscos sin cos cos sin sin cos cos cos cos 663322x x x x x x x x x x ⎛⎫=+--+=+-+ ⎪⎝⎭.由，解得即时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，所以.若，则.由，得，又，所以，则，故.故17.【详解】（1）由及正弦定理得，故，在中，，所以πcos 2sin 6x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z π4π2π,2π,33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x π4π2π,2π,33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x 12()π22sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π6()g x ()πππ2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()65g α=-()π6π32sin 2,sin 26565g ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π5π,612α⎛⎫∈-⎪⎝⎭ππ2π2,623α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭πsin 206α⎛⎫-< ⎪⎝⎭ππ2,062α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭ππππππ431cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666552αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos2αcossin 2B a b A =sin cos sin sin 2BA B A =sin cos2sin cos sin 222B B BA A =vABC 0π,0πAB <<<<sin 0,cos02BA ≠≠可得，而，故即.（2）由正弦定理的得，因为，则所以，因为为锐角三角形，则，故，所以周长的取值范围.18.【详解】（1）由，得，即，当时，，两式相减得，化简得，当时，，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，所以，所以.19.【详解】（1）由题意知，1sin 22B =π022B <<π26B =π3B =22sin sin sin a c b R AC B =====2sin ,2sin c A b B ==π3B =2π2π,33A C C A +==-2ππ2sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC ππππ2ππ,,,,sin 626336A A A ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+∈+∈⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦(3,a c +∈ABC (3+()()1221n n n n n S S S +=--()1112n n n n S S S +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1112n n n S a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭2n ≥11112n n n S a --⎛⎫=-⎪⎝⎭()111111222n n n n n a a a n +-⎛⎫⎛⎫=---≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()122n n a n a +=≥1n =112112S a a ==⨯={}n a 12n n a -=12n n a -=()()()()1111122111121212121n n n n n n n n n b a a ----+===-++++++0112011111111112121212121212121221n nt n n n T =-+-+⋅⋅+-=-=-+++++++++1133n n S a =-当时，，所以.当时，，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.因为，所以，所以，令，可得，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）由（1）知，所以，所以，两式相减，可得，所以，所以.（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于.因为，所以，所以数列的最大项为和，且.2n ≥111133n n n n n a S S a a --=-=-114n n a a -=1n =1111133S a a =-=114a ={}n a 1414()*14n n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N 1423log n n b a +=114413log 23log 2324nn n b a n ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭11b =()11n b b n d =+-3d ={}n b ()1324n n n n c a b n ⎛⎫=⋅=⨯- ⎪⎝⎭()()211211111435324444n n n n T c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()2311111114353244444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231311111133332444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()21111114411113233214424414n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭-2321334n n n T +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭23n T <()2114n c t t ≤+-*n ∈N n c ()2114t t +-()()111119931320444n nn n n n c c n n +++-⎛⎫⎛⎫-=+⨯-+⨯=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1234c c c c =>>> {}n c 1c 2c 1214c c ==所以，即，解得或，即实数的取值范围是.()211144t t ≤+-220t t +-≥1t ≥2t ≤-t ][(),21,∞∞--⋃+。

2024-2025学年安徽省芜湖市无为中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x 2−x−2≤0}，B ={x|2x−3<0}，则A ∩B =( )A. [−2,1]B. [−1,32)C. (−∞,32)D. (−∞,−1]2.下列函数中，既为偶函数，又在(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x 2+1xB. y =2−x 2C. y =x 2+log 2|x|D. y =2|x|−x 23.已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，对于任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，f(−1)=0，则xf(x)<0的解集为( )A. (−1,0)∪(1,+∞)B. (−1,0)∪[1，+∞)C. (−1,0)∪(0,1]D. (−1,0)∪(0,1)4.设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值是( )A. 62 B. 2 105 C. 1 D. 35.函数f(x)=3|x|⋅cos2x x的部分图象大致是( )A. B.C. D.6.已知随机变量X ～N(1,σ2).若P(1≤X ≤3)=0.3，设事件A =“X <1”，事件B =“|X|>1”，则P(A|B)=( )A. 38B. 35C. 58D. 277.已知函数f(x)={|log 3x|,x >03x ,x ≤0，若函数g(x)=[f(x)]2−(m +2)f(x)+2m 恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,+∞)D. (1,+∞)8.已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(3x−2)为偶函数，f(2x−1)为奇函数，则下列说法正确的( )①函数f(x)的图象关于直线x =1对称；②函数f(x)的图象关于点(−1,0)中心对称；③函数f(x)的周期为4；④f(2023)=0．A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④二、多选题：本题共3小题，共18分。

郑州市宇华实验学校2024—2025学年高三上学期第一次月考数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“1cos()4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知实数x ,y ,z 满足e ln e y x x y =且1e lne z x z x =,若01y <<,则（ ）A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y z x >>D ．y x z >>3．已知函数2||,(),x m x m f x x x m +≤⎧=⎨>⎩，若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,2) B ．(,2)(0,2)-∞-C ．(2,0)-D ．(2,0)(2,)-+∞ 4．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线BD 与1CB 的距离为（ ）A ．1BC ．12D5．在ABC △中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC △的面积为S ,若22cos bc A b c +=+,则sin cos cos A B C=+（ ）A B ．12C D6．已知z 为复数，且||1z =,则|3i |z -的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]3,4C ．[]2,4D ．4⎡⎤⎣⎦7．若样本空间Ω中的事件123,,A A A 满足()()()()()223113231221,,,4356P A P A A P A P A A P A A =====∣∣∣，则()13P A A =（ ）A ．114 B ．17 C ．27 D ．5288．已知a ,b 均为正实数，若直线y x a =-与曲线ln(2)y x b =+相切，则2a b ab ab ++的最小值是（ ）A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9．下列函数()f x 的最小值为2的是（）A ．2()21f x x x =--+B ．()23()log 210f x x x =++C ．()22x x f x -=+D ．1()32x f x -=+10．如图，在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足13PD PB +=+,则下列结论正确的是（ ）A ．1B D PB ⊥B ．直线1B P 与平面11A BC 所成角为定值C ．点P 的轨迹的周长为D ．三棱锥11P BB C -体积的最大值为11．对于函数3()()ln ,()f x f x x x g x x ==，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 在x =12eB ．(2)g g >C ．()g x 只有一个零点D ．