咸丰县清坪镇2019届九年级上《旋转》单元检测试卷含答案

九年级数学上册旋转单元检测题2含答案第23章《旋转》单元测试及答案〔2)（时间：90分钟,分值：100分）一·选择题（每小题3分,共30分）1.下面图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）2.下列图形中,是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 3.在平面直角坐标系中,已知点,若将绕原点逆时针旋转得到,则点在平面直角坐标系中的位置是在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.已知0a <,则点(2,1a a --+)关于原点的对称点 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5.已知点·点关于原点对称,则的值为（ ） A.1 B.3 C.－1 D.－3 6.下列命题中是真命题的是( )A.全等的两个图形是中心对称图形B.关于中心对称的两个图形全等C.中心对称图形都是轴对称图形D.轴对称图形都是中心对称图形7.四边形ABCD 的对角线相交于O ,且AO BO CO DO ===,则这个四边形（ ） Ａ.仅是轴对称图形 Ｂ.仅是中心对称图形 Ｃ.既是轴对称图形又是中心对称图形 Ｄ.既不是轴对称图形,又不是中心对称图形 8.如图所示,A ·B ·C 三点在正方形网格线的交点处.若将△绕着点A 逆时针旋转到如图位置,得到△,使三点共线,则的值为( )A. 1B.223 C.310D. 29.如图所示,在正方形中,,点在上,且,点是上一动点,连接,将线段绕点逆时针旋转90°得到线段.要使点恰好落在 上, 则的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10.如图,在正方形网格中,将△绕点旋转后得到△,则下列旋转方式中,符合题意的是（ ） A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45° 二·填空题（每小题3分,共24分） 11.如图所示,把一个直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转,使得点落在的延长线上的点处,则∠的度数为_____ ．12.正方形是中心对称图形,它绕它的中心旋转一周和原来的图形重合________次． 13.如图所示,ABC △与DEF △关于O 点成中心对称．则AB _______DE ,∥______,AC =________． 14.边长为的正方形绕它的顶点旋转,顶点所经过的路线长为______.15.等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少______度,能够与本身重合. 16. 点(34)P -，关于原点对称的点的坐标为________. 17.已知点与点关于原点对称,则的值是_______.18.直线3y x =+上有一点,则点 关于原点的对称点为________.三·解答题（共46分） 19．（8分）如图所示,在△中,90OAB ∠=︒,6OA AB ==,将OAB ∆ 绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ∆．（1）线段1OA 的长是 ,1AOB ∠的度数是 ； （2）连接1AA ,求证：四边形11OAA B 是平行四边形.20．（8分）找出图中的旋转中心,说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形．21.（8分）如图所示,网格中有一个四边形和两个三角形． （1）请你画出三个图形关于点的中心对称图形；（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请你写出这个整体图形对称轴的条数； 这个整体图形至少旋转多少度与自身重合？22.（6分）如图所示,已知是△的中线,画出以点为对称中心,与△•成中心对称的三角形．23.（8分）图①②均为76 的正方形网格,点A B C 、、 在格点上． （1）在图①中确定格点D ,并画出以 为顶点的四边形,使其为轴对称图形．（画出一个即可）（2）在图②中确定格点E ,并画出以为顶点的四边形,使其为中心对称图形．（画出一个即可）24.（8分）如图所示,将正方形中的△绕对称中心 旋转至△的位置,,交于．请猜想与有怎样的数量关系？并证明你的结论．参考答案1.C 解析：选项A ·B 是中心对称图形但不是轴对称图形,选项C 既是中心对称图形又是 轴对称图形,选项D 是轴对称图形但不是中心对称图形.2.B 解析：第一·二·三个图形都是中心对称图形,第四个图形不是中心对称图形.3.C 解析：已知点在第一象限,旋转后,则点应在第三象限.4.D 解析：∵ 当时,点在第二象限,∴ 点关于原点的对称点 在第四象限.5.D 解析：由点·点关于原点对称知,所以6.B 解析：由中心对称图形和轴对称图形的定义知,选项B 正确.7.Ｃ 解析：因为AO BO CO DO ===,所以四边形ABCD 是矩形.8.D 解析：过B 点作BD ⊥于点,由图可知,即=2.9.C 解析：由题意知,,又由,知△≌△,所以.10.B 解析：根据图形可知：将△绕点逆时针旋转90°可得到△．故选B ． 11.解析：由题意得∠,,所以∠.12.4 解析：正方形的两条对角线的夹角为,且对角线分正方形所成的4个小三角形都全等.13.＝,EF ,DF 14.4π 解析：∵ ∴ 顶点绕顶点旋转所经过的路径是个半圆弧,所以顶点所经过的路线长为4π 15.12016.(34)-， 解析：两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,所以点的坐标为(34)-，.17.2 解析：∵ 点与点关于原点对称,∴ 3,1b a ==-,∴ 2a b +=.18.（,） 解析：将点代入3y x =+,得6n =,∴ 对称点为（）.19.（1）6,135°；（2）证明：11190AOA OA B ∠=∠=︒,∴11//OA A B ． 又11OA AB A B ==,∴四边形11OAA B 是平行四边形． 20.解：图中的旋转中心就是该图的几何中心,即点Ｏ．该图绕旋转中心Ｏ旋转90180270360，，，,都能与原来的图形重合,因此,它是一个中心对称图形．21.解：（1）如图所示.（2）2条对称轴,这个整体图形至少旋转．22.解：（1）延长,且使,点关于的对称点为,点关于的对称点为；（2）连接．则△为所求作的三角形（如图所示）．23.解：（1）如图①所示；（2）如图②所示.24.解：.证明如下：在正方形中,为对角线,为对称中心,∴．∵△为△绕点旋转所得,∴,∴.在△和△中,∴△≌△,∴.。

九年级旋转单元试卷答案【含答案】专业课原理概述部分一、选择题1. 在旋转图形中，绕着某一点旋转180度后，图形的每个点与原来的位置关系是？A. 对称B. 平移C. 旋转D. 缩放2. 一个图形绕着一个点旋转360度，它会回到原来的位置。

这是旋转的什么特性？A. 周期性B. 对称性C. 不变性D. 线性3. 在平面几何中，旋转不改变图形的哪一项属性？A. 面积B. 周长C. 形状D. 位置4. 一个正方形绕着它的中心旋转90度，新图形与原图形的夹角是多少？A. 0度B. 45度C. 90度D. 180度5. 如果一个点绕着另一个点旋转，那么这两个点的关系是什么？A. 对称B. 平行C. 垂直D. 相交二、判断题1. 旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。

（）2. 所有的图形都可以绕任意点旋转。

（）3. 绕着同一点旋转两个相同的图形，旋转角度相同，那么两个图形会重合。

（）4. 旋转角度越大，图形的变化越明显。

（）5. 一个图形绕着它的中心旋转180度，新图形与原图形完全重合。

（）三、填空题1. 旋转的三要素是________、________和________。

2. 一个图形绕着一个点旋转，这个点叫做________。

3. 旋转角度小于180度时，旋转后的图形与原图形是________的。

4. 如果一个图形绕着它的中心旋转，那么旋转后的图形与原图形是________的。

5. 在平面几何中，旋转不改变图形的________和________。

四、简答题1. 简述旋转的定义。

2. 旋转的三要素分别是什么？3. 旋转对称图形的定义是什么？4. 旋转角度为360度时，图形会怎样变化？5. 旋转和平移的区别是什么？五、应用题1. 一个正方形绕着它的中心旋转45度，求旋转后的正方形的面积。

