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2017 年高考数学第二轮复习的策略高三一轮复习已经凑近结尾了，二轮复习要如何展开？中华资源库采集了名师分享的高三数学二轮复习策略给大家参照，大家提早做好二轮复习的计划和策略，利用寒假时间迎头追上。
一、抓《考试说明》与信息研究第二轮复习中，不行能再左右逢源，要在复习中做到既有针对性又防备做无用功，既减少学生负担，又提升复习效率，就一定仔细研究《考试说明》，吃透精神本质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的议论报告，捕获高考信息，吸收新课程的新思想、新理念，从而转变成课堂教课的详尽内容，使复习有的放矢，事半功倍。
二、突出对课本基础知识的再发掘近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向，重申对通性通法的观察，而且一些高考试题能在课本中找到“原型”。
尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透辟理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。
自然回归课本不是照本宣科，而是抓纲悟本，指引学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推行发挥其应有的作用。
三、抓好专题复习，领悟数学思想高考数学第二轮复习重在知识和方法专题的复习，在知识专题复习中可以进一步牢固第一轮复习的成就，增强各知识板块的综合。
特别注意知识的交织点和联合点，进行必需的针对性专题复习。
比方：1、函数与导数。
此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是要点，特别要侧重交汇问题的训练。
2、三角函数、平面向量和解三角形。
此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是要点。
3、数列。
此专题中数列是要点，同时也要注意数列与其余知识交汇问题的训练。
4、立体几何。
此专题着要点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是要点。
5、分析几何。
此专题中分析几何是要点，以基天性质、基本运算为目标。
突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。
6、概率与统计、算法初步、复数。
此专题中概率统计是要点，以摸球、射击问题为背景理解概率问题。
冲刺2017：高考理科数学复习计划_考前复习由于高三数学复习的难度比较大，而且每个复习阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，下文高考理科数学复习计划，希望考生们都能掌握。
一、指导思想高三第一、二轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一、二轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。
第三轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第三轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。
强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。
整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。
第三轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“三轮看水平”之说.“三轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求.具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”.二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展.三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架.四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法.二、时间安排：1.第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。
2.第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。
3.最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。
2017年高考数学倒计时两周冲刺策略一、数学试题的特点数学试题有填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）解答题（本大题共有5题，满分76分）．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分；18．本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分；19．本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分；20．本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分；21．本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．高考数学试卷中，代数占65%左右，几何占35%左右，试题的分值与课时数匹配。
试题有考查知识点的掌握，数学思想和方法的掌握，有对数学能力的考查。
试题考查：数学基础知识与基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探究能力——详见《2017年上海卷考试手册》P11～13。
数学素养的考查：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。
试题分为容易题、中档题、难题，三种题型的比例为3:5:2=45:75:30，做好容易题和中档题，总分有120，而多年来全市数学均分90多分。
最佳难度系数0.65，均分约为97.5。
二、学习策略1、容易题特点：容易题一般考查知识点的掌握情况，考查的知识点比较单一，考查的知识点不会很多，很少把知识点与数学思想方法结合在一起考，如果结合也是简单的、明显的。
对策：掌握《考试手册》中所涉及到的知识点，打开课本逐条落实，这也是查漏补缺必须做的。
可以做一些小的练习，这些练习难度不大，时间在半小时左右，对于小练习错误的题目，认真订正及时小结。
对于数学的方法要掌握具体内容和操作点。
比如换元法、数形结合、分类讨论、等价转化都要掌握好。
一般容易题所涉及到的数学方法都是明显的、简单的，题目本身涉及到的数学法都是想让答题者知道的。
2017年高考数学考前准备_考前复习1调适心理，增强信心(1)合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考;(2)合理安排饮食，提高睡眠质量;(3)保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示;(4)静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。
2悉心准备，不紊不乱(1)重点复习，查缺补漏。
对前几次模拟考试的试题分类梳理、整合，既可按知识分类，也可按数学思想方法分类。
