八年级数学上册11_2与三角形有关的角11_2_1三角形的内角和练习新版新人教版

11.2.1三角形的内角和基础知识一、选择题1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60°答案：C2.(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若A ∠=75，则∠1+∠2=（ ）（A ）150 （B ）210 （C ）105 （D ）75答案：A3. (2012 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372∶∶，则这个三角形一定是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 答案：D4. (2012 云南省昆明市) 如图，在ABC △中，6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）．（A ）40° （B ）45° （C）50° （D ）55°答案：A5. (2012 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）（A ）45o （B ）60o （C ）75o （D ）90o 答案：C6. (2012 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（ ）．A ．225︒B ．235︒C ．270︒D ．与虚线的位置有关答案：C7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC 中，已知∠A ＝80°，∠B ＝60°，DE ∥BC ，那么∠CED 的大小是 （ ）1 2A ．40°B ．60°C ．120°D ．140°答案：D8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中 的度数是（ ）（A ）75° （B ）90° （C ）105° （D ）120°答案：C9.如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（ ）度．A ．180B ．270C ．360D ．540答案：A10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（ ）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°答案：C11.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°答案：D12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A-∠B=∠CB ．∠A=3∠C ，∠B=2∠CC ．∠A=∠B=2∠CD ．∠A=∠B=21∠C 答案：C13.如图，在三角形ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,H 是BE 和CF 的交点，则∠EHF=( )A. 100ºB. 110ºC. 120ºD.130º答案：D14．如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．无法确定答案：C二、填空题 1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.答案：40°2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.答案：直角；钝角3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.答案：84°4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.21DC BA答案：80° 5.（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .答案：30º6. (2012 内蒙古呼和浩特市) 如图，在ABC △中，47B ∠，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠=____________．答案：66.5°7. (2012 江苏省徐州市) 将一副直角三角板如图放置．若AE ∥BC ，则∠AFD = °．答案：75° 8.如图，AB∥CD，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是 度．答案：48º9.△ABC 中，∠A=∠B+∠C，则∠A= 度． 答案：9010．在△ABC 中，已知∠A=21∠B=31∠C，则三角形的形状是 三角形．答案：直角三角形11．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为度．答案：1208．如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°，则∠A= .答案：60º12．如图，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD=.答案：11º13.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.FED CB A （第15题）FED CB A答案：60°14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .答案：360°三、解答题1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.设∠A=x °,则∠B=(x+5)°, ∠C=(x+25)°可列方程X+x+5+x+25=180解得：x=50° 所以∠A=50°,∠B=55°, ∠C=75°2.已知：如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ．求证：∠P=90°．证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ， ∴∠PEF=21∠BEF，∠PFE=21∠DFE， ∴∠PEF+∠PFE=21（∠BEF+∠DFE）=90°． ∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE 的度数；（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）答案：(1)在⊿ABC 中，∠ACB=180º-∠A-∠B=68º,∵CD 是∠ACB 的角平分线∴∠BCD=21∠ACB=34º ∵CE ⊥AB,∠B=72º∴∠BCE=18º ∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=34º-18º=16º.(2)∠DCE=21(∠B-∠A). 4.如图，已知在三角形ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD 是AC 边上的高，则∠DBC=90°-∠C=18°．5.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数.解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，∴∠XBA+∠XCA=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=140°-90°=50°．6．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ．（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC 的度数是 ；（2）若∠A=80°，求∠BOC 的度数；（3）若∠A=α，∠BO C=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．解：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB，又∠ABC=45°，∠ACB=55°， ∴∠DBC=22.5°，∠ECB=27.5°，∴∠BOC=180°-∠DBC -∠ECB=180°-22.5°-27.5°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，又∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB， ∴∠DBC+∠ECB=21（∠ABC+∠ACB）=50°， 则∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-50°=130°；（3）β=90+21α， 理由如下：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=21∠ABC、∠0CB=21∠ACB， ∴∠OBC+∠0CB= 21∠ABC+21∠ACB=21（180°-α）=90°-21α， ∴β=180°-（∠OBC+∠0CB）=180°-（90°-21α）=90°+21α． 7．如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AD⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，DF⊥AE 于F ，求∠ADF 的度数．解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°．∵AE 平分∠BAC 交BC 于E ，∴∠BAE=21∠BAC=40°， ∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．∵AD⊥BC，∴∠DAE=90°-80°=10°∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°-10°=80．能力提升1.如图，已知:∠1= ∠2， ∠3= ∠4， ∠C=32°, ∠D=28°,求∠P 的度数。

人教版八年级数学上11.2.1三角形的内角同步练习题第1课时一、选择题1.若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案 A ∵三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,∴三个内角的度数分别是180°×=40°,180°×=60°,180°×=80°.∴该三角形是锐角三角形.故选A.2.如图,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠ADE的大小是( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案 B ∵在△ABC中,∠B+∠C=100°,∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=80°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC=40°,∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD=40°.故选B.3.如图,在△ABC中,∠BAC=56°,∠ABC=74°,BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BPC=( )A.102°B.112°C.115°D.118°答案 D ∵在△ABC中,∠BAC=56°,∠ABC=74°,∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=50°,∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠PBC=∠ABC=37°,∠PCB=∠ACB=25°,∴在△BCP中,∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=118°,故选D.4.如图,△ABC中,AE是∠BAC的平分线,AD是BC边上的高,且∠B=50°,∠C=60°,则∠EAD的度数为( )A.35°B.5°C.15°D.25°答案 B ∵∠B=50°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°,∵AE是∠BAC的平分线,∴∠EAC=∠BAC=35°,∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-∠C=30°,∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=5°.