微分方程基本概念

第十二章 微分方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .。

微分方程基本概念介绍微分方程（Differential equation）是数学中研究函数与其导数（或称微商）之间的关系的方程。

它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。

本文将就微分方程的基本概念进行介绍。

一、微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。

一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''分别表示一阶、二阶导数。

二、微分方程的类型1.第一阶微分方程：形式为dy/dx = f(x)的微分方程，它包含一阶导数，最高阶数为1；2.第二阶微分方程：形式为d²y/dx² = f(x)的微分方程，它包含二阶导数，最高阶数为2；3.常系数微分方程：系数与自变量无关的微分方程，如dy/dx + ay = 0；4.线性微分方程：未知函数及其导数只有一次项且可相加，如y''+ p(x)y' + q(x)y = f(x)；5.非线性微分方程：未知函数及其导数有非线性项的微分方程，如y' = y²。

三、解微分方程的方法1.可分离变量法：将方程重写成形式dy/f(y) = g(x)dx，然后分别对x和y积分；2.齐次微分方程法：将微分方程转化为全微分形式dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，其中P和Q为关于x和y的函数，然后求z的通解；3.一阶线性微分方程法：利用一阶线性微分方程的特性，找到形如y = u(x)v(x)的通解；4.常系数线性微分方程法：对于常系数微分方程，可通过特征方程求得特解；5.变量代换法：通过变量代换将微分方程转化为更简单的形式，再进行求解；6.数值解法：对于无法解析求得的微分方程，可以通过数值计算方法求得近似解。

四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

它可用于描述动力学系统、电路网络、人口变化、物质传输等各类问题。

微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。

微分方程的研究对于理解和描述自然界中的各种现象有着重要的意义。

本文将介绍微分方程的基本概念、分类、解法以及一些常见的应用领域。

一、基本概念1. 微分方程的定义：微分方程是一个方程，其中未知函数的某个导数和它本身以及自变量之间存在关系。

2. 微分方程的阶：微分方程中最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

常见的微分方程有一阶、二阶和高阶微分方程。

3. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程中只涉及一个自变量的导数，而偏微分方程涉及多个自变量的导数。

4. 初值问题和边值问题：初值问题是指在给定初始条件下求解微分方程的问题，边值问题是指在给定边界条件下求解微分方程的问题。

二、微分方程的分类1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后进行积分得到解。

2. 齐次微分方程：如果一个微分方程中的所有项都是同一个函数的同一个函数的倍数，可以通过变量替换的方法将其转化为分离变量的形式。

3. 线性微分方程：如果一个微分方程中的未知函数及其导数出现的次数均为1次，并且未知函数的系数只依赖于自变量，可以使用常数变易法或特解法求解。

4. 高阶线性微分方程：高阶线性微分方程可以通过降阶的方法解决。

5. 常系数线性齐次微分方程：常系数线性齐次微分方程可以通过特征方程的求解方法得到解。

6. 变参法：对于一些特殊的微分方程，可以引入适当的参数来构造方程的解。

7. 常见的特殊微分方程：如常微分方程中常见的一阶线性微分方程、二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程、高阶常系数齐次和非齐次线性微分方程等。

三、微分方程的解法1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，进行积分得到解。

2. 积分因子法：对于某些形式的微分方程，可以通过乘以适当的积分因子来将其转化为恰当方程，然后进行积分得到解。

3. 常数变易法：对于线性微分方程，可以通过假设待求解的解为一个常数的形式，然后带入原方程求解。

微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。

二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。

(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。

(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。

2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。

(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。

3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。

(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。

三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。

2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。

(3) 通解为齐次通解加上特解。

四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。

2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。

3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。

通过变量代换和积分可以求出其通解。

五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。

2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。

微分方程的基本概念微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。

通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。

一、微分方程的定义和形式微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。

一般形式为：dy/dx = f(x)其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。

微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。

二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。

1. 常微分方程常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。

根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)或者dy/dx = g(x)高阶常微分方程的一般形式为：dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹)其中，n为正整数。