若方程2()kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种_________粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．()lg 30.48≈13．已知函数2()2sin cos 0)222xxxf x ωωωω=-+>的最小正周期为T ,若223T ππ<<，且3π是()f x 的一个极值点，则ω=_________．14．过点P 作斜率为k 的直线l 交圆22:8E x y +=于,A B 两点，动点Q 满足||||||||PA QA PB QB =，若对每一个确定的实数k ,记||PQ 的最大值为max d ,则当k 变化时，max d 的最小值为_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）各项都为整数的数列{}n a 满足272,4a a =-=,前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ,使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．16．（15分）如图，正方体111ABCD A B C D -．（1）求证：1A B ⊥面1A BC ;（2）若E 为线段1AC 的中点，求平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角的大小．17．（15分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间X 近似地服从正态分布(,100)N μ,其中μ近似为样本平均数x ,求(6494)P X <≤；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60),[60,70),[80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①()0.6827P X μδμδ-<≤+=；②(22)0.9545P X μδμδ-<≤+=；③(33)0.9973P X μδμδ-<≤+=．18．（17分）已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点Q 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为2-，直线AB 是否过定点，若过定点，写出定点坐标．19．（17分）已知函数()ln f x x x =．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-,求实数a 的取值范围．数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cos 1,0sin 1βα<<<<,所以cos()cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=+<+,所以由1cos()4αβ-<不能推出1cos sin 4αβ+<，充分性不成立；反之，11cos sin cos()44αβαβ+<⇒-<成立，即必要性成立；,0,2παβ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,则“1cos()4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的必要不充分条件．故选：B ．2．【答案】A【解析】由e ln e y xx y =得ln e ex y x y =，由1e ln e z x z x =得ln e e x z x z -=，因此e ey z y z -=，又01y <<,所以0e e z y z y =-<，又e 0z >,所以0z <,利用01y <<得ln 0e ex y x y =>，又e 0x >,所以ln 0x >,即1x >,所以10x y z >>>>,即x y z >>．故选A ．3．【答案】B【解析】分情况讨论，当0m >时，要使()f x b =有三个不同的根，则2|2|020m m m m ⎧>⇒<<⎨>⎩;当0m <时，要使()f x b =有三个不同的根，同理可知，需要2|2|20m m m m ⎧>⇒<-⎨<⎩．当0m =时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．所以m 的取值范围是(,2)(0,2)-∞- ．故选B ．4．【答案】D【解析】设M 为直线BD 上任意一点，过M 作1MN CB ⊥,垂足为N ,可知此时M 到直线1CB 距离最短，设111,DM DB DA DC CN CB DA DA DD λλλμμμμ==+===+ ，1(1)()MN DN DM DC CN DM DC DA DD λμλμ=-=+-=-+-+ ，11CB DA DD =+ ,因为1MN CB ⊥,所以10MN CB ⋅= ,即()11(1)()0DC DA DD DA DD λμλμ⎡⎤-+-+⋅+=⎣⎦ ，所以0μλμ-+=，即=2λμ=，所以1(12)MN DC DA DD μμμ=--+ ,所以||MN === ，所以当13μ=时，||MN，所以直线BD 与1CB．故选：D ．5．【答案】D【解析】由22cos bc A b c +=+22sin cos A bc A b c +=+,22cos 2sin 6b c b c A A A bc c b π+⎛⎫+=⇒+=+ ⎪⎝⎭，由于2,2sin 26b c A c b π⎛⎫+≥+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c c b =，以及62A ππ+=时，等号成立，结合2sin 6b c A c b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因此2sin 26b c A c b π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，且b c c b =，以及3A π=，故3B C π==，因此sin cos cos A B C ==+故选D ．6．【答案】C【解析】因为复数z 满足||1z =,不妨设cos isin ,R z θθθ=+∈,则|3i ||cos i(sin 3)|z θθ-=+-==．因为sin [1,1]θ∈-，所以[2,4]，所以|3i |z -的取值范围是[2,4]．故选：C ．7．【答案】A【解折】因为()()()()()113223231221,,,4356P A P A A P A P A A P A A =====∣∣∣，所以()()()()()2323323P A P A P A A P A P A A =+∣∣()()()()()3233231P A P A A P A PA A =+-∣∣,解得()357P A =，()()31311P A A P A A =-∣∣()()()()()133131111P A A P A P A A P A P A =-=-∣()()()13311P A A P A A P A =∣()()()1133115144714P A P A A P A =-=-⨯=∣．故选：A ．8．【答案】C 【解析】由于直线y x a =-与曲线ln(2)y x b =+相切，设切点为(,)m n ,而12y x b '=+，故112ln(2)m b m b m a⎧=⎪+⎨⎪+=-⎩,解得m a =,故21,,a b a b +=均为正实数，故22122(2)16610a b ab a b a b ab b a ba ++⎛⎫=+++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a =，结合21a b +=,即得13a b ==时等号成立，故2a b ab ab ++的最小值是10，故选：C ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9．【答案】BC【解析】对于A,由二次函数性质可知，()f x 无最小值，A 错误；对于B,令22210(1)99t x x x =++=++≥，因为3log y t =单调递增，所以3()log 92f x ≥=,当1x =-时等号成立，所以min ()2f x =，B 正确；对于C,因为20x >，所以1()222x x f x =+≥，当且仅当122x x =，即0x =时，等号成立，所以min ()2f x =，C 正确；对于D,由指数函数性质可知，130x ->,所以1()322x f x -=+>,D 错误．故选：BC ．10．【答案】ABD【解析】对于A,连接11B D ,因为四边形1111A B C D 为正方形，则1111A C B D ⊥,因为1DD ⊥平面111111,A B C D A C ⊂平面1111A B C D ,则111A C DD ⊥,因为111111,B D DD D B D = 、1DD ⊂平面11B DD ,所以11A C ⊥平面11B DD ,1B D ⊂平面11B DD ,所以111B D A C ⊥,同理可得11B D A B ⊥,因为1111111,A C A B A A C A B =⊂ 、平面11A BC ,所以1B D ⊥平面11A BC ,因为PB ⊂平面11A BC ,所以1B D PB ⊥,故A 正确；对于C,由A 选项知1B D ⊥平面11A BC ,设1B D 平面11A BC E =,即1B E ⊥平面11,A BC DE ⊥平面11A BC ,因为1111111116,A B BC AC A B BB B C ======,所以三棱锥111B A BC -为正三棱锥，因为1B E ⊥平面11A BC ,则E 与正11A BC △的中心，则12sin 3A BBE π==，所以1B E ==,因为1B D ==所以DE =,因为13PD PB +=+,3=+,3+=+(3=+-,两边平方化简可得0)PE PE =>,因为E 点到等边三角形11A BC 的边的距离为163PE ==,所以点P 的轨迹是在11A BC △内，且以E所以点P 的轨迹的周长为，故C 错误；对于B,由选项C 可知，点P 的轨迹是在11A BC △内，且以E 的圆，EP =1B E =1B E ⊥平面11A BC ,所以1B PE ∠就是直线1B P 与平面11A BC 所成角，所以11tan B E B PE PE ∠===102B PE π<∠<，所以直线1B P 与平面11A BC 所成角为定值，故B 正确；对于D,因为点E 到直线1BC点P 到直线1BC =，故1BPC △的面积的最大值为162⨯=,因为1B E ⊥平面11A BC ,则三棱锥11B BPC -体积的最大值为13⨯=，故D 正确．故选：ABD ．11．【答案】AC【解新】对于A ，函数32()ln ()ln ,()f x xf x x xg x x x===，则24312ln 12ln (),0x x xxx g x x x x⨯--'==>,令()0g x '=，即12ln 0x -=,解得x =当0x <<时，()0g x '>,故函数()g x在上为单调递增函数，当x >时，()0g x '<，故函数()g x在)+∞上为单调递减函数，故()g x在x =处取得极大值12eg =,故选项A 正确；对于B,当x >()0g x '<,故函数()g x在)+∞上为单调递减函数，所以(2)g g <，故选项B 错误；对于C,令函数()0g x =,则ln 0x =,解得1x =,所以函数()g x 只有一个零点，故选项C 正确；对于D,易知1x =不是方程的解；当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =恰好只有一个实数根，等价于y k =和()ln xh x x=只有一个交点，则2ln 1(),0(ln )x h x x x -'=>且1x ≠，令()0h x '=,即ln 10x -=,解得e x =,当e x >时，()0h x '>,故函数()h x 在(e,)+∞上为单调递增函数，当01,1e x x <<<<时，()0h x '<,故函数()h x 在(0,1)，(1,e)上均单调递减，1x =是一条渐近线，当01x <<时，()0h x <,当1e x <<时，()0h x >,故()h x 在e x =处取得极小值(e)e h =,结合条件可知k e =或0k <,故选项D 错误；故选：AC．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．