方程的概念 (5)

第五章 一元一次方程
思维导图
程
方次一元
一⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧写出答案检验解一元一次方程列一元一次方程设出适当的未知数找出等量审清题意题的一般步骤列一元一次方程解应用未知数的系数化为
合并同类项移项去括号去分母
解一元一次方程的步骤
结果仍是等式，所得的数或除以同一个不为个数：等式两边同时乘同一
性质结果仍是等式同一个代数式，所得的或减：等式两边同时加性质等式的基本性质数的值右两边的值相等的未知方程的解：使方程左、
数的等式方程的概念：含有未知未知数的指数都是式方程中的代数式都是整只含有一个未知数一元一次方程的概念
1)0(2)(11
考点精讲。

五年级上册数学教案-方程的意义-人教版 (5)教学内容本节课将引导学生理解方程的意义，并能运用方程解决实际问题。

我们将从基础的等式开始，逐步引导学生理解方程的概念，并掌握方程的解法。

通过实例，让学生了解方程在生活中的应用，提高他们解决问题的能力。

教学目标1. 知识与技能：使学生理解方程的意义，掌握方程的解法，并能运用方程解决实际问题。

2. 过程与方法：通过实例，让学生了解方程在生活中的应用，提高他们解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对方程的兴趣，激发他们探索数学世界的热情。

教学难点1. 方程意义的理解：使学生能够理解方程表示的是两个量的相等关系。

2. 方程解法的掌握：引导学生掌握解方程的方法，包括移项、合并同类项等。

3. 方程在实际问题中的应用：培养学生将实际问题转化为方程的能力，并能求解。

教具学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学PPT。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮。

教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题，从而引入方程的概念。

2. 新课：讲解方程的意义，举例说明方程在生活中的应用。

通过例题，让学生了解方程的解法。

3. 练习：让学生独立完成一些方程题目，巩固所学知识。

4. 讲评：针对学生的练习情况，进行讲解和评析，解答学生的疑问。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调方程的意义和解法。

板书设计1. 方程的意义：表示两个量的相等关系。

2. 方程的解法：移项、合并同类项。

3. 方程在实际问题中的应用：将实际问题转化为方程，求解。

作业设计1. 完成课后练习题。

2. 观察生活，找出一个可以用方程解决的问题，并尝试解决。

课后反思本节课通过实例引入方程的概念，让学生了解方程的意义和解法。

在教学过程中，要注意引导学生理解方程表示的是两个量的相等关系，并掌握解方程的方法。

同时，要注重培养学生的实际应用能力，使他们能够将实际问题转化为方程，并求解。

在课后，教师要关注学生的作业完成情况，及时解答他们的疑问，提高他们的数学素养。

方程的意义基础知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c 为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x ＝0中，两边加上得x ＋，这个等式不成立; (3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；④2m-3n ＝0； ⑤3x 2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3；⑦251x =+； ⑧28553x x -=． 【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】（2020春•宜宾县期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）A. 3+2=5B. x=1C. 2x ﹣3＜0D. a 2+2ab+b 2【答案】B ．2．（2020春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（ ）A. 4x ﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x ﹣1）【答案】C ．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A ．x+1＝4B ．2x+1＝3C ．2x-1＝2D ．2173x += 类型二、一元一次方程的相关概念3．已知方程①32x x -=；②0.4x ＝11；③512x x =-；④y 2-4y ＝3；⑤t ＝0；⑥x+2y ＝1．其中是一元一次方程的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B.【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为①不是整式方程（分母中含有未知数）；④未知数的次数为2；⑥含有两个未知数．所以①、④、⑥都不是一元一次方程． 【总结升华】3x 和2x 是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母， 3x不是整式，2x 是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程． 举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．(1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________；(3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；(2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ；(3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a b c c =++.C ．在等式b c a a=两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解显然，当x ＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x 的5倍比x 的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4； (3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x ，则1344x x -=；(3)设甲用x 分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x +=．。

