二次函数中的面积问题教案

21.4二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用 教学目标1．经历数学建模的根本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值。

教学重难点【教学重点】利用二次函数求实际问题的最值。

【教学难点】对实际问题中数量关系的分析。

课前准备课件等。

教学过程一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如以下图的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：利用二次函数求最大面积【类型一】利用二次函数求最大面积例1 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，那么另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝ －x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30；(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，因为a ＝－1＜0，所以S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S最大值是225(平方米)．方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，表达了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件例2 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件例3 现有一块矩形场地，如以下图，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．解：(1)由题意知，B 场地宽为(30－x )m ，∴y ＝x (30－x )＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围为0＜x ＜30；(2)y ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，当x ＝15m 时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m 2.【类型四】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如以下图)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)；(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得a ＝－16， 所以这条抛物线的函数关系式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x ； (3)设OB ＝m ，那么点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )， 所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m . 根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15. 所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计图形面积最大值⎩⎪⎨⎪⎧1.利用二次函数求最大面积2.利用二次函数确定最大面积的条件3.利用函数判断面积取值成立的条件4.最大面积方案设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．第2课时利用移项解一元一次方程教学目标1．掌握移项变号的根本原那么；2．会利用移项解一元一次方程。

课题课型中考复习课学习好资料欢迎下载探究与二次函数有关的面积问题出课人孙晶授课时间2013.3.28教学目知识和能力过程和方法能够根据二次函数中不同图形的特点选择方法求图形面积。

通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。

标情感态度和价值观教学重点和难点教学方法由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动。

加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯。

重点：选择方法求图形面积难点：如何割补、转化图形求面积启发式、讨论式教学用具多媒体课件与二次函数有关的面积问题（一）二次函数的图像Ah 板铅垂高C书B设计水平宽a（二）交点坐标，与X轴两交点的距离。

图（三）S=1/2ah(其中、a（四）总结为水平宽、h为铅垂高)教学活动（一）说一说请思考函数y=x2-2x-3的图象。

想一想学生活动学生发言设计意图给学生展示的舞台，让学生有发挥的空1、2、3、如何求抛物线和两坐标轴的交点。

怎样求平面直角坐标系内一点到x轴、y轴的距离？怎样求抛物线与x轴的两个交点的距间。

离？（三）议一议学生共同思考（△1）求下列图形的面积ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE思考：这几个图形求面积有何共同点？（三角形边特殊吗？）主要让学生体会当三角形的一边在坐标轴上时，就以这边为底，做高求面积即可。

同时也体会坐标与线段长度的关系。

激发学生的学习兴趣。

学生归纳总结使学生亲身经历规律产生的过程提高学生归纳总结的能力。

教师活动（△2）你肯定行：ADE的面积如何求呢？学生活动设计意图学生积极思考、小提高学生归组共同讨论、集体纳总结的能展示。

力。

动点问题是学生的难小结：不规则图形或三边不具特殊性的三角形如何求面积。

学生归纳总结点，让学生体会以静带动的思考方式，突破难能力提升：（3）若点F（x,y)为抛物线上一动点，其中-1≤x≤△4，求当AEF面积最大时点F的坐学生先独立思考，点。

二次函数与三角形面积问题
学习目标：1.能根据点的坐标表示三角形的面积；2.会利用函数及其性质解决面积问题；
3.体会数形结合的思想.
学习重点：会用动点的坐标表示三角形的面积，并会用函数及其性质解决面积问题. 学习难点：构造、割补三角形表示其面积，理解转化的思想.
一、课前热身：
1、 如图，已知A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)，求S ΔABC .
（备用图）
方法一： 方法二：
变一变：如图，在二次函数c bx ax y ++=2中，已知A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)，求ABC S ∆.
二、新课探究：
1、如图，二次函数322++-=x x y 与y 轴，x 轴分别交于点A ，B .若点D 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A ， B 重合），若ABD S ∆=？，求D 点的坐标.
三、变式探究：
1、如图，二次函数223y x x =-++与y 轴，x 轴分别交于点A ，B .若点D 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A ， B 重合），问：是否存在点D 使得
4ABD S ∆=？
若存在，请求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由.
四、小结反思：
解决动三角形面积问题的方法有哪些？有哪些收获？
五、中考链接，跟踪训练：
【2019·十堰调考】已知抛物线y =-x 2-2x +3与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，顶点为D ，在第一象限内的抛物线上有一点M ，连接AM ，CM ，恰有S ∆ACM =S ∆ACD ，求点M 的坐标.。