2. 偏微分方程偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。

它们通常描述多变量函数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。

常见的偏微分方程有泊松方程、热传导方程、波动方程等。

三、微分方程的解解微分方程意味着找到满足方程的函数。

根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。

1. 显式解显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。

例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是f(x)的一个不定积分。

2. 隐式解隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。

通常，隐式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。

四、微分方程的应用微分方程是数学在自然科学、工程技术和社会科学等领域中广泛应用的工具。

以下是微分方程在几个领域的应用示例：1. 物理学微分方程在物理学中有广泛的应用，如牛顿第二定律、电动力学中的麦克斯韦方程、量子力学中的薛定谔方程等都可以表示为微分方程，用于研究物理系统的运动、力学性质和量子态等。

微分方程基本概念微分方程是数学中重要的概念，它在各个科学领域中都有广泛的应用。

本文将介绍微分方程的基本概念以及一些基本解法。

一、微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。

形式上，微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y', y'', ..., y^(n)是y的一阶到n阶导数，F是关于x、y、y'、y''等的函数。

二、微分方程的类型根据微分方程中未知函数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程中的未知函数只与自变量的一个变量有关，而偏微分方程中的未知函数与自变量的多个变量有关。

常微分方程按照阶数又可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等。

一阶微分方程中只包含一阶导数，表示为：dy/dx = f(x, y)二阶微分方程中包含一阶和二阶导数，表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)三、微分方程的解解微分方程的过程被称为求解微分方程。

根据微分方程的形式和特点，可以使用不同的解法。

1. 可分离变量法对于可分离变量的一阶微分方程，可以通过分离变量的方式求解。

将方程两边分开，然后进行积分，最后解出未知函数的表达式。

2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的一阶微分方程，如果f(x, y)和g(x, y)在全平面上具有相同的齐次性质，即对任意常数k，f(kx, ky) = k^mf(x, y)和g(kx, ky) = k^n g(x, y)，则可以使用齐次方程法求解。

3. 线性微分方程法对于形如dy/dx + P(x)y = f(x)的一阶线性微分方程，可使用线性微分方程法求解。

通过乘以一个积分因子将方程化为可积的形式，并通过积分求解。

4. 变量分离法、公式法、特征值法等对于不同类型的微分方程，还有其他一些特定的解法。

微分方程是数学中重要的一个分支，其在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。

微分方程的基本概念包括了方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。

首先，我们来看微分方程的定义。

微分方程是包含未知函数及其导数或微分的关系式。

它是数学分析的研究对象，用来研究函数在局部上的变化规律。

通常用x来表示自变量，用y表示函数的取值，用y'表示函数y对x的导数。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。

接下来，我们来看微分方程的解的定义。

微分方程的解是指满足该方程的函数。

一般来说，微分方程的解不是唯一的，而是存在无穷多个。

例如，对于一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，可以通过积分的方法求得其解。

解的形式可以是显式解或隐式解，取决于方程的形式和解的表达方式。

然后，我们来看初值问题。

初值问题是指在微分方程中给定一个特定的初值条件，要求求解满足该条件的解。

例如，对于一阶线性微分方程y'+y=0，给定初始条件y(0)=1，可以求解得到解y(x)=e^{-x}。

初值问题在应用领域中具有重要的意义，例如在物理学中，我们常常根据初始条件求解出系统的运动规律。

最后，我们来看一阶线性微分方程。

一阶线性微分方程是最简单和最常见的微分方程形式。

一般来说，一阶线性微分方程可以写作y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。

我们可以通过积分的方法求解这类方程，即将方程两边同时积分，得到y=∫q(x)e^{-\int p(x)dx}dx+C。

其中C是一个常数，它代表了方程的任意常数。

总结起来，微分方程是数学中重要的一个分支，它可以用来研究函数在局部上的变化规律。

微分方程具有基本的概念，包括方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。

微分方程在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用，例如求解物理系统的运动规律、分析电路的行为、研究经济的增长模式等。