故选B.二、填空题5.如图,△ABC中,∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,∠A=45°,则∠BDC= .答案135°解析∵∠A=45°,∴∠ABC+∠ACB=135°,又∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=45°.∴∠BDC=135°.6.如图,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,若∠BOC=120°,则∠A= .答案60°解析如图,∵∠BOC=120°,∴∠1+∠4=180°-∠BOC=180°-120°=60°,又∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=2×60°=120°,∴∠A=180°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°-120°=60°.7.当三角形中一个内角β是另一个内角α的时,我们称此三角形为“希望三角形”,其中角α称为“希望角”.如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°,那么这个“希望三角形”的“希望角”的度数为.答案54°或84°或108°解析①若54°角是α,则希望角的度数为54°;②若54°角是β,则α=β=54°,所以希望角α=108°;③若54°角既不是α也不是β,则α+β+54°=180°,又β=α,所以α+α+54°=180°,解得α=84°.综上所述,希望角的度数为54°或84°或108°.三、解答题8.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠B=42°,∠DAE=18°,求∠C的度数.解析∵AD是BC边上的高,∠B=42°,∴∠BAD=48°,∵∠DAE=18°,∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=30°,∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAC=2∠BAE=60°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=78°.第2课时一、选择题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=40°,则∠B=( )A.60°B.50°C.40°D.90°答案 B ∵Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余),又∠A=40°, ∴∠B=50°,故选B.2.如图,在锐角三角形ABC中,AD、CE分别是边BC、AB上的高,垂足分别是D、E,AD、CE相交于点O,若∠B=60°,则∠AOE的度数是( )A.60°B.50°C.70°D.80°答案 A ∵AD⊥BC,∴∠BAD+∠B=90°,∵CE⊥AB,∴∠BAD+∠AOE=90°,∴∠AOE=∠B,∵∠B=60°,∴∠AOE=60°.故选A.3.在下列条件中:①∠A=∠C-∠B,②∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,③∠A=90°-∠B,④∠B-∠C=90°,能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C ①因为∠A=∠C-∠B,所以∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°,∠C=90°,所以△ABC是直角三角形;②因为∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,所以设∠A=2x,则∠B=3x,∠C=5x,所以2x+3x+5x=180°,x=18°,则∠C=18°×5=90°,所以△ABC是直角三角形;③因为∠A=90°-∠B,所以∠A+∠B=90°,则∠C=180°-90°=90°,所以△ABC是直角三角形;④因为∠B-∠C=90°,所以∠B=90°+∠C,所以△ABC为钝角三角形.所以能确定△ABC是直角三角形的条件是①②③,共3个.故选C.二、填空题4.如图,AD是△ABC的高,∠B=∠BAD,∠C=55°,则∠BAC= .答案80°解析∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∵∠B=∠BAD,∴∠B=45°.在△ABC中,∠C=55°,∠B=45°,根据三角形的内角和定理得,∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.5.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=70°,AD平分∠BAC,交BC于F,DE⊥BC于E,则∠D= .答案20°解析∵∠B=30°,∠C=70°,∴∠BAC=80°,∵AD平分∠BAC,∴∠FAC=40°,∴∠AFC=180°-70°-40°=70°,∴∠EFD=70°,∵DE⊥BC于E,∴∠DEF=90°,∴∠D=90°-70°=20°.三、解答题6.如图,在△ABC中,CE,BF是两条高,若∠A=70°,∠BCE=30°,求∠EBF和∠FBC的度数.解析在△ABC中,∠A=70°,CE,BF是两条高,∴∠EBF=20°,∠ECA=20°,又∵∠BCE=30°,∴∠ACB=50°,∴在Rt△BCF中,∠FBC=40°.7.如图,将两个完全相同的直角三角形叠放,使一个三角形的锐角顶点与另一个三角形的直角顶点重合,B,C,D三点在一条直线上.请问:重叠部分的三角形是直角三角形吗?为什么?解析重叠部分的三角形是直角三角形.理由如下:根据题意可知,∠A=∠EBD,∠A+∠ACB=90°, ∴∠EBD+∠ACB=90°,∴∠BFC=90°.∴△BFC是直角三角形.即重叠部分的三角形是直角三角形.。

11.2.1三角形的内角和基础知识一、选择题1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60°答案：C2.(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若A ∠=75，则∠1+∠2=（ ）（A ）150 （B ）210 （C ）105 （D ）75答案：A3. (2012 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372∶∶，则这个三角形一定是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 答案：D4. (2012 云南省昆明市) 如图，在ABC △中，6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）．（A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55°答案：A5. (2012 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）（A ）45o （B ）60o （C ）75o （D ）90o答案：C 6. (2012 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（ ）．A ．225︒B ．235︒C ．270︒D ．与虚线的位置有关答案：C7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC 中，已知∠A ＝80°，∠B ＝60°，DE ∥BC ，那么∠CED 的大小是 （ ）A ．40°B ．60°C ．120°D ．140°答案：D 8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ）（A ）75° （B ）90° （C ）105° （D ）120°答案：C9.如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（ ）度．A ．180B ．270C ．360D ．540答案：A10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（ ）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°答案：C11.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°1 2答案：D12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A-∠B=∠CB ．∠A=3∠C ，∠B=2∠CC ．∠A=∠B=2∠CD ．∠A=∠B=21∠C 答案：C13.如图，在三角形ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,H 是BE 和CF 的交点，则∠EHF=( )A. 100ºB. 110ºC. 120ºD.130º答案：D14．如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图 中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．无法确定答案：C二、填空题1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.答案：40°2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.答案：直角；钝角3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.答案：84°4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.21DC BA答案：80° 5.（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .答案：30º 6. (2012 内蒙古呼和浩特市) 如图，在ABC △中，47B ∠，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠=____________．答案：66.5°7. (2012 江苏省徐州市) 将一副直角三角板如图放置．若AE ∥BC ，则∠AFD = °．答案：75°8.如图，AB∥CD，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是 度．答案：48º9.△ABC 中，∠A=∠B+∠C，则∠A= 度．FED C BA（第15题）答案：90 10．在△ABC 中，已知∠A=21∠B=31∠C，则三角形的形状是 三角形． 答案：直角三角形11．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为 度．答案：1208．如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°，则∠A= .答案：60º12．如图，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD= .答案：11º13.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.FED C B A答案：60°14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .答案：360°三、解答题1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.设∠A=x °,则∠B=(x+5)°, ∠C=(x+25)°可列方程X+x+5+x+25=180解得：x=50°所以∠A=50°,∠B=55°, ∠C=75°2.已知：如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ．求证：∠P=90°．