2. 一个点绕着另一个点旋转90度，如果旋转前的两点距离是10cm，求旋转后的两点距离。

3. 一个三角形绕着它的一个顶点旋转180度，求旋转后的三角形的周长。

人教版九年级数学上册《旋转》单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、如图所示，下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（）。

A、30°B、60°C、90°D、150°2、平面直角坐标系内一点（-3，4）关于原点对称点的坐标是（）A、（3，4）B、（-3，-4 ）C、（3，-4）D、（4，-3)3、如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（）A、顺时针旋转90°B、逆时针旋转90°C、顺时针旋转45°D、逆时针旋转45°4、如下图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C ，连结AC并延长到D ，使CD＝CA ，连结BC并延长到E ，使CE＝CB ，连结DE ， A、B的距离为（）A、线段AC的长度B、线段BC的长度C、线段DE长度D、无法判断5、如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（）A、3B、1.5C、D、6、已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限7、（2016春•无锡校级月考）已知点A（1，x）和点B（y，2）关于原点对称，则一定有（）A、x=﹣2，y=﹣1B、x=2，y=﹣1C、x=﹣2，y=1D、x=2，y=18、有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）A、图①B、图②C、图③D、图④9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A、70°B、80°C、60°D、50°10、如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（）A、（2，1）B、（﹣2，1）C、（﹣2，﹣1）D、（2，﹣l）二、填空题（共8题；共25分）11、已知点P（﹣b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称，则a=________ ，b=________ ．12、如图，在直角坐标系中，点Ａ在y轴上，△OAB是等腰直角三角形，斜边OA=2，将△OAB 绕点O逆时针旋转90°得△，则点的坐标为________13、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=________ ．14、如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC的度数是________．15、如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是________．16、如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为________．17、如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为________．18、有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为________．三、解答题（共5题；共35分）19、如下图所示，利用关于原点对称的点的坐标特征，作出与线段AB关于原点对称的图形．20、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．⑴画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1；⑵如果建立平面直角坐标系，使点B的坐标为（－5，2），点C的坐标为（－2，2），求点A1的坐标；⑶将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并求线段BC扫过的面积.21、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C （1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．22、如图，将其补全，使其成为中心对称图形．23、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90゜，得到△A′B′C′，画图，并写出点A的对应点A′的坐标及B点的对应点B′的坐标．四、综合题（共1题；共10分）24、（2012•贺州）如图，△ABC的三个顶点都在格点上，每个小方格边长均为1个单位长度，建立如图坐标系．(1)请你作出△ABC关于点A成中心对称的△AB1C1（其中B的对称点是B1， C的对称点是C1），并写出点B1、C1的坐标．(2)依次连接BC1、C1B1、B1C．猜想四边形BC1B1C是什么特殊四边形？并说明理由．参考答案一、单选题1、【答案】 B【考点】利用旋转设计图案【解析】【解答】设每次旋转角度x°，则6x=360，解得x=60，∴每次旋转角度是60°，故选B.【分析】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．根据所给出的图，6个角正好构成一个周角，且6个角都相等，即可得到结果．2、【答案】 C【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答，故平面直角坐标系内一点P（-3，4)关于原点对称点的坐标（3，-4).【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键。

