高考数学文二轮复习训练2-4-1选择题速解方法含解析

2024年高考数学复习各题型解答方法总结一、选择题解答方法：选择题是高考数学中常见的题型，解答时需要注意以下几点：1. 仔细阅读题目：选择题通常给出了多个选项，要在其中选择正确的答案，所以需要仔细阅读题目，理解题意。

2. 排除法：如果对某个选项确定是错误的，可以直接排除掉，这样可以缩小范围，提高解题效率。

通过排除法，可以找出正确答案。

3. 筛选法：某些选择题的选项中有多个是正确答案，这时可以通过筛选法找出所有正确答案。

首先找出其中一个正确答案，然后再观察其他选项，看是否满足条件，以确定所有正确答案。

4. 推理法：有些选择题需要通过推理来确定答案，需要将题目中给出的条件进行分析，并运用相关知识进行推理，找出正确答案。

二、填空题解答方法：填空题是高考数学中另一种常见的题型，解答时需要注意以下几点：1. 明确题目要求：填空题通常要求填入一个数值，有时也可以是一个表达式。

在填写答案前，要先弄清楚题目要求填什么。

2. 利用已知条件：填空题中常会给出一些已知条件，可以根据这些条件来确定答案。

通过将已知条件代入等式或运用相关关系，可以得到待填空的数值，或者用待填空的变量表达式表示答案。

3. 反推法：有些填空题通过反推法也可以确定答案。

通过比较题目中给出的条件和填空选项的关系，可以反推出待填空的数值或表达式。

4. 多种途径：填空题可以有多种解法，可以多角度思考和尝试。

如果一种方法无法确定答案，可以尝试其他方法，找出最适合的解答途径。

三、解答题解答方法：解答题是高考数学中相对较难的题型，解答时需要注意以下几点：1. 理清思路：解答题一般需要通过一系列的步骤来解决问题，首先要理清思路，明确步骤和方法，避免盲目性解题。

2. 规范书写：解答题需要写清楚解题过程和推理思路，并在重要的步骤和结论处用画线等方式标注出来，以便阅卷人员清晰地看到解题思路。

3. 合理估算：有些解答题中给出的数据量较大，可以通过合理估算或化简计算来简化解答过程，提高解题效率。

A 组(供高考题型为填空题的省份使用)1．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128，∴CD ＝8 2. 又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2. 答案 4 22．如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析 如图，连接CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33， ∴AF ＝AD －DF ＝233.答案 2333．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝a 2.又CD＝a2，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝a2.答案a 24.如图，已知P A，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.解析如图，连接OA，OB，∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠AOB＝120°.又P，A，O，B四点共圆，故∠APB＝60°.答案60°5．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.解析 由切割线定理知，C 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.连接OC ，又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3. 答案36．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，则线段AC 的长为________．解析 由切割线定理，得CD 2＝ BD ·AD .因为CD ＝6，AB ＝5，则36＝BD (BD ＋5)， 即BD 2＋5BD －36＝0，即(BD ＋9)(BD －4)＝0，所以BD ＝4.因为∠A ＝∠BCD ，所以△ADC ∽△CDB ，于是AC CB ＝CD BD . 所以AC ＝CD BD ·BC ＝64×3＝92. 答案 927．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为______．解析 由题意，得弦切角∠BCD ＝∠A ＝60°，∠ACB ＝∠D ＝90°，∴△ABC ∽△CBD .∴AB CB ＝AC CD ，CD ＝CB ·AC AB ＝20sin 60°×20cos 60°20＝5 3.又∵CD 与圆相切，∴CD 2＝DE ·DB ，则DE ＝CD 2DB ＝(53)2CB sin 60°＝25×320×sin 60°×sin 60°＝5.答案 58．如图，⊙O 的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交P A 于点F ，且△COF ∽△PDF ，若PB ＝OA ＝2，则PF ＝________.解析 由相交弦定理可得BF ·AF ＝DF ·CF ， 由△COF ∽△PDF 可得CF PF ＝OF DF ， 即得DF ·CF ＝PF ·OF .∴BF ·AF ＝PF ·OF ， 即(PF －2)·(6－PF )＝PF ·(4－PF )，解得PF ＝3. 答案 39．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BC AD 的值为________．解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ， ∴△PCB ∽△P AD .∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD . ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66.答案 6610.如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6， ∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝ACAD ⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24， AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.答案 2 311．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝________cm.解析 如图，连接DC ，则CD ⊥AB ，Rt △ADC ∽Rt △ACB . 故AD AC ＝AC AB ，即AD 3＝35， AD ＝95(cm)， BD ＝5－95＝165(cm)．答案 16512．如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.解析 ∵直线PB 与圆相切于点B ，且∠PBA ＝∠DBA ，∴∠ACB ＝∠ABP ＝∠DBA ，由此可得直线AB 是△BCD 外接圆的切线且B 是切点，则由切割线定理得AB 2＝AD ·AC ＝mn ，即得AB ＝mn . 答案mn13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析 由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ， ∴FC ＝AF ·FBEF ＝2.由△AFC ∽△ABD ， 可知FC BD ＝AF AB ，∴BD ＝FC ·AB AF ＝83. 由切割线定理得DB 2＝DC ·DA ， 又DA ＝4CD ，∴4DC 2＝DB 2＝649，∴DC ＝43. 答案 4314．如图所示，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．解析 设AF ＝4k ，BF ＝2k ，BE ＝k ，由DF ·FC ＝AF ·BF ，得2＝8k 2，即k ＝12.所以AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72.由切割线定理，得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案 7215．如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．解析 当OD 的值最小时，DC 最大，易知D 为AB 的中点时，DB ＝DC ＝2最大． 答案 2B 组(供高考题型为解答题的省份使用)1．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . (1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)解因为△ABE∽△ADC，所以ABAE＝AD AC，即AB·AC＝AD·AE.又S＝12AB·AC sin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.2．(2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA.所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.3．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM 中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即ONOP＝OMOK.又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．(1)证明如图，设F为AD延长线上一点．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.(2)解设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，∴△ABC外接圆的面积为4π.5．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．(1)证明∵AD∥BC，∴. ∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴DCBC＝DEDC.∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.(2)解由(1)知，DE＝AB2BC＝629＝4，∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴PDPB＝DEBC＝49.又∵PB－PD＝9，∴PD＝365，PB＝815.∴PC2＝PD·PB＝365·815＝54252.∴PC＝545.6.如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1)证明如图，连接DE，则∠DCB＝∠DEB，∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，∴DB＝DC.(2)解由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，∴∠BDE＝∠CDE，∴DE是BC的垂直平分线，设交点为H，则BH＝3 2，∴OH＝1－34＝12，∴DH＝3 2，∴tan∠BDE＝3232＝33，∴∠BDE＝30°，∴∠FBE＝∠BDE＝30°，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC是△BCF的外接圆直径．∴△BCF的外接圆半径为3 2.。

