【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点 拨和备考建议： 创 本题有以下两个创新的命题角度： (1)考查内容创新，本题以一元二次方程为背景，探求方 程有整数根的充要条件. (2)此类题目的特点是给出结论，未给条件，由结论探求 条件.
新
点 拨
备 在解决此类问题时，有以下两个备考建议需特别关注：
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
【解析】选A.当a=1时，N={1}，可推出“N⊆M”.
当“N⊆M”时，有a2=1或a2=2,得到a=〒1或a= 2， 不能推出 a=1.所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件.
3.(2012·宝鸡模拟)在三角形ABC中，“A>30°”是“sinA> 的( )
综上所述，D正确.
【反思·感悟】判断充分、必要条件时应注意的问题 (1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出 A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推 出B，且B不能推出A;
(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的错误
不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分
但不必要条件.
【解题指南】(1)利用集合M和M∩P，通过分析求得a的范围.
(2)借助(1)的结论，根据充分但不必要条件所满足的关系，确 定a的值.
【规范解答】(1)由 M∩P={x|5＜x≤8}，得-3≤a≤5，因此 M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}； (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分 但不必要条件，就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值，如取 a=0，此时必有M∩P={x|5＜x≤8}；反之，M∩P={x|5＜x≤8} 未必有a=0，故a=0是M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件.
【即时应用】 (1)设a≠0，则“x∈{a,-a}”是“|x|=a”的______条件.
1 (2)“m＜ ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的_____ 4
条件.
(3)若集合A={1,m2},B={2,4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的
_______条件.
【解析】(1)当a＜0时，x∈{a,-a} |x|=a,
【规范解答】x 4 16 4n 2 4 n， 因为x是整数，
2
即 2 4 n 为整数，所以 4 n 为整数，且n≤4,又因为
n∈N*，取n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意，所以n=3,4时 可以推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根. 答案：3或4
(C)若|a|≠|b|,则a≠-b
(D)若|a|=|b|,则a=-b
【解析】选D.原命题的条件是a=-b，作为逆命题的结论，原命 题的结论是|a|=|b|,作为逆命题的条件，即得逆命题“若
|a|=|b|,则a=-b”，故选D.
2.(2011·湖南高考)设集合M={1,2}，N={a2}，则“a=1”是 “N⊆M”的( )
1 1 ①当a 0, b 0时，a 或b . b a 1 1 ②当a 0, b 0时，a 或b . b a 1 1 故“0 ab 1”不能推出“a 或b ”； b a 1 1 反之，若a 或b , 则当b 0,a 0时，ab 1. b a 1 1 故“a 或b ”也不能推出0 ab 1. b a
【解析】“sin45°=1”能判断真假，是命题且为假命题，故
(1)正确. “x2+2x-1”与“x2+2x-3＞0”不能判断真假，不是命题，故 (2)、(4)错. “3是12的约数吗”不是陈述句，不是命题，故(3)错. 答案：(1)√ (2)〓 (3)〓 (4)〓
2.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
转化.
充分条件与必要条件的判定 【方法点睛】充分、必要条件的判断方法 (1)命题判断法 通过判断p⇒q与q⇒p是否成立定p是q的什么条件.
(2)集合判断法
建立命题p,q相应的集合：p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成
立}，那么从集合的观点看，
①若A⊆B，则p是q的充分条件，若A
考 (1)解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的
建 必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性 . 议 (2)解答时应思路清晰，可在平时多加练习 .
1.(2011·陕西高考)设a,b是向量，命题“若a=-b,则|a|=|b|” 的逆命题是( )
(A)若a≠-b,则|a|≠|b| (B)若a=-b,则|a|≠|b|
(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像
不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，
真命题的个数是_________.
【解题指南】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再根据四 种命题的概念，写出逆命题、否命题. (3)在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、 原命题的逆命题与否命题的等价性来判断 .
命题的真假.
【提醒】要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为 原命题，也就相应有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否 命题”.
【例1】(1)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆 命题是___________.
(2)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是____________.
充分条件、必要条件的应用
【方法点睛】充分条件、必要条件的应用
解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化
为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不 等式求解.
【例3】已知集合M={x|x＜-3或x＞5}，P={x|(x-a)·(x-8) ≤0}. (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的充要条 件；
②“正多边形都相似”的逆命题
③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题
(
(
)
)
④“若x－ 3是有理数，则x是无理数”的逆否命题
(
)
(2)命题：“若x2≤1，则－1＜x＜1”的逆否命题是______. (3)命题“对实数a，若a＞0，则a2＞0”的否命题是______.
【解析】(1)①的否命题是“若x2＋y2=0，则x，y全为零”,是真 命题;②的逆命题是“相似形是正多边形”，是错误的,故是假命
题；③④的原命题是真命题，故它们的逆否命题也是真命题.
(2)“-1＜x＜1”的否定是“x≥1或x≤-1”，“x2≤1”的否定
是“x2＞1”，故已知命题的逆否命题是“若x≥1或x≤-1，则x2
＞ 1 ”. (3)“a＞0”的否定是“a≤0”,“a2＞0”的否定是“a2≤0”, 故已知命题的否命题是“对实数a，若a≤0，则a2≤0”.
1 ” 2
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选B.当A>30°时，sinA>
2.以选择题和填空题为主，由于知识载体丰富，因此题目有一
定的综合性，属于中、低档题.
1.命题 文字或符号 表述的语句. (1)定义：可以判断真假、用___________ (2)特点：能判断真假. (3)分类：真命题、假命题.
【即时应用】 判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”) (1)“sin45°=1”是假命题 (2)“x2+2x-1”是命题 (3)“3是12的约数吗”是假命题 (4)“x2+2x-3＞0”是真命题 ( ( ( ( ) ) ) )
答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数 (2)若a≤b，则a-1≤b-1 (3)1
【反思·感悟】1.对于四种命题真假的判断，关键是分清命题 的条件和结论，然后再结合相关的知识进行判断； 2.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当
判断原命题的真假比较困难时，要善于利用命题的等价性进行
【反思·感悟】解答本例(2)时，需借助(1)的结论，即求某一 个结论的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般是先求出 这个结论的充要条件.
【创新探究】探求结论成立的充要条件 【典例】(2011·陕西高考)设n∈N*，一元二次方程x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是n=________. 【解题指南】直接利用求根公式进行计算，然后用整数等有关 概念进行分析、验证.
【解题指南】(1)求出集合C及A∪B，根据两集合的关系判断.
(2) 条件“ 0＜ ab ＜ 1” 中 a 、 b 的符号有两种情况，应分情况推
理；反之，也分两种情况推理或分析特殊情况 .
【规范解答】（1）选C.集合C的解集是{x|x<0或 x>2},∵A∪B={x|x<0或x>2},∴A∪B=C，故选C. (2)选D.若0<ab<1,则
答案：(1)①真 ②假
③真
④真
(2)若x≥1或x≤-1，则x2＞1 (3)对实数a，若a≤0，则a2≤0
3.充分条件、必要条件与充要条件 p是q 的充分条件， (1)“若p，则q”为真命题，记p⇒q，则_____ q是p 的必要条件. _____ p是q 的充要条 (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p,记作p ⇔q,则______ 充要条件 件，q也是p的_________.
【规范解答】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，
故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题， 故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”. (3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为 真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图像不过第四象限， 则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否 命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是 1.