【答案】3【解析】记事件A 为“种一粒种子，发芽”，则()0.7,(0.3P A P A ==设每穴种n 粒，则相当于做了n 次独立重复实验，记事件B 为“每穴至少有一粒发芽”，则00()C 0.7(10.7)0.3,()1()10.3n n n n P B P B P B =-==-=-若保证每穴不需补种的概率大于97%，则10.30.97n ->即0.30.03n <，两边取对数得，lg 0.3lg 0.03n <,即(lg 31)lg 32n -<-又lg 30.48≈，则lg 322.92lg 31n ->≈-，又n 为整数，则每穴至少种3粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．故答案为：3．13．【答案】72【解析】2()2sincossin 2sin 2223xxxf x x x x ωωωπωωω⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭所以()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2T πω=，于是2223πππω<<，解得34ω<<，因为3π是()f x 的一个极值点，则,Z 332k k πππωπ+=+∈，解得13,2k k Z ω=+∈,所以1k =时，7(3,4)2ω=∈．故答案为：72．14．【答案】2【解析】由题设1348+=<，即P 在圆22:8E x y +=内，令||||P APA PB P Bλ'=='且1λ≠，显然P 是A ,B 内分比点，若P '为外分比点，则||||P APA PB P Bλ'==',此时PP '的中点C 为P ,Q 所在阿氏圆的圆心，对于每一个确定的实数,||k PQ 最大值为max d PP '=,即,Q P '重合时max d 为对应圆直径，根据圆的对称性，如上图，讨论1λ>的情况，而||2OP =,当AB为直径时，max ||3||PA PB λ===+,3=+可得4P B '=-故||PQ 的最大值为max ||2d PP P B PB ''==+=；当AB不为直径时134||AB λ<<+<<,且,||AB λ增减趋势相同，由||P A P B AB P B P Bλ''+==''，得||1AB P B λ'=-，显然||1AB P B λ'=-接近于1时P B '趋向无穷大，此时||PQ 的最大值为max d 趋向无穷大．综上，max d 的最小值是2．故答案为：2．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【答案】（1）()*54,14N 2,5n n n n a n n --≤≤⎧=∈⎨≥⎩；（2）{1,3}【解析】（1）设前6项的公差为d ,所以2151612,4,5a a d a a d a a d =+=-=+=+，所以()()12112445a d a d a d +=-⎧⎪⎨+⨯=+⎪⎩，化简可得(43)(1)0d d --=,所以1d =或34，又因为{}n a 各项均为整数，所以d 为整数，所以1d =,当*14,n n ≤≤∈N 时，2(2)4n a a n d n =+-=-,当*5,N n n ≥∈时，555621,2,121n n n a a a --⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，综上所述，()*54,14N 2,5n n n n a n n --≤≤⎧=∈⎨≥⎩；（2）当1m =时，1231236,6a a a a a a ++=-=-,满足条件；当2m =时，2342343,0a a a a a a ++=-=,不满足条件；当3m =时，3453450,0a a a a a a ++==，满足条件；当4m =时，4564562,0a a a a a a ++==,不满足条件；当5m ≥时，52n n a -=，若1212m m m m m m a a a a a a ++++++=,则有22111m m m m m m a a a a a a ++++++=,则5311222m m -+-++=，所以28722m -=，所以2727m -=，又因为273m -≥，所以2728m -≥，所以2727m -=无解，综上所述，m 的取值为{1,3}．16．（15分）【答案】（1）证明见解析；（2）3π【解析】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -,所以四边形11ABB A 是正方形，所以11AB BA ⊥,又BC ⊥平面111,ABB A AB ⊂平面11ABB A ,所以1BC AB ⊥,又111,,AB BA BA BC ⊥是平面1A BC 内的两条相交直线，所以1AB ⊥面1A BC（2）如图，以A 为原点，以1,,AB AA AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ,又E 为线段1AC 的中点，则(0,0,0),(,0,0),(,,0),,,222a a a A B a C a a E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(,0,0),,,,(0,,0),,,222222a a a a a a AB a AE BC a BE ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =,则0000222ax m AB a a ax y z m AE ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩,令1y =,则0,1x z ==-,所以(0,1,1)m =- ，设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =,11110000222ay n BC a a a x y z n BE ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩，令1111,0x z y ===，所以(1,0,1)n = ，设平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角的大小为θ．所以1cos ||||2m n m n θ⋅== ，又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=17．（15分）【答案】（1）74；（2）0.8186；（3）分布列见解析；期望为65【解析】（1）根据频率分布直方图得：(550.01650.02750.045850.02950.005)1074x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．（2）由题意知~(74,100)X N ,即74,10μσ==,所以0.68270.9545(6494)(2)0.81862P X P X μδμδ+<≤=-<≤+==．（3）由题意可知[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为：1:2:2，故抽取的10人中[50,60),[60,70)和[80,90)分别为：2人，4人，4人，随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3，321664331010C C C 11(0),(1)C 6C 2P P ξξ======，123644331010C C C 31(2),(3)C 10C 30P P ξξ======，故ξ的分布列为：ξ0123P1612310130所以11316()01236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18．（17分）【答案】（1）221(2)43x y x +=≠-；（2）直线l 过定点．【解析】（1）设动圆P 的半径为r ,因为动圆P 与圆M 外切，所以||1PM r =+,因为动圆P 于圆N 外切，所以||3PN r =-,则||||(1)(3)4||2PM PN r r MN +=++-=>=,由椭圆的定义可知，曲线C 是以(1,0),(1,0)M N -为左、右焦点，长轴长为4的椭圆．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则2,1a c ==,故2223b a c =-=,所以曲线C 的方程为221(2)43x y x +=≠-．（2）①当直线l斜率存在时，设直线:,l y kx m m =+≠联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()()222438430k x kmx m +++-=，则()()222(8)164330km k m ∆=-+->,化简得22430k m -+>．设()()1122,,,A x y B x y ，则()12221228434343km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩．由题意可知，因为2QA QB k k +=-．2==-，所以)1221121220x y x y x x x x +-++=,所以()())1221121220x kx m x kx m x x x x +++++=,即()1212(22)(0k x x m x x ++-+=,()222438(22)(04343m km k m k k -⎛⎫+⋅+⋅-= ⎪++⎝⎭，即()2(1)3(0k m km m +--=,即(1)]0m m k -++=．因为m ≠，所以1)0m k +=,即m =所以直线l的方程为(y kx k x =-=-,所以直线l过定点．②当直线l 斜率不存在时，设直线:(0)l x t t =≠，且(2,2)t ∈-，则点,,A t B t ⎛⎛ ⎝⎝．所以k 2QA QBk k +=+==-,解得t =,所以直线l的方程为x =也过定点．综上所述，直线l过定点．19．（17分）【答案】（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）1a e ≥-．【解析】（1）因为函数()ln f x x x =,所以1()ln ln 1,(1)ln111f x x x x f x''=+⋅=+=+=．又因为(1)0f =,则切点坐标为(1,0)，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-．（2）函数()ln f x x x =定义域为(0,)+∞,由（1）可知，()ln 1f x x '=+．令()0f x '=解得1x e=．()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x -0+()f x '↘极小值↗所以，()f x 的单调递增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）当1x e e ≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x≥+”．令22111111()ln ,,,(),,x g x x x e g x x e x e x x x e -⎡⎤⎡⎤'=+∈=-=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．令()0g x '=解得1x =,当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．当(1,)x e ∈时，()0g x '>,所以()g x 在区间(1,)e 单调递增．而111ln 1 1.5,()ln 1 1.5g e e e g e e e e e⎛⎫=+=->=+=+< ⎪⎝⎭．所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax ≤-．。