强化联系，形成知识网络结构，以少胜多，以不变应万变。
(2)查找错题，分析病因，对症下药，这是重点工作。
(3)阅读《考试说明》和《试题分析》,考试技巧，确保没有知识盲点。
(4)回归课本，回归基础，回归近年高考试题，把握通性通法。
(5)重视书写表达的规范性和简洁性，掌握各类常见题型的表达模式，避免会而不对，对而不全现象的出现。
(6)临考前应做一定量的中、低档题，以达到熟悉基本方法、典型问题的目的，一般不再做难题，要保持清醒的头脑和良好的竞技状态。
3入场临战，通览全卷最容易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的临战阶段，此时保持心态平稳是非常重要的。
刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不要匆忙作答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作铺垫，一般可在五分钟之内做完下面几件事：(1)填写好全部考生信息，检查试卷有无问题;(2)调节情绪，尽快进入考试状态，可解答那些一眼就能看得出结论的简单选择或填空题(一旦解出，信心倍增，情绪立即稳定);(3)对于不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略地分为A、B两类：A类指题型比较熟悉、容易上手的题目;B类指题型比较陌生、自我感觉有困难的题目，做到心中有数。
三、压轴题专练(一)1.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12，点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线x ＋3y ＋3＝0相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NF 恰好为△PNQ 的内角平分线，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知F (－c,0)， ∵e ＝12，∴b ＝3c ，即B (0，3c )，∵k BF ＝3c0－(－c )＝3，又∵BC ⊥BF ，∴k BC ＝－33，∴C (3c,0)， 圆M 的圆心坐标为(c,0)，半径为2c ， 由直线x ＋3y ＋3＝0与圆M 相切可得|c ＋3|1＋(3)2＝2c ，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足条件的点N (x 0,0)由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∵NF 为△PNQ 的内角平分线， ∴k NP ＝－k NQ ，即y 1x 1－x 0＝－y 2x 2－x 0，∴k (x 1＋1)x 1－x 0＝－k (x 2＋1)x 2－x 0⇒(x 1＋1)(x 2－x 0)＝－(x 2＋1)(x 1－x 0)．∴x 0＝x 1＋x 2＋2x 1x 2x 1＋x 2＋2.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 24＋y23＝1，∴3x 2＋4k 2(x ＋1)2＝12.∴(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.∴x 0＝－8k 23＋4k 2＋8k 2－243＋4k22－8k 23＋4k2＝－4， ∴存在满足条件的点N ，点N 的坐标为(－4,0)． 2.设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx，当m ≤0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． 当m >0时，f ′(x )＝(x ＋m )(x －m )x，当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上：当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m >0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数，当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x >0，有唯一零点；当m ≠0时，F ′(x )＝－(x －1)(x －m )x，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln 4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，0<x <1或x >m 时，F ′(x )<0；1<x <m 时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln (2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．当0<m <1时，0<x <m 或x >1时，F ′(x )<0；m <x <1时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m <0，所以F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )>0，而F (2m ＋2)＝－m ln (2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点． 3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.①直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； ②设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． (2)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －a |＋2a .①若不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，求实数a 的值．②在①的条件下，若不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，求实数k 的取值范围． 解 (1)①直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. ②∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3， 即x 2＋y 23＝1，∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)．∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋3≥1>0， ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522. (2)①∵|2x －a |＋2a ≤6，∴|2x －a |≤6－2a ， ∴2a －6≤2x －a ≤6－2a ， ∴32a －3≤x ≤3－a 2， ∵不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a －3＝－63－a2＝4，解得a ＝－2.②由①得f (x )＝|2x ＋2|－4. ∴|2x ＋2|－4≤(k 2－1)x －5， 化简整理得|2x ＋2|＋1≤(k 2－1)x ，令g (x )＝|2x ＋2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≥－1，－2x －1，x <－1，y ＝g (x )的图象如图所示，要使不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，需k 2－1>2或k 2－1≤－1， ∴k 的取值范围是{k |k >3或k <－3或k ＝0}．