证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ， ∴∠PEF=21∠BEF，∠PFE=21∠DFE， ∴∠PEF+∠PFE=21（∠BEF+∠DFE）=90°． ∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE 的度数；（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）答案：(1)在⊿ABC 中，∠ACB=180º-∠A-∠B=68º,∵CD 是∠ACB 的角平分线∴∠BCD=21∠ACB=34º ∵CE ⊥AB,∠B=72º∴∠BCE=18º∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=34º-18º=16º.(2)∠DCE=21(∠B-∠A). 4.如图，已知在三角形ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD 是AC 边上的高，则∠DBC=90°-∠C=18°．5.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数.解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， ∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°， ∴∠XBA+∠XCA=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=140°-90°=50°．6．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ．（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC 的度数是 ；（2）若∠A=80°，求∠BOC 的度数；（3）若∠A=α，∠BO C=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．解：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB，又∠ABC=45°，∠ACB=55°， ∴∠DBC=22.5°，∠ECB=27.5°，∴∠BOC=180°-∠DBC -∠ECB=180°-22.5°-27.5°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，又∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB， ∴∠DBC+∠ECB=21（∠ABC+∠ACB）=50°， 则∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-50°=130°；（3）β=90+21α，理由如下：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=21∠ABC、∠0CB=21∠ACB， ∴∠OBC+∠0CB= 21∠ABC+21∠ACB=21（180°-α）=90°-21α， ∴β=180°-（∠OBC+∠0CB）=180°-（90°-21α）=90°+21α．7．如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AD⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，DF⊥AE 于F ，求∠ADF 的度数．解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°．∵AE 平分∠BAC 交BC 于E ，∴∠BAE=21∠BAC=40°， ∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．∵AD⊥BC，∴∠DAE=90°-80°=10°∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°-10°=80．能力提升1.如图，已知:∠1= ∠2， ∠3= ∠4， ∠C=32°, ∠D=28°,求∠P 的度数。

11.2.1三角形的内角和基础知识一、选择题1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60°答案：C2.(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若A ∠=75，则∠1+∠2=（ ）（A ）150 （B ）210 （C ）105 （D ）75答案：A3. (2012 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372∶∶，则这个三角形一定是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 答案：D4. (2012 云南省昆明市) 如图，在ABC △中，6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）．（A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55°答案：A5. (2012 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）（A ）45o （B ）60o （C ）75o （D ）90o答案：C 6. (2012 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（ ）．A ．225︒B ．235︒C ．270︒D ．与虚线的位置有关答案：C7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC 中，已知∠A ＝80°，∠B ＝60°，DE ∥BC ，那么∠CED 的大小是 （ ）A ．40°B ．60°C ．120°D ．140°答案：D 8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ）（A ）75° （B ）90° （C ）105° （D ）120°答案：C9.如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（ ）度．A ．180B ．270C ．360D ．540答案：A10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（ ）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°答案：C11.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°1 2答案：D12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A-∠B=∠CB ．∠A=3∠C ，∠B=2∠CC ．∠A=∠B=2∠CD ．∠A=∠B=21∠C 答案：C13.如图，在三角形ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,H 是BE 和CF 的交点，则∠EHF=( )A. 100ºB. 110ºC. 120ºD.130º答案：D14．如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图 中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．无法确定答案：C二、填空题1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.答案：40°2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.答案：直角；钝角3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.答案：84°4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.21DC BA答案：80° 5.（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .答案：30º 6. (2012 内蒙古呼和浩特市) 如图，在ABC △中，47B ∠，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠=____________．答案：66.5°7. (2012 江苏省徐州市) 将一副直角三角板如图放置．若AE ∥BC ，则∠AFD = °．答案：75°8.如图，AB∥CD，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是 度．答案：48º9.△ABC 中，∠A=∠B+∠C，则∠A= 度．FED C BA（第15题）答案：90 10．在△ABC 中，已知∠A=21∠B=31∠C，则三角形的形状是 三角形． 答案：直角三角形11．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为 度．答案：1208．如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°，则∠A= .答案：60º12．如图，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD= .答案：11º13.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.FED C B A答案：60°14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .答案：360°三、解答题1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.设∠A=x °,则∠B=(x+5)°, ∠C=(x+25)°可列方程X+x+5+x+25=180解得：x=50°所以∠A=50°,∠B=55°, ∠C=75°2.已知：如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ．求证：∠P=90°．证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ， ∴∠PEF=21∠BEF，∠PFE=21∠DFE， ∴∠PEF+∠PFE=21（∠BEF+∠DFE）=90°． ∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE 的度数；（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）答案：(1)在⊿ABC 中，∠ACB=180º-∠A-∠B=68º,∵CD 是∠ACB 的角平分线∴∠BCD=21∠ACB=34º ∵CE ⊥AB,∠B=72º∴∠BCE=18º∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=34º-18º=16º.(2)∠DCE=21(∠B-∠A). 4.如图，已知在三角形ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD 是AC 边上的高，则∠DBC=90°-∠C=18°．5.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数.解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， ∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°， ∴∠XBA+∠XCA=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=140°-90°=50°．6．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ．（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC 的度数是 ；（2）若∠A=80°，求∠BOC 的度数；（3）若∠A=α，∠BO C=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．解：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB，又∠ABC=45°，∠ACB=55°， ∴∠DBC=22.5°，∠ECB=27.5°，∴∠BOC=180°-∠DBC -∠ECB=180°-22.5°-27.5°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，又∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB， ∴∠DBC+∠ECB=21（∠ABC+∠ACB）=50°， 则∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-50°=130°；（3）β=90+21α，理由如下：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=21∠ABC、∠0CB=21∠ACB， ∴∠OBC+∠0CB= 21∠ABC+21∠ACB=21（180°-α）=90°-21α， ∴β=180°-（∠OBC+∠0CB）=180°-（90°-21α）=90°+21α．7．如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AD⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，DF⊥AE 于F ，求∠ADF 的度数．解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°．∵AE 平分∠BAC 交BC 于E ，∴∠BAE=21∠BAC=40°， ∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．∵AD⊥BC，∴∠DAE=90°-80°=10°∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°-10°=80．能力提升1.如图，已知:∠1= ∠2， ∠3= ∠4， ∠C=32°, ∠D=28°,求∠P 的度数。