2020版新高考文科数学二轮冲刺复习解答题的解法研究技巧一数形结合思想方法数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两方面的内容：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来说明函数的性质；二是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，比如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质．我们在解决数学问题时，应将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的互化，从而得到原题的解．总体目标：通过数形结合，抽象问题具体化，复杂问题简单化．解题途径：根据问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简．常见的手段：构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等．典例1记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，求定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值．【方法点睛】 利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论，正确作出函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则．典例2 关于x 的方程sin2x ＋3cos2x ＝a ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上有两个不同的根，求实数a 的取值范围．【方法点睛】 本题要解的是一个带参数的三角方程，直接解比较困难，可以从函数的角度来研究本方程的解．通过变形，左边看成函数y 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的一部分，右边看成y 2＝a ＋12的图象．因此，方程的解可通过“数形结合”方法轻松获得．对于三角方程的解的个数问题，经常可考虑此思想方法解决．典例3 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△P AB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【方法点睛】本题的想法看似简单，即设P(x0，y0)，分别写出直线AP和BP的方程，根据已知条件用x0，y0分别表示出△P AB与△PMN的面积，从而得到x0，y0的一个关系式，再结合点P(x0，y0)在椭圆x2＋3y2＝4上，得到第二个方程，从而问题转化为解方程组，这是很多学生很容易想到的做法，可是这看似简单的想法计算却非常不简单．如果能先作出图形，根据△P AB与△PMN的面积相等，得到M是NC中点，易知B为AC中点，从而AM，BN都是中线，因此P为△ANC的重心，而A，N，C三点横坐标易求得，故P点的横坐标也就易求出来了．代入椭圆，很快求出P点的纵坐标．在解析几何求解过程中，如果适当考虑其中的几何关系，计算量将大大减少，“数形结合”，事半功倍，提高解题效率．典例4已知函数f(x)＝|2x－3|－|x＋1|.(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集，求实数a的取值范围；(2)若存在x0∈R，使得2f(x0)≤－t2＋4|t|成立，求实数t的取值范围．【方法点睛】本题如果从不等式角度进行考虑，非常不好描述，而且不易求出正确解．根据题意，将不等式恒成立问题和存在性问题转化为函数值域与参数的比较问题，思路清晰明了，再通过数形结合，很快求出相关函数的值域，继而求出参数的取值范围．在求解过程中，“数形结合”大大简化了计算量．二转化与化归思想数学思想中的一条重要原则是转化与化归，不断地变更数学问题，使要解决的问题化难为易，或变未知为已知，或把某一数学分支中的问题转化为另外一个数学分支中的问题，最终求出原题的解．总体目标：化难为易，化生为熟，化繁为简．解题途径：函数、方程、不等式间的转化；数与形间的转化；一般与特殊的转化；整体与局部的转化；正面与反面的转化等等．常见的方法：换元法、数形结合法、构造法、设参法、特殊法，拆分与整合等．典例1设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．【方法点睛】将不等式恒成立问题转化为求函数的值域问题，在转化过程中，用到了构造函数法，次元、主元调换法，最后通过解不等式得到答案．典例2(2017·浙江高考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，求|a＋b|＋|a－b|的最小值和最大值．【方法点睛】 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．典例3 已知函数f (x )＝x ＋1e 2x .(1)当x ≥0时，f (x )≤m 2x ＋1(m >0)恒成立，求实数m 的取值范围； (2)求证：f (x )ln x <x ＋1ex ＋2.【方法点睛】对于恒成立问题和存在性问题，经常可考虑用分离变量的办法将不等式问题转化为两个函数值域的问题．在求函数值域时，经常用构造法，通过导数来分析单调性，求得函数的值域，继而建立与参数有关的不等式，最终求得参数的取值范围．当然在本题中导函数的零点不易求出，我们用了设而不求的方法，间接解决问题．实际上，在解决数学题时“无处不转化”．典例4已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点为抛物线y＝x2－8与x轴的交点．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，若AD⊥BD，且D(3,0)，求△ABD面积的最大值．【方法点睛】在求椭圆方程时，经常把条件转化为方程组，方程组解出来即得到椭圆方程．在解答圆锥曲线相关问题时，经常借助相关点的坐标来研究相关性质，如定点、共线、最值等问题．转化的基本方向：消元，降次，化简．三分类整合思想方法在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究，这就是分类整合思想方法．分类整合是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练学生的思维条理性和概括性，因此在高考试题中占有重要的位置．总体目标：大化小，整体化为部分，一般化为特殊．解题途径：根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别进行研究，研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起．常见的方法：化整为零、积零为整、构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等．典例1(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．【方法点睛】本题(1)(2)问都涉及到绝对值不等式，要把绝对值去掉，解答才得以继续进行，在第(1)问中，通过对变量x进行分类讨论，绝对值不等式转化为一次不等式，原不等式从而得到解答；(2)问中对参数a进行讨论，去掉绝对值，求出参数范围．典例2设b∈R，数列{a n}的前n项和S n＝3n＋b，试判断{a n}是否是等比数列？并说明理由．【方法点睛】本题中参数b的值影响着a1的值，进而影响着数列的通项公式．因此需要对参数b分类讨论，并以a1的值是否满足a n＝2·3n－1为标准．典例3设a>0，求f(x)＝2a(sin x＋cos x)－sin x cos x－2a2的最大值和最小值．【方法点睛】本题通过作变量代换t＝sin x＋cos x，将原函数变成关于t 的二次函数(带参数a)，然后根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，继而求出原函数的最大值．典例4已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【方法点睛】参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．四函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的．总体目标：动态化静态，抽象化具体，函数方程相互转化．解题途径：根据研究问题的需要，通过构造方程或函数，然后研究方程和函数的性质，从而解决原问题．常见的方法：构造法、转化法、动静结合、数形结合、分离变量法等等．典例1(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．【方法点睛】 本题已知数列的属性(等差或等比数列)，因此可以构造关于a 1和d (q )的方程组，通过a 1和d (q )，从而求出数列的通项公式，将前n 项和S n 表示为n 的函数，继而求出其最小值．求解过程体现方程思想和函数思想．典例2 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求tan θ的值．【方法点睛】 本题表面看是一个未知数θ，但是很难直接求出其大小．本题通过韦达定理构造一个一元二次方程，其两根分别为sin θ，cos θ，求出方程的两个解(也就是sin θ，cos θ的值)，从而求出tan θ的值．典例3 (2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.【方法点睛】 本题第(1)问是个不等式问题，我们将其转化为函数问题解决．通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最大值为0，从而证明了原不等式，充分体现了函数思想的应用．第(2)问是函数零点个数问题，通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最值，从而讨论出不同a 的值得到不同的零点个数．典例4 设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．【方法点睛】几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法．典例5(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【方法点睛】 本题第(1)问先将直线和椭圆的参数方程化为普通方程，然后联立，求出交点坐标．第(2)问先将C上的点到直线的距离用θ表示出来，判断3cosθ＋4sinθ的范围，讨论a，去掉绝对值得到距离的最大值的方程，求得a 最后结果．。