【二次函数背景下的图形面积问题小专题】教学设计一、教学目标：1、会从数形结合角度解决二次函数与面积的相关问题；2、能够灵活应用几何知识多角度多方法的解决面积问题;3、在探索中感受知识的相互联系和应用，提升分析能力和解决问题的综合能力。

4、经历由特殊到一般这样一种探索数学问题的过程，树立主动参与积极探索尝试、猜想和发现的精神。

二、教学重点：二次函数背景下图形面积问题的解决方法教学难点：对平移法解决三角形面积倍分和最值问题原理的理解三、教学方法:对比教学、启发教学、展示教学学习方法：自我监测、自主探究、合作学习四、教学准备：多媒体、几何画板五、教学内容分析：本节课是一节中考前的复习课，因为这部分内容跨越时间较长，基本上从七年级到九年级一直在接触。

但是所解决的问题也基本上都是些最常规的问题，学生差不多都已掌握，但是近几年出现了几种新型的面积问题，即二次函数背景下的图形面积倍分问题和最值问题，学生再用常规方法已很难解决，所以我设计了这样一节专题课。

在这节课里，我首先安排学生利用课余时间对之前解决过的面积问题进行了检测（课前小训练），课堂上在得到学生掌握情况后引导学生对解决这种面积问题的思路进行归纳，并且特意安排了一个不规则三角形的面积最值问题，跟今天的平移法进行对比。

在引入平移法时逐步由特殊到一般，由简单到复杂，由倍分到最值，层层引导学生领悟这种方法。

教学中为了让学生更直观的感受这种方法的原理，特意采用了几何画板规范作图或动画演示让学生感知平移法的数学原理。

六、教学过程：（一）、课前准备：学生完成课前小训练1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；(2)求S△ABC若点D为抛物线的顶点，求S△DBC(3)若点D为抛物线的顶点，求S四边(4)形ABCD(5)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAB的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；(6) 若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；【设计意图】因为这些面积的常规问题学生基本上从七年级到九年级一直在接触，在这里只是起一个检测复习、并且归纳提升的作用。

二次函数与图形面积问题一、教学目标(一)知识与技能：1.通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法；2.通过学习和探究“矩形面积”问题，渗透转化的数学思想方法.(二)过程与方法：通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，体会建立数学建模的思想，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.(三)情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感.二、教学重点、难点重点：探究利用二次函数的最值(或增减性)解决实际问题的方法.难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题.三、教学过程知识预备1.二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______.2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条_______，它的对称轴是_____________，顶点坐标是________________.当a ＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x =____时，y 最小值=______；当a ＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x =____时，y 最大值=_______.问题 从地面坚直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球的运动时间t (单位：s )之间的关系式是h =30t -5t 2(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？分析：可以借助函数图象解决这个问题，画出函数h =30t -5t 2(0≤t ≤6).可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.解：由函数h =30t -5t 2(0≤t ≤6)的图象性质可知.当t ===3时，h 有最大值==45.也就是说，小球运动时间是3s 时，小球最高.小球运中的最大高度是45m .探究1用总长为60m 的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少米时，场地的面积S 最大？解：矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，所以另一边长为(-l )m .场地的面积 S=l (30-l ) (0＜l ＜30)即 S=-l 2+30l (0＜l ＜30)因为，a =-1＜0，所以，当 l ===15时，S 有最大值==225.也就是说，当l 是15m 时，场地的面积S 最大.练习已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最ab 2-)5(230-⨯-a b ac 442-)5(4302-⨯-260ab 2-)1(230-⨯-a b ac 442-)1(4302-⨯-大，最大值是多少？解：设直角三角形的一边为x ，则另一边为(8-x )，面积为y .则y 与x 的函数关系式为 y =x (8-x ) (0＜x ＜8) 即 y =-x 2+4x (0＜x ＜8)∵ a =-＜0，∴ 当x ==4时，y 最大=8.答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.212121ab 2。