第 11 章《三角形》同步练习（§11.2 与三角形相关的角）班级学号姓名得分1．填空：( 1) 三角形的内角和性质是 ____________________________________________________ .( 2) 三角形的内角和性质是利用平行线的______与 ______的定义，经过推理获得的．它的推理过程以下：已知：△ ABC ，求证：∠ BAC ＋∠ ABC＋∠ ACB＝ ______．证明：过 A 点作 ______∥ ______，则∠ EAB＝______，∠ FAC＝ ______．( ___________，___________ )∵∠ EAF 是平角，∴∠ EAB＋______＋______ ＝180°． ()∴∠ ABC＋∠ BAC＋∠ ACB ＝∠ EAB＋∠ ______＋∠ ______． ()即∠ ABC＋∠ BAC＋∠ ACB ＝ ______．2．填空：( 1) 三角形的一边与 _________________________________________ 叫做三角形的外角．所以，三角形的随意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．( 2) 利用“三角形内角和”性质，能够获得三角形的外角性质?如图，∵∠ ACD 是△ ABC 的外角，∴∠ ACD 与∠ ACB 互为 ______，即∠ ACD ＝ 180°－∠ ACB．①又∵∠ A＋∠ B＋∠ ACB＝ ______，∴∠ A＋∠ B＝ ______．②由①、②，得∠ACD ＝ ______＋ ______．∴∠ ACD ＞∠ A，∠ ACD＞∠ B由上述 ( 2) 的说理，能够获得三角形外角的性质以下：三角形的一个外角等于____________________________________________________ .三角形的一个外角大于____________________________________________________ . 3． ( 1) 已知：如图，∠1、∠ 2、∠ 3 分别是△ ABC 的外角，求：∠ 1＋∠ 2＋∠ 3．( 2) 结论：三角形的外角和等于______．4．已知：如图， BE 与 CF 订交于 A 点，试确立∠ B＋∠ C 与∠ E＋∠ F 之间的大小关系，并说明你的原因．5．已知：如图，CE⊥ AB 于 E， AD ⊥ BC 于 D ，∠ A＝ 30°，求∠ C 的度数．6．依照题设，写出结论，想想，为何?已知：如图，△ABC 中，∠ ACB＝ 90°，则：( 1) ∠ A＋∠ B＝ ______．即∠ A 与∠ B 互为 ______；( 2) 若作 CD ⊥ AB 于点 D ，可得∠ BCD ＝∠ ______，∠ ACD＝∠ ______．7．填空：( 1) △ ABC 中，若∠ A＋∠ C＝ 2∠ B，则∠ B＝ ______．( 2) △ ABC 中，若∠ A∶∠ B∶∠ C＝ 2∶ 3∶ 5，则∠ A＝ ______ ，∠ B＝ ______，∠ C＝______．( 3) △ ABC 中，若∠ A∶∠ B∶∠ C＝ 1∶ 2∶ 3，则它们的相应邻补角的比为 ______．( 4) 如图，直线 a∥ b，则∠ A＝ ______度．( 5) 已知：如图， DE⊥ AB，∠ A＝ 25°，∠ D ＝45°，则∠ ACB＝ ______．( 6) 已知：如图，∠DAC ＝∠ B，∠ ADC ＝115°，则∠ BAC＝ ______．( 7) 已知：如图，△ABC 中，∠ ABC＝∠ C＝∠ BDC ，∠ A＝∠ ABD ，则∠ A＝ ______( 8) 在△ ABC 中，若∠ B－∠ A＝15°，∠C－∠ B＝ 60°，则∠ A＝ ______，∠ B＝ ______，∠ C＝ ______．8．已知：如图，一轮船在海上往东行驶，在 A 处测得灯塔 C 位于北偏东60°，在 B 处测得灯塔 C 位于北偏东25°，求∠ ACB．9．已知：如图，在△ABC 中， AD、 AE 分别是△ ABC 的高和角均分线．( 1) 若∠ B＝ 30°，∠ C＝ 50°，求∠ DAE 的度数．( 2) 试问∠ DAE 与∠ C－∠ B 有如何的数目关系?说明原因．10．已知：如图，O 是△ ABC 内一点，且OB、 OC 分别均分∠ ABC、∠ ACB．( 1) 若∠ A＝ 46°，求∠ BOC；( 2) 若∠ A＝ n°，求∠ BOC；( 3) 若∠ BOC＝ 148°，利用第 ( 2) 题的结论求∠ A．11．已知：如图，O 是△ ABC 的内角∠ ABC 和外角∠ ACE 的均分线的交点．( 1) 若∠ A＝ 46°，求∠ BOC；( 2) 若∠ A＝ n°，用 n 的代数式表示∠BOC 的度数．12．类比第10、11 题，若 O 是△ ABC 外一点， OB、OC 分别均分△ ABC 的外角∠ CBE、∠BCF ，若∠ A＝ n°，画出图形并用 n 的代数表示∠ BOC．N 是△ ABC 两个外角均分线的交点，13．如图，点M 是△ ABC 两个内角均分线的交点，点假如∠ CMB ；∠ CNB＝ 3∶ 2求∠ CAB 的度数．14．如图，已知线段AD、 BC 订交于点 Q，DM 均分∠ ADC，BM 均分∠ ABC，且∠ A＝27°，∠M＝ 33°，求∠ C 的度数．参照答案1． ( 1) 三角形的内角和等于 180°， ( 2) 性质、平角，说理过程 ( 略 )2．略．3．∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＝360°， 360°．4．∠ B ＋∠ C ＝∠ E ＋∠ F ． ( 此图中的结论为常用结论 ) 5． 30°6． ( 1) 90°，余角， ( 2) ∠ A ，∠ B7． ( 1) 60°． ( 2) 36°， 54°， 90°． ( 3) 5∶ 4∶3． ( 4) 39°． ( 5) 110°．( 6) 115°． ( 7) 36°． ( 8) 30°， 45°， 105°．8． 35°． 9． ( 1) 10°； ( 2)DAE1 CB).(210． ( 1) 113°， ( 2) 90o 1 n , ( 3) 116°．211． ( 1) 23°． ( 2) BOC 1n .2证明：∵ OB 均分∠ ABC ， OC 均分∠ ACE ，∴1 ACE, 1 ABC.OCEOBC22∴ BOCOCFOBC1 ( ACEABC ) 1 A1n .22 2 12．BOC 180(23)180 1 ( EBCFCB )2180o 1 [( AACB ) ( AABC )]2180o1(180o A)2190 A290o1 n .213． 36°． 14． 39°．由本练习中第 4 题结论可知： ∠ C ＋∠ CDM ＝∠ M ＋∠ MBC ，即1 1 CADCMABC ． ①22同理，1ADC1M A ABC．②2 2由①、②得 M 1( A C ), 2所以∠ C＝ 39°．。

人教版八年级数学上册11.2.1.1三角形的内角和同步训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．三角形的内角和等于()A．90°B．180°C．270°D．360°2．在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则()A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的度数为()A．44°B．40° C．39°D．38°4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于()A．45° B．60° C．75° D．90°5．如图是一失事飞机的残骸图形，若∠B＝30°，∠BCD＝70°，那么∠A的度数是() A．30°B．40°C．60°D．70°6. 如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于()A．26° B．52° C．54° D．77°7．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC等于()8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，则∠AED 的度数是()A．40° B．60° C．80° D．120°9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD ＝()A．75°B．80° C．85°D．90°10．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是()A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝________．12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一个锐角为20°，则另一个锐角为________．13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝____°.14．在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB.若∠BOC ＝110°，则∠A ＝________．15．如图，在△ABC 中，∠B ＝46°，∠C ＝54°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DE ∥AB ，交AC 于点E ，则∠ADE 的大小是________．16．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．17．在△ABC 中，已知∠A ＝8∠C ＝83∠B ，则∠C ＝_______，∠B ＝________． 18．如图，CD 是∠ACB 的角平分线，DE ∥BC ，∠B ＝70°，∠ACB ＝50°，则∠EDC ＝_______，∠BDC ＝_______．三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 在△ABC 中，∠C ＝30°，∠A －∠B ＝30°，求∠A 和∠B 的度数．20．(6分) 如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，∠C ＝72°，BD 平分∠ABC ，求∠DBA 的度数．21．(6分) 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数22．(6分) 如图是一块试验田的形状(设其为△ABC)，管理员从BC边上的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处的途中身体共转过多少度？23．(6分)如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP＝40°，求∠EPF的度数．24．