1 ．已知会合 ＝2－3x － 4≤0} ，B ＝{ x|m ＋1≤x ≤2m ＋3} ，A { x|x 若 A ∪B ＝A ，则实数 m 的取值范围为 ________．答案－∞， 12分析∵A ∪B ＝A ，∴B? A.A ＝{ x|x 2－3x －4≤0} ＝{ x|－1≤x ≤4} ，当 B ＝?时， m ＋1>2m ＋3，即 m<－2，此时 B? A 建立．当 B ≠?时， m ＋1≤ 2m ＋ 3，即 m ≥－ 2. 1．已知会合 A ＝{ x|x2－3x －4≤0} ，B ＝ { x|m ＋1≤x ≤2m ＋3} ，若 A ∪B ＝ A ，则实数 m 的取值范围为________．答案－∞， 12 分析∵A ∪B ＝A ，∴B? A.A ＝{ x|x 2－3x －4≤0} ＝{ x|－1≤x ≤4} ，当 B ＝?时， m ＋1>2m ＋3，即 m<－2，此时 B? A 建立．当 B ≠?时， m ＋1≤2m ＋3，即 m ≥－2.由 B? A ，得－1≤m ＋1，12m ＋3≤4，解得－ 2≤m ≤2.11 又∵≥－，∴－≤ ≤ .综上可知 m ≤ .m2 2 m22． ·日照模拟 已知 ， ∈R ＋，函数 y ＝2ae x＋b 的图象过点2 [2015] a b，则 1＋1的最小值是________．(0,1) a b答案 3＋22分析由于函数过点 (0,1)，所以 2a ＋b ＝1.1 1 2a ＋b 2a ＋bb 2a≥3＋2 2，所以 a ＋b ＝ a ＋ b＝ 3＋a ＋ b b 2a3＋2 2.当且仅当 a ＝ b 时取等号，故填 33．已知定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x)＝－ f(x ＋2)，且 f(0)＝1，则 f(2013)＝________.答案 1分析 ∵ ＝－ f x ＋3，f(x) 2∴f(x ＋3)＝f x ＋ 3 ＋ 3 ＝－ f x ＋3＝f(x)．2 2 2 ∴f(x)是以3 为周期的周期函数．∴f(2013)＝f(671×3＋0)＝f(0)＝1.14．[2015 衡·水二调 ]已知函数 f(x)知足 f(x)＝2f x ，当 x ∈[1,3] 时， f(x) ＝，若在区间1，3 内，函数 g(x) ＝ f(x) － ax 的图象与 x 轴有 3lnx3个不一样的交点，则实数 a 的取值范围是 ________．答案ln 3，13 e分析当 x ∈ 1 1111 ＝， 1 时， ∈[1,3] ，∴＝ln＝－ln x ，∴ f(x)3xf xx21－ ln x ，∴f(x)＝－ 2ln x ，∴当 x ∈ 3，1 时， f(x)＝－ 2lnx.∵函数 g(x)的图象与 x 轴有 3 个不一样的交点，∴函数 f(x)的图象与 y＝ax 有 3 个不一样的交点，函数 f(x)的图象如图所示，直线 y＝ax 与 y＝ln x 相切是一个界限状况，直线 y＝ax 过(3，ln 3)时是一个界限状况，切合题意的直线需要在这 2 条直线之间，∵y＝11－＝1，∴′＝，∴＝，所以切线方程为(x－x )，与 yln xyx k x0y ln x00x0＝ax 同样，即a1y＝ax过点，时，＝ln 3.综上可得：ln 3＝，当e(3 ln 3)a33 1≤a<e.5．已知函数 f(x)＝－12x2＋4x－3ln x 在[t，t＋1]上不但一，则t的取值范围是 ________．答案0<t<1 或 2<t<33－x2＋4x－3x－1 x－3分析f′(x) ＝－ x＋ 4－x＝x＝－x，由f′(x)＝0得函数的两个极值点1,3，则只需这两个极值点在区间(t，t ＋1)内，函数在区间 [t，t＋1]上就不但一，由 t<1<t＋1 或 t<3<t＋1，解得 0<t<1 或 2<t<3.6．[2015 ·石家庄一模 ] 一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积是 ________．答案72分析 由三视图可知该几何体是一个组合体， 下边是一个棱长为4 的正方体；上边是一个三棱锥，三棱锥的高为3.故所求体积为 43＋1 13×2× 4×4× 3＝72.π1sin2α－cos 2α7．已知 tan 4＋α＝2，则1＋cos2α ＝________.5答案－6π1 分析 ∵tan 4＋ α＝2，ππ1∴tan α＝tan 4＋α－4 ＝－ 3，sin2α－cos 2α 2sin αcos α－cos 2α 1 5则 1＋cos2α ＝2cos 2α ＝tan α－2＝－ 6. 8．数列 { a n } 、 { b n } 都是等差数列， a 1＝5，b 1＝7，且 a 20＋b 20＝，则{ a n＋b的前 20项和为．60n }________答案720分析由题意知 { a ＋} 也为等差数列，所以 { a ＋}的前 20 项nb n n b n和为：S20＝20 a1＋b1＋a20＋b20＝20× 5＋7＋60＝720.229．设 { a n} 是公比为q 的等比数列， |q|>1，令 b n＝ a n＋ 1(n＝1,2，)．若数列 { b n} 有连续四项在会合 { －53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.答案－9分析∵b n＝a n＋1，∴a n＝b n－1，而{ b n} 有连续四项在会合{ －53，－23,19,37,82}中，∴{ a n} 有连续四项在会合 { －54，－24,18,36,81}中，∵{ a n} 是公比为 q 的等比数列， |q|>1.∴{ a n} 中的连续四项为－ 24,36，－54,81.363∴q＝－24＝－2，∴6q＝－ 9.10．[2015 ·州质量展望郑 ]设函数 y＝f(x)的定义域为 D，若对于任意 x1、x2∈D，当 x1＋x2＝2a 时，恒有 f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点 (a，b)为函数 y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x3＋sin πx＋2 图象的19某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可获得 f(－1)＋f －2019＋＋ f 20＋f(1)＝________.答案82分析依题意，函数y＝x3与y＝sinπx均是奇函数，所以y＝x3＋sin x π是奇函数，其图象对于点(0,0)对称，函数f(x)＝ x3＋sin x＋π2的图象对于点 (0,2)对称，于是有 f(－x)＋f(x)＝4，所以 f(－1)＋f(1)＝4，1919f －20＋f20＝4，，f(0)＝2，所求的和为 2＋20×4＝82.11．直线 l1和 l2是圆 x2＋y2＝2 的两条切线．若l 1与 l 2的交点为(1,3)，则 l1与 l2的夹角的正切值等于 ________．4答案3分析依据题意作出图形如下图，连结OA，OB，则 |AO|＝1－02＋3－02＝10，|OB|＝2，∴|AB|＝|AO|2－|OB|2＝22，2 1∴tan∠BAO＝2 2＝2，∴l1与 l2的夹角的正切值等于tan 2∠BAO12tan∠BAO2×2 4＝＝＝.1－tan2∠BAO1－1 3412．已知 F 为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，以 F 为极点作一个两条对角线长分别为 2 3和 2 的菱形 PFRQ(|PR|>|FQ|)，如下图．若抛物线经过 P，R 两个极点，则抛物线的方程为________．答案分析y 2＝2x由已知条件知|FQ|＝2，|PR|＝23，所以 |PF|＝2，且点Ppp pp的横坐标为 2＋1，依据抛物线的定义知 |PF|＝x P ＋2＝ 2＋1＋2＝p ＋1，则由 p ＋1＝2，得 p ＝1，所以抛物线的方程为 y 2＝2x.2 213．已知椭圆 C ：x＋y＝1 的左、右焦点分别为 F 1、F 2，椭圆 C4 3上点 A 知足 AF ⊥F 1F 2. P C→ → 若点 是椭圆 上的动点，则 · 的最大2F 1P F 2A 值为 ________．答案3 32→ →分析 设向量 F 2A 的夹角为 θ由条件知 为椭圆通径的一|AFF . 半，即为 |AF 2|＝ b 2 3 → → 3 →→ → a ＝ ，则 F 1P ·F 2A ＝ |F 1P|cos θ，于是 F 1P ·F 2A 要获得2 2→ →最大值，只需 F 1P 在向量 F 2A 上的投影值最大，易知此时点 P 在椭圆→ →3 → 3 3短轴的上极点，所以 F 1P ·F 2A ＝ |F 1P|cos θ≤2 .214．如图是依据部分城市某年 6 月份的均匀气温 (单位：℃ )数据获得的样本频次散布直方图，此中均匀气温的范围是 [20.5,26.5]，样本数据的分组为 [20.5,21.5)， [21.5,22.5)， [22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中均匀气温低于 22.5 ℃的城市个数为 11，则样本中均匀气温不低于 25.5 ℃的城市个数为 ________.答案9分析最左侧两个矩形面积之和为×1＋×1＝，总城市数为 11 ÷＝50，最右边矩形面积为×1＝0.18,50×＝9.15．已知数组 (x 1， y 1)，(x 2，y 2)， ， (x 10，y 10)知足线性回归方^ ^ ^ ^ ^ ^程 y ＝bx ＋ a ，则“ (x 0 ， y 0)知足线性回归方程 y ＝ bx ＋a ”是“ x 0 ＝ x 1＋x 2＋ ＋ x 10 y 1＋ y 2＋ ＋ y 10”的 ________条件． (填“充足10 ，y 0＝ 10不用要、必需不充足、充要” )答案 必需不充足分析^ ^^，，但知足线性回线性回归方程 y ＝x ＋a 必经过点( x y ) b归方程的点不必定是样本数据的均匀数，所以“(x 0， 0)知足线性回y^^ ＋^”是“x x 1＋x 2＋ ＋x 10y 1＋y 2＋ ＋y 10”的＝， 0 ＝归方程＝ayb10y10必需不充足条件．16．[2015 ·川高考四 ] 如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点 M 在线段 PQ 上， E ，F 分别为 AB ， BC 的中点．设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 θ，则 cos θ的最大值为________．2答案5分析取 BF 的中点 N，连结 MN，EN，则 EN∥AF，所以直线 EN 与 EM 所成的角就是异面直线 EM 与 AF 所成的角．在△EMN 中，当点M 与点 P 重合时， EM⊥AF，所以当点 M 渐渐趋近于点 Q 时，直线 EN 与 EM 的夹角愈来愈小，此时cosθ愈来愈大．故当点 M 与点 Q 重合时， cosθ取最大值．设正方形的边长为4，连结 EQ，NQ，在△EQN 中，由余弦定理，得 cos∠QEN＝222＝－2，所以θ的最大值为2.EQ＋EN －QN＝ 20＋5－332EQ·EN2× 20× 55cos5 17．[2015 ·福建高考 ]阅读如下图的程序框图，运转相应的程序，则输出的结果为 ________．答案0π分析i＝1，S＝0，S＝0＋cos2＝0，i＝2；2π2>5 不建立，履行循环： S＝0＋cos 2＝－ 1，i ＝3；3π3>5 不建立，履行循环： S＝－ 1＋cos 2＝－ 1，i＝4；4π4>5 不建立，履行循环： S＝－ 1＋cos 2＝－ 1＋1＝0，i ＝5；5π5>5 不建立，履行循环： S＝0＋cos 2＝0，i＝6；6>5 建立，停止循环，输出S 的值等于 0.18．已知函数 f(x)＝|e x－ 1|＋1，若 a<b，且 f(a)＝f(b)，则实数 a ＋2b 的取值范围为 ________．答案－∞， ln 32 27分析联合函数的图象，易知 a<0，b>0.∵f(a)＝2－e a，f(b)＝e b，设 f(a)＝f(b)＝k，则 k∈(1,2)，∴a＝ln (2－k)，b＝ln k，a＋2b＝ln (2k2高考数学文二轮复习训练2-4-2填空题速解方法含分析－k3)．设 g(k)＝－ k3＋2k2，则 g′(k)＝－ 3k2＋4k，令－ 3k2＋4k＝0，4，易知函数 g(k)＝－ k3＋2k2在 1，4上为增函数，在4得 k＝3，2 上33432为减函数，即函数 g(k)＝－ k3＋2k2的最大值为 g 3＝27，∴当k∈(1,2)时，函数 g(k)＝－ k3＋2k2的值域为32 0，27，∴ 2 －3)∈ －∞，ln32，即实数a ＋2b的取值范围为ln(2k k27－∞，ln 32 27 .。