数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增， 在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，， 即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5， 所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△， 化简得12GHC ABC S S =△△， 图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ， 又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ， 建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，， 则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，， 设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分） 设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分） 因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同， 不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=， 因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分） 图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分） 由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）； 在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）； 在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）； 在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）； 在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分） 零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分） 根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分） 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分） （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ， 则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分） （ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大， 所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分） 解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分） 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<， 所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+， 则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分） 此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分） 因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。

江苏南京市第九中学2024-2025学年高三数学上第一次月考模拟训练一．选择题（共10小题）1．已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）2．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（ ）A．3B．4C．6D．83．设函数f（x）＝（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，则a2+b2的最小值为（ ）A．B．C．D．14．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．则函数在的最小值是（ ）A．﹣B．﹣C．0D．5．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．6．设函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．已知f（x1）＝﹣1，f（x2）＝1，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝（ ）A．1B．2C．3D．47．设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（ ）A．B．C．D．8．已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（ ）A．B．C．﹣D．﹣9．已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）A．B．C．D．10．已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（ ）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）11．设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）12．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（ ）A．l与⊙A相切B．当P，A，B三点共线时，C．当|PB|＝2时，PA⊥ABD．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个（多选）13．已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（ ）A．f（0）＝0B．f（1）＝0C．f（x）是偶函数D．x＝0为f（x）的极小值点（多选）14．若函数f（x）＝alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ ）A．bc＞0B．ab＞0C．b2+8ac＞0D．ac＜0三．填空题（共6小题）15．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C 于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ．16．若曲线y＝e x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．17．（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F重合，两曲线与第一象限交于点P，则原点到直线PF的距离为 ．18．若直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，则k的一个取值为 ．19．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝﹣，则C的离心率为 ．20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|＝，则f（π）＝ ．四．解答题（共1小题）21．已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：函数为f（x）＝在R上单调递增，可知：，可得a∈[﹣1，0]．故选：B．2．【解答】解：在同一坐标系中，作出函数y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）在[0，2π]上的图象如下，由图象可知，当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为6个．故选：C．3．【解答】解：f（x）的定义域为（﹣b，+∞），令x+a＝0，得x＝﹣a，令ln（x+b）＝0，得x＝1﹣b，因为f（x）≥0，当﹣b＜x＜1﹣b时，ln（x+b）＜0，所以x+a≤0，则1﹣b+a≤0，当x＞1﹣b时，ln（x+b）＞0，所以x+a≥0，则1﹣b+a≥0，故1﹣b+a＝0，即b﹣a＝1，所以，当且仅当，时等号成立．故选：C．4．【解答】解：∵函数＝sin（3ωx+π），（ω＞0）T＝＝π，ω＝，可得f（x）＝sin（2x+π）＝﹣sin2x，x∈，2x∈[﹣，]，所以f（x）在2x∈[﹣，]上单调递减，﹣sin＝﹣，故函数取最小值是﹣．故选：A．5．【解答】解：根据题意，画出图形，如下图：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝2a，因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，所以m2+n2＝（2c）2＝4c2，＝8，因为直线PF2的斜率为2，所以tan∠F1F2P＝＝2，所以m＝2n，联立，解得，所以2a＝m﹣n＝2，即a＝，所以4c2＝m2+n2＝40，即c2＝10，所以b2＝c2﹣a2＝10﹣2＝8，所以双曲线的方程为＝1．故选：C．6．【解答】解：因为f（x）＝sinωx，则f（x1）＝﹣1为函数的最小值，f（x2）＝1为函数的最大值，又＝，所以T＝π，ω＝2．故选：B．7．【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴椭圆C2的离心率为e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），即3＝4，解得a1＝（负的舍去），即a＝．故选：A．8．【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故选：B．9．【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|﹣﹣x M|＝2|﹣x M|，解得x M＝或x M＝3，∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3不符合题意，故m＝．故选：C．10．【解答】解：cosα＝，则cosα＝，故＝1﹣cosα＝，即＝＝，∵α为锐角，∴，∴sin＝．故选：D．二．多选题（共4小题）11．【解答】解：对于A，f′（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝3（x﹣1）（x﹣3），易知当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（1，3）上单调递减，当x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，选项A正确；对于B，当0＜x＜1时，0＜x2＜1，且x2＜x，又f（x）在（0，1）上单调递增，则f（x2）＜f（x），选项B错误；对于C，由于1＜x＜2，一方面，f（2x﹣1）＝（2x﹣2）2（2x﹣5）＝4（x﹣1）2（2x﹣5）＜0，另一方面，f（2x﹣1）+4＝4（x﹣1）2（2x﹣5）+4＝4[（x﹣1）2（2x﹣5）+1]＝4（x﹣2）2（2x﹣1）＞0，则﹣4＜f（2x﹣1）＜0，选项C正确；对于D，由于﹣1＜x＜0，则f（2﹣x）﹣f（x）＝（x﹣1）2（﹣2﹣x）﹣（x﹣1）2（x﹣4）＝（x﹣1）2（2﹣2x）＝﹣2（x﹣1）3＞0，即f（2﹣x）＞f（x），选项D正确．故选：ACD．12．【解答】解：对于A，抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，是x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，选项A正确；对于B，⊙A的圆心为A（0，4），当P、A、B三点共线时，P（4，4），所以，选项B正确；对于C，当PB＝2时，P（1，2）或P（1，﹣2），对应的B（﹣1，2）或（﹣1，﹣2），当P（1，2）时，AB＝PA＝，PB＝2，PA与AB不垂直，当P（1，﹣2）时，AB＝PA＝，PB＝2，PA与AB不垂直，选项C错误；对于D，焦点F（1，0），由抛物线的定义知PB＝PF，则PA＝PB等价于P在AF的中垂线上，该直线的方程为，它与抛物线有两交点，选项D正确．故选：ABD．13．【解答】解：由f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），取x＝y＝0，可得f（0）＝0，故A正确；取x＝y＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正确；取x＝y＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即f（﹣1）＝f（1）＝0，取y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；由上可知，f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，而函数解析式不确定，不妨取f（x）＝0，满足f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），常数函数f（x）＝0无极值，故D错误．