(6分)如图，A点在B点的北偏东40°方向，C点在B点的北偏东75°方向，A点在C点的北偏西50°方向．求从A点观测B，C两点的视角∠BAC的度数．25．(10分) 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点．(1)若∠A＝70°，求∠BOC的度数；(2)若∠A＝n°，求∠BOC的度数；(3)若∠BOC＝3∠A，求∠A的度数．参考答案1-5 BDCCB 6-10BCBAB11. 100°12. 70°13. 8014. 40°15．40°16．280°17. 15°，45°18. 70°，85°19. 解：∵∠C ＝30°，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＋∠B ＝150°，又∵∠A －∠B ＝30°，∴∠A ＝90°，∠B ＝60°20. 解：∵∠A ＝36°，∠C ＝72°，∴∠ABC ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBA ＝3621. 解：∵∠A ＝54°，∠B ＝48°，∴∠ACB ＝180°－54°－48°＝78°.∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴∠DCB ＝12×78°＝39°. ∵DE ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DCB ＝39°22. 解：由图可知，管理员从出发到回到原处的途中身体转过的角度之和为∠1＋∠2＋∠3. 而∠1＝180°－∠ACB ，∠2＝180°－∠BAC ，∠3＝180°－∠ABC ，且∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝540°－(∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC)＝540°－180°＝360°.∴∠BEF ＝90°＋40°＝130°.∵AB ∥CD ，∴∠EFD ＝180°－130°＝50°.∵FP 平分∠EFD ，∴∠EFP ＝25°.∴∠EPF ＝90°－25°＝65°.24. 解：由题意得∠DBC ＝75°，∠DBA ＝40°，∴∠ABC ＝35°， ∵DB ∥EC ，∴∠ECB ＋∠DBC ＝180°，∴∠ECB ＝105°，∵∠ACE ＝50°，∴∠ACB ＝55°，∴∠BAC ＝180°－55°－35°＝90°25. 解：(1)在△ABC 中，由∠A ＝70°，得∠ABC ＋∠ACB ＝110°. ∵BO 和CO 分别平分∠ABC 和∠ACB.∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝55°， 在△OBC 中，∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝125°(2)在△ABC 中，由∠A ＝n°，BO 和CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝90°－12n°， ∴∠BOC ＝90°＋12n° (3)由(2)可知，90°＋12n°＝3n°， 解得n ＝36，即∠A ＝36°。

11.2与三角形有关的角同步练习题11．2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和基础题知识点1三角形内角和定理1．(南宁中考△)如图，在ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°2．(大庆中考△)在ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为（A．120°B．80°C．60°D．40°3．(教材P16习题11.2T1变式)写出下列图中x的值：）(1)x＝45；(2)x＝75．知识点2三角形内角和定理与三角形的角平分线△4．如图，在ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（A．35°B．40°C．45°D．50°）△5．如图，在ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且∠B＝3∠BAD，求∠B的度数．字知识点3三角形内角和定理与平行线的性质6．(长春中考△)如图，在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED ＝54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°△7．如图，在ABC中，∠B＝85°，∠ACB＝45°，若CD∥AB，则∠ACD的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°知识点4三角形内角和定理的应用8．如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”型通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是（）A．75°B．80°C．85°D．90°9．如图，按规定，一块模板中A B，CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？中档题10．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（）A．360°B．180°C．280°D．320°11．(邵阳中考)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，A D平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°12．(教材P17习题11.2T9变式△)如图，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D.若∠A ＝50°，则∠BDC＝．13．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝．14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．15．已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E，∠A ＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．16．(教材P12例2变式)如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数．17．如图，在△ABC中，∠A＝46°，C E是∠A CB的平分线，B，C，D在同一条直线上，DF∥EC，∠D＝42°.求∠B的度数．18．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC.(1)若∠BCD＝70°，求∠ABC的度数；(2)求证：∠EAB＋∠AEB＝2∠BDC.第2课时直角三角形的两个锐角互余基础题知识点1直角三角形的两个锐角互余1．在一个直角三角形中，若一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图，AD是△Rt ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个△3．如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．(黔西南中考)如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，则∠BCD＝．5．(岳阳中考)如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是．知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形6．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都不对7．(教材P14练习T2变式)如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠△2，则ABC是直角三角形吗？为什么？易错点直角三角形中的直角不确定导致漏解8．(易错题)如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为．中档题9．(十堰中考)如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．若四个三角形分别满足以下条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A－∠B＝∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则其中直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．411．(教材P17习题11.2T10变式)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．综合题12．如图△1，在ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠BAC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？11.2.2三角形的外角基础题知识点1认识外角1．如图所示，是△ABC的一个外角．2．如图，以∠AOD为外角的三角形是．知识点2三角形内角和定理的推论3．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能4．(黔东南中考)如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是（）A．120°B．90°C．100°D．30°5．(盐城中考)在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝．6．如图．点D，B，C在同一条直线上．∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝．7．如图，在锐角三角形A BC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且C D，BE交于一点P.若∠A＝50°，求∠BPC的度数．知识点3三角形内角和定理的推论与平行线的性质、三角形的角平分线8．(新疆中考)如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC等于（）A．20°B．50°C．80°D．100°9．(昆明中考△)如图，在ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°10．(温州中考)如图，直线AB，CD被BC所截．若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝．中档题11．如图，AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°12．(郴州中考)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于（）A．180°B．210°C．360°D．270°(1)∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)；(2)∠BGC＝90°＋∠A.13．(教材P17习题11.2T6变式△)如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝．14．(教材P17习题11.2T8变式)如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A ＝35°，∠ACD＝83°.(1)求∠B的度数；(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数．小专题2与三角形角平分线有关的计算——教材P29T11的变式与应用教材母题：(教材P29T11)如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证：1212拓展类型1一个内角平分线和一个外角平分线的夹角1．如图所示，BP是△ABC的角平分线，CP是△ABC的外角的平分线．