2021年高考数学二轮复习 专题一 选择题的解题方法与技巧A ．(1B ．(y －1)sin x ＋2y －3＝0C ．(y ＋1)sin x ＋2y ＋1＝0D ．－(y ＋1)sin x ＋2y ＋1＝0解析：对ycos x ＋2y －1＝0作变换(x ，y )→⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，y ＋1，得(y ＋1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋2(y ＋1)－1＝0，即(y ＋1)sin x ＋2y ＋1＝0.故应选C.记住一些变换的小结论是有效的．本题是函数y ＝12＋cos x向方程式的变式，较为新颖．答案：C7．由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B.1100 C.1104 D.14解析：对已知递推式两边取倒数， 得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝3.这说明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项， 3为公差的等差数列， 从而有1a 34＝1a 1＋33d ＝100，即a 34＝1100，应选B.构造等差数列、等比数列是解决数列考题的常用方法， 值得我们重视．答案：B8．一种细胞，每三分钟分裂一次(一个分裂为两个)，把一个这种细胞放入一个容器内，恰好一小时充满；如果开始时把两个这种细胞放入该容器内，那么细胞充满容器的时间为( )A ．57分钟B ．30分钟C ．27分钟D ．45分钟解析：设容器内细胞共分裂n 次，则220＝2·2n，即n ＝19，从而共花去时间为19×3＝57分钟，故应选A.答案：A9. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( ) A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种解析：采用补集思想求解．从6个面中任取3个面的取法共有C 36种方法，其中三个面交于一点共有8种可能，从而满足题意的取法共有C 36－8＝12种，故选B.答案：B10．平行移动抛物线y 2＝－3x ，使其顶点的横坐标非负，并使其顶点到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离比到y 轴的距离多14，这样得到的所有抛物线所经过的区域是( )A ．xOy 平面B ．y 2≥－2x C ．y 2≤－2x D ．y 2≥2x解析：我们先求出到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离比到y 轴的距离多14的点的轨迹．设P(x ，y)是符合条件的点，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝|x|＋14，两边平方并整理得y 2＝(|x|＋x)⎝⎛⎭⎪⎫|x|－x ＋12，∵x ≥0，∴y 2＝x.再设平移后抛物线的顶点为(a 2，a)，于是平移后抛物线的方程为(y －a)2＝－3(x －a 2)，按a 整理得2a 2＋2ya －3x －y 2＝0.∵a∈R，∴Δ＝(2y)2－8(－3x －y 2)≥0，化简得y 2≥－2x.故选B.答案：B11．关于直线a ，b ，l 以及平面M ，N ，下面命题中正确的是( ) A ．若a∥平面M ，b ∥平面M ，则a∥b B ．若a∥平面M ，b ⊥a ，则b⊥平面MC ．若a 平面M ，b 平面M ，且l ⊥a，l ⊥b ，则l⊥平面MD ．若a⊥平面M ，a ∥平面N ，则平面M⊥平面N解析：对于选项D, 过a 作平面P 交平面N 于直线a′，则a′∥a，而a⊥平面M ，从而a′⊥平面M ，又a′平面N ，故平面M⊥平面N ，应选D.可举反例说明命题A ，B ，C 均为假命题．答案：D12．点P(1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中t∈R 为参数)上的点的最短距离是( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2解析：由两点间的距离公式，得点P(1，0)到曲线上的点Q(t 2，2t)的距离为|PQ|＝（t 2－1）2＋（2t ）2＝（t 2＋1）2＝t 2＋1≥1.当t ＝0时，|PQ|min ＝1.故选B.将曲线方程转化为y 2＝4x ，显然点P(1，0)是抛物线的焦点，由定义可知：抛物线上距离焦点最近的点为抛物线的顶点．故选B.答案：B13．(xx·天津卷)设a ，b ∈R ，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设f(x)＝x|x|，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以f(x)是R 上的增函数，“a ＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件．故选C.答案：C14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和抛物线y 2＝2px(p ＞0)的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A ．e 1e 2＞e 3B ．e 1e 2＝e 3C ．e 1e 2＜e 3D ．e 1e 2≥e 3解析：∵e 1＝a 2－b2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2， e 2＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，e 3＝1， ∴e 1e 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＜1＝e 3.故选C. 答案：C15．(xx·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94 D ．3解析：因为P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，所以||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，所以4|PF 1|·|PF 2|＝9b2－4a 2.又因为|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，所以9ab ＝9b 2－4a 2，即9(b a )2－9(b a )－4＝0，解得：b a ＝－13(舍去)或b a ＝43；所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝1＋(43)2＝259，所以e ＝53.故选B. 答案：B16．(xx·北京卷)若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：若k≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意；若k ＜0，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线z ＝y －x 在点A(－2k ，0)处取得最小值，所以0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4，解得k ＝－12.故选D.答案：D17．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M ，60%的资金给项目N.项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为了使银行年利润不小于给M ，N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20%解析：设共有资金为a, 储户回扣率x, 由题意得0.1a≤0.1×0.4a ＋0.35×0.6a－xa≤0.15a ，解得0.1≤x ≤0.15.故选B.答案：B18. (xx·江西卷)在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π解析：先根据图形转化为抛物线问题，再进一步求解圆的半径． ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|. 又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：A =35021 88CD 裍 38231 9557 镗37254 9186 醆27153 6A11 樑,22688 58A0 墠28324 6EA4 溤=31003 791B 礛28046 6D8E 涎_-p。

．已知集合＝{－－≤}，＝{＋≤≤＋}，若∪＝，则实数的取值范围为．答案解析∵∪＝，∴⊆.＝{－－≤}＝{－≤≤}，当＝∅时，＋>＋，即<－，此时⊆成立．当≠∅时，＋≤＋，即≥－．已知集合＝{－－≤}，＝{＋≤≤＋}，若∪＝，则实数的取值范围为．答案解析∵∪＝，∴⊆.＝{－－≤}＝{－≤≤}，当＝∅时，＋>＋，即<－，此时⊆成立．当≠∅时，＋≤＋，即≥－.由⊆，得(\\(－≤＋，＋≤，))解得－≤≤.又∵≥－，∴－≤≤.综上可知≤.．[·日照模拟]已知，∈＋，函数＝＋的图象过点()，则＋的最小值是．答案＋解析因为函数过点()，所以＋＝.所以＋＝＋＝＋＋≥＋，当且仅当＝时取等号，故填＋.．已知定义在上的函数()满足()＝－(＋)，且()＝，则()＝.答案解析∵()＝－，∴(＋)＝＝－＝()．∴()是以为周期的周期函数．∴()＝(×＋)＝()＝.．[·衡水二调]已知函数()满足()＝，当∈[]时，()＝，若在区间内，函数()＝()－的图象与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是．答案)，()))解析当∈时，∈[]，∴＝＝－，∴()＝－，∴()＝－，∴当∈时，()＝－.∵函数()的图象与轴有个不同的交点，∴函数()的图象与＝有个不同的交点，函数()的图象如图所示，直线＝与＝相切是一个边界情况，直线＝过(，)时是一个边界情况，符合题意的直线需要在这条直线之间，∵＝，∴′＝，∴＝，所以切线方程为－＝(－)，与＝相同，即＝，当＝过点(，)时，＝).综上可得：)≤<.．已知函数()＝－＋－在[，＋]上不单调，则的取值范围是．答案<<或<<解析′()＝－＋－＝＝－，由′()＝得函数的两个极值点，则只要这两个极值点在区间(，＋)内，函数在区间[，＋]上就不单调，由<<＋或<<＋，解得<<或<<.。