(二)1.[2016·西安质检] 如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2. 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相反数， 可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ， 直线PA 的方程为：y －3＝k (x －2)， 联立⎩⎨⎧y －3＝k (x －2)x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0， ∴x 1＋2＝8k (2k －3)1＋4k. 同理可得：x 2＋2＝－8k (－2k －3)1＋4k 2＝8k (2k ＋3)1＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 2．[2016·河南六市一联]已知函数f (x )＝a ln x －x ，g (x )＝x 2－(1－a )x －(2－a )ln x ，其中a ∈R .(1)若g (x )在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象交x 轴于A ，B 两点，AB 中点的横坐标为x 0，问：函数F (x )的图象在点(x 0，F (x 0))处的切线能否平行于x 轴？解 (1)g ′(x )＝2x －(1－a )－2－a x＝2x 2－(1－a )x －(2－a )x，∵g (x )的定义域为{x |x >0}，且g (x )在其定义域内为增函数， ∴g ′(x )≥0在x >0时恒成立，则2x 2－(1－a )x －(2－a )≥0在x >0时恒成立，∴a ≥5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋1)＋1x ＋1在x >0时恒成立． 而当x >0时，2(x ＋1)＋1x ＋1>3， ∴a ∈[2，＋∞)．(2)设F (x )的图象在(x 0，F (x 0))处的切线平行于x 轴，F (x )＝2ln x －x 2－ax ，F ′(x )＝2x－2x －a ，不妨设A (m,0)，B (n,0)，0<m <n ，则⎩⎪⎨⎪⎧2ln m －m 2－am ＝0① 2ln n －n 2－an ＝0② m ＋n ＝2x0③ 2x 0－2x 0－a ＝0， ④①－②得2ln m n－(m ＋n )(m －n )＝a (m －n )， ∴a ＝2lnmnm －n －2x 0，由④得a ＝2x 0－2x 0，∴ln m n ＝2(m －n )m ＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫mn －1mn＋1，⑤设t ＝m n ∈(0,1)，⑤式可变为ln t －2(t －1)t ＋1＝0(t ∈(0,1))．设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，h ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t ＋1)2－4t t (t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0(t ∈(0,1))，∴函数h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1在(0,1)上单调递增，因此h (t )<h (1)＝0，也就是ln m n <2⎝ ⎛⎭⎪⎫mn －1mn＋1，此式与⑤矛盾．∴F (x )的图象在点(x 0，F (x 0))处的切线不能平行于x 轴． 3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(4cos θ＋3sin θ)－m ＝0(其中m为常数)．①若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； ②若m ＝4，求直线l 被曲线C 截得的弦长． (2)选修4－5：不等式选讲已知定义在R 上的连续函数f (x )满足f (0)＝f (1)． ①若f (x )＝ax 2＋x ，解不等式|f (x )|<ax ＋34；②若任意x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.解 (1)①直线l 的极坐标方程可化为直角坐标方程： 4x ＋3y －m ＝0，曲线C 的参数方程可化为普通方程：y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －m ＝0y 2＝4x ，可得y 2＋3y －m ＝0，因为直线l 和曲线C 恰好有一个公共点， 所以Δ＝9＋4m ＝0，所以m ＝－94.②当m ＝4时，直线l ：4x ＋3y －4＝0恰好过抛物线的焦点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －4＝0y 2＝4x ，可得4x 2－17x ＋4＝0，设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝174，故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为 |AB |＝x 1＋x 2＋2＝174＋2＝254.(2)①f (0)＝f (1)，即a ＋1＝0，即a ＝－1， 所以不等式化为|－x 2＋x |<－x ＋34.a ．当x <0时，不等式化为x 2－x <－x ＋34，所以－32<x <0； b ．当0≤x ≤1时，不等式化为－x 2＋x <－x ＋34，所以0≤x <12；c ．当x >1时，不等式化为x 2－x <－x ＋34，所以x ∈∅.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <12. ②证明：由已知任意x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2，则不妨设x 2>x 1，则当x 2－x 1≤12时，|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|≤12，当x 2－x 1>12时，则x 1<12，且1－x 2<12，那么|f (x 1)－f (x 2)|＝|f (x 1)－f (0)＋f (1)－f (x 2)|≤|f (x 1)－f (0)|＋|f (1)－f (x 2)|<x 1－0＋1－x 2＝1－(x 2－x 1)<12.(三)1.[2016·郑州质检]已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点，C ，D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为－1时，求线段AB 的长．解 (1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意可得， (x ＋1)2＋y 2＝ 3 (x －1)2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3.(2)由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解之得t ＝0或t ＝3，又C ，D 两点均在x 轴下方，所以直线CD ：y＝－x .