人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1.将下面图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )A. B. C. D.2.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案,你认为符合条件的是( )A. 等腰三角形B. 正三角形C. 等腰梯形D. 菱形3.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D4.如图,把矩形OABC放在直角坐标系中,OC在x轴上,OA在y轴上,且OC=2,OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′,则B′的坐标为( )A. (2,4)B. (-2,4)C. (4,2)D. (2,-4)5.将点P(-2,3)向右平移3个单位得到点P1,点P2与点P1关于原点对称,则P2的坐标是( )A. (-5,-3)B. (1,-3)C. (-1,-3)D. (5,-3)6.在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C′使得点A′恰好落在AB 上,则旋转角度为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°8.如图,在矩形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针绕点A旋转到△AEF(A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF的长为( )A. B. 5 C. 7 D.9.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( )A. (-a,-b)B. (-a,-b-1)C. (-a,-b+1)D. (-a,-b-2)10.如图,在△ABC中,∠CAB=70°．在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,那么∠BAB′的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°二、填空题11.如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过____次旋转而得到的,每一次旋转____度．12.如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若是由绕点O按顺时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为__．13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′,使得点A′恰好落在AB上,连接BB′,则BB′的长度为_____．14.如图,△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD,若∠A=110°,∠D=40°,则∠的度数是_______15.已知点P(a,-3)和Q(4,b)关于原点对称,则=_____．16.如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是________．17.如图,在等边△ABC中,D是AC边上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=10,BD=9,则△AED的周长是______．18.如图所示,两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG,O是正方形ABCD的对称中心,则图中阴影部分的面积为_______cm2．三、解答题19. 如图所示,正方形ABCD中,E是CD上一点,F在CB的延长线上,且DE=BF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合,旋转中心是什么？20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线．(1)画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)找出与AC相等的线段；(3)探究：△ABC中AB与AC的和与中线AD之间有何大小关系？并说明理由．(4)若AB=5,AC=3,求线段AD的长度范围．21.如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕点P顺时针旋转60°后,恰好点D与点A重合,得到△PEA,连接EB,问：△ABE是什么特殊三角形？请说明理由．22.如图,把一副三角板如图①放置,其中,∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)．(1)求∠OFE1的度数；(2)求线段AD1的长．23.在△AOB中,C,D分别是OA、OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．如图,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点．求证：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．24.平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时(如图①),易证：AF+BF=2CE；当三角板绕点A顺时针旋转至图②、图③的位置时,上述结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,请直接写出你的猜想,不需证明．参考答案一、选择题1.将下面图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据旋转的意义,找出图中眼,眉毛,嘴5个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．【详解】根据旋转的意义,图片按顺时针方向旋转90度,即正立状态转为顺时针的横向状态,从而可确定为A 图．故选A．【点睛】本题考查了图形的旋转变化,学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转,旋转多少度,难度不大,但易错．2.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案,你认为符合条件的是( )A. 等腰三角形B. 正三角形C. 等腰梯形D. 菱形【答案】D【解析】等腰三角形是轴对称图形,正三角形是轴对称图形,等腰梯形是轴对称图形,菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,故选D.3.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】B【解析】试题分析:旋转对称图形是指：把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后,与初始的图形重合,这种图形就叫旋转对称图形,这个定点就叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角.按照定义的要求旋转角度=360°/n.A选项中旋转的角度是0°,不成立；B项旋转角度是90°,则n=4,所以符合题目,故选B；C选项中,旋转不成立；D项旋转角度得出n不为整数,所以也不成立.考点：本题考查旋转对称图形,要掌握图形变换的知识.点评：本题难度较大,主要是空间立体要求严格.4.如图,把矩形OABC放在直角坐标系中,OC在x轴上,OA在y轴上,且OC=2,OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′,则B′的坐标为( )A. (2,4)B. (-2,4)C. (4,2)D. (2,-4)【答案】C【解析】【分析】根据矩形的特点和旋转的性质来解决．【详解】如图,矩形的对边相等,B′C′=OA=4,A′B′=OC=2,∴点B′的坐标为(4,2)故选C．【点睛】需注意旋转前后线段的长度不变,第一象限内点的符号为(+,+)．5.将点P(-2,3)向右平移3个单位得到点P1,点P2与点P1关于原点对称,则P2的坐标是( )A. (-5,-3)B. (1,-3)C. (-1,-3)D. (5,-3)【答案】C【解析】分析：点P(－2,3)向右平移3个单位得到点P1,则,点与点关于原点对称,则故选C．考点：1、关于原点对称的点的坐标；2、坐标与图形变化——平移．【此处有视频,请去附件查看】6. 在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念,中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此,通过观察发现,当涂黑②时,所形成的图形关于点A中心对称.故选B.7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C′使得点A′恰好落在AB 上,则旋转角度为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°,根据旋转的性质可得AC=A′C,然后判断出△A′AC是等边三角形,根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°,然后根据旋转角的定义即可得旋转角为60°．故选B．考点：旋转的性质．【此处有视频,请去附件查看】8.如图,在矩形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针绕点A旋转到△AEF(A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF的长为( )A. B. 5 C. 7 D.【答案】A【解析】【分析】由于△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF,显然△ADC≌△AEF,则有∠EAF=∠DAC,AF=AC,那么∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠FAC=∠BAD=90°．在Rt△ACD中,利用勾股定理可求AC,同理在Rt△FAC中,利用勾股定理可求CF．【详解】∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF,∴△ADC≌△AEF,∴∠EAF=∠DAC,AF=AC,∴∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC,∴∠FAC=∠BAD,又∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ADC=90°,∴∠FAC=90°,又∵在Rt△ADC中,AC=,∴在Rt△FAC中,CF=．故选A.【点睛】本题利用了勾股定理、全等三角形的性质等知识．9.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( )A. (-a,-b)B. (-a,-b-1)C. (-a,-b+1)D. (-a,-b-2)【答案】D【解析】【分析】设点A的坐标是(x,y),根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称,再根据中点公式列式求解即可．【详解】根据题意,点A、A′关于点C对称,设点A的坐标是(x,y),则=0, =-1,解得x=-a,y=-b-2,∴点A的坐标是(-a,-b-2)．故选D．【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化,根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称是解题的关键10.如图,在△ABC中,∠CAB=70°．在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,那么∠BAB′的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°【答案】C【解析】解：∵CC′∥AB,∠CAB=70°,∴∠C′CA=∠CAB=70°,又∵C、C′为对应点,点A为旋转中心,∴AC=AC′,即△ACC′为等腰三角形,∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=40°．故选C．二、填空题11.如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过____次旋转而得到的,每一次旋转____度．【答案】四；72【解析】解：根据题意,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点,这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过四次旋转而得到,每次旋转的度数为360°除以5,为72度．12.如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若是由绕点O按顺时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为__．【答案】90°【解析】如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,∴OB=OD,∴旋转的角度是∠BOD的大小,∵∠BOD=90°,∴旋转的角度为90°13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′,使得点A′恰好落在AB上,连接BB′,则BB′的长度为_____．【答案】.【解析】【分析】由题意可得△AA'C是等边三角形,可得旋转角为60°,可得△BCB'是等边三角形,可得∠A'BB'=90°,根据勾股定理可得BB'的长．【详解】∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm∴∠A=60°,AB=4,∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′∴A'C=60°,A'B'=4,BC=B'C,∠ACA'=∠BCB'∵AC=A'C,∠A=60°∴△ACA'是等边三角形,∴∠ACA'=60°,AA'=2∴A'B=2,∠BCB'=60°,且BC=CB'∴△BCB'是等边三角形∴∠CBB'=60°∴∠A'BB'=90°∴BB'=2【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理,关键是证△A'B'B是直角三角形．14.如图,△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD,若∠A=110°,∠D=40°,则∠的度数是_______【答案】50°【解析】试题分析：由旋转的性质知：∠B＝∠D＝40°,根据三角形内角和定理知：∠AOB＝180°－110°－40°＝30°,已知旋转角∠DOB＝80°,则∠α＝∠DOB－∠AOB＝50°．故答案为：50°．点睛：此题主要考查的是旋转的性质,同时还涉及到三角形内角和定理的运用,根据旋转的性质得出∠DOB 和∠AOB的度数是解题的关键．15.已知点P(a,-3)和Q(4,b)关于原点对称,则=_____．【答案】1【解析】【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】∵点P(a,-3)和Q(4,b)关于原点对称,∴a=-4,b=3,∴(a+b)2010=(-1)2010=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点,比较简单．16.如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是________．【答案】(7,3)【解析】令x=0得y=2,则OB=2,令y=0得,x=1,则OA=1,由旋转的性质可知：O′A=1,O′B′=2．则点B′(3,1)．故答案为：(3,1)．点睛：本题考查坐标与图形变化-旋转、30度的直角三角形的性质等知识,解题的关键是从特殊到一般探究规律,发现规律,利用规律解决问题.图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.17.如图,在等边△ABC中,D是AC边上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=10,BD=9,则△AED的周长是______．【答案】19．【解析】试题分析：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE∴△BDC≌△BAE∴BE=BD,∠DBE=60°,AE=CD∴△DBE是等边三角形∴DE=BD=9∴△AED的周长=DE+AD+AE=DE+AC=19考点：1、旋转的性质；2、等边三角形的性质18.如图所示,两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG,O是正方形ABCD的对称中心,则图中阴影部分的面积为_______cm2．【答案】4．【解析】【分析】图中阴影部分的面积不在任意的三角形中,所以需构造三角形,设BC与OE相交于M,CD与OG相交于N,连接OC、OB,则易证△OCN≌△OBM,则阴影部分的面积为△OBC的面积．【详解】设BC与OE相交于M,CD与OG相交于N,连接OC、OB,∵正方形ABCD与正方形OEFG的边长均为4cm∴OB=OC=2cm在△OCN和△OBM中,OB=OC,∠OCN=∠OBM=45°,∠CON=∠BOM∴△OCN≌△OBM,∵O是正方形ABCD的对称中心,△OCB的高等于正方形边长的一半,∴S阴影=S△OBC=S正方形=4cm2．故答案为4．【点睛】把阴影部分的面积转化成三角形的面积是解题的关键．三、解答题19. 如图所示,正方形ABCD中,E是CD上一点,F在CB的延长线上,且DE=BF．(1)求证：△ADE≌△AB F；(2)问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合,旋转中心是什么？【答案】解：(1)证明：在正方形ABCD中,∠D=∠ABC=90°,∴∠ABF=90°.∴∠D=∠ABF=90°.又∵DE=BF,AD=AB,∴△ADE≌△ABF(SAS).(2)将△ADE顺时针旋转90后与△ABF重合,旋转中心是点A.【解析】试题分析：(1)根据SAS定理,即可证明两三角形全等.(2)将△ADE顺时针旋转后与△ABF重合,A不变,因而旋转中心是A,∠DAB是旋转角,是90度.20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线．(1)画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)找出与AC相等的线段；(3)探究：△ABC中AB与AC的和与中线AD之间有何大小关系？并说明理由．(4)若AB=5,AC=3,求线段AD的长度范围．【答案】(1)△A′BD即为所求(2)A′B=AC(3)AB+AC＞2AD(4)1＜AD＜4.【解析】【试题分析】(1)根据成中心对称的定义,延长AD到A’,使A’D=AD,点C与点B关于点D对称,连接A’B即可,△A′BD即为所求；(2)根据成中心对称的两个图形对应边相等,得A′B=AC；(3)由(2)得：AB+AC=AB+A′B,根据三角形两边之和大于第三边,得AB+A′B >AA’=2AD,即AB+AC＞2AD；(4)由(3)得,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得5-3<AA’=2AD<5+3,即2＜2AD＜8,所以1＜AD＜4.【试题解析】(1)如图所示,△A′BD即为所求；(2)A′B=AC；(3)AB+AC＞2AD,理由：由于△A′BD与△ACD关于点D成中心对称,所以AD=A′D,AC=A′B,在△ABA′中,有AB+A′B＞AA′,即AB+AC＞AD+A′D,因此AB+AC＞2AD；(4)由(3)可得,在△ABA′中,有AB-A′B＜AA′＜AB+A′B,即AB-AC＜2AD＜AB+AC,因此有2＜2AD＜8,所以1＜AD＜4.【方法点睛】本题目是一道以成中心对称的两个图形为背景,展开研究,涉及到怎样作一个图形关于某个点的中心对称图形,成中心对称图形的性质,三角形的三边关系,涉及的知识面广,知识点多,难度较大.21.如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕点P顺时针旋转60°后,恰好点D与点A重合,得到△PEA,连接EB,问：△ABE是什么特殊三角形？请说明理由．【答案】解：△ABE是等边三角形.理由如下：……………………………………… 1分由旋转得△PAE≌△PDC∴CD=AE,PD=PA,∠1=∠2……………………3分∵∠DPA=60°∴△PDA是等边三角形…………4分∴∠3＝∠PAD＝60°.由矩形ABCD知,CD＝AB,∠CDA＝∠DAB＝90°.∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………6分∴AE＝CD＝AB,∠EAB＝∠2+∠4＝60°,∴△ABE为等边三角形…………………………7分【解析】特殊三角形有等腰三角形、等边三角形、直角三角形(等腰直角三角形),此题根据旋转的性质和矩形的性质可知是等边三角形.22.如图,把一副三角板如图①放置,其中,∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)．(1)求∠OFE1的度数；(2)求线段AD1的长．【答案】(1)120°；(2)5.【解析】【分析】(1)利用已知得出∠BCO=45°,进而根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数；(2)根据OFE1=∠B+∠1,易得∠OFE1的度数,进而得出∠4=90°,在Rt△AD1O中根据勾股定理就可以求得AD1的长．【详解】(1)如图乙所示,∠BCO=60°-15°=45°,∠BOC=180°-45°-45°=90°；(2)如图乙所示,∵∠3=15°,∠E1=90°,∴∠1=∠2=75°,又∵∠B=45°,∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°；∴∠D1FO=60°,∵∠CD1E1=30°,∴∠4=90°,又∵AC=BC,∠A=45°即△ABC是等腰直角三角形．∴OA=OB=AB=3cm,∵∠ACB=90°,∴CO=AB=×6=3(cm),又∵CD1=7(cm),∴OD1=CD1-OC=7-3=4(cm),在Rt△AD1O中,AD1=(cm)【点睛】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质,能熟练应用勾股定理,并且掌握旋转前后的两个图形完全相等．23.在△AOB中,C,D分别是OA、OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．如图,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点．求证：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由旋转的性质得出OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,证出OC′=OD′,由SAS证明△AOC′≌△BOD′,得出对应边相等即可；(2)由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°,即可得出结论【详解】(1)∵将△OCD绕点O顺时针旋转到△,∴OC=,OD=,∠=∠．∵OA=OB,C、D为OA,OB的中点,∴OC=OD,∴．在△和△中,,∴△≌△,∴=．(2)延长交于E,交BO于F．∵△≌△,∴∠．又∠AFO=∠BFE,∠,∴∠．∴∠BEA=,∴⊥．【点睛】题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键．24.平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时(如图①),易证：AF+BF=2CE；当三角板绕点A顺时针旋转至图②、图③的位置时,上述结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,请直接写出你的猜想,不需证明．【答案】图2成立过点C作CD⊥BF,交FB的延长线于点D证出△AEC≌△BDC,∴CE＝CD,AE＝BD证出四边形CEFD是正方形,∴CE＝EF＝DF∴AF＋BF＝AE＋EF＋DF－BD,AF＋BF＝2CE图3不成立应为AF－BF＝2CE【解析】【分析】过B作BH⊥CE与点H,易证△ACE≌△CBH,根据全等三角形的对应边相等,即可证得AF+BF=2CE．【详解】图2,AF+BF=2CE仍成立,证明：过B作BH⊥CE于点H,∵∠BCH+∠ACE=90°,又∵在直角△ACE中,∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCH,又∵AC=BC,∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE,BF=HE,CE=BH,∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．图3中,过点C作CG⊥BF,交BF延长线于点G,∵AC=BC,可得∠AEC=∠CGB,∠ACE=∠BCG,∴△CBG≌△CAE,∴AE=BG,∵AF=AE+EF,∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF,∴AF-BF=2CE．【点睛】正确作出垂线,构造全等三角形是解决本题的关键．。