2024年高考数学（文科）第二次模拟考试卷及答案解析（全国卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}22,U xx x =-≤≤∈∣Z ，集合{1,1,2},{2,0,1,2}A B =-=-，则U ()A B ⋂=ð（）A ．{1,0,1}-B ．∅C ．{2,1,0}--D ．{}1-【答案】C【分析】本题首先可以根据题意求出A B ⋂，然后根据补集的概念得出结果.【详解】由题意得{}{}{}22,2,1,0,1,2,1,2U xx x A B =-≤≤∈=--⋂=Z ∣，所以，U (){2,1,0}A B =-- ð，故选：C ．2．设i 为虚数单位，若复数1i1ia -+为纯虚数，则=a （）A ．1-B ．1C ．0D ．2【答案】B【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案.【详解】()()()()()1i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 22a a a a --+--==-++-，所以102a -=且102a +≠，解得1a =.故选：B3．已知向量()1,0a = ，()4,b m =，若2a b - 不超过3，则m 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．[]3,3-D ．[]5,5-【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得249m +≤，解之即可求解.【详解】由题意知，2(2,)a b m -=--，所以23a b -=，得249m +≤，即25m ≤，解得m ≤≤即实数m 的取值范围为[.故选：B4．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=；此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=；此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2.故选D.5．若{}n a 是等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和，3890,0a a S +><，则{}n S 中最小的项是（）A ．4S B ．5S C ．6S D ．7S 【答案】B【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得50a <，再结合等差数列的性质判断处6a 的符号，即可得出答案.【详解】因为()19959902a a S a +==<，所以50a <，因为56380a a a a +=+>，所以650a a >->，所以公差650d a a =->，故当5n ≤时，0n a <，当6n ≥时，0n a >，所以当5n =时，n S 取得最小值，即{}n S 中最小的项是5S .故选：B.6．已知函数()f x 的定义域为R ，设()()x g x e f x =．设甲：()f x 是增函数，乙：()g x 是增函数，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】D【分析】利用导数分别求出()f x 与()g x 为增函数的条件并结合充分必要条件进行判断即可求解.【详解】由题意得()f x 的定义域为R ，()()xg x f x =e 的定义域也为R ；充分性：若()f x 是增函数，则()0f x '≥恒成立，()()()()xg x f x f x ='+'e ，因为e 0x >，但()()f x f x +'的正负不能确定，所以()g x 的单调性不确定，故充分性不满足；必要性：若()g x 是增函数，则()()()()0xg x f x f x ='+'≥e恒成立，因为e 0x >，所以()()0f x f x +'≥恒成立，但()f x '的正负不能确定，所以()f x 的单调性不确定，故必要性不满足；所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D 正确.故选：D.7．已知点A 为椭圆M ：22143x y +=的一点，1F ，2F 分别为椭圆M 的左，右焦点，12F AF ∠的平分线交y 轴于点10,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AF F △的面积为（）A ．12B ．22C ．1D ．2【答案】C【分析】结合光学性质，列出直线AB 方程，即可求解答案.【详解】设点()00,A x y 且不为顶点，因为椭圆方程为22143x y +=，所以过A 的切线方程即直线DE 为00143x x y y ⋅⋅+=，即000334x y x y y =-+，由光学几何性质知，1AB DE k k ⋅=-，所以043AB y k x =，则直线AB 的方程为()000043y y y x x x -=-．令0x =，得0133B y y =-=-，所以01y =．所以1212112AF F S =⨯⨯=△.故选：C8．设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】D【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D9．已知双曲线222:33C x y m -=的一条渐近线l 与椭圆222:1(0)x y E a b a b+=>>交于A ，B 两点，若12||F F AB =，（12,F F 是椭圆的两个焦点），则E 的离心率为（）A 1BC ．(,1)-∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】由题意求出双曲线的渐近线，则可得260AOF ∠=︒，由已知条件可得四边形12AF BF 为矩形，则22AO OF AF c ===，1AF =，再根据椭圆的定义列方程化简可求出离心率.【详解】由已知2222:13x y C m m-=，则双曲线的一条渐近线:l y =，即260AOF ∠=︒，又12F F AB =，即2OF OA =，且四边形12AF BF 为矩形，所以22AO OF AF c ===，则1AF ==，又根据椭圆定义可知122AF AF c a ++=，所以离心率1ce a ==．故选：A10．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB ==ABCD 是边长为12的正方形，S 是四边形ABCD 及其内部的动点，且满足6PS ≤，则动点S 构成的区域面积为（）A ．B ．12πC ．24πD ．【答案】B【分析】取线段AB 的中点E ，连接PE 、SE ，推导出PE ⊥平面ABCD ，可知点S 的轨迹是以点E为圆心，半径为.【详解】取线段AB 的中点E ，连接PE 、SE ，因为PA PB ==E 为AB 的中点，则PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PE ⊂平面PAB ，所以，PE ⊥平面ABCD ，因为SE ⊂平面ABCD ，则PE SE ⊥，因为四边形ABCD 是边长为12的正方形，则6AE =，所以，PE ===SE ==所以，点S 的轨迹是以点E 为圆心，半径为因此，动点S 构成的区域面积为(21π12π2⨯=.故选：B.11．已知等比数列{}n a 的公比为q =n S 为其前n 项和，且*2128,N n nn n S S T n a +-=∈，则当n T 取得最大值时，对应的n 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】利用等比数列通项公式、前n项和公式及已知得12728)2n n T +=-⨯+，应用基本不等式求最大值，并确定取值条件即可.【详解】由题设11nn a a q a +==，1(1)1n n a q S q -==-所以2128(1n n n n S S T a a +-==127128)(228)(1)(14322n +=-⨯+-≤-⨯=-，27n=，即3n =时取等号，所以当n T 取得最大值时，对应的n 为3.故选：B12．已知函数()()sin f x x ϕ=+，0πϕ<<，若函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，则ϕ的取值范围是（）A ．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π,8π2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意分类讨论π4ϕ≥和π4ϕ<两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关知识求解答案即可.【详解】若3π04x ≤<，则3π4x ϕϕϕ≤+<+，又因为0πϕ<<，函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，所以当3ππ4ϕ+≥，即π4ϕ≥时，只需满足3π3π42ϕ+≤，此时π3π44ϕ≤≤，当3ππ4ϕ+<，即π4ϕ<时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则π3ππ242ϕϕ-<+-，此时ππ84ϕ<<，综上，π3π84ϕ<≤，即ϕ的取值范围是π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，7943a a +=，且26108b b b =．则3813481a a ab b ++=-．【答案】23【分析】根据等差、等比数列的性质即可求解.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，且7943a a +=，所以842,3a =即8,32a =因为数列{}n b 是等比数列，且26108b b b =，所以368b =，即62b =，所以81382486332113a a a ab b b ++==--.故答案为：23.14．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()31f x x a x a =-++，则关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】()(),10,1-∞-⋃【分析】由()00f =求出0a =，由奇函数的性质求出()f x 在R 上的解析式，再令()0f x <，即可求出答案.【详解】当0x ≥时，()()31f x x a x a =-++，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f a ==，所以当0x ≥时，()3f x x x =-，则当0x <时，0x ->，所以()3f x x x -=-+，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以当0x <时，()3f x x x =-，所以()3,R f x x x x =-∈，令()()()3110f x x x x x x =-=-+<，解得：01x <<或1x <-，故关于x 的不等式()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃.故答案为：()(),10,1-∞-⋃.15．已知数列{}n a 满足121n n a a n ++=-，若1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，则1a 的取值范围为.【答案】11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先由条件得到22n n a a +-=，再将问题转化为2132a a a a >⎧⎨>⎩或2221212n n n n a a a a +++>⎧⎨>⎩，从而得解.【详解】法一：由121n n a a n ++=-，得2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，则数列{}21n a +，{}2n a 都是以2为公差的单调递增数列.要使1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，只需2132a a a a >⎧⎨>⎩，而211a a =-，312a a =+，则1111121a a a a ->⎧⎨+>-⎩，解得11122a -<<.法二：由121n n a a n ++=-，得2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，又211a a =-，则()21112121n a a n n a =-+-=--，()21112112n a a n n a +=++-=+，要使1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，即2221212n n n n a a a a +++>⎧⎨>⎩，即11112212221n a n a n a n a +-->+⎧⎨+>--⎩，解得11122a -<<.故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将1n n a a +>恒成立，转化为2132a a a a >⎧⎨>⎩或2221212n n n na a a a +++>⎧⎨>⎩，从而得解.16．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，且SA ⊥平面π,,3ABC SA ABC AC M ∠===是边BC 上一动点，直线SM 与平面ABC 所成角的正切值的O 的表面积为.