怎样举反例
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期，基本思路是将ｆ（ｘ）转 化 为ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋
φ）＋ｂ（Ａ＞０，ω＞０）、ｙ＝Ａｃｏｓ（ωｘ＋φ）＋ｂ（Ａ
＞０，ω＞０），ｙ＝Ａｔａｎ（ωｘ＋φ）＋ｂ（ω＞０）等 形
式，然后套 用 公 式
Ｔ＝Ｔ１，其 中 ω
Ｔ１
是原型函
数ｙ＝ｓｉｎｘ、ｙ＝ｃｏｓｘ、ｙ＝ｔａｎｘ 的最小正周期． 在 自 变 量 ｘ 恒 有 意 义 的 情 况 下，公 式
时ｆ（０）＝０，若
ｆ（ｘ）的
最
小
正
周
期
为
π ２
．则
应
有ｆ（π２）＝ｆ（π２＋０）＝ｆ（０）＝０．实 际 上，当 ｘ
＝π２ 时 ，ｆ（ｘ）＝１２－ｔｔａａｎｎｘ２ ｘ无 意 义 ，故 命 题 为 假 ．
借助 函 数 的 图 像 可 知，函 数 ｆ （ｘ）＝
１２－ｔｔａａｎｎｘ２ ｘ的最小正周期为π．此例也告诉我 们， 解题时不能盲目套用公式，一定要注意 公 式 的
Ａ′＜∠ＯＢＡ 同时成立可得，∠ＯＡ′Ｂ′＋ ∠ＯＢ′
Ａ′＜∠ＯＡＢ＋∠ＯＢＡ 而出现矛盾）
（下 转 第 ８ 页 ）
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
（上 接 第 ６ 页 ）
１，ｙ＝０ 对 称，否 定 （Ａ）（Ｄ）；取 ｙ＝ｘ２，则 函 数
则它关于直 线 ｘ＝１ 的 对 称 点 为 Ｑ（ｘ，ｙ），则 ｙ＝ｆ（ｘ－１）与函数ｙ＝ｆ（１－ｘ）图像关于 ｘ＝
ｘ０＝２－ｘ，ｙ０＝ｙ，因 为ｙ０＝ｆ（ｘ０－１），所 以 ｙ １对称，否定（Ａ）（Ｃ）（Ｄ），答 案 只 能 是 （Ｂ）．文
＝ｆ（１－ｘ），即ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ－１）图像上任意 点 ［１］错解题意，认为“设定义在 Ｒ 上的函数ｙ＝
真假性相反，因 此 我 们 欲 判 断 “命 题 Ｐ”真 假，
也常常转化为判断命题的否定“非 Ｐ”的 真 假．
从逻辑角度 分 析，说 明 一 个 命 题 是 假 命 题，只
需找到 一 个 反 例，但 要 说 明 一 个 命 题 是 真 命
题，则必须通 过 严 格 地 推 理 论 证，而 不 能 光 凭
时 ，ａｂ 的 值 是
．
证 明 该 结 论 前 ，先 给 出 一 个 引 理 ：
（ ） 集合Ｐ 表示三点Ａ
３ ，６ ５５
、Ｂ（－１，０）、Ｃ
（ ） ３２，０ 构成的直角三角形及其内部．解决本题
的关键就是确定包含 Ｒｔ△ＡＢＣ 且半径最小的
圆．凭直觉，包含 Ｒｔ△ＡＢＣ 且半径最小的圆就
是△ＡＢＣ 的 外 接 圆．此 直 觉 对 吗？ 若 △ＡＢＣ
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中 学 生 数 学 ·２０１２ 年 ９ 月 上 · 第 ４４９ 期 （高 中 ）
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公共 边 都 互 相 平 行 ”能 得到 “其 余 各 面 都 是 平 行 四 边 形 ”，反 之 不 然， 寻找反例的出发点已经 找 到，可 构 造 如 图 的 反 例 （两 个 平 行 六 面 体 叠 放 ）．
一个例子．事 实 上，举 无 数 个 例 子 也 不 足 以 说