九年级上册数学《旋转》单元测试卷（满分120分,考试用时120分钟）一、单选题1．如图,将△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转100°,得到△A B 1C 1,若点B 1在线段B C 的延长线上,则∠B BC 1的大小为( )1A ．70°B ．80°C ．84°D ．86°2．点P（3,5）关于原点对称的点的坐标是（）A ．（﹣3,5）B ．（3,﹣5）C ．（5,3）D ．（﹣3,﹣5）3．观察下列四个图形．其中两个三角形的组合方式与另外三个不同的是（）A ．B ．C ．D ．4．正方形ABCD中的顶点A在平面坐标系中的坐标为()1,1,若将正方形ABCD绕着原点O按逆时针旋转135．则旋转后的点A坐标为（）A ．(-1, 1)B ．(1, -1)C ．(0, -D ．(-5．下列“数字图形”中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图,正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上,点()5,3D 在边AB 上,以C 为中心,把CDB △旋转90︒,则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-7．下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是（ ）A ．对应线段与对应角不变B ．图形的大小不变C ．图形的形状不变D ．对应线段平行8．根据指令[],(0,0360)s A s A ≥≤<机器人在平面上能完成如下动作：先在原地顺时针旋转角度A ,再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点,且面对y 轴的负方向,为使其移动到点()3,0-,应下的指令是（ ） A ． 3,90?⎡⎤⎣⎦ B ． 90,3⎡⎤⎣⎦ C ． 3,90⎡⎤-⎣⎦ D ． 3,270⎡⎤⎣⎦9．下列关于等腰三角形的叙述错误的是( )A ．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合C ．等腰三角形的三边相等D ．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形10．如图,Rt △A B C 中,∠A C B =90°,A C =4,将斜边A B 绕点A 逆时针旋转90°至A B ′．连接B 'C ,则△AB 'C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．1011．如图,点E 是正方形A B C D 的边D C 上一点,把△A D E 绕点A 顺时针旋转90°到△A B F 的位置,若四边形A EC F 的面积为25,D E=3,则A E 的长为( )A B ．5 C ．8 D ．412．如图,Rt ABC 中,C 90∠=,A 60∠=,AC 6=,以斜边AB 的中点D 为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90得到Rt A'B'C',则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（ ）A ．6B ．9C ．D ．二、填空题 13．如图,把一个直角三角尺A C B 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转,使得点A 与C B 的延长线上的点E 重合连接C D ,则∠B D C 的度数为_____度．14．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A ,1）,将OA 绕原点逆时针方向旋转90°得OB ,则点B 的坐标为_____．15．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系,三颗棋子A ,O,B 的位置如图所示,它们的坐标分别是（﹣1,1）,（0,0）和（1,0）,在其他点位置添加一颗棋子P,使A ,O,B ,P 四颗棋子成为一个中心对称图形,请写出棋子P 的位置坐标_____（写出1 个即可）．16．如图,在△B D E中,∠B D E=90°,点D 的坐标是(5,0),∠B D O=15°,将△B D E旋转到△A B C 的位置,点C 在B D 上,则旋转中心的坐标为_______ .三、解答题17．如图,P是正ABC内的一点,若将PAC绕点A逆时针旋转到P'AB,（1）求PAP'∠的度数．（2）若AP 3=,BP 4=,PC 5=,求PAB ∠的度数．18．如图,ABC 的顶点坐标分别为()A 2,2-,()B 4,4,()C 1,2．将ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90,得到A B C '''（A '、B '、C '分别为A 、B 、C 的对应点）,在坐标系中画出A B C ''',并写出A '、B '、C '三点的坐标．19．如图1,ABC 中,C 90∠=,BC 3=,AC 4=,AB 5=,将ABC 绕着点B 旋转一定的角度,得到DEB .（1）若点F 为AB 边上中点,连接EF ,则线段EF 的范围为________.（2）如图2,当DEB 直角顶点E 在AB 边上时,延长DE ,交AC 边于点G ,请问线段DE 、EG 、AG 具有怎样的数量关系,请写出探索过程．20．如图,四边形A B C D 是正方形,△A D F 绕着点A 顺时旋转90°得到△A B E ,若A F ＝4,A B ＝7． （1）求D E 的长度；（2）指出B E 与D F 的关系如何？并说明由．21．如图,已知点A ,B 的坐标分别为（4,0）,（3,2）．（1）画出△A OB 关于原点O对称的图形△C OD ；（2）将△A OB 绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF,画出△EOF；（3）点D 的坐标是,点F的坐标是,此图中线段B F和D F的关系是．22．如图①,在Rt ABC 中,90C ∠=．将ABC 绕点C 逆时针旋转得到''A B C ,旋转角为α,且0180α<<．在旋转过程中,点'B 可以恰好落在AB 的中点处,如图②．()1求A ∠的度数；()2当点C 到'AA 的距离等于AC 的一半时,求α的度数．23．在Rt △A B C 中,∠A C B =90°,点D 是斜边A B 上一动点（点D 与点A 、B 不重合）,连接C D ,将C D 绕点C 顺时针旋转90°得到C E,连接A E,D E ．（1）求△A D E 的周长的最小值；（2）若C D =4,求A E 的长度．24．两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置,直角顶点重合在点O 处,25AB =,17CD =．保持纸片AOB 不动,将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)αα<<角度,如图2所示．()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥；()2当BD 与CD 在同一直线上（如图3）时,求AC 的长和α的正弦值．参考答案一、单选题1．如图,将△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转100°,得到△A B 1C 1,若点B 1在线段B C 的延长线上,则∠B BC 1的大小为( )1A ．70°B ．80°C ．84°D ．86°[答案]B[解析][分析]由旋转的性质可知∠B ＝∠A B 1C 1,A B ＝A B 1,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠B B 1A ＝∠A B 1C 1＝40°,从而可求得∠B B 1C 1＝80°.[详解]由旋转的性质可知：∠B ＝∠A B 1C 1,A B ＝A B 1,∠B A B 1＝100°.∵A B ＝A B 1,∠B A B 1＝100°,∴∠B ＝∠B B 1A ＝40°.∴∠A B 1C 1＝40°.∴∠B B 1C 1＝∠B B 1A +∠A B 1C 1＝40°+40°＝80°.故选：B .[点评]本题主要考查的是旋转的性质,由旋转的性质得到△A B B 1为等腰三角形是解题的关键.2．点P（3,5）关于原点对称的点的坐标是（）A ．（﹣3,5）B ．（3,﹣5）C ．（5,3）D ．（﹣3,﹣5）[答案]D[解析][分析]根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时,横纵坐标的坐标符号均相反,根据这一特征求出对称点坐标．[详解]解：点P（3,5）关于原点对称的点的坐标是（-3,-5）,故选D ．[点评]本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握点的变化规律．3．观察下列四个图形．其中两个三角形的组合方式与另外三个不同的是（）A ．B ．C ．D ．[答案]C[解析][分析]根据两三角形的位置关系确定几何变换类型,继而得出答案．[详解]A 、图形通过旋转得到；B 、图形通过旋转得到；C 、图形通过平移得到；D 、图形通过旋转得到；故选：C ．[点评]本题考查了几何变换的类型,属于基础题,关键是掌握几种几何变换的特点．4．正方形中的顶点在平面坐标系中的坐标为,若将正方形绕着原点按逆时针旋转．则旋转后的点坐标为（ ）A ．(-1, 1)B ．(1, -1)C ．(0, -)D ．(-, 0)[答案]D[解析][分析]根据旋转中心为原点,旋转方向逆时针,旋转角度135°,作出点A 的对称图形A ′,求得OA 的长度,也就求得了OA ′的长度,可得所求点的坐标．[详解]如图：∵∴OA ′=O,∴A ′（,0）．故选：D ．[点评]本题考查了由图形旋转得到相应坐标,根据旋转中心,旋转方向及角度得到相应图形是解决本题的关键． 5．下列“数字图形”中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有（ ）ABCD A ()1,1ABCD O 135AA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案]B[解析][分析] 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解．[详解]解：第一个图形不是轴对称图形,是中心对称图形；第二、三个图形是轴对称图形,也是中心对称图形,第四个图形不是轴对称图形,不是中心对称图形；故选：B ．[点评]此题考查中心对称图形,轴对称图形,解题关键在于对概念的掌握6．如图,正方形的两边、分别在轴、轴上,点在边上,以为中心,把旋转,则旋转后点的对应点的坐标是( )A ．B ．C ．或D ．或[答案]COABC OA OC x y ()5,3D AB C CDB △90︒D 'D ()2,10()2,0-()2,10()2,0-()10, 2()2,0-[解析][分析]先根据正方形的性质求出B D 、B C 的长,再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况,然后分别根据旋转的性质求解即可得．[详解]四边形OA B C 是正方形,由题意,分以下两种情况：（1）如图,把逆时针旋转,此时旋转后点B 的对应点落在y 轴上,旋转后点D 的对应点落在第一象限由旋转的性质得：点的坐标为（2）如图,把顺时针旋转,此时旋转后点B 的对应点与原点O 重合,旋转后点D 的对应点落在x 轴负半轴上由旋转的性质得：点的坐标为综上,旋转后点D 的对应点的坐标为或故选：C ．