【答案】43π【分析】根据题意，结合线面角的定义求得AM 的最小值，从而确定ABC 的形状，再利用直三棱柱的外接球的性质即可得解.【详解】将三棱锥S ABC -放入直三棱柱11SB C ABC -，则两者外接球相同，取底面11,ABC SB C 的外心为12,O O ，连接12O O ，取其中点为O ，连接1,OA AO ，如图所示，SA SA =⊥ 平面ABC ，则SMA ∠为直线SM 与平面ABC 的所成角，又直线SM 与平面ABC所以tan SA SMA AM ∠==min 3AM =，此时AM BC ⊥，在Rt ABM 中，π,33ABM AM ∠==，AB AC ∴==ABC ∴ 是边长为1223O A AM ∴==，又1122SA OO ==，222221143224OA OO O A ⎛∴=+=+= ⎝⎭则球O 的表面积为434π43π4⨯=.故答案为：43π.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A ；(2)作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =b c +.【答案】(1)π3(2)6【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得.【详解】（1）因πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠1sin 2A A =，即tan A =因(0,π)A ∈，故π3A =......................................................6分（2）因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ，所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠.因π3BAC ∠=，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =AB AC AB AC ⋅，即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=.....................................................9分又由余弦定理可得：2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-，把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=，解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=......................................................12分18．(12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r)niix y x y --∑（（≈1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()iix x yy r --=∑计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=...................................................4分（2）样本(,)i i x y (i =1，2， (20)的相关系数为20()0.943iix x y y r --=≈∑...................................................9分（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计....................................................12分19．(12分）在正方体1AC 中，E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，AC BD P =I ，11A C EF Q =I ，如图.（1）若1A C 交平面EFBD 于点R ，证明：P 、Q 、R 三点共线；（2）线段AC 上是否存在点M ，使得平面11//B D M 平面EFBD ，若存在确定M 的位置，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且14AM AC =.【解析】【分析】（1）先得出PQ 为平面EFBD 与平面11AA C C 的交线，然后说明点R 是平面11AA C C 与平面EFBD 的公共点，即可得出P 、Q 、R 三点共线；（2）设1111B D A C O =I ，过点M 作//OM PQ 交AC 于点M ，然后证明出平面11//B D M 平面EFBD ，再确定出点M 在AC 上的位置即可.【详解】（1）AC BD P =Q I ，AC ⊂平面11AA C C ，BD ⊂平面EFBD ，所以，点P 是平面11AA C C 和平面EFBD 的一个公共点，同理可知，点Q 也是平面11AA C C 和平面EFBD 的公共点，则平面11AA C C 和平面EFBD 的交线为PQ ，1A C 平面EFBD R =，1AC ⊂平面11AA C C ，所以，点R 也是平面11AA C C 和平面EFBD 的公共点，由公理三可知，R PQ ∈，因此，P 、Q 、R 三点共线；...................................................6分（2）如下图所示：设1111B D A C O =I ，过点M 作//OM PQ 交AC 于点M ，下面证明平面11//B D M 平面EFBD .E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，11//B D EF ∴，11B D ⊄Q 平面EFBD ，EF ⊂平面EFBD ，11//B D ∴平面EFBD .又//OM PQ ，OM ⊄平面EFBD ，PQ ⊂平面EFBD ，//OM ∴平面EFBD ，11OM B D O =Q I ，OM 、11B D ⊂平面11B D M ，因此，平面11//B D M 平面EFBD .下面来确定点M 的位置：E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，所以，11//EF B D ，且1EF OC Q =I ，则点Q 为1OC 的中点，易知11//A C AC ，即//OQ PM ，又//OM PQ ，所以，四边形OMPQ 为平行四边形，111111244PM OQ OC A C AC ∴====，四边形ABCD 为正方形，且AC BD P =I ，则P 为AC 的中点，所以，点M 为AP 的中点，1124AM AP AC ∴==，因此，线段AC 上是否存在点M ，且14AM AC =时，平面11//B D M 平面EFBD ...................................................12分20．(12分）已知函数()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦.(1)若12a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线；(2)讨论()f x 的单调性；【答案】(1)10x y +-=(2)答案见解析【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；（2）求导，对导函数因式分解，分12a >-，12a <-和12a =-三种情况，进行求解函数的单调性.【详解】（1）当12a =时，函数()()2e 21xf x x x =-+，则()01f =，切点坐标为()0,1，()()2e 1x f x x ='-，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线斜率为()01f '=-，所求切线方程为()10y x -=--，即10x y +-=.....................................................5分（2）()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦，函数定义域为R ，()()()()2e 122e 21x x f x x a x a x a x ⎡⎤=+--=-+⎣⎦'，①12a >-，()0f x '>解得1x <-或2x a >，()0f x '<解得12x a -<<，所以()f x 在(),1∞--和()2,a ∞+上单调递增，在()1,2a -上单调递减，②12a <-，()0f x '>解得2x a <或1x >-，()0f x '<解得21a x <<-，所以()f x 在(),2a ∞-和()1,∞-+上单调递增，在()2,1a -上单调递减，③12a =-，()0f x '≥恒成立，()f x 在(),∞∞-+上单调递增.综上，当12a >-时，()f x 在(),1∞--和()2,a ∞+上单调递增，在()1,2a -上单调递减；当12a <-时，()f x 在(),2a ∞-和()1,∞-+上单调递增，在()2,1a -上单调递减；当12a =-时，()f x 在(),∞∞-+上单调递增.....................................................12分21．(12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，当A 点的横坐标为1时，点A 到抛物线的焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AD ，BD 与C 的另一个交点分别为M ，N ，点P ，Q 分别是AB ，MN 的中点，记直线OP ，OQ 的倾斜角分别为α，β.求()tan αβ-的最大值.【答案】(1)24y x =4【分析】（1）关键抛物线的定义可得22A px +=，求出p 即可求解；（2）设222231241234,,,,,,,4444y y y y A y B y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将直线:1AB x my =+112:2x AD x y y -=⋅+和直线BD ，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示121212,,y y y y x x ++，1324,y y y y ，进而可得322y y =、412y y =，由中点坐标公式与斜率公式可得2221OP m k m =+和221OQ mk m =+，则tan tan 22OP OQ k k αβ===，当π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时tan()αβ-最大，由两角差的正切公式和换元法可得()1tan ()12OQ k k k k αβ-==+，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）抛物线的准线为2p x =-，由抛物线的定义知，22A px +=，又1A x =，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；.....................................................4分（2）由（1）知，(1,0),(2,0)F D ，设222231241234,,,,,,,4444y y y y A y B y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则34341212(,),(,)2222x x y y x x y y P Q ++++，设直线:1AB x my =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，2121216160,4,4m y y m y y ∆=+>+==-，则21212111()242x x my my m y y m +=+++=++=+，直线112:2x AD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，211314(2()320,8x y y y -∆=-+>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得12122121222212OPy y y y mk x x x x m ++===+++，3434121222222343434122()2()221244OQy y y y y y y y m k x x y y x x y y m ++++====+++++，又因为直线OP 、OQ 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22OP OQ k k αβ===，若要使tan()αβ-最大，需使αβ-最大，则π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220OP OQ k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--====+++，当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以()tan αβ-的最大值为4 (12)分【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直线的关系后，设220OP OQ k k k ==>，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。