二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿22.过程与方法：培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，掌握建模思想，熟练掌握最值问题的解法。

23.情感态度与价值观：通过实际问题的应用，让学生感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱。

本节课的重点是最值问题的解法和建模思想的培养，难点是对实际问题的分析和建模思想的掌握。

三、教学方法的选择本节课采用“引导发现、归纳总结、启发式教学”等多种教学方法，其中引导发现法是本节课的核心教学方法，通过引导学生发现实际问题中的规律和模式，培养学生独立思考和解决问题的能力；归纳总结法是巩固知识的有效方法，通过对学生已有的知识进行梳理和总结，加深对知识的理解和记忆；启发式教学法则是在教学中采用启发式问题，激发学生的思考和求知欲，提高学生的研究兴趣和积极性。

四、教学过程的设计本节课的教学过程分为四个环节：导入、讲授、练、归纳总结。

导入环节通过引入实际问题，激发学生的兴趣和求知欲，让学生认识到最值问题的实际应用价值；讲授环节通过具体例子和图像分析，讲解最值问题的解法和建模思想；练环节则通过多种形式的练，巩固学生的知识和技能；归纳总结环节则对本节课的知识点进行总结和梳理，加深对知识的理解和记忆。

五、教学效果预测通过本节课的教学，学生将能够掌握最值问题的解法和建模思想，能够熟练应用所学知识解决实际问题，同时也能够感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱，为学生今后的研究打下坚实的理论和思想方法基础。

2、___要在一块长为20米、宽为15米的空地上建一个长方形花园，他想让花园的面积最大，你能帮他算一下最大面积是多少吗？3、某公司生产一种产品，销售价格为每个10元，生产成本为每个5元，每天能生产1000个，你能帮助他们算一下每天的最大利润是多少吗？设计思路]通过这三个问题，引导学生发现实际问题中的最值问题，从而引出二次函数的最值问题。

21.4 二次函数的应用第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。

人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要介绍了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形面积的关系，让学生进一步理解二次函数的性质，提高解决实际问题的能力。

本节内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点，对于学生来说，理解并掌握二次函数与图形面积问题的解决方法具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对于二次函数的解析式、顶点坐标、开口方向等概念有了一定的了解。

但是，将二次函数与几何图形的面积联系起来，可能会对学生造成一定的困扰。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次函数知识与新的面积问题相结合，通过实例分析，让学生体会二次函数与图形面积问题的联系。

三. 教学目标1.理解二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.学会利用二次函数解决实际面积问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.难点：如何将二次函数与实际面积问题相结合，找出解决问题的方法。

五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实例，让学生观察二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，解决问题，培养学生的数学思维能力。

3.小组合作法：让学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例，以便在课堂上进行分析。

2.准备一些练习题，以便在课堂上进行操练。

3.准备多媒体教学设备，以便进行图象展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示一些实际的面积问题，让学生观察并思考这些问题与二次函数图象之间的关系。

3.操练（20分钟）让学生分组讨论，尝试利用已知的二次函数知识解决呈现的面积问题。

教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。

主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。

此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。

就本节二次函数与图形面积的点存在性问题，主要考查了学生能否将图形的面积与所需点坐标建立起联系，在函数图像中构造题意所需图形并能够表示出面积的能力。

二、复习预习勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。

（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。

三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 相似三角形的概念及其性质1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