(1)若∠ABC＝55°，∠ACB＝65°，求∠P的度数；(用α表示)；如图2，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝(2)如图3，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝(用α(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝．(2)若∠A＝60°，求∠P的度数；(3)试探索∠P与∠A之间的数量关系．拓展类型2两个外角平分线的夹角2．如图所示，BO，CO分别是△ABC的外角平分线．(1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝50°；(2)若∠A＝60°，则∠BOC＝60°；(3)试探索∠BOC与∠A之间的数量关系．3．(内江中考)问题引入：(1)如图△1，在ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝1133(用α表示)；拓展研究：1133表示)；1n 1n∴∠BAD＝∠BAC，11.2与三角形有关的角同步练习题参考答案11．2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和基础题知识点1三角形内角和定理1．(南宁中考△)如图，在ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于(B) A．100°B．80°C．60°D．40°2．(大庆中考△)在ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为(C) A．120°B．80°C．60°D．40°3．(教材P16习题11.2T1变式)写出下列图中x的值：(1)x＝45；(2)x＝75．知识点2三角形内角和定理与三角形的角平分线△4．如图，在ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为(D) A．35°B．40°C．45°D．50°△5．如图，在ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且∠B＝3∠BAD，求∠B的度数．解：∵AD平分∠BAC，12∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，而∠B＝3∠BAD，∴2∠BAD＋3∠BAD＋90°＝180°.∴∠BAD＝18°.字∴∠B＝3∠BAD＝54°.知识点3三角形内角和定理与平行线的性质6．(长春中考△)如图，在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED ＝54°，则∠B的大小为(C)A．54°B．62°C．64°D．74°△7．如图，在ABC中，∠B＝85°，∠ACB＝45°，若CD∥AB，则∠ACD的度数为(C) A．40°B．45°C．50°D．60°知识点4三角形内角和定理的应用8．如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”型通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是(A) A．75°B．80°C．85°D．90°9．如图，按规定，一块模板中A B，CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？解：不符合规定．理由：延长AB，CD交于点O，∵在△AOC中，∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，∴∠AOC＝180°－∠BAC－∠DCA＝180°－32°－65°＝83°＜85°.∴模板不符合规定．中档题10．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝(C)A．360°B．180°C．280°D．320°11．(邵阳中考)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，A D平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是(C)A．45°B．54°C．40°D．50°12．(教材P17习题11.2T9变式△)如图，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D.若∠A ＝50°，则∠BDC＝115°．13．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝18°．14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．15．已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E，∠A ＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．解：在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.16．(教材P12例2变式)如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数．解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°.∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝30°＋60°＝90°.∵∠CBA＝75°－30°＝45°，∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°.17．如图，在△ABC中，∠A＝46°，C E是∠A CB的平分线，B，C，D在同一条直线上，DF∥EC，∠D＝42°.求∠B的度数．解：∵DF∥EC，∴∠BCE＝∠D＝42°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.∵∠A＝46°，∴∠B＝180°－∠ACB－∠A＝180°－84°－46°＝50°.18．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC.(1)若∠BCD＝70°，求∠ABC的度数；(2)求证：∠EAB＋∠AEB＝2∠BDC.解：(1)∵∠BCD＝∠BDC＝70°，∴∠ABC＝180°－∠BCD－∠BDC＝40°.(2)证明：∵∠EAB＋∠AEB＋∠B＝180°，∠B＋∠BCD＋∠BDC＝180°，∴∠EAB＋∠AEB＝∠BCD＋∠BDC.又∵∠BCD＝∠BDC，∴∠EAB＋∠AEB＝2∠BDC.第2课时直角三角形的两个锐角互余基础题知识点1直角三角形的两个锐角互余1．在一个直角三角形中，若一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图，AD是△Rt ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个△3．如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为(D) A．30°B．40°C．50°D．60°4．(黔西南中考)如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，则∠BCD＝25°．5．(岳阳中考)如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是60°．知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形6．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都不对7．(教材P14练习T2变式)如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠△2，则ABC是直角三角形吗？为什么？解：△ABC是直角三角形．理由如下：∴∠PEF ＝ ∠BEF ，∠PFE ＝ ∠DFE.∴∠PEF ＋∠PFE ＝ (∠BEF ＋∠DFE)＝90°.∵ED ⊥AB ，∴∠ADE ＝90°，△ADE 是直角三角形． ∴∠1＋∠A ＝90°. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．易错点 直角三角形中的直角不确定导致漏解8．(易错题)如图，已知∠AOD ＝30°，点 C 是射线 OD 上的一个动点．在点 C 的运动过程中， △AOC 恰好是直角三角形，则此时∠A 所有可能的度数为 60°或 90°．中档题9．(十堰中考)如图，AB ∥DE ，FG ⊥BC 于点 F ，∠CDE ＝40°，则∠FGB ＝(B)A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°10．若四个三角形分别满足以下条件：①∠ A ＝∠B ＝∠C ；②∠A －∠B ＝∠C ；③∠A ＝∠B ＝2∠C ；④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则其中直角三角形的个数是(B)A ．1B ．2C ．3D ．411．(教材 P17 习题 11.2T10 变式)如图，AB ∥CD ，直线 EF 分别交 AB ，CD 于点 E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P ，试说明△EPF 为直角三角形．解：∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°.∵EP 为∠BEF 的平分线，FP 为∠EFD 的平分线，1 12 212∴△EPF为直角三角形．综合题12．如图△1，在ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠BAC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形．∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.∴∠1＝∠2.(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°.∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.11.2.2三角形的外角基础题知识点1认识外角1．如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角．2．如图，以∠AOD为外角的三角形是△AOB和△COD．知识点2三角形内角和定理的推论3．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是(B) A．锐角三角形C．钝角三角形B．直角三角形D．都有可能4．(黔东南中考)如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是(C) A．120°B．90°C．100°D．30°5．(盐城中考)在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝120°．6．如图．点D，B，C在同一条直线上．∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝45°．7．如图，在锐角三角形A BC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且C D，BE交于一点P.若∠A ＝50°，求∠BPC的度数．解：∵∠A＝50°，BE⊥AC，∴∠ABE＝90°－50°＝40°.又∵CD⊥AB，∴∠BPC＝90°＋∠ABE＝130°.知识点3三角形内角和定理的推论与平行线的性质、三角形的角平分线8．(新疆中考)(教材P16习题11.2T5变式)如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC等于(C) A．20°B．50°C．80°D．100°9．(昆明中考△)如图，在ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是(A)A．85°B．80°C．75°D．70°10．(温州中考)如图，直线AB，CD被BC所截．若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝80°．中档题11．如图，AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝(D)A．