(5,3)D 5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒CDB △90︒B 'D 2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴D (2,10)CDB △90︒B ''D ''2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴D ''(2,0)-D (2,10)(2,0)-[点评]本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点,依据题意,正确分两种情况讨论是解题关键． 7．下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是（ ）A ．对应线段与对应角不变B ．图形的大小不变C ．图形的形状不变D ．对应线段平行 [答案]D[解析][分析]根据三种变换得到的图形都与原图形全等,进行分析．[详解]解：根据平移、旋转和轴对称的基本性质,知A . B . C 都是正确的；D . 在旋转中,对应线段不一定平行,故错误.故选D .[点评]本题主要考查几何变换的类型,熟悉掌握是关键.8．根据指令机器人在平面上能完成如下动作：先在原地顺时针旋转角度,再朝其面对的方向沿直线行走距离．现在机器人在平面直角坐标系的原点,且面对轴的负方向,为使其移动到点,应下的指令是（ ）[],(0,0360)s A s A ≥≤<A s y ()3,0-A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析][分析] 若顺时针旋转90°,则机器人面对x 轴负方向,根据向x 轴负半轴走3个单位可得相应坐标． [详解]解：根据点(0,0)到点(−3,0),即可知机器人先顺时针转动,再向左平移3个单位,于是应下指令为[3,].故选A .[点评]本题主要考查坐标与图形变化-旋转,熟悉掌握是关键.9．下列关于等腰三角形的叙述错误的是( )A ．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合C ．等腰三角形的三边相等D ．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形[答案]C[解析][分析]直接利用等腰三角形的性质分别分析得出答案．[详解]A 、等腰三角形两底角相等,正确,不合题意；B 、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合,正确,不合题意；3,90?⎡⎤⎣⎦ 90,3⎡⎤⎣⎦ 3,90⎡⎤-⎣⎦ 3,270⎡⎤⎣⎦9090C 、等腰三角形的三边相等,错误,符合题意；D 、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形,正确,不合题意；故选：C ．[点评]此题主要考查了等腰三角形的性质,正确掌握等腰三角形的性质是解题关键．10．如图,Rt△A B C 中,∠A C B =90°,A C =4,将斜边A B 绕点A 逆时针旋转90°至A B ′．连接B 'C ,则△A B 'C 的面积为()A ．4B ．6C ．8D ．10[答案]C[解析][分析]过点B '作B 'E⊥A C 于点E,由题意可证△A B C ≌△B 'A E,可得A C ＝B 'E＝4,即可求△A B 'C 的面积．[详解]如图：过点B '作B 'E⊥A C 于点E∵旋转∴A B ＝A B ',∠B A B '＝90°∴∠B A C +∠B 'A C ＝90°,且∠B 'A C +∠A B 'E ＝90°∴∠B A C ＝∠A B 'E ,且∠A EB '＝∠A C B ＝90°,A B ＝A B '∴△A B C ≌△B 'A E （A A S ）∴A C ＝B 'E ＝4∴S △A B 'C ＝×A C ×B 'E ＝×4×4＝8 故选C ．[点评]本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,熟练运用旋转的性质是解决本题的关键． 11．如图,点E 是正方形A B C D 的边D C 上一点,把△A D E 绕点A 顺时针旋转90°到△A B F 的位置,若四边形A EC F 的面积为25,D E=3,则A E 的长为( )AB ．5C ．8D ．4[答案]A[解析][分析] 利用旋转的性质得出四边形A EC F 的面积等于正方形A B C D 的面积,进而可求出正方形的边长,再利用勾股定理得出答案．[详解]把顺时针旋转的位置,1212ADE ABF四边形A EC F 的面积等于正方形A B C D 的面积等于25,,,中,．故选A ．[点评]此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质,正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 12．如图,中,,,,以斜边的中点为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转得到,则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．[答案]B[解析][分析] 如图,先计算出A B =2A C =12,根据中点定义则可得B D =6,根据旋转的性质可得 D =B D =6,在Rt △B D M 中,可求得D M 、B M 的长,从而可求得B ′M 的长,然后在Rt △B ′MN 中求出MN 的长,继而求得B N 的长,在Rt △B NG 中求出B N 的长,然后利用S 阴影=S △B NG -S △B MD 进行计算即可得.[详解]如图,∵∠C =90°,∠A =60°,A C =6, ∴A B =2A C =12,∠B =30°,∵点D 为A B 的中点,∴AD DC 5∴==DE 3=Rt ADE ∴AE ===Rt ABC C 90∠=A 60∠=AC 6=AB D 90Rt A'B'C'69B'∴B D =6,∵△A B C 绕点D 按逆时针方向旋转得到, ∴ D =B D =6,在Rt △B D M 中,∠B =30°,∠B D M=90°, ∴B M=2D M,B D 2+D M 2=B M 2, ∴D M=∴B ′M=B′D -D M=6-在Rt △B ′MN 中,∠B ′=30°, ∴MN= B ′M=3∴, 在Rt △B NG 中,B G=2NG,B G 2=NG 2+B N 2, ∴∴S 阴影=S △B NG-S △B MD ==9, 故选B .[点评]本题考查了旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等,熟练掌握旋转90RtA'B'C'B'12((1133622⨯+⨯+-⨯的性质是解题的关键.二、填空题13．如图,把一个直角三角尺A C B 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转,使得点A 与C B 的延长线上的点E 重合连接C D ,则∠B D C 的度数为_____度．[答案]15[解析][分析]根据△EB D 由△A B C 旋转而成,得到△A B C ≌△EB D ,则B C ＝B D ,∠EB D ＝∠A B C ＝30°,则有∠B D C ＝∠B C D ,∠D B C ＝180﹣30°＝150°,化简计算即可得出. [详解]解：∵△EB D 由△A B C 旋转而成,∴△A B C ≌△EB D ,∴B C ＝B D ,∠EB D ＝∠A B C ＝30°,∴∠B D C ＝∠B C D ,∠D B C ＝180﹣30°＝150°, ∴； 故答案为：15．[点评]此题考查旋转的性质,即图形旋转后与原图形全等．14．在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A）,将OA 绕原点逆时针方向旋转90°得OB ,则点B 的坐标为_____． 15BDC ∠=︒()1180150152BDC BCD ∠=∠=︒-︒=︒[答案]（﹣[解析][分析]根据旋转的性质可知△OC A ≌△OD B ,进而得即可解题. [详解]解：如下图,由旋转的性质可知,△OC A ≌△OD B ,∵A）,∴∴∴B 的坐标为（﹣[点评]本题考查了图形的旋转,属于简单题,熟悉概念是解题关键.15．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系,三颗棋子 A ,O,B 的位置如图所示,它们的坐标分别是（﹣1,1）,（0,0）和（1,0）,在其他点位置添加一颗棋子 P,使 A ,O,B ,P 四颗棋子成为一个中心对称图形,请写出棋子 P 的位置坐标_____（写出 1 个即可）．[答案]（0,1）．[解析][分析]直接利用中心对称图形的性质得出答案．[详解]如图所示：点P （0,1）答案不唯一．故答案为：（0,1）．[点评]此题主要考查了中心对称图形的性质,正确把握定义是解题关键．16．如图,在△B D E 中,∠B D E=90°,点D 的坐标是(5,0),∠B D O=15°,将△B D E 旋转到△A B C 的位置,点C 在B D 上,则旋转中心的坐标为_______ .[答案[解析][分析]根据旋转的性质,A B 与B D 的垂直平分线的交点即为旋转中心P,连接PD ,过P 作PF ⊥x轴于F,再根据点C在B D 上确定出∠PD B =45°并求出PD 的长,然后求出∠PD O=60°,根据直角三角形两锐角互余求出∠D PF=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得D F=PD ,利用勾股定理列式求出PF,再求出OF,即可得到点P,即旋转中心的坐标．[详解]如图,A B 与B D 的垂直平分线的交点即为旋转中心P,连接PD ,过P 作PF ⊥x 轴于F,∵点C 在B D 上,∴点P 到A B 、B D 的距离相等,都是 B D ,即×, ∴∠PD B =45°,121212=4, ∵∠B D O=15°, ∴∠PD O=45°+15°=60°,∴∠D PF=30°,∴D F=PD =×4=2, ∵点D的坐标是（5,0）,∴OF=OD -D F=5-2=3,由勾股定理得∴旋转中心的坐标为（．故答案为：（． [点评]本题考查了坐标与图形变化-旋转,熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含有30°角的直角三角形是解题的关键．三、解答题17．如图,是正内的一点,若将绕点逆时针旋转到, （1）求的度数． （2）若,,,求的度数．[答案]（1）；（2）.1212P ABC PAC A P'AB PAP'∠AP 3=BP 4=PC 5=PAB ∠PAP'60∠=APB 150∠=[解析][分析]（1）根据旋转的性质,找出∠PA P′=∠B A C ,根据等边三角形的性质,即可解答；（2）连接PP′,根据旋转的性质及已知可得到△A PP′是等边三角形,△B PP′是直角三角形,从而求得答案．[详解]如图,根据旋转的性质得,,∵是等边三角形,∴,∴；如图,连接,由旋转可知：,所以,,又∵,∴,()1PAP'BAC ∠∠=ABC BAC 60∠=PAP'60∠=()2PP 'P AB PAC ≅'CAP BAP ∠∠'=AP AP 3='=CP BP 5='=CAP PAB 60∠∠+=P AP BAP BAP 60∠∠∠=+=''∴是等边三角形,∴,∴,∵,∴,∴是直角三角形,∴∴．[点评]本题考查旋转的性质．旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．18．如图,的顶点坐标分别为,,．将绕坐标原点逆时针旋转,得到（、、分别为、、的对应点）,在坐标系中画出,并写出、、三点的坐标．[答案],,,画图见解析.[解析][分析]根据点的坐标的特点可知,点A 在第四象限的平分线上,所以绕点O 逆时针旋转90°在第一象限的平分线上,点B 在第一象限的平分线上,所以绕点O 逆时针旋转90°后在第二象限的平分线上,分别求出点A ′,B ′的坐标,然后再找出点C 旋转后的点C ′,顺次连接即可．P AP 'AP AP PP 3=='='APP 60∠'=222345+=222P P PB P B '='+P PB 'P PB 90∠'=APB P PB APP 150∠∠∠=+=''ABC ()A 2,2-()B 4,4()C 1,2ABC O 90A B C '''A 'B 'C 'A B C A B C '''A 'B 'C'()A 2,2'()B 4,4'-()C 2,1'-[详解]∵,,,∴,,．画图[点评]本题考查旋转变换作图,做这类题的关键是按要求旋转后找对应点,然后顺次连接．19．如图,中,,,,,将绕着点旋转一定的角度,得到 .（1）若点为边上中点,连接,则线段的范围为________.（2）如图,当直角顶点在边上时,延长,交边于点,请问线段、、具有怎样的数量关系,请写出探索过程．[答案]（1）；（2）A G+EG=D E,理由见解析.[解析][分析]（1）图1中,利用旋转的性质得B E=B C =3,再根据三角形三边的关系得B E-B F≤EF≤B E+B F （当且仅当B 、()A 2,2-()B 4,4()C 1,2()A 2,2'()B 4,4'-()C 2,1'-1ABC C 90∠=BC 3=AC 4=AB 5=ABC B DEB F AB EF EF 2DEB E AB DE AC G DE EGAG 0.5EF 5.5≤≤E 、F 共线时取等号）,从而得到线段EF 的范围；（2）图2中,利用旋转的性质得B E=B C =3,B D =B A =5,D E=AC =4,∠A =∠D ,再判断△A GE ∽△D EB ,然后利用相似比计算出A G 、EG,从而可得到线段D E 、EG 、A G 的数量关系．[详解]（1）∵点F 为A B 边上中点,∴B F=2.5,∵△A B C 绕着点B 旋转一定的角度得到△D EB ,∴B E=B C =3,∵B E-B F≤EF≤B E+B F （当且仅当B 、E 、F 共线时取等号）,∴0.5≤EF≤5.5,故答案为0.5≤EF≤5.5；（2）．理由如下：∵绕着点旋转一定的角度得到,∴,,,,∴,∵,,∴,∴,即, ∴,,∴,AG EG DE +=ABC B DE BE BC 3==BD BA 5==DE AC 4==A D ∠∠=AE AB BE 2=-=A D ∠∠=AEG BED ∠∠=AGE DEB ∽AG EG AE BD BE DE ==AG EG 2534==AG 2.5=EG 1.5=AG EG 4+=∴．[点评]本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．20．如图,四边形A B C D 是正方形,△A D F 绕着点A 顺时旋转90°得到△A B E ,若A F ＝4,A B ＝7． （1）求D E 的长度；（2）指出B E 与D F 的关系如何？并说明由．[答案]（1）3；（2）B E ＝D F ,B E ⊥D F ．[解析][分析]（1）根据旋转的性质可得A E ＝A F ,A D ＝A B ,然后根据D E ＝A D ﹣A E 计算即可得解；（2）根据旋转可得△A B E 和△A D F 全等,根据全等三角形对应边相等可得B E ＝D F ,全等三角形对应角相等可得∠A B E ＝∠A D F ,然后求出∠A B E +∠F ＝90°,判断出B E ⊥D F ． [详解]解：（1）∵△A D F 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A B E ,∴A E ＝A F ＝4,A D ＝A B ＝7,∴D E ＝A D ﹣A E ＝7﹣4＝3；（2）B E 、D F 的关系为：B E ＝D F ,B E ⊥D F ．理由如下：∵△A D F 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A B E ,∴△A B E ≌△A D F , AG EG DE +=∴B E＝D F,∠A B E＝∠A D F,∵∠A D F+∠F＝180°﹣90°＝90°,∴∠A B E+∠F＝90°,∴B E⊥D F,∴B E、D F的关系为：B E＝D F,B E⊥D F．[点评]考查了旋转的性质,正方形的性质,是基础题,熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．21．如图,已知点A ,B 的坐标分别为（4,0）,（3,2）．（1）画出△A OB 关于原点O对称的图形△C OD ；（2）将△A OB 绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF,画出△EOF；（3）点D 的坐标是,点F的坐标是,此图中线段B F和D F的关系是．[答案]（1）见解析；（2）见解析；（3）D （﹣3,﹣2）,F（﹣2,3）,垂直且相等[解析][分析]（1）分别延长B O,A O到占D ,C ,使D O=B O,C O=A O,再顺次连接成△C OD 即可；（2）将A ,B 绕点O按逆时针方向旋转90°得到对应点E,F,再顺次连接即可得出△EOF；（3）利用图象即可得出点的坐标,以及线段B F和D F的关系．[详解]（1）如图所示：（2）如图所示：（3）结合图象即可得出：D （﹣3,﹣2）,F （﹣2,3）,线段B F 和D F 的关系是：垂直且相等．[点评]此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质,难度不大,注意掌握解答此类题目的关键步骤． 22．如图①,在中,．将绕点逆时针旋转得到,旋转角为,且．在旋转过程中,点可以恰好落在的中点处,如图②．求的度数；当点到的距离等于的一半时,求的度数．[答案](1)；(2)．[解析][分析]Rt ABC 90C ∠=ABC C ''A B C α0180α<<'BAB ()1A ∠()2C 'AA AC α 30A ∠= 120α=（1）利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△C B B ′是等边三角形,进而得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出sin ∠C A D =,即可得出∠C A D =30°,进而得出α的度数． [详解]将绕点逆时针旋转得到,旋转角为,∴∵点可以恰好落在的中点处,∴点是的中点．∵,∴, ∴,即是等边三角形．∴．∵,∴；如图,过点作于点,点到的距离等于的一半,即． 在中,,, ∴,∵, 12CD AC =()1ABC C ''A B C α'CB CB ='B AB 'B AB 90ACB ∠=1''2CB AB BB ==''CB CB BB =='CBB 60B ∠=90ACB ∠=30A ∠=()2C 'CD AA ⊥D C 'AA AC 12CD AC =Rt ADC 90ADC ∠=1sin 2CD CAD AC ∠==30CAD ∠='CA CA =∴．∴,即．[点评]考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识,解题关键是正确掌握直角三角形的性质． 23．在Rt △A B C 中,∠A C B =90°,点D 是斜边A B 上一动点（点D 与点A 、B不重合）,连接C D ,将C D绕点C 顺时针旋转90°得到C E,连接A E,D E ．（1）求△A D E 的周长的最小值；（2）若C D =4,求A E 的长度．[答案]（1）6+（2）3或[解析][分析]（1）根据勾股定理得到 A C =6,根据全等三角形的性质得到A E=B D ,当D E 最小时,△A D E 的周长最小,过点C 作C F ⊥A B 于点F,于是得到结论；（2）当点D 在C F 的右侧,当点D 在C F 的左侧,根据勾股定理即可得到结论[详解]解：（1）∵在Rt △A B C 中,∠A C B =90°'30A CAD ∠=∠='120ACA ∠=120α=∴A C =6,∵∠EC D =∠A C B =90°,∴∠A C E=∠B C D ,在△A C E 与△B C D中, ,∴△A C E ≌△BCD （SA S ）, ∴A E=B D , ∴△A D E 的周长=A E+A D +D E=A B +D E,∴当D E 最小时,△A D E 的周长最小, 过点C 作C F ⊥A B 于点F,当C D ⊥A B 时,C D 最短,等于3,此时,∴△A D E 的周长的最小值是；（2）当点D 在C F 的右侧,∵C F= A B =3,C D =4, ∴∴A E=B D =B F ﹣D F=3；当点D 在C F 的左侧,同理可得,=AC BC ACE BCD CE CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩12综上所述：A E 的长度为3或[点评]本题考查旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．24．两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置,直角顶点重合在点处,,．保持纸片不动,将纸片绕点逆时针旋转角度,如图所示． 利用图证明且；当与在同一直线上（如图）时,求的长和的正弦值．[答案]（1）详见解析；（2）7,． [解析][分析] (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长,证明,得出A C =B D ,延长B D 交A C 于E,证明∠A EB =90,从而得到.(2) 如图3中,设A C =x,在Rt △A B C 中,利用勾股定理求出x,再根据sinα=sin ∠A B C =即可解决问题[详解] 证明：如图中,延长交于,交于．AOB COD 1O 25AB =17CD =AOB COD O (090)αα<<2()12AC BD =AC BD ⊥()2BD CD 3AC α725AOC BOD ≅︒BD AC ⊥AC AB()12BD OA G AC E∵,∴,在和中,,∴,∴,,∵,∵,∴,∴,∴．解：如图中,设,∵、在同一直线上,,∴是直角三角形,90AOB COD ∠=∠=AOC DOB ∠=∠AOC BOD OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOC BOD ≅AC BD =CAO DBO ∠=∠90DBO GOB ∠+∠=OGB AGE ∠=∠90CAO AGE ∠+∠=90AEG ∠=BD AC ⊥()23AC x=BD CD BD AC ⊥ABC∴,∴,解得,∵,,∴,∴． [点评]本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,利用全等三角形的性质解决问题,第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题,属于中考常考题型. 222AC BC AB +=222(17)25x x ++=7x =45ODC DBO α∠=∠+∠=45ABC DBO ∠+∠=ABC α∠=∠7sin sin 25AC ABC AB α=∠==。