清单03 一元一次方程（五大考点梳理+题型解读+解决实际问题12种题型）【知识导图】【知识清单】考点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．【例1】（2022秋•颍州区期末）下列各式中，是方程的个数为（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2个B．3个C．5个D．4个2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．【例2】（2022秋•汉台区期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则（）A．m＝2B．m＝﹣3C．m＝±3D．m＝13．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．【例3】（2023春•蒸湘区校级期末）若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（）A．﹣4B．4C．﹣8D．8【变式】（2022秋•宁阳县期末）若一元一次方程ax+b＝0的解是x＝1，则a，b的关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为负倒数4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．考点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．【例4】（2022秋•雅安期末）下列等式变形错误的是（）A．若，则x﹣1＝2xB．若x﹣1＝3，则x＝4C．若x﹣3＝y﹣3，则x﹣y＝0D．若3x+4＝2x，则3x﹣2x＝﹣42．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．考点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解bxa(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【例5】（2022秋•东宝区期末）解方程：（1）4﹣2x＝﹣3（2﹣x）；（2）．考点四、列方程解应用题的步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【例6】（2022秋•汇川区期末）如图，已知数轴上有A，B两点，它们分别表示数a，b，且（a+6）2+|b﹣12|＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）点C以2个单位长度/秒的速度从点A向点B运动，到达点B后停止运动．若点D为AC中点，点E为BC中点，在点C运动过程中，线段DE的长度是否发生改变？若不变，求线段DE的长度，若变化，请说明原因；（3）在（2）的条件下，点P以1个单位长度/秒的速度同时从原点O向点B运动，P点到达B点后停止运动，问点P运动多少秒后，点P与点C相距2个单位长度？【例7】（2022秋•秦淮区期末）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2015年5月1日起对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（元/千瓦时）不超过150千瓦时的部分a 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分b 超过300千瓦时的部分a +0.32015年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交费60元；居民乙用电200千瓦时，交费125元． （1）求上表中a 、b 的值；（2）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月交费285元？【例8】．（2022秋•常州期末）列方程解决问题：小华和妈妈一起玩成语竞猜游戏，商定如下规则：小华猜中1个成语得2分，妈妈猜中1个成语得1分，结果两人一共猜中了30个成语，得分恰好相等．请问小华猜中了几个成语？考点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+ 7.数字问题；8.分配问题； 9.比赛积分问题；10.水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度水流速度）．题型1.配套问题1.某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？2.某车间有62个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？题型2.销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

初中阶段第一轮复习资料----《方程》（一）方程基本概念及解方程一、知识要点：一元一次方程、二（三）元一次方程（组）、一元二次方程、分式方程概念，解方程的基本思想（降次及消元）及解法。

二、课前热身1、关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为________________.2、请你写出一个以⎩⎨⎧=-=72y x 为解的二元一次方程组 ．3、分式方程2)2)(1(--+x x x =0的解为（ ）．（A ）x=2 （B ）x=-2 （C ）x=1 （D ）x=-14、一元二次方程022=-x x 的解为:________________. 三、典型例题1、请把下列方程按要求分类，只填序号 ①365=+x②3=+y x ③212=+x ④312=++x x ⑤32=+y x（1）整式方程的有 ；（2）分式方程的有 ； （3）一元一次方程的有 ；（4）一元二次方程的有 ； （5）二元一次方程的有 ；（6）二元二次方程的有 。

2、解方程：①1615312=--+x x解：去分母，得去括号，得 移项，得 合并同类项，得 未知数系数化为1，得②用两种方法解方程组⎩⎨⎧=+=+93232y x y x③解分式方程：1233x x x=+-- （要验根）④解方程()912=-x （请选用多种解法）四、基础练习１、下列方程变形中正确的是（ ）． （Ａ）若43=x ，则34-=x （Ｂ）若232=-x ，则31-=x（Ｃ）若42=-x ，则24-=x （Ｄ）若x x 2311=--，则x x 613=+-2、解方程16110312=+-+x x 时，去分母、去括号后，正确结果是（ ）A. 111014=+-+x xB. 111024=--+x xC. 611024=--+x xD. 611024=+-+x x3、已知523=-y x ，用含x 的代数式表示y ＝ ，用含y 的代数式表示x ＝ ．0≥a4、已知关于x 的方程032=+-m x x 的一个根为1. 则m 的值为________，另一个根为___________.5、++x x 212________=()2______+x6、如果分式12-x 与33+x 的值相等,则x 的值是( )A ．9B ．7C ．5D ．37、解方程（组）① x x x -=+-+2)15(3)4(2 ②521413x x +-=-③2512236x y x y +=⎧⎨+=⎩ ④ ⎩⎨⎧=+=22500000y 250x 500y2x 5⑤ 0227=-+x x ⑥111142-+=+-x x x⑦276x x +=- ⑧210x +=-五、课堂延伸1、下列各组数中，既是方程23x y -=的解，又是方程3410x y +=的解的是（ ）．（A ）11x y =⎧⎨=-⎩ （B ）24x y =⎧⎨=⎩ （C ）45x y =⎧⎨=⎩ （D ）21x y =⎧⎨=⎩2、如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是（ ）A.x ＝－3，y ＝2B.x ＝2，y ＝－3C.x ＝－2，y ＝3D.x ＝3，y ＝－23、已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，则m 的值是 。