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＋1＝0y ＝－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22y ＝22－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22y ＝－22－1.不失一般性，可设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，－22－1，AC ：y ＝u (x －1)， 由{ x 2＋y 2－4x ＋1＝0， y ＝u (x －1)， 消y 得：(u 2＋1)x 2－2(u 2＋2)x ＋u 2＋1＝0，①方程①的两根之积为1，所以点A 的横坐标x A ＝2＋2， 又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1在直线l 1：x －my －1＝0上，解得m ＝2＋1，直线l 1：y ＝(2－1)(x －1)，所以A (2＋2，1)，同理可得B (2－2，1)，所以线段AB 的长为2 2.2．[2016·唐山统考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －ax ＋1(x ≥a )ex －1＋(a －2)x (x <a )(a >0)．(1)若a ＝1，证明：y ＝f (x )在R 上单调递减； (2)当a >1时，讨论f (x )零点的个数．解 (1)证明：当x ≥1时，f ′(x )＝1x－1≤0，f (x )在[1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0；当x <1时，f ′(x )＝ex －1－1<0，f (x )在(－∞，1)上单调递减，且此时f (x )>0.所以y ＝f (x )在R 上单调递减．(2)若x ≥a ，则f ′(x )＝1x －a ≤1a－a <0(a >1)，所以此时f (x )单调递减，令g (a )＝f (a )＝ln a －a 2＋1， 则g ′(a )＝1a－2a <0，所以f (a )＝g (a )<g (1)＝0，(另解：f (a )＝ln a －a 2＋1<ln a －a ＋1<0，事实上，令h (a )＝ln a －a ＋1，h ′(a )＝1a－1<0，h (a )<h (1)＝0)即f (x )≤f (a )<0，故f (x )在[a ，＋∞)上无零点． 当x <a 时，f ′(x )＝ex －1＋a －2，①当a >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 又f (0)＝e －1>0，f ⎝⎛⎭⎪⎫12－a <0，所以此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ，0上有一个零点．②当a ＝2时，f (x )＝e x －1，此时f (x )在(－∞，2)上没有零点．③当1<a <2时，令f ′(x 0)＝0，解得x 0＝ln (2－a )＋1<1<a ，所以f (x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，a )上单调递增．f (x 0)＝ex 0－1＋(a －2)x 0＝ex 0－1(1－x 0)>0，所以此时f (x )没有零点．综上，当1<a ≤2时，f (x )没有零点；当a >2时，f (x )有一个零点． 3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P . ①求曲线C 的直角坐标方程；②求1|PA |＋1|PB |的值．(2)选修4－5：不等式选讲已知实数m ，n 满足：关于x 的不等式|x 2＋mx ＋n |≤|3x 2－6x －9|的解集为R . ①求m ，n 的值；②若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 解 (1)①利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程 ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴普通方程是x 2＋y 2＝2y ＋2x ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.②∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ， 把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t y ＝1＋32t 代入曲线C 的普通方程 (x －1)2＋(y －1)2＝2中，得t 2－t －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1·t 2＝－1t 1＋t 2＝1，∴1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2| ＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝12－4×(－1)＝ 5.(2)①由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，即有⎩⎪⎨⎪⎧|9＋3m ＋n |≤0|1－m ＋n |≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧9＋3m ＋n ＝01－m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3，经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R .②证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， ∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3， 故a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)．(四)1.[2016·石家庄模拟]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点M (m,2)，其焦点为F ，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：(x －1)2＋y 2＝1相切，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 过定点．解 (1)抛物线C 的准线方程为x ＝－p2，∴|MF |＝m ＋p2＝2，又4＝2pm ，即4＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2，∴p 2－4p ＋4＝0，∴p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设点E (0，t )(t ≠0)，由已知切线不为y 轴，设EA ：y ＝kx ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋ty 2＝4x ，消去y ，可得k 2x 2＋(2kt －4)x ＋t 2＝0，①∵直线EA 与抛物线C 相切，∴Δ＝(2kt －4)2－4k 2t 2＝0，即kt ＝1，代入 ①可得1t2x 2－2x ＋t 2＝0，∴x ＝t 2，即A (t 2,2t )．设切点B (x 0，y 0)，则由几何性质可以判断点O ，B 关于直线EF ：y ＝－tx ＋t 对称，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0×t －00－1＝－1y2＝－t ·x2＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t 2t 2＋1y 0＝2tt 2＋1，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t2t 2＋1，2t t 2＋1.