初中数学 编辑时间：2017.4x yO CA BxyO A B CxyDOAB Cxy FOABC xyEOAB C中考复习小专题前 测课 题二次函数中的三角形面积问题一．课前完成：在平面直角坐标系中，求下列条件下三角形的面积：（1）如图1，A(-1,1),B(5,1),C(3,5),则ABC S D = ； （2）如图2，A(-1，5),B(-1，-1),C(4，1),则ABC S D = ； （3）如图3，A(-1,1),B(2,6),C(3,5),则求ABC D 的面积。

中 测二．归纳总结（用点坐标表示下列面积）：1.在平面直角坐标系中，若ABC D 中AB 边所在的直线与x 轴平行（或重合），则ABC S D = ； 若ABC D 中AB 边所在在直线与y 轴平行（或重合），则ABC S D = ；2. 在平面直角坐标系中 ，任意ABC D 的面积计算方法：1）如过A 作铅锤线：则ABC S D = + = ； 2）如过B 作铅锤线：则ABC S D = - = ； 3）如过C 作铅锤线：则ABC S D = - = ；图1图2图3xyA D E BO P 三．典例分析：例1.二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴的交点为A (−3,0)、B (1,0)两点,与y 轴交于点C (0,−6)，顶点 为D.如图，点P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之 间的函数关系式及S 的最大值；变式跟进：如图,抛物线226y x x =-+经过点B(1,4)和点E(3,0,) 两点,平面上有两点A 11(,)22，D 13(,)22- 。

从B 点到E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P ，使得△PAD 的面积最大?若存在，请求出△PAD 面积。

四．巩固练习：1.抛物线2-23y x x =-平面直角坐标系中有两点A(-1，3),B(-4，-1)，点P 为抛物线第四象限的一个动点，则如何作铅垂线更便于求ABP D 的面积最大值？( ) A ．过A 作铅垂线交BP 于点D B.过B 作铅垂线交PA 延长线于点E中 测C.过P 作铅垂线交BA 延长线于点F 2．如图，若由P 作铅垂线PF ，则ABP D 的面积可表示为：( ) A ．12ABP B P F A S x x y y D =-? B. 12ABP A B F P S y y y y D =-? C. 12ABPB P F A S x x x x D =-? D. 12ABPB A p F S x x y y D =-? 小结：1.平面内两定点A,B 及一动点P 构成的ABP D ，我们通常可以由 点作铅垂线； 2．由P 作铅垂线交直线AB 于点F ，则求ABP D 面积的步骤： 1）求出直线AB 的解析式y=kx+b; 2)设P （m,n ）,则F( m , ); 3)则12ABP A B S PF x x D =?; 五．课堂检测：已知抛物线24(0)y ax a a =->与x 轴相交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),点()3,10p 是抛物线上一点,如图所示。

《二次函数中的面积问题》之教学设计【课标分析】新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

在整体要求的框架之下，本节课选取三点，一是知道二次函数中重点研究哪些问题，重点研究的是哪几个点，二是这五个点中，选取三个点组成的三角形的面积分为哪几类，每一类的解决方法是什么，如何利用转化的思想方法将不在坐标轴上的三角形的面积问题转化。

不同的方法中体会哪一种方法简单，准确率高，达到方法的最优化。

【教材分析】在课程教材体系中的地位：函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一。

二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。

在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。

二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

不同教材的内容处理：新鲁教版对这节内容的处理方式是：先将二次函数应用题中的利润问题，然后是面积问题。

面积问题通过不同的截取方法让学生掌握最值问题新人教版对本节内容的处理方式：先讲面积最大的问题，利用篱笆问题来引入，没有分类讨论，然后再讲授利润问题。

加上自建坐标系问题就是3课时。

数学核心素养的体现：数学核心素养中，数学建模的思想和基本的运算能力是核心的，学生在本节课中要学会建立数学模型，培养思维的逻辑性和严谨性。

《二次函数中的面积计算》教学设计一、教学目标1、使学生熟练掌握抛物线中特殊点的求法，体会数形结合、方程等数学思想。

2、引导学生会求抛物线中常见图形的面积，体会转化、建模等数学思想。

3、培养学生发散思维，力求做到一题多解，多题归一。

二、教学重难点分析及解决措施1、教学重点：会利用直角坐标系中二次函数相关特殊点求几何图形的面积。

2、教学难点：对数形结合的数学思想的理解。

3、解决措施：本节课重在通过学习总结解决二次函数中面积计算问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