[方法解说 ]方法解说特例法是依据题设和各选项的详细状况和特色，选用知足条件的特别的数值、特别的点、特别的例子、特别的图形、特别的地点、特别的函数、特别的方程、特别的数列等，针对各选项进行代入比较，联合清除法，进而获取正确的答案．第 1 讲选择、填空题的特别解法方法一特值 (例 )清除法使用前提使用技巧常有问题找到知足条件的求范围、比较大小、求值或取值范围、恒成立适合的特别化例知足当一般性结问题、随意性问题子，或举反例排论成即刻，对切合等．而对于函数图象的除，有时甚至需要条件的特殊化情鉴别、不等式、空间线两次或两次以上况也必定成立．面地点关系等不宜直的特别化例子才接求解的问题，常经过能够确立结论．清除法解决 .[真题示例 ]真题示例技法应用取 a＝－ 1，b＝－ 2，则 a>b，可(2019 高·考全国卷Ⅱ )若 a>b，则 ( )考证 A，B，D 错误，只有 C 正A ． ln( a－ b)>0B ．3a<3b33D． |a|>|b| 确．C．a － b >0答案： C(2019 高·考全国卷Ⅰ )函数 f(x)＝sin x＋x2在 [ －π，π ] 的图cos x＋ x象大概为 ( )取特别值，x＝π，联合函数的奇偶性进行清除，答案选 D.答案： Dx ＋ y ≥ 6，(2019 ·考全国卷高 Ⅲ )记不等式组 表示的平面区取 x ＝ 4，y ＝ 5，知足不等式组2x － y ≥ 0域为 D.命题 p ：? (x ，y)∈D ，2x ＋ y ≥ 9；命题 q ：? (x ，y)∈ D ， x ＋ y ≥ 6，2x ＋ y ≤12.下边给出了四个命题且知足 2x ＋ y ≥ 9， 2x － y ≥ 0， ① p ∨ q ② 綈 p ∨ q ③ p ∧ 綈 q④綈 p ∧ 綈 q不知足 2x ＋ y ≤ 12，故 p 真， q这四个命题中，全部真命题的编号是()假．所以 ①③ 真，②④假．A ．①③B ．①②答案： AC ．②③D ．③④真题示例 技法应用(2018 ·考全国卷高 Ⅰ )右图来自古希腊数学家希波克拉底所 不如设三角形 ABC 为等腰直角研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径 三角形，过A 作AO 垂直 BC 于 分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ，AC.△ ABCO ，则地区 Ⅰ， Ⅱ的面积相等．的三边所围成的地区记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其他部分 答案： A记为Ⅲ .在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的 概率分别记为 p 1，p 2，p 3，则 ( )A ． p ＝ p 2B ． p ＝ p 311C ．p ＝ p3D ． p ＝ p ＋ p3212(2015 高·考全国卷 Ⅱ )设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和．若1355取常数列 a n ＝ 1 代入计算． a ＋ a ＋ a ＝ 3，则 S ＝()A ． 5B ． 7 答案： AC ．9D ．11【针对训练】tan π ＋ αcos 2α4)1．计算＝ ( 2cos 2 π－ α4A ．－ 2B ． 2C ．－ 1D ．1π ππ 3π ，则原式＝ tan 4＋12 cos 63× 2 分析： 选 D. 取 α＝＝3＝1. 12 2cos 2 π π 2×44－ 122．如下图，两个不共线向量→ →OA ，OB 的夹角为 θ，M ，N 分别为 OA 与 OB 的中点，点 C 在 →→→2＋ y2 的最小值为 ()直线 MN 上，且 OC ＝ xOA ＋ yOB(x ， y ∈ R)，则 x21A. 4B.821C. 2D.2→ →→ → 分析：选 B. 特别值法： 当 θ＝ 90°，且 |OA|＝ |OB|＝ 1 时，以 O 为坐标原点 ，以OA ，OB 分别为 x 轴、 y 轴的正方向 ，成立平面直角坐标系→ → →1，所以 x 2，由 OC ＝ xOA ＋ yOB，得 x ＋ y ＝2 ＋y 2的最小值为原点 O 到直线 x ＋ y ＝1的距离的平方 ，易得 x 2＋ y 2≥ 22＝ 1. 2483．已知 E 为△ ABC 的重心， AD 为 BC 边上的中线，令 →→ ＝b ，若过点 E 的直AB ＝a ，AC →→1 1)线分别交 AB ， AC 于 P ， Q 两点，且 AP ＝ ma ， AQ ＝ nb ，则m ＋ ＝ (nA ． 3B ． 41C ．5D.3分析：选 A. 因为题中直线 PQ 的条件是过点 E ，所以该直线是一条 “ 动” 直线 ，所以最 后的结果必定是一个定值．故可利用特别直线确立所求值．→2 → → 2 → ，此时 m ＝ n ＝ 2，故 1 1 法一： 如图 1， PQ ∥BC ，则 AP， AQ＝＝3AB3AC3m ＋ n ＝ 3，应选A.→→ → 1→法二： 如图 2，取直线 BE 作为直线PQ ，明显 ，此时 AP ＝ AB ， AQ ＝ 2AC ，故 m ＝1， n＝1，所以1＋1＝3.2m n4．已知函数f(x)＝－x2＋ ax， x≤ 1，a2x－ 7a＋ 14， x>1.若存在 x1，x2∈R ，且 x1≠ x2，使 f(x1)＝ f(x2)，则实数 a 的取值范围为()A ． a<2B． 3<a<5C．a<2 或 3<a<5D．2≤ a≤ 3 或 a≥ 5－x2， x≤ 1，分析：选 C.当 a＝ 0 时， f(x)＝f(－ 1)＝ f(1) ＝－ 1，故 a＝0 切合题意，排14， x>1，除 B ，D 选项．当 a＝ 4 时，若 x≤1，则 f(x)≤3，若 x>1，则 f(x)>2，明显存在 x1≤ 1，x2>1，知足 f( x1)＝ f( x2)，故 a＝ 4 切合题意，清除 A 选项．应选 C.方法二考证法[方法解说 ]方法解说使用前提使用技巧考证法是把选择支代能够联合特例法、排入题干中进行查验，除法等先否认一些明或反过来从题干中找显错误的选项，再选适合的考证条件，代选项中存在独一正确择直觉以为最有可能入各选择支中进行检的选择支 .的选项进行考证，这验，进而能否认错误样能够迅速获取答选择支而获取正确选案 .择支的一种方法 .[真题示例 ]常有问题题干信息不全，选项是数值或范围，正面求解或计算烦杂的问题等 .真题示例(2018 ·考全国卷高Ⅰ )已知函数f(x) ＝2cos2x－sin2 x＋2，则 ()A ． f(x)的最小正周期为π，最大值为3B ．f(x)的最小正周期为π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为 3 D． f(x)的最小正周期为2π，最大值为 4 (2018 ·考全国卷高Ⅲ )以下函数中，其图象与函数 y＝ ln x 的图象对于直线x＝1 对称的是()技法应用当 sin x＝ 0，cos x＝1 时，函数值为4，所以 A，C 错；把 x＋π代入函数考证可得f(x＋π) ＝f(x)，说明 D 错，应选 B.答案： B函数 y＝ln x 的图象过定点(1， 0)，而 (1，0) 对于直线 x＝ 1 的对称点仍是 (1，0)，将 (1，0)A ． y＝ ln(1－ x代入各选项，考证可知只有 B 知足，应选 B.B ．C ．y ＝ ln(1＋ x)(2019 高·考天津卷 )已知函数 f(x) ＝2 x ， 0≤ x ≤ 1， 11 若对于 x 的方程 f(x)＝－ xx ， x>1. 4＋ a(a ∈R )恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为 ()5， 9 5， 9 A.4 4B.4 4D 答案： B5选用四个选项的差别值a ＝ 1，a ＝ 4代入考证．答案： D5，9 ∪ {1}D. 5，9 ∪ {1}C. 44 44【针对训练】221．过点 A(3，－ 2) 且与椭圆 x＋ y＝ 1 有同样焦点的椭圆方程为 ()9 4x 2 ＋ y 2 ＝ 1B. x 2 ＋ y 2 ＝ 1A.15 1025 20x 2 ＋ y 2 ＝ 1 D.x 2 ＋ y 2 ＝ 1 C.10 1520 15分析： 选 A. 将点 A(3，－ 2)代当选择支得 A 正确． 2．函数 f(x)＝ xe x ＋ lg x － 10 的零点所在的区间为 () A ．(0， 1) B ． (1， 2) C ．(2， 3)D ． (3， 4)分析：选 B. f(x)＝ xe x ＋ lg x －10 在 (0，＋∞ )上单一递加 ，且 f(1)<0 ，f(2)>0 ，所以函数 f( x) ＝xe x ＋ lg x － 10 的零点所在的区间为 (1， 2)，应选 B.ππ3．已知函数 f(x) ＝ sin ωx＋ 6 (此中 ω>0) 的图象的一条对称轴方程为 x ＝ 12，则 ω的最小值为()A ． 2B ． 4C ．10D ． 16πππ π 3，不切合题意；若ω分析： 选 B. 若 ω＝ 2，当 x ＝12 ＝ sin2× 12＋ 612时，有 f ＝ 2ππ π π＝4，当 x ＝12时，有 f 12 ＝sin4× 12＋ 6 ＝ 1，切合题意．所以 ω的最小值为 4.x －a2||， x ≤ 1，4．设函数 f( x)＝若 f(1)是 f(x)的最小值，则实数a 的取值范围是 ()x ＋ 1， x>1，A．