方程的概念鹿邑县实验中学数学组主备人：杨惠君学习目标：1、学会寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念。

2、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。

学习过程：一、板书课题同学们，今天我们来学习方程的概念，我们应该达到什么目标呢？请看学习目标二、出示学习目标1、学会寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念。

2、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。

自学指导：怎样才能当堂达到目标呢？请看自学指导：认真自学78－－79页的内容，注意:1、什么是方程？2、列方程有哪些步骤？3、自学例1，看如何寻找问题中的相等关系，列方程。

先学（一）、学生看书，教师巡视，督促每个学生都认真、紧张的自学，如有疑问，可以请教同学或举手问老师。

自学检测1.方程的概念:含有（）的（）叫做方程。

2.列方程的步骤：(1）设出( ）表示未知数；（2）找出问题中的（）关系；（3）列出含（）的式子——方程。

3.判断下列式子是不是方程，对的画“√”，错的画“×”.(1) 1+2=3 (2) x+2>1 (3)1+2x=4 (4)x+y=2(5) x²－1 (6) x²－x=2 (7)x+3-5 （8）x=84. 小悦买书需用４８元钱，付款时恰好用了１元和５元的纸币共１２张，设所用的１元纸币为ｘ张，根据题意，列方程：————————————————（２）学生演板，其它学生认真观察，发现错误，以便更正。

后教（一）、更正请同学们认真看堂上演板的内容，注意上面学生所写的结果有错误吗？（２）讨论①列方程的步骤应该注意什么？②上边式子判断的对吗？引导学生说出每一题的答案。

③列方程就是根据题意列出含有未知数的等式。

针对训练1.下列各式中，是方程的有（）（1）-3-3=-7 （2）3x-5=2x+1 (3) 2x+6 (4)x-y=0 （5）a+b>3A.1个B.2个C.3个D.4个2.根据下列语句列出式子，并说出它是不是方程。

七上第五章一元一次方程本章知识点梳理：（7-12次课）知识点1：方程的相关概念（0.5-1次课） 知识点2：解方程（1-2课时）知识点3：特殊方程的解法（1-2课时） 知识点4： 等量关系认识及基础应用题（1课时） 知识点5：打折销售问题 （1-2课时） 知识点6：方案问题（1课时）知识点7：行程问题（1-2课时） 知识点8：其他应用题（0.5-1课时）第一节 方程及一元一次方程的相关概念知识要点1：1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.注意未知数的理解，n m x ,,等，都可以作为未知数2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。

例如： 8+5x=18， 2(y+1.5)=5等都是一元一次方程。

3.判断一元一次方程的条件①是方程。

②只含有一个未知数③未知数的指数是1注意：1、分母中含有未知数的方程不是一元一次方程，是分式方程2、对于复杂方程必须经过化简，化简后符合一般形式的才是一元一次方程3、π是字母，但不是未知数，是一个常数。

典型例题例1：基本概念填空⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 例2:判定下列那些是方程，那些是一元一次方程？0=x ，712=+x π， 3)813(4)5(21,01002,2,01-+=-=++=+=+x x x y x xx 0)(22=+-x x x练习： 下列方程①313262-=+x x ②4532x x =+ ③2（x+1）+3=x1④3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.一元一次方程共有( )个.A.1B.2C.3D.4例2、 如果(m-1)x |m|+5=0是一元一次方程，那么m ＝＿＿＿．练习：1、若(a －1)x |a|＋3＝－6是关于x 的一元一次方程，则a ＝＿＿；x ＝＿＿＿。