为了提高课堂效率，展示学生的学习效果以及让学生更好的理解方法，辅以信息技术。

三、教学过程尝试求解∆ABC 的面积。

1、2、3、归纳总结：1、一般取在坐标轴上的线段作为底边。

2、三边均不在坐标轴上的三利用几何画板，让B、C 两点在抛物线上运动形成不同的图形，引导学生观察总结，只要是抛物线上的点，出现求解面积，找到特殊点之后，用点的坐标去表示线段的长，一般选取在坐标轴上的线段当成底边去解决，动点问题是学生的难点，让学生体会以静带动的思考方式，突破难点。

同时应用割补法求三角形面积，突出本节课重点，化特殊的形式为一般的形式进而总结规律方法。

已知二次函数32xy2--=x与X轴交于A、B 两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.1、求出A、B、C、P的坐标。

2、你能求出哪些图形的面积?3、在抛物线上1问求特殊点的坐标学生基本上都可以完成，在步骤上可能存在个别问题，运用希沃手机助手投影几份学生作品，让学生找出差别，选择最佳步骤进行整改。

2问的学生交流之后进行展示可以借助希沃白板进行书写。

3问学生在展示不同的答案之后可以借助几何画板构造S △NAB = S△ABC（三）拓展提高，体验中考进一步了解在找面积相等的点的时候可以用计算的方法也可以借助图形。

二次函数中的面积问题教学目标：1、通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会方程思想、函数思想、化归思想在二次函数中的应用。

2、由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动。

3、提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯。

教学重点与难点：重点：选择方法求图形面积。

难点：如何割补图形求面积。

教学过程：一、例题分析，归纳小结例1：如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，-4）三点。

P是抛物线的顶点.（1）求该抛物线的解析式及点P的坐标；（2）求△PAB的面积。

设计本例的目的是得出结论：取三角形的底边时，一般以坐标轴上线段或与坐标轴平行的线段为底边。

并为（3）做好铺垫。

（3）求△PBC的面积。

与第（2）相比，难度有所提升，但是学生的经验不难得出三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形）。

补充：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h)。

=1\2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABCah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．请证明这个面积计算方法。

二、变式训练，巩固提升变式一: 如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，-4）三点。

点D是直线BC上方的抛物线上一个动点，连结DC，DB，若△BCD的面积等于3，求点D的坐标。

变式二: 如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，-4）三点。

点D是直线BC上方的抛物线上一个动点，连结DC，DB，求△BCD面积的最大值。

三、总结回顾1、求图形面积方法的选择；2、数学思想的小结；3、由二次函数中的面积问题延伸到所有的面积问题。

二次函数专题--面积问题二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型.二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用,其本质特征是变化与对应,它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具.作为刻画变量变化规律的工具,二次函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一.二次函数既是初中数学的核心内容、重要的基础知识，也是初中与高中知识衔接的重要部分.它与数学其他知识有着更为广泛的联系.因此成都市的中考数学试题的压轴题都是以二次丽数为题材设置的二次丽数综合题.二次兩数综合题除了考查二次丽数的相关的基础知识外，还特别注重考查考生的分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力此类综合题,常涉及方程(组)、不等式(组)及几何的许多知识,是中考命题的热点.备受命题者的青睐。

【知识回顾】1、二次函数)0(2≠++=acbxaxy图像的顶点坐标⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab44,22，当0>a时，当abx2-=时，=最小值y；当0<a时，当abx2-=时，=最大值y；2、“铅垂高，水平宽”面积法三角形面积：S△ABC＝12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．【课前热身】1、已知二次函数1632+--=xxy，当=x时，=最大值y。