故选：ABC．14．【解答】解：函数定义域为（0，+∞），且f′（x）＝﹣﹣＝，由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，则有x1+x2＝＞0，x1x2＝＞0，Δ＝b2+8ac＞0，∴ab＞0，ac＜0，∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0．故选：BCD．三．填空题（共6小题）15．【解答】解：由题意知，|F1A|＝13，|F2A|＝|AB|＝5，所以|F1A|﹣|F2A|＝2a＝8，解得a＝4；又x＝c时，y＝，即|F2A|＝＝5，所以b2＝5a＝20，所以c2＝a2+b2＝16+20＝36，所以c＝6，所以双曲线C的离心率为e＝＝．故答案为：．16．【解答】解：曲线y＝e x+x，可得y′＝e x+1，在点（0，1）处切线的斜率为：e0+1＝2，切线方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1．曲线y＝e x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，设y＝ln（x+1）+a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为：＝2，可得x＝，x＝代入y＝2x+1，可得切点坐标为：（﹣，0），切点在曲线y＝ln（x+1）+a上，所以0＝ln（﹣+1）+a，解得a＝ln2．故答案为：ln2．17．【解答】解：∵（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F重合，∴F（1，0），∴p＝2，∴y2＝4x，联立，得或，∵两曲线与第一象限交于点P，∴P（4，4），∴直线PF的方程为＝＝，即4x﹣3y﹣4＝0，∴原点到直线PF的距离为d＝＝．故答案为：．18．【解答】解：联立，化简可得（1﹣4k2）x2+24k2x﹣36k2﹣4＝0，因为直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，故1﹣4k2＝0，或Δ＝（24k2）2+4（1﹣4k2）（36k2+4）＝0，解得k＝或k无解，当k＝时，符合题意．故答案为：（或﹣）．19．【解答】解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），设A（x，y），则，又，则，可得，又⊥，且，则，化简得n2＝4c2．又点A在C上，则，整理可得，代n2＝4c2，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，设，由对称性可得，则，设∠F1AF2＝θ，则，所以，解得t＝a，所以，在△AF1F2中，由余弦定理可得，即5c2＝9a2，则．故答案为：．20．【解答】解：由题意：设A（x1，），B（x1+，），由y＝sin（ωx+φ）的图象可知：f（x1）＝sin（ωx1+φ）＝，故，f（x2）＝sin[+φ]＝，则，两式相减得：，由图可知：T＜，即，解得ω∈（3，6），∵ω＝4+12（k2﹣k1），k2﹣k1∈Z∴ω＝4，∴f（x）＝sin（4x+φ），又f（）＝sin（+φ）＝0，∴+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝﹣+kπ，k∈Z，∵f（0）＝sinφ＜0，∴当k＝2时，φ＝﹣满足条件，∴∴f（π）＝sin（4π﹣）＝﹣．故答案为：﹣．四．解答题（共1小题）21．【解答】解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为，则，解得，故双曲线C的方程为；（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），记C的左，右顶点分别为A1，A2，则A1（﹣2，0），A2（2，0），联立，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝256m2+192＞0且4m2﹣1≠0，，，直线MA1的方程为，直线NA2方程y＝，故＝＝＝＝＝，故，解得x＝﹣1，所以x P＝﹣1，故点P在定直线x＝﹣1上运动．。

陕西省西安高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分命题人：）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A.{}10x x -≤≤ B.{}10x x -<≤ C.{}10x x -≤< D.{}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4.已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6.已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.{}e B.[)e,+∞ C.{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.{}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=的图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x在(,3-∞-，)3+∞上单调递增，(,)33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 不正确；对应B ，因323()1039f -=+>，323()1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为4424x x x x+≥⋅=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大的根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211()x x '=-B.(e )e x x--'= C.21(tan )cos x x'=D.1(ln )x x'=【答案】ACD 【解析】【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x +''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a +<+B.333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c a b c b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以<1或>2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16.为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x123456体重超标人数y987754483227ln z y = 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆn i i i n i i x y nx yb x nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83e x y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b 则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i ii i i x z x zb x x ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83a z bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83z y x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17.已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或224t +≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<<1，则+1≥(2−1)22−1>0，∴42−5≤0>12⇒12<≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ单调递减，当4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U <--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或2.4t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得24t ±=，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒224t +=；②在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有>0Δ>0−1<−12<2o −1)>0o2)>0或<0Δ>0−1<−12<2o −1)<0o2)<0，解得214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或2.4t ≥18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈.)（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16（2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，121010320C C 15(2)C 38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P 21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19.已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x 二次求导，判断()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e 2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}3,4{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A.B.1y x =-2ln y x=C. D.32y x =e xy x =3.已知等差数列满足，则（）{}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为A ()2:20C y px p =>A A x 4，则（ ）p =A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“()23f x -[]2,3()f x (),21x A f -B ”是“”的（ ）x A ∈x B ∈A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x 是奇函数，则的最小值为（）()h x ()f x A. B.C.D.e2e7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）51x ⎫+⎪⎭A. B. C. D.253513238.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径221:220C x y x y +--=x y M N 2C为，且与圆相外切，则的最大值为（）1C22C M C N ⋅A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）X ,m n X 20242025Pm nA. B.服从两点分布1m n +=X C.D.()20242025E X <<()D X mn=10.已知函数，下列说法正确的是（ ）()()214log 21f x ax ax =-+A.的定义域为，当且仅当()f x R 01a <<B.的值域为，当且仅当()f x R 1a C.