2018届高中数学高考二轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案

第19讲 直线与圆锥曲线的位置关系(1)一、复习目标1、能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程(组)的问题；2、会利用韦达定理等处理诸如弦中点、弦长等问题；3、能够运用数形结合的思想方法分析、判断，能综合运用函数、不等式的知识解决相关问题.二、基础回顾1、直线l 被圆044222=++-+y x y x 截得的线段长为２，将直线l 沿向量)4,3(-=平移后被该圆截得的线段的长仍为２，则直线l 的方程为（ ）A 0234=++y xB 0543=++y xC 0234=-+y xD 0543=-+y x2、若直线y x t =+与椭圆2214x y +=相交于A,B 两点，当t 变化时，||AB 的最大值是（ ）A 2B 5C D3、若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为，则______.a b += 4、椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 为AB 的中点，若AB O =为坐标原点，OC 斜率为2，则,a b 的值分别为_____________. 三、例题探究 例1、12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角3π的直线与椭圆交于,P Q 两点，求PQ F 2∆的面积.例2、对于椭圆2219y x +=，是否存在存直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰好被直线12x +0=平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.例3、已知Ｏ为坐标原点，)0,8(),0,4(=-=，动点P 10=+，（１）求PB PA ⋅的最小值。

（２）若)0,1(Q ，试问动点P 的轨迹上是否存在N M ,两点，满足QM NQ 34=，若存在，求出N M ,两点的坐标；若不存在，请说明理由。

〔备用题〕、已知椭圆的一个顶点是)1,0(-A ，焦点在x 轴上，其右焦点到直线022=+-y x 的距离为３，试问是否存在一条斜率为)0(≠k k ，且在y 轴上的截距为２的直线l ，使l 与已知椭圆交于不同的两点N M ,，设MN 的中点为P ，且有直线AP 到直线l 的角的正切为k2。

第十节 直线与圆锥曲线的位置关系————热点考点题型探析一、复习目标：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值；掌握对称问题的求法。

二、重难点：重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值。

难点：圆锥曲线的有关范围与最值问题。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程 （一）、热点考点题型探析考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题[例1 ] 设抛物线y2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法[解析] 易知抛物线28y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (-2 , 0)， 于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+，联立222228,(48)40.(2),y x k x k x k y k x ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩其判别式为2242(48)1664640k k k ∆=--=-+≥，可解得 11k -≤≤，应选C. 【反思归纳】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对∆进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论题型2：与弦中点有关的问题[例2]、已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M 的轨迹方程;(Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程.【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解[解析] (Ⅰ)设(,)M x y ，因为2AM BMk k ⋅=-,:()22221x y x +=≠±(Ⅱ) 设1122(,),(,)C x yD x y当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11((,2222C D -,其中点不是N,不合题意设直线l 的方程为11()2y k x -=- 将1122(,),(,)C x yD x y 代入()22221x y x +=≠±得221122x y +=…………(1) 222222x y += (2)(1)-(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯直线l 的方程为111()22y x -=-- 即所求直线l 的方程为230x y +-=解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11(,(,2222C D -, 其中点不是N,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-,将其代入()22221x y x +=≠±化简得 由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222k k x x k -+=-+12=,解得12k =-, 将1k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-= 【反思归纳】通过将C 、D 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁题型3：与弦长有关的问题[例3]、已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的 弦长AB 为20，O 为坐标原点． （1）求实数k 的值；（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时， △ABC 面积最大？【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ABC 面积的最大值取得的条件[解析]（1）将k x y +=2代入y x 42=得0482=--k x x ， 由△01664>+=k 可知4->k ，另一方面，弦长AB 2016645=+⨯=k ，解得1=k ；（2）当1=k 时，直线为12+=x y ，要使得内接△ABC 面积最大，则只须使得2241=⨯='C Cx y ，即4=C x ，即C 位于（4，4）点处．【反思归纳】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围（二）、强化巩固导练1、已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C ；设)1,2(M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点.(1)求曲线C 的方程；(2)求m 的取值范围.[解析]（1）由⎩⎨⎧==y y x x 2''，代入圆的方程得曲线C 的方程：12822=+y x（2）直线l 的方程为mx y +=21. 由221,2 1.82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ , 得222240x mx m ++-=∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，∴22(2)4(24)0,m m ∆=--> 解得220m m -<<≠且.∴m 的取值范围是2002m m -<<<<或.2、椭圆141622=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程[解析]设弦所在直线与椭圆交于),(),,(2211y x N y x M 两点，则14162121=+y x ，14162222=+y x ，两式相减得：041622122212=-+-y y x x ，化简得0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，把2,42121=+=+y y x x 代入得212112-=--=x x y y k MN故所求的直线方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x（三）、小结：1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点． （四）、作业布置：复资P126页中2、3、5课外练习：限时训练52中2、3、4、6、7、8、9、10五、教学反思：。