第二十三章《旋转》单元检测试卷班级： 姓名：. 得分：一、选择题（每小题3分.，共36分）1. 如下图，将旋转至△Gd,则下列结论中一定成立的是（）A. AC=CEB. ZA=ZDECC. AB=CDD. BC=EC2. 如下图，将三角尺〃％（其中ZABCW , Z6^90° ）绕点〃按顺时针方向转动一个A. OC=OCB. OA=OA 5 6 7 8 9C. BC=B f CD. AABC=AA f C B f5 若点2）与点〃（一3, /〃）关于原点对称，则n —m=（ ）A. -1B. -5C. 1D. 56 下列命题中的真命题是（）（A ） 全等的两个图形是中心对称图形.（B ） 关丁•中心对称的两个图形全等.（C ） 中心对称图形都是轴对称图形.（D ） 轴对称图形都是屮心对称图形. 7. 下列图形中，是中心对称的图形有（ ）角度到力/G 的位置，使得点儿B.G 在同一条直线上，那么这个旋转角等于（ A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°3.4. 下列图形绕某点旋转180。

后， 不能与原来图形重合的是（如下图，△昇处与△才B' C 关于点0成中心对称，下列结论中不成立的是（（第2题） A （第1题）B①正方形②长方形③等边三角形④线段⑤角⑥平行四边形。