25°B．60°C．85°D．95°12．(郴州中考)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(B)A．180°B．210°C．360°D．270°13．(教材P17习题11.2T6变式△)如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝101°．14．(教材P17习题11.2T8变式)如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A ＝35°，∠ACD＝83°.(1)求∠B的度数；(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数．解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFD＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.小专题2与三角形角平分线有关的计算(1)∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)；(2)∠BGC＝90°＋∠A.∴∠GBC＋∠GCB＝(∠ABC＋∠ACB)．∴∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)．(2)由(1)知∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)，∴∠BGC＝180°－(180°－∠A)．∴∠BGC＝90°＋∠A.∴∠PBC＝∠ABC＝27.5°，∠PCD＝(180°－∠ACB)＝57.5°.——教材P29T11的变式与应用教材母题：(教材P29T11)如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证：1212证明：(1)∵BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，12∴∠BGC＝180°－(∠GBC＋∠GCB)．1212∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，1212拓展类型1一个内角平分线和一个外角平分线的夹角1．如图所示，BP是△ABC的角平分线，CP是△ABC的外角的平分线．(1)若∠ABC＝55°，∠ACB＝65°，求∠P的度数；(2)若∠A＝60°，求∠P的度数；(3)试探索∠P与∠A之间的数量关系．解：(1)∵BP是△ABC的角平分线，CP是△ABC的外角的平分线，1212＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A＝30°.(3)∠P＝∠A.解：∠BOC＝90°－∠A.＋∠α(用α表示)；如图2，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝120°＋(2)如图3，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝120°－∠α(用α表(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝．∴∠P＝∠PCD－∠PBC＝30°.(2)∵BP是△ABC的角平分线，CP是△ABC的外角的平分线，∴∠P＝∠PCD－∠PBC121212拓展类型2两个外角平分线的夹角2．如图所示，BO，CO分别是△ABC的外角平分线．(1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝50°；(2)若∠A＝60°，则∠BOC＝60°；(3)试探索∠BOC与∠A之间的数量关系．123．(内江中考)问题引入：(1)如图△1，在ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝90°1111 2333∠α(用α表示)；拓展研究：111333示)；1n 1（n－1）·180°－∠αn n。

11.2.1.1三角形的内角和同步练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册A组（基础题）1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于( )A．100°B．80°C．60°D．40°2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为( )A．120° B．80°C．60° D．40°3．在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于( )A．50° B．75°C．100°D．125°4．写出下列图中x的值：(1)x＝________；(2)x＝_______．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为( )A．35°B．40° C．45° D．50°6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且∠B＝3∠BAD，求∠B的度数．7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( )A．50° B．60°C．70° D．80°8．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为( )A．44° B．40° C．39° D．38°9．如图，一种滑翔伞的形状是左、右对称的四边形ABCD，其中∠B＝40°，∠CAD＝60°，则∠BCD＝_______．10．某地有A，B，C三个村庄，如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A村庄又在C村庄的北偏西45°方向，那么，在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？11．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数为_______．B组（中档题）12．如图，点P是△ABC的三条角平分线的交点，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝( )A．45° B．120° C．180° D．90°13．如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A′.若∠A′＝32°，∠B＝112°，则∠A′NC的度数是( )A．114° B．112° C．110° D．108°14．(1)如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝58°，则∠BFC＝_______．(2)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏东30°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB＝_______．15．如图，已知在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点(不与B，C重合)，点E为边AC上一点，∠ADE＝∠AED，∠BAC＝44°.(1)求∠C的度数；(2)若∠ADE＝75°，求∠CDE的度数．C组（综合题）16．问题情景：如图1，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上(P点在△ABC内)，使三角板PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C.试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？(1)特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC＋∠ACB＝_______，∠PBC＋∠PCB＝_______，∠ABP＋∠ACP＝_______；(2)类比探究：请探究∠ABP＋∠ACP与∠A的数量关系；(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，直角三角板PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．参考答案11.2.1.1三角形的内角和同步练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册A组（基础题）1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于(B)A．100°B．80°C．60°D．40°2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为(C) A．120° B．80°C．60° D．40°3．在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于(B)A ．50°B ．75°C ．100°D ．125°4．写出下列图中x 的值：(1)x ＝45； (2)x ＝75．5．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠BAD ＝30°，则∠C 的度数为(D)A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，且∠B ＝3∠BAD ，求∠B 的度数．解：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC.∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝3∠BAD ， ∴2∠BAD ＋3∠BAD ＋90°＝180°. ∴∠BAD ＝18°. ∴∠B ＝3∠BAD ＝54°.7．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝40°，DE ∥BC ，则∠AED 的度数是(D)A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E.若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为(C)A．44° B．40° C．39° D．38°9．如图，一种滑翔伞的形状是左、右对称的四边形ABCD，其中∠B＝40°，∠CAD＝60°，则∠BCD＝160°．10．某地有A，B，C三个村庄，如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A村庄又在C村庄的北偏西45°方向，那么，在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？解：由A村庄在B村庄的北偏东20°方向，得∠ABC＝∠PBC－∠PBA＝90°－20°＝70°.由A村庄在C村庄的北偏西45°方向，得∠ACB＝∠QCB－∠ACQ＝90°－45°＝45°.∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°.∴在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC的大小是65°.11．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数为60°或30°．B组（中档题）12．如图，点P是△ABC的三条角平分线的交点，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝(D)A．45° B．120° C．180° D．90°13．如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A′.若∠A′＝32°，∠B＝112°，则∠A′NC的度数是(D)A．114° B．112° C．110° D．108°14．(1)如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝58°，则∠BFC＝119°．(2)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏东30°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB＝20°．15．