明 问 题 （注 意 无 数 与 任 意 的 区 别 ）．
反例的作用是巨大的，但反例是 怎 样 得 出
来的呢？很多文章都没有思路的分析，学 生 只
能感叹反例 构 造 的 巧 妙，停 留 在 表 面 的 嗟 叹，
下次遇到问 题 时 仍 然 束 手 无 策，即 所 谓 的 “可
使用范围．对于函数问题要树立“定义域优 先”
的解题意识． 例２ 教材对 棱 柱 的 定 义 “有都 是 四 边 形，并 且 每 相 邻 两 个
四边形的公共边都互相平行，由这些面 所 围 成
的多面体叫作棱柱”．学生易误解为“有两 个 面 互相平行，其 余 各 面 都 是 平 行 四 边 形，由 这 些
本题从 奇 函 数 的 等 价 条 件 出 发，寻 求 反
例．显然，只要 ｘ≠０，均可作为本题 的 反 例，都
能得到ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）≠０，说 明 函 数 ｆ（ｘ）不
可能是奇函数．
例６ 设定义在 Ｒ 上的函 数ｙ＝ｆ（ｘ），则
函数ｙ＝ｆ（ｘ－１）与 函 数 ｙ＝ｆ（１－ｘ）图 像 关
于 直 线 （）对 称 ．
ｆ（ｘ）不 可 能 是 奇 函 数 ．
分析 命题是以否定形式给 出 的，命 题 的
否定“函数 ｆ（ｘ）是 奇 函 数”是 假 命 题．怎 样 寻
求一个数ｘ０，使得ｆ（ｘ０）＋ｆ（－ｘ０）≠０．利 用 ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝０，即２－ｘ２＋１ｘ＋＋１１＋２－－２ｘ＋－１ｘ＋＋１１＝
（２ｘ＋１（２＋ｘ２１－）（２２－－ｘ２ｘ＋）１２＋１）＝０，解 得 ｘ＝０．
分 析 代 入 条 件 有 ，ｆ（１）＝４３，ｆ（２）＝４７， ｆ（３）＝５３，ｆ（４）＝６１，ｆ（５）＝７１，ｆ（６）＝８３， ｆ（７）＝９７，ｆ（８）＝１１３，ｆ（９）＝１３１，ｆ（１０）＝ １５１．可以归纳出在ｎ∈Ｎ＊ ，ｆ（ｎ）的值为质数．
猜想 是 错 误 的，怎 样 举 出 反 例 呢？ 由 ｆ （ｎ）＝ｎ２＋ｎ＋４１＝ｎ（ｎ＋１）＋４１，若 要 ｆ（ｎ）合 数，则ｆ（ｎ）除 了 １ 和 它 本 身 外 还 应 有 其 它 约 数 ，怎 样 把 ４１“消 化 ”呢 ？ 希 望ｎ（ｎ＋１）中 有 ４１ 这个因子，故取ｎ＝４０，则 ｆ（４０）＝４１２，或ｎ＝ ４１ ｆ（４１）＝４１×４３，想 法 何 等 自 然，反 例 轻 松 构造．只有坚持分析思考，遇到类似问 题，才 能 熟能生巧．当 然 本 题 的 反 例 还 有 很 多，如 设 ｎ ＝４１ｋ－１（ｋ∈Ｎ＊ ），则ｆ（ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）＋４１＝ ４１［ｋ（４１ｋ－１）＋１］或 ｎ＝４１ｋ（ｋ∈Ｎ＊ ），则 ｆ （ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）＋４１＝４１［ｋ（４１ｋ＋１）＋１］，所 以 有无穷多个ｎ，使 ｆ（ｎ）＝ｎ２ ＋ｎ＋４１（ｎ∈Ｎ＊ ） 表示合数 ．
引 理 在 △ＯＡＢ 中， ∠Ａ ≤９０°，∠Ｂ ≤９０°，在 ＯＡ、ＯＢ 的 延 长 线 上 分 别 取点 Ａ′、Ｂ′（可 与 Ａ、Ｂ 重 合），则 ＡＢ≤Ａ′Ｂ′．
证 明 因 为 ∠ＯＡ′Ｂ′