的最大值为2，当且仅当()f x 1516a =D.有极值，当且仅当()f x 1a <11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足R ()f x ()g x ()f x '()g x '，且为奇函数，则下列说法正确的是（）()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +A.B.的图象关于直线对称()00f =()g x 2x =C.的一个周期是4 D.()f x 20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.()0,0(0x y a a =>1)a ≠13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩ 123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==则的最大值为__________.()()()112233x f x x f x x f x ++四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形n n n a 中实心区域的面积为.nb （1）写出数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）设，证明.121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，111A B C ABC -111A B C ABC 为线段的中点，为线段上的点.111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC HBC （1）若点为线段的中点，求证：平面；H BC 1A B ∥1C GH （2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角1C GH 111A B C ABC -2:5的正弦值.11C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m -=M 的焦距为.()2,2,N （1）分别求和的方程；M N （2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D ，，判断l M ,A B N C ABCD=直线与圆的位置关系.l 222:O x y a +=18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠22⨯0.01α=产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；P （ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人P 注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.3sin33sin 4sinθθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<（i ）求的取值范围；a （ii ）若，证明：.1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义1y x =-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，的定义域为，该函数在定()0,∞+32y x==[)0,∞+义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定()1,x ∞∈-+0y '>xe y x ∴=(),1∞--()1,∞-+义域内不单调，故选C.3.，故选B.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= 4.设点，则整理得，解得或，故选C.()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =5.的定义域为.当时，的定义域为，()23f x - []2,323x ()1233,x f x -∴ []1,3即.令，解得的定义域为，即.[]1,3A =1213x- ()12,21x x f ∴- []1,2[]1,2B =“”是“”的必要不充分条件，故选B.,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x x f x -=+，当且仅当，即时，等号成立，()3e2e xxf x -=+3e 2e x x -=12ln 23x =C.min ()f x ∴=7.设的二项展开式的通项公式为，51x ⎫+⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有3,4,50,2,4k =1,3,5k =理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.223326C C 2C 5+=8.由题，，即圆心为，且，为的221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C()()2,0,0,2M N MN 1C 直径.与相外切，由中线关系，有1C 2C 12C C ∴==，当且()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.22C M C N=22C M C N⋅二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 对于D 选项，令，则服从两点分布，，2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn=-=，正确，故选ACD.()()()2024D X D Y D Y mn∴=+==10.令，对于A 选项，的定义域为或()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R ，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩ ()f x ()g x ⇔R ，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩ ()f x ()2g x ⇔为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔且，故D 选项错误，故选BC.()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得()1g x +()10g =()()11g x f x --=，故A 错误；对于B 选项，由可得()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'为常数，又由，可得，则()()3,f x g x C C=++()()11g x f x --=()()11g x f x --=，令，得，所以，所以()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +所以，所以，所以()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=是一个周期为4的周期函数，，()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以()f x ()1g x +，又，又是周期为4的周期函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x ，故D 正确，故选BCD.20251()(1)0k g k g ===∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案e14433e 6-【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln xy a a x =⋅(),tt a ln t ta a t a ⋅=切点纵坐标为.1log e,ln a t a ==∴elog e t a a a==13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其22A 13C 余元素共有种排法，故共有种不同的方案.44A 214234A C A 144⋅⋅=14.设，由的函数图象知，，又，()()()123f x f x f x t===()f x 23t < 1232,ln x x x t +=-=.令()()()3112233e ,2e t tx x f x x f x x f x t t =∴++=-+在上单调递增，则()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴ (]2,3，的最大值为.()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；{}n a 11133n n n a --=⨯=数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.{}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因为，2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，所以.413n n c a <43n n na c a < 16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，1A C 11A C C G O⋂=1,HO A G三棱台，则，又，111A B C ABC -11A C ∥AC 122CG AC ==四边形为平行四边形，∴11A C CG 则.1CO OA =点是的中点，H BC .1BA ∴∥OH 又平面平面，OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 平面.1A B ∴∥1C HG （2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，1C GH 111A B C ABC -2:5所以，11127C GHC AB V V B C ABC-=-即，()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅++⋅ 化简得，12GHC ABC S S =此时点与点重合.H B ，1190C CA BCC ∠∠== 且都在平面，则平面，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC 又为等腰直角三角形，则.ABC BG AC ⊥又由（1）知，则平面，1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC 建立如图2所示的坐标系,G xyz -则，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --设平面的法向量，1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 则令，解得，220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 设平面的法向量，1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 则令，解得.20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 设二面角的平面角为，11C GH B --θ，cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== 所以，sin θ==所以二面角.11C GH B --17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为N =解得，即双曲线.21m =22:12y N x -=因为双曲线与双曲线的离心率相同，M N 不妨设双曲线的方程为，M 222y x λ-=因为双曲线经过点，所以，解得，M ()2,242λ-=2λ=则双曲线的方程为.M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为l l ，()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+联立消去并整理得22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=此时可得，()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <当时，由韦达定理得；2λ=212122224,22kt t x x x x k k --+==--当时，由韦达定理得，1λ=234342222,22kt t x x x x k k --+==--则，ABCD====化简可得，222t k +=由（1）可知圆，22:2O x y +=则圆心到直线的距离，Ol d ====所以直线与圆相切或相交.l O 18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；[)0,200.00252020010⨯⨯=在）内有（只）；[20,400.006252020025⨯⨯=在）内有（只）；[40,600.008752020035⨯⨯=在）内有（只）；[60,800.025********⨯⨯=在内有（只）[]80,1000.00752020030⨯⨯=由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），10253570++=所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.0H 根据列联表中数据，得.220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.0.01α=（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”A =B =，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.C =记事件发生的概率分别为，则，,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====.()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.0.9P =（ii ）由题意，知随机变量，()100,0.9X B ~所以.()1000.990E X np ==⨯=又，设时，最大，()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩解得，因为是整数，所以.089.990.9k 0k 090k =19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--.()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，()233f x x a =-'当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；0a ()0f x ' ()f x (),∞∞-+当时，令，得；令，得0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<令，得()0f x '>x <x>所以在上单调递减，在上单调递增.()f x ((),,∞∞-+有三个零点，则即解得，()fx (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<当时，，04a <<4a +>且，()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a+=+-++=++++>所以在上有唯一一个零点，()fx )4a +同理()2220,g a -<-=-=-<所以在上有唯一一个零点.()f x (-又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，()f x (()f x 综上可知的取值范围为.a ()0,4（ii ）证明：设，()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---则.()212301f a x x x ==-=又，所以.04a <<1a =此时，()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>方程的三个根均在内，3310x x -+=()2,2-方程变形为，3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令，则由三倍角公式.ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=因为，所以.3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。

绵阳高2022级高三上期第一学月月考数学试题（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集R U =，集合{}2230M x x x =--≤和{}21,Z N x x k k ==-∈的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A.3个B.2个C.1个D.无穷多个2.围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：lg 30.48≈）A.9310B.8310C.7310D.53103.lg(tan 1)y x =-的定义域为（）A.ππππ,Z 24x k x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+>>+∈ B.πππ,π,Z 42 x x k x k k ⎭>+≠+⎧⎫⎨⎬⎩∈C.ππ,Z 4x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈ D.ππ,Z 42k x x k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈4.设0.30.2a =，0.20.3b =，0.2log 2c =，则（）A.c b a>> B.c a b >> C.b a c>> D.a b c>>5.设函数3()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是（）A.1,2727⎛⎫⎪⎝⎭B.10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,27D.()27,+∞6.下列选项可以使得1144xy -≤≤成立的一个充分不必要条件的是（）A.221x y += B.2241x y += C.1x y += D.1y x=7.函数()f x 的导函数()(1)(ln 1)f x x x ax '=-+-，若函数()f x 仅在1x =有极值，则a 的取值范围是（）A.21e a ≤-B.21ea <-或1a = C.21ea ≤-或1a = D.1a =8.存在三个实数1a ，2a ，3a 使其分别满足下述两个等式：（1）1232a a a =-；（2）1230a a a ++=其中M 表示三个实数1a ，2a ，3a 中的最小值，则（）A.M 的最小值是2- B.M 的最大值是2- C.M 的最小值是 D.M 的最大值是-二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知定义在R 上的奇函数()f x ，其周期为4，当(0,2)x ∈时，()22xf x =-，则（）A.(2024)0f = B.()f x 的值域为(2,2)-C.()f x 在(2,2)-上单调递增D.()f x 在[4,4]-上有9个零点10.已知函数()214()log 21f x x ax =-+，下列说法正确的是（）A.()f x 关于x a =对称B.()f x 的值域为R ，当且仅当1a ≥或1a ≤- C.()f x 的最大值为1，当且仅当32a =±D.()f x 有极值，当且仅当1a <11.关于函数()cos sin 2f x x x =，下列说法中正确的是（）A.图象关于直线π4x =对称 B.()f x 为偶函数C.2π为()f x 的周期D.最大值为439三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12.已知α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，其终边上一点P 的坐标为11,23⎛⎫⎪⎝⎭，则sin(2)α的值为________13.甲说：()2ln 23y x ax =-+在(,1]-∞上单调递减乙说：存在实数x 使得2210x ax -+>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦成立若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则a 的取值范围是________14.已知不等式112x aeax b --≥对任意的实数x 恒成立，则ba的最大值为________四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知函数3212()232a f x x x ax +=-+.（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.16.（15分）已知函数π()sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π2个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.（1）求()g x 的解析式；（2）若关于x 的方程()g x k =-在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有两个实数解，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知ππ42α≤≤，3ππ2β≤≤，4sin 25α=，2cos()10αβ+=-，（1）求225sin 8sin cos 11cos 82222πsin 2ααααα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）求角βα-的值.18.（17分）已知函数3()ln2(1)2xf x x x x=++--.（1）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（2）若(21)()40f m f m -+-<，求实数m 的取值范围.19.（17分）已知函数()2ln(1)cos(2)g x x x =--+--.（1）函数()f x 与()g x 的图像关于1x =-对称，求()f x 的解析式；（2）()1f x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，* N n ∈.绵阳高2022级高三上期第一学月月考数学试题参考答案题号1234567891011答案AAACBBABABDABCCD12.121313.2a <14.22ln 2-8.【详解】由已知得，1a ，2a ，3a 中必有2个正数，1个负数，设30a <，10a >，20a >，则3M a =，因为1230a a a ++=，所以312a a a -=+，所以312a a a -=+≥，即23124a a a ≤，所以331234a a a a ≥，由1232a a a =-得，3324a ≤-，即338a ≤-，所以32a ≤-，故选：B.10.【详解】A.令2()21g x x ax =-+，有()(2)g x g a x =-，由于14()log ()f x g x =，所以1144(2)log (2)log ()()f a x g a x g x f x -=-==，所以()f x 关于x a =对称，故A 正确；B.当函数的值域为R ，则2()21g x x ax =-+能取到(0,)+∞的所有值，所以2440a ∆=-≥解得：1a ≥或1a ≤-，故B 正确； C.若函数()f x 的最大值为1，则min 113()()442g x g a a =⇒=⇒=±，故C 正确；D.若()f x 有极值，则2()21g x x ax =-+在定义域内不单调，所以2440a ∆=-<，则11a -<<，故D 错误.故选：ABC 11.