[－1，2) B．[－1，0]C．[1， 2] D． [1，＋∞ )分析：选 C. 若 a＝ 2 时， f(x)＝ 2|x－2|在 (－∞， 1]上单一递减， f(x)≥ f(1) ．当 x>1 时， f(x)＝ x＋1>2 ，所以 f(1) 是 f(x)的最小值，清除 A 、B.若 a＝3 时， f(x) ＝2|x－3|在 ( －∞， 1]上单一递减， f(x)≥ f(1)＝ 4.当 x>1 时， f(x)＝ x＋1>2.不知足 f(1)是 f(x)的最小值，清除 D.[方法解说 ]方法解说因为选择题供给了独一正确的答案，解答又不需供给过程，所以能够经过猜想、合情推理、估量而获取答案．这样常常能够减少运算量，增强思想的层次．估量省去了好多推导过程和复杂的计算，节俭了时间，进而显得快捷 .方法三估量法使用前提使用技巧常有问题对于数值计算常采纳求几何体的表面积、针对一些复杂的、不放缩估量、整体估量、体积，三角函数的求易正确求值的与计算近似估量、特值估量值，求双曲线、椭圆相关的问题．常与特等，对于几何体问题，值法联合起来使用 .的离心率，求参数的常进行切割、拼集、范围等 .地点估量 .[真题示例 ]真题示例技法应用2 ，b＝ 2 0.2，0.2 0.3(2019 高·考全国卷Ⅰ )已知 a＝ log 0.2<1，因为 a＝ log2 0.2<0，b＝ 2 >1 ，0<c＝ 0.2c＝ 0.20.3，则 ( )A ． a＜ b＜c B． a＜ c＜bC．c＜ a＜ b D． b＜ c＜a1 π(2017 高·考全国卷Ⅲ )函数 f(x)＝5sin(x＋3 )＋πcos(x－6 )的最大值为 () 所以 b>c>a.应选 B.答案： Bπ 6当 x＝6时， f(x)＝5大于 1，应选 A. 答案： A6 A. 5 B ． 1 3 1 C.5D.52(2017 高·考全国卷 Ⅱ )若 a ＞ 1，则双曲线 x2－用 a 表示离心率 e 的表达式 ，依据 a>1 ，估量a y 2＝ 1 的离心率的取值范围是 ()e 的取值范围．A ． ( 2，＋∞ )B ． ( 2， 2)答案： CC ．(1，2)D ．(1，2)等边三角形 ABC 的面积为 9 3，明显球心不(2018 高·考全国卷 Ⅲ )设 A ， B ， C ，D 是同一是此三角形的中心 ，所以三棱锥体积最大时 ，4 的球的球面上四点，△ ABC 为等 个半径为1× 9 3×4<V边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 D-ABC 三棱锥的高 h ∈ (4，8)，所以 三3体积的最大值为 ( )棱锥 D-ABC < 1×9 3×8，即 123<V 三棱锥A ．12 3B ．18 33C ．24 3D ．54 3D-ABC <24 3，应选 B.答案： B【针对训练】221．若双曲线x2－ y2＝ 1(a>0， b>0)的一条渐近线经过点(3，－ 4)，则此双曲线的离心率ab为()7 5 A. 3 B.4 4 5 C.3D.3分析：选 D.因为双曲线的一条渐近线经过点b 4c b4 (3，－ 4)，所以 ＝.因为 e ＝ > ，所以 e> .a 3a a3应选 D.π， sin α＋ cos α＝ a ， sin β＋ cos β＝ b ，则 ()2．若 0<α<β< 4A ． a<bB ． a>bC ．ab<1D ． ab>2πβ＋cos β＝ b → 2.联合分析： 选 A. 若 α→ 0，则 sin α＋ cos α＝ a → 1；若 β→ ，则 sin4选项剖析选 A.3．某班设计了一个八边形的班徽 (如下图 )，它由四个腰长为 1，顶角为 α的等腰三角形和一个正方形构成，则该八边形的面积为( )A ． 2sin α－ 2cos α＋2B ．sin α－ 3cos α＋ 3C ．3sin α－ 3cos α＋ 1D ． 2sin α－ cos α＋ 1分析： 选 A. 当顶角 α→π时， 八边形几乎是边长为 2 的正方形 ，面积靠近于 4，四个选 项中，只有 A 切合，应选 A.224．P 为双曲线 x2－ y2＝ 1(a>0，b>0) 右支上的一点， F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，a b则△ PF 1F 2 的内切圆圆心的横坐标为 ()A ． aB ． bC. a 2＋ b 2D ． a ＋ b － a 2＋ b 2分析： 选 A. 如图 ，点 P 沿双曲线向右极点无穷靠近时， △PF 1F 2 的内切圆愈来愈小 ，直至“ 点圆 ”， 此 “ 点圆 ” 应为右极点 ，则内切圆圆心的横坐标为a ，应选 A.方法四结构法[方法解说 ]方法解说使用前提结构法是一种创建性的解题方法，它很好地体现了数学中的发散、类比、转变思想．利用已知条件和结论的特别性结构函数、数列、 方程 结构的函数、或几何图形等， 进而简化推理与计算过程，使方程、图形等较复杂或不易求解的数学识题获取简捷解要合理，不可以答．结构法根源于对基础知识和基本方法的积超越原题的条累，需要从一般的方法原理中进行提炼归纳，件限制 .踊跃联想， 横向类比， 从以前近似的问题中找到结构的灵感 .使用技巧常有问题对于不等式、方程、函数问比较大小、 题常结构新函数导数问函数，对于不题、不规则规则的几何的几何体问 体常结构成题等 .规则的几何体办理 .[真题示例 ]真题示例技法应用(2018 高·考全国卷Ⅱ )在长方体在长方体 ABCD -A B C D 的面 ABB A 一侧再1ABCD -A B C D 中， AB＝ BC＝ 1，AA ＝3， 1 1 1 1 1 11 1 1 1则异面直线AD 1与 DB1所成角的余弦值为补添一个完整同样的长方体ABC2 2D -() ABBA，求△ABD 中∠ D AB 的余弦值即1 12 2 2 1 1 21 B. 5可．A. 5 65D. 2 答案： CC. 5 2(2016 高·考全国卷Ⅱ )α，β是两个平面， m，n 是两条直线，有以下四个命题：①假如 m⊥n， m⊥ α， n∥ β，那么α⊥ β.②假如 m⊥α，n∥ α，那么 m⊥ n.③假如α∥β， m? α，那么 m∥ β.④假如 m∥n，α∥β，那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等．此中正确的命题有________． (填写全部正确命题的编号 )续表结构正方体，将正方体中的相关棱与面看作问题中的相关直线与平面，逐个判断．答案：②③④真题示例(2015 ·考全国卷高Ⅱ )设函数 f′(x)是奇函数f(x)( x∈ R) 的导函数， f(－ 1)＝ 0，当 x>0 时，xf′(x)－ f(x)<0 ，则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是()A ． (－∞，－ 1)∪ (0， 1)B ．(－1， 0)∪ (1，＋∞ )C．(－∞，－ 1)∪(－ 1， 0)D． (0， 1)∪ (1，＋∞ )(2015 ·考全国卷高Ⅱ )设 S n是数列 { a n} 的前n 项和，且 a1＝－ 1， a n＋1＝ S n S n＋1，则 S n＝________.技法应用g(x)＝f（ x）依据题意结构新函数，对 g(x) 求x导再解．答案： A由 a n＋1＝ S n＋1－ S n，将原等式变形，再结构等1差数列S n求解．答案：－1n1．已知数列{ a n} 的前n 项和为【针对训练】S n，a1＝ 2， S n＋1＝ 2S n－ 1(n∈ N* )，则a10＝ ( )A．128 B． 256C．512 D． 1 024分析：选 B.因为S n＋1＝ 2S n－ 1，所以S n＋1－ 1＝2(S n－ 1)，所以{ S n－ 1} 是等比数列，且公比为 2，又 S1－ 1＝a1－1＝ 1，所以 S n－1＝ 2n－1，所以 S n＝2n－1＋ 1，所以 a10＝ S10－ S9＝29－ 28＝256. 应选 B.2．如图，已知球 O 的球面上有四点 A， B，C，D ，DA ⊥平面 ABC， AB⊥ BC，DA＝ AB ＝BC ＝ 2，则球 O 的体积等于 ________．分析：如图，以 DA，AB，BC 为棱长结构正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以 CD＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R，6 4πR3所以 R＝2，故球 O 的体积 V＝3＝ 6π.答案： 6π1－ f( x)>0 3．已知 f(x)为定义在 (0，＋∞ )上的可导函数，且 f(x)>xf′(x)恒成立，则不等式 x2f x的解集为 ________．分析：设 g(x)＝f（ x）xf′（ x）－ f（ x），x，则 g′(x)＝x2又因为 f(x)>xf′(x)，xf′（x）－ f（ x）所以 g′(x)＝x2 <0 在 (0，＋∞ )上恒成立，所以函数 g(x)＝f（ x）为 (0，＋∞)上的减函数，x2020高考文科数学二轮考前复习方略练习：第一部分第1讲选择、填空题的特别解法Word 版含分析 11 / 1111 f xf （ x ） 1 1 又因为 x 2f x － f(x)>0 ?1 > x ? g x >g(x)，则有 x <x ，解得 x>1.x 答案： (1，＋∞ )。