解法一：直线AB 的斜率为k AB ＝2tt 2－1(t ≠±1)， 直线AB 的方程为y ＝2t t 2－1(x －t 2)＋2t ， 整理得y ＝2tt 2－1(x －1)， ∴直线AB 恒过定点F (1,0)，当t ＝±1时，A (1，±2)，B (1，±1)，此时直线AB 为x ＝1，过点F (1,0)． 综上，直线AB 恒过定点F (1,0)． 解法二：直线AF 的斜率为k AF ＝2tt 2－1(t ≠±1)， 直线BF 的斜率为k BF ＝2tt 2＋1－02t 2t 2＋1－1＝2tt 2－1(t ≠±1)，∴k AF ＝k BF ，即A ，B ，F 三点共线．当t ＝±1时，A (1，±2)，B (1，±1)，此时A ，B ，F 三点共线． ∴直线AB 过定点F (1,0)．2．[2016·贵州测试]设n ∈N *，函数f (x )＝ln x x n ，函数g (x )＝exxn (x >0)．(1)当n ＝1时，求函数y ＝f (x )的零点个数；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象分别位于直线y ＝1的两侧，求n 的取值集合A ；(3)对于∀n ∈A ，∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，求|f (x 1)－g (x 2)|的最小值． 解 (1)当n ＝1时，f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2(x >0)． 由f ′(x )>0得0<x <e ；由f ′(x )<0得x >e.所以函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因为f (e)＝1e >0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e<0，所以函数f (x )在(0，e)上存在一个零点；当x ∈(e ，＋∞)时，f (x )＝ln xx>0恒成立，所以函数f (x )在(e ，＋∞)上不存在零点． 综上得函数f (x )在(0，＋∞)上存在唯一一个零点． (2)对函数f (x )＝ln x x n 求导，得f ′(x )＝1－n ln xxn ＋1(x >0)， 由f ′(x )>0，得0<x <e 1n ；由f ′(x )<0，得x >e 1n；.所以函数f (x )在(0，e 1n ；)上单调递增，在(e 1n；，＋∞)上单调递减， 则当x ＝e 1n ；时，函数f (x )有最大值f (x )max ＝f (e 1n ；)＝1n e .对函数g (x )＝e xx n (x >0)求导，得g ′(x )＝(x －n )exxn ＋1(x >0)， 由g ′(x )>0，得x >n ；由g ′(x )<0，得0<x <n .所以函数g (x )在(0，n )上单调递减，在(n ，＋∞)上单调递增，则当x ＝n 时，函数g (x )有最小值g (x )min ＝g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n .因为∀n ∈N *，函数f (x )的最大值f (e 1n )＝1ne<1，即函数f (x )＝ln xxn 在直线y ＝1的下方，故函数g (x )＝exxn (x >0)在直线y ＝1的上方，所以g (x )min ＝g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n>1，解得n <e.所以n 的取值集合A ＝{1,2}．(3)对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－g (x 2)|的最小值等价于g (x )min －f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n －1n e.当n ＝1时，g (x )min －f (x )max ＝e －1e；当n ＝2时，g (x )min －f (x )max ＝e 24－12e；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24－12e ＝e 2(4－e)－24e >0， 所以|f (x 1)－g (x 2)|的最小值为e 24－12e ＝e 3－24e .3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4y ＝sin2α＋1(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ－3.①求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； ②求曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值． (2)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －2a |. ①当a ＝1时，求不等式f (x )>2的解集；②若对任意x ∈R ，不等式f (x )≥a 2－3a －3恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)①x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝(sin α＋cos α)2＝sin2α＋1＝y ，所以C 1的普通方程为y ＝x 2.将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入C 2的方程得x 2＋y 2＝4y －3， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＋3＝0.②将x 2＋y 2－4y ＋3＝0变形为x 2＋(y －2)2＝1，它的圆心为C (0,2)．设P (x 0，y 0)为C 1上任意一点，则y 0＝x 20，从而|PC |2＝(x 0－0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋(x 20－2)2＝x 40－3x 20＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫x 20－322＋74，所以当x 20＝32时，|PC |min ＝72，故曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值为72－1. (2)①当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.当x ≤1时，f (x )＝1－x ＋2－x ＝3－2x ，此时由f (x )>2得x <12；当1<x ≤2时，f (x )＝x －1＋2－x ＝1，此时f (x )>2无解； 当x >2时，f (x )＝x －1＋x －2＝2x －3，此时由f (x )>2得x >52.综上可得不等式f (x )>2的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. ②因为f (x )＝|x －a |＋|x －2a |≥|(x －a )－(x －2a )|＝|a |，故f (x )取得最小值|a |，因此原不等式等价于|a |≥a 2－3a －3.当a ≥0时，有a ≥a 2－3a －3，即a 2－4a －3≤0， 解得2－7≤a ≤2＋7，此时有0≤a ≤2＋7. 当a <0时，有－a ≥a 2－3a －3，即a 2－2a －3≤0， 解得－1≤a ≤3，此时有－1≤a <0. 综上可知a 的取值范围是[－1,2＋7]．。