【详解】对于A ，ππcos sin(π2)sin sin 2()22f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=--=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()cos()sin(2)()f x x x f x -=--=-，故B 错误对于C ，(2π)cos(2π)sin(24π)cos sin 2()f x x x x x f x +=++==，故2π是()f x 的周期，故C 正确；对于D ，()22()cos sin 22cos sin 21sin sin f x x x x x x x ===-，令sin x t =故()2()21f x t t =-，[1,1]t ∈-，利用导数求得()f x 的最大值为9，故D 正确.故选：CD13.甲对，则有2210x ax -+>在(,1]-∞上单调递减，且大于零，所以有1a ≥且420a ->，则12a ≤<.若乙对，则1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，max115522224x a x a a a x x ⎛⎫+>⇒+>⇒>⇒< ⎪⎝⎭，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的其对立面为甲乙说的均不对，此时{1a a <或}2a ≥与54a a ⎧≥⎫⎨⎬⎩⎭求交集为{}2a a ≥，取其补集后a 的取值范围{}2a a <，所以{}2a a <14.可转化为11x ay e-=图像恒在2y ax b =+上方，所以必然有0a >，现考虑刚好相切时的情况，设切点为0110,x ax e-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则001111022x a x a e ae ax b-+-+⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消元得到022a b x a -=带0112x a e a -+=得到121212ln 22422ln 22a b a ab e a a b a a a a a--+=⇒=--⇒=--，所以11x ay e -+=图像恒在2y ax b =+上方，只需要422ln 2b a a a ≤--，所以242ln 2b a a a ≤--，令222(1)42ln 2()()a a h a h a a a-'--=⇒=，所以max ()(1)22ln 2h a h ==-15.【详解】（1）321323()2x x x f x =-+，(1)(2)()x x f x =--'，所以1x <或2x >时，()0f x '>，12x <<时，()0f x '<，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.（2）()()(2)f x x a x '=--，当2a =时，()0f x '≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，()0f x '>；2x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，()0f x '>；2a x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减.16.【详解】（1）将()f x 的图象向右平移π2个单位长度后，得到πππsin 2sin 2263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到πsin 223y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，所以π()sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）因为π5π186x -≤≤，所以4ππ4π2933x -≤-≤.()g x k =-，即πsin 223x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有两个实数解，于是函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与2y k =--的图象在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎣⎦上有且只有两个交点，44πsin sin 99π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4πππ3π3sin sin πsin sin 33392⎛⎫=+=-=-=- ⎪⎝⎭，3π4ππ0992<<<，所以4π4πsin sin93⎛⎫-< ⎪⎝⎭.画出πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，所以212k -≤--<，所以232k -+≤-<，322k -<≤-.所以实数k的取值范围是3,22⎛--+ ⎝⎦.17.（1）由222225sin 5cos 4sin 6cos 85sin 8sin cos 11cos 82222222πcos sin 2αααααααααα⎛⎫+++-++- ⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭2254sin 6cos 84sin 6cos 34sin 3cos 22(4tan 3)cos cos cos αααααααααα++-+-+===-+---又因为4sin 25α=，所以2sin cos 5αα=，可得222sin cos tan 2sin cos 1tan 5αααααα==++，解得tan 2α=或1tan 2α=，由于ππ42α≤≤，所以tan 2α=.∴原式11=-.（2）又由3ππ2β≤≤知5π2π4αβ≤+≤，因cos()10αβ+=-，则72sin()10αβ+===-，由sin()sin[()2]sin()cos 2cos()sin 2βααβααβααβα-=+-=+-+7232421051052⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因π5π24βα≤-≤，故3π4βα-=.18.【详解】（1）函数3()ln 2(1)2xf x x x x=++--，定义域为(0,2)，332()(2)ln 2(1)ln 2(2)(1)2x xf x f x x x x x x x-+-=++-++-+--332ln [22(2)](1)(1)04042x x x x x x x x-⎡⎤=⋅++-+-+-=++=⎣⎦-所以曲线()y f x =关于点(1,2)对称.（2）22112()23(1)23(1)2(2)f x x x x x x x '=+++-=++---，因为(0,2)x ∈，20(2)x x >-，所以22()23(1)0(2)f x x x x '=++->-，所以()f x 在定义域(0,2)上单调递增；又()f x 关于点(1,2)对称，(21)()4f m f m -+<，由（1）得()(2)4f x f x +-=恒成立，所以()(2)4f m f m +-=，所以(21)()4()(2)f m f m f m f m -+<=+-所以212021202022m mm m m -<-⎧⎪<-<⎪⎨<<⎪⎪<-<⎩，解得112m <<19.【详解】（1）依题意，设()f x 图像上任意一点坐标为()00,x y ，则其关于1x =-对称的点()002,x y --在()g x 图像上，则()()0002y f x g x ==--，则()()()000022ln 1cos f x g x x x =--=++，()01x >-故()2ln(1)cos f x x x =++，(1)x >-；（2）令()()12ln(1)cos 1h x f x ax x x ax =--=++--，(1)x >-则在()0h x ≤在(1,)x ∈-+∞恒成立，又(0)0h =，且()h x 在(1,)x ∈-+∞上是连续函数，则0x =为()h x 的一个极大值点，2()sin 1h x x a x '=--+，(0)202h a a '=-=⇒=.下证当2a =时，()0h x ≤在(1,)x ∈-+∞恒成立，令()ln(1)x x x ϕ=+-，1()111xx x x ϕ'=-=-++，当(1,0)x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ在(1,0)-上单调递增，当(0,)x ∈+∞，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，故()(0)0x ϕϕ≤=，ln(1)x x +≤在(1,)-+∞上恒成立，又cos 1x ≤，则2a =时，()()12[ln(1)](cos 1)0h x f x ax x x x =--=+-+-≤恒成立，综上，2a =.（3）由（2）可知：()12f x x -≤，则11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f k k ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ，又由（2）可知：ln(1)x x +≤在(1,)-+∞上恒成立，则ln 1x x ≤-在(0,)+∞上恒成立且当且仅当1x =时取等，令(0,1)1n x n =∈+，* N n ∈，则1ln 1111n n n n n -<-=+++，即11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n+<-==+-++，则111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n +++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=，综上，21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑，即证.。

湖南省长沙市百强校2025届高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知A ={x|x 2+x−6≤0}，B ={x|lg (x−1)<0}，则A ∩B =( )A. {x|−3≤x ≤2}B. {x|−3≤x <2}C. {x|1<x ≤2}D. {x|1<x <2}2.若复数z 满足z(1+i)=−3+i(i 是虚数单位)，则|z|等于( )A.102B. 54C.5D.523.已知平面向量a =(5,0)，b =(2,−1)，则向量a +b 在向量b 上的投影向量为( )A. (6,−3)B. (4,−2)C. (2,−1)D. (5,0)4.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 9=14，a 6a 7=63，则S 7=( )A. 21B. 19C. 12D. 425.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上(含90分)为及格．阅卷结果显示，全年级1 200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数(难度系数=平均分/满分)为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为( )附：若X ～N(μ,σ2)，记p(k)=P(μ−kσ≤X ≤μ+kσ)，则p(0.75)≈0.547，p(1)≈0.683．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人6.已知α，β∈(0,π2)，cos (α−β)=56，tan α·tan β=4，则α+β=( )A. π6B. π4C. π3D. 2π37.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，以F 2为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若3|AB|>|F 1F 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. (1,2 63) B. (1，3 55) C. (1,2)D. (1,3)8.已知函数f(x)={a·2x ,x ≤0,log 2x,x >0,若关于x 的方程f(f(x))=0有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (−∞,0)∪(0,1)C. [1,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共15分。

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。