为锐 解 三 角 形 或 钝 角 三 角 形，包 含 △ＡＢＣ 且 半径最小的圆还 是 △ＡＢＣ 的 外 接 圆 吗？ 该 问 题一时在我们师生中引起了广泛的争议．本 文 对 此 给 出 明 确 解 答 ，与 大 家 交 流 ．
面 所 围 成 的 多 面 体 叫 作 棱 柱 ”． 分析 相 同 的 地 方 是 “有 两 个 面 互 相 平
行，其余各面都是四边形”；差异的地方 是：“其
余各面每相邻两个四边形的公共边都互相平
行 ”与 “其 余 各 面 都 是 平 行 四 边 形 ”． 显然，由“其 余 各 面 每 相 邻 两 个 四 边 形 的
数字是有理数呢？ 写 成ｎｍ （ｍ∈Ｎ，ｎ∈Ｎ＊ ）形
式？下步不好推证．利 用 （槡ｎａ）ｎ ＝ａ（ａ＞０，ｎ∈
Ｎ＊ ，ｎ≥２）及（ａｍ ）ｎ＝ａｍｎ（ａ＞０ ，ｍ，ｎ∈Ｒ）．
证
明
令
ｘ＝ｙ＝槡２，则
ｘｙ
槡２
＝槡２
．若槡２槡２
是 有 理 数 ，则 命 题 得 证 ；
若槡２槡２是无理数，则再 令 ｘ＝槡２槡２，ｙ＝槡２， 而 此 时 ｘｙ ＝ （槡２槡２ ）槡２＝槡２２＝２，命 题 得 证 ；
案 是 正 确 的 ．下 面 给 出 另 外 的 证 明 ：
设 Ｐ（ｘ０，ｙ０）是ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ－１）图 像 上 任 意一点，
（下 转 第 ７ 页 ）
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中 学 生 数 学 ·２０１２ 年 ９ 月 上 · 第 ４４９ 期 （高 中 ）
江 苏 省 兴 化 市 戴 窑 高 级 中 学 （２２５７４１） 邢 友 宝
遇到下面一道习题：
（１）当 △ＡＢＣ 为 锐 角 三 角 形 或 直 角 三 角
烄
烄３ｘ－４ｙ＋３≥０烌
已知集合 Ｐ＝烅（ｘ，ｙ）烅４ｘ＋３ｙ－６≤０烍，
二 、存 在 性 问 题 例４ 若 ｘ，ｙ 均 是 无 理 数，则 ｘｙ 不 可 能 全是无理数． 分析 命题是以否定形式给出 的，命 题 的 否定“若 ｘ，ｙ 均 是 无 理 数，则 ｘｙ 全 是 无 理 数” 是假命题．即存在ｘ，ｙ 均是无理数，使得ｘｙ 是 有理数．此处 应 给 出 的 例 子，对 原 命 题 来 说 是 正例，对原命 题 的 否 定 来 说 是 反 例．怎 样 说 明
中 学 生 数 学 ·２０１２ 年 ９ 月 上 · 第 ４４９ 期 （高 中 ）
安 徽 省 灵 璧 第 一 中 学 （２３４２００） 郑 良
学习过程中，我们经常试图判断一般 性 命
题的真假，往往是通过推理论证验证命题 的 正
确性，而通过反例来驳斥这个命题．何 为 反 例？
为说明一个命题是假命题而举出的使之具备
命题的条件，而不具有命题的结论的例子 称 为
反例．
通过反例，可以使我们认识到事 物 的 本 质
属性，帮 助 我 们 从 正 反 两 方 面 辩 证 地 思 考 问
题，促使我们 全 面、深 刻 地 认 识 概 念 的 内 涵 与
外 延 ，增 加 思 维 的 深 度 ．
根据逻辑关系，“命题 Ｐ”与 其 否 定“非 Ｐ”
例３ 已 知 函 数 ｆ（ｎ）＝ｎ２ ＋ｎ＋４１（ｎ∈ Ｎ＊ ），计算 ｆ（１），ｆ（２），ｆ（３），ｆ（４），ｆ（５）， ｆ（６），ｆ（７），ｆ（８），ｆ（９），ｆ（１０），找 出 他 们 的 共 同特性，同时 作 出 归 纳 猜 想，并 推 理 验 证 猜 想 是 否 正 确 ．（增 补 例 题 ）