A. 5 个.2 个C. 3 个D. 4 个8. 下列选项中，能通过旋转把图日变换为图方的是（）10・在下图右侧的四个三角形中，不能由左侧的三角形经过旋转或平移得到的是（）11. 如图，边长为1的菱形血19绕点A 旋转，当〃、C 两点恰好落在扇形血沪的弧EF 上时，弧％ 12. 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，•而另枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动 的硬币滚动了（） A. 1 圈 B. 1.5圈C. 2圈 二、填空题（每小题3分，共12分）13. 若点昇（2,刃关于x 轴的对称点是Bib, 一3）,则M 的值是 _____________ o14. 将两块直角三角尺的直角顶点弟合为如图的位置，若ZA0D=110° ,则ZBOO9.下图的四个图案屮, 既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有（）A. 1个B. 2个的长度等于（）KB 、— 4 n c 、一 3D 、D. 2. 5圈 A B C DC. 3个15・如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转16. 将直角边长为5cm 的等腰直角△ ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△ ABC ,则图中阴影部分的面积是 _______ cm 2o三、解答题（共72分）17. （6分）如图，Z\ABP 是由AACE 绕A 点旋转得到的，那么ZXABP 与AACE 是什么关系？若Z BAP=40° , ZB=30° , ZPAC=20° ,求旋转角及ZCAE. ZE. ZBAE 的度数。