如图，已知在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点(不与B，C重合)，点E为边AC上一点，∠ADE＝∠AED，∠BAC＝44°.(1)求∠C的度数；(2)若∠ADE＝75°，求∠CDE的度数．解：(1)∵∠BAC＝44°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－44°＝136°.∵∠B＝∠C，∴2∠C＝136°.∴∠C＝68°.(2)∵∠ADE＝∠AED，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°.∵∠AED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝180°－75°＝105°.∵∠CDE＋∠CED＋∠C＝180°，∴∠CDE＝180°－105°－68°＝7°.C组（综合题）16．问题情景：如图1，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上(P点在△ABC内)，使三角板PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C.试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？(1)特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC＋∠ACB＝130°，∠PBC＋∠PCB＝90°，∠ABP ＋∠ACP＝40°；(2)类比探究：请探究∠ABP＋∠ACP与∠A的数量关系；(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，直角三角板PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．解：(2)∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即∠A＋(∠ABP＋∠PBC)＋(∠ACP＋∠PCB)＝180°，在△PBC中，∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°，即∠PBC＋∠PCB＝90°，∴∠A＋(∠ABP＋∠ACP)＋90°＝180°.∴∠ABP＋∠ACP＋∠A＝90°.∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.(3)不成立，∠ACP－∠ABP＝90°－∠A.。

11.2.1三角形的内角和基础知识一、选择题1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60°答案：C2.(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若A o∠=75，则∠1+∠2=（ ）（A ）150o （B ）210o （C ）105o （D ）75o答案：A 3. (2012 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372∶∶，则这个三角形一定是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 答案：D4. (2012 云南省昆明市) 如图，在ABC △中，6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）．（A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55° 答案：A5. (2012 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）（A ）45o （B ）60o （C ）75o （D ）90o 答案：C6. (2012 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）．A．225︒ B．235︒ C．270︒ D．与虚线的位置有关答案：C7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED 的大小是（）A．40°B．60°C．120°D．140°答案：D8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）（A）75°（B）90°（C）105°（D）120°答案：C9.如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为（）度．A．180 B．270 C．360 D．540答案：A10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（）A．100°B．120°C．135°D．150°答案：C11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°12答案：D12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A-∠B=∠CB ．∠A=3∠C ，∠B=2∠CC ．∠A=∠B=2∠CD ．∠A=∠B=21∠C 答案：C13.如图，在三角形ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,H 是BE 和CF 的交点，则∠EHF=( )A. 100ºB. 110ºC. 120ºD.130º答案：D14．如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图 中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．无法确定答案：C二、填空题1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.答案：40°2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.答案：直角；钝角3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.答案：84°4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.21D C B A答案：80° 5.（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .答案：30º6. (2012 内蒙古呼和浩特市) 如图，在ABC △中，47B o∠，三角形的外角DAC ∠和ACF∠的平分线交于点E ，则AEC ∠=____________．答案：66.5°7. (2012 江苏省徐州市) 将一副直角三角板如图放置．若AE ∥BC ，则∠AFD = °．答案：75°8.如图，AB∥CD，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是 度．答案：48º9.△ABC 中，∠A=∠B+∠C，则∠A= 度．答案：9010．在△ABC 中，已知∠A=21∠B=31∠C，则三角形的形状是 三角形． 答案：直角三角形11．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为 度．答案：1208．如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°，则∠A= .FEC A（第15题）答案：60º12．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD= .答案：11º13.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.FED CBA答案：60°14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .答案：360°三、解答题1.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.设∠A=x°,则∠B=(x+5)°, ∠C=(x+25)°可列方程X+x+5+x+25=180解得：x=50°所以∠A=50°,∠B=55°, ∠C=75°2.已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．FECA证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，∴∠PEF=21∠BEF，∠PFE=21∠DFE， ∴∠PEF+∠PFE=21（∠BEF+∠DFE）=90°． ∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE 的度数；（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）答案：(1)在⊿ABC 中，∠ACB=180º-∠A-∠B=68º,∵CD 是∠ACB 的角平分线∴∠BCD=21∠ACB=34º ∵CE ⊥AB,∠B=72º∴∠BCE=18º∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=34º-18º=16º.(2)∠DCE=21(∠B-∠A). 4.如图，已知在三角形ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD 是AC 边上的高，则∠DBC=90°-∠C=18°．5.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数.解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，∴∠XBA+∠XCA=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=140°-90°=50°．6．如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ．（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC 的度数是 ；（2）若∠A=80°，求∠BOC 的度数；（3）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．解：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB，又∠ABC=45°，∠ACB=55°， ∴∠DBC=22.5°，∠ECB=27.5°，∴∠BOC=180°-∠DBC -∠ECB=180°-22.5°-27.5°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，又∠ABC 和∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，∴∠DBC=21∠ABC，∠ECB=21∠ACB， ∴∠DBC+∠ECB=21（∠ABC+∠ACB）=50°， 则∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-50°=130°；（3）β=90+21α， 理由如下：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=21∠ABC、∠0CB=21∠ACB， ∴∠OBC+∠0CB= 21∠ABC+21∠ACB=21（180°-α）=90°-21α， ∴β=180°-（∠OBC+∠0CB）=180°-（90°-21α）=90°+21α． 7．如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=60°，AD⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，DF⊥AE 于F ，求∠ADF 的度数．解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°．∵AE 平分∠BAC 交BC 于E ，∴∠BAE =21∠BAC=40°，∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．∵AD⊥BC，∴∠DAE=90°-80°=10°∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°-10°=80．能力提升1.如图，已知:∠1= ∠2， ∠3= ∠4，∠C=32°, ∠D=28°,求∠P 的度数。