2、如图，二次函数342+-=xxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点是D，则=∆DCBS。

【例题精讲】例1如图，抛物线322++-=xxy与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC。

使得△PBC 面积最大，求面积最大值及此时P点坐标．变式1 如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．过点P 作PH⊥CB 交CB 于H 点，求PH 最大值及此时P 点坐标。

教学目标1.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段的长,利用割补法求图形的面积,会将非轴边图形转化为轴边图形.2.通过解决二次函数背景下的三角形面积问题,体会数形结合思想和转化思想的应用.3.通过解决已知三角形的面积关系得出相关线段的长,从而求出点的坐标的问题,体会分类讨论思想和数形结合思想的应用.教学重点解决二次函数背景下的三角形面积问题，体会分类讨论思想、转化思想的运用.教学难点由已知面积问题,转化为点线距问题,通过作平行线,得出等面积,体会平行条件下的等积变形.问题情境师生活动设计意图活动一活动一.已知抛物线223y x x=+-与x轴交于A、B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P.(1)写出下列点的坐标:A____,B___,C____,P____.(2)求出下列线段的长:AO=____,CO=___,AB=___.(3)写出下列三角形的面积S△AOC=____,S△PAB=____,S△COP=____.(4)求出△APC的面积.师:本节课我们进行一个专题学习：二次函数中的面积问题－－－－－三角形面积.教师板书课题.学生独立完成第(1)(2)(3)小题,并口答.教师板书知识框图.师生得出第(3)小题中的三角形的共同特征, 总结求轴边三角形面积的方法.第（4）小题学生独立进行求解，教师巡视，了解学生采用的不同方法，然后让学生讲解思路.师生共同总结:利用割补法,将非轴边图形转化为轴边图形求面积.并观察特征，发现它是直角三角形，可直接求解.体会通法与特法.通过活动一的学习,学生掌握已知二次函数的解析式,求出相关点的坐标,得出线段的长,研究三角形的面积的问题,总结利用割补法将非轴边图形转化为轴边图形求解.课题二次函数中的面积问题－－－－三角形面积第1页共3页第2页 共3页（请尝试用不同的方法求解） 活动二活动二.已知抛物线的顶点P 的坐标为（1，4），交y 轴于点C （0,3）．(1) 求抛物线的解析式，并求出 抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标（Ａ点在Ｂ点的左侧）.(2)抛物线上是否存在一点D ,使△ABD 的面积等于△ABC 的面积,如果存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)抛物线上是否存在一点E ，使△ECB的面积等于△PCB 的面积，如果存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由.学生独立完成第(1)小题,并回答.学生独立思考第(2)小题,然后由学生来讲解解题思路.教师关注由线段的长转化为点的坐标时,是否进行了分类讨论.利用平行线间的距离处处相等,体会平行条件下的等积变形,得出“过已知点作已知线段的平行线”的方法，并根据位置进行分类讨论，得出另一条平行线,突破本题的难点. 学生先独立思考第（3）小题,教师了解情况,及时进行引导,仍然运用“平行线间距离处处相等”的性质，得出过已知点作已知线段的平行线的方法，然后根据图形位置，进行分类讨论.活动二已知三角形的面积关系，得出线段的长,利用平行线间的距离处处相等，得出作平行线的方法,体会平行条件下的等面积问题.运用分类讨论思想，求出符合条件的所有点的坐标.活 动 三小结:由学生总结本节课的收获.学生结合框图和例题进行总结, 教师强调:由线段的长到点的坐标需进行分类讨论,体会数形结合思想、转化思想、分类讨论思想的应用.总结本节课的内容板书设计：二次函数中的面积问题－－－－－三角形的面积绝对值第3页 共3页例2．（2）解： （3）点的坐 标 分类 讨论非轴边图形线段的长 图形 面积轴边图形转 化割 补 二次函数解析式 （及其它函数点线距点 点距。