(A) x 3x 1x 2(B) x^X 1X 3 x 2x 3(C)x x x直线与圆锥曲线的位置关系课前预习学案一、 预习目标1掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关 系的问题转化为研究方程组的解的问题；2.会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一 元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题. 二、 预习内容1直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法： 2、 弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）.3、 弦长公式 ___________________________________________________________ ;4•椭圆mx 2 ny 2 1与直线x y 1交于M,N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率 为2，则m的值为（）2 n2 22.若直线y kx 1和椭圆 — 壬 1恒有公共点，则实数 m 的取值范围为.25 m3.抛物线y ax * 2 1与直线y kx b （k 0）交于A,B 两点，且此两点的横坐标分别为捲,X 2，直线与x 轴的交点的横坐标是 X 3，则恒有（6•设直线y 2x 1交曲线C 于A(x 1, y-i ), B(x 2, y 2)两点，(1 )若 |X 1 X 2I 则 | AB| --------- (2) | y 1 y 21 2则 | AB| __________________7•斜率为1的直线经过抛物线 y 2 4x 的焦点，与抛物线相交于 A, B 两点，则|AB| __________ .2&过双曲线X 2 -1的右焦点作直线I ，交双曲线于 A,B 两点，若|AB| 4，则这样的2直线I 有()(A) 1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条9•已知椭圆x 2 2y 2 4，则以(1,1)为中点的弦的长度是()(A)3.2 (B) 2.3(C)-^0(D)3"6321 10.中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的左焦点为 F ，离心率为e ，过F 作直线I 交椭3圆于A,B 两点，已知线段 AB 的中点到椭圆左准线的距离是 6，则|AB| _________________ . 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内预习学案一、 学习目标1、 使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的 有关问题.2、 通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线 的各方面知识的能力.3、 通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力.二、 学习过程.2(A)T(B)(C)9. 2 2(D)2 3 272 5 •已知双曲线C : X 2J4(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条(D)4 条1.点P(x0 , y0)和圆锥曲线C: f(x , y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么?2.直线I : Ax+By+C=0和圆锥曲线C: f(x , y)=0有哪几种位置关系？3.点M(x0, y0)与圆锥曲线C: f(x , y)=0的位置关系21 2己知冷召的焦点为片环^r-2r=l(a>0)b>q)a b a b血 + 助+ C二0 临y)=0的焦点为F1、F2, y2=2px(p >0)的焦点为F, —定点为P(xO, yO) , M点到抛物线的准线的距离为d，则有：4.直线I ：Ax+ Bx+ C=0与圆锥曲线C： f(x , y) = 0的位置关系：——直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切•这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直纯：Ax+By+C= 0,消去y(或消古號)得：as3 +bx-l-c = 0, A= b3-4ac P审0.⑴A>0o相交；⑵心<0O相离I(3)A=0-^> 相切.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件.5.例题9例1.过点(1,6)的直线I与抛物线寸 4x交于代B两点，若只，0), |AP| |BP| ,求I的斜2率.2 2例2•直线I : y kx 1与双曲线C : 2x y 1的右支交于不同的两点A, B ,(I)求实数k的取值范围；(II )是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F ?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.2 •斜率为3的直线交椭圆2 2x y1于A, B两点，则线段AB的中点M的坐标满足方程例3 •已知直线I和圆M : x2 y2 2x 0相切于点T，且与双曲线C : x2 y2 1相交于A,B两点，若T是AB的中点，求直线I的方程.例4.如图，过抛物线y2 2 px( p 0)上一定点P(X o,y o)( y o 0),作两条直线分别交抛物线于A(x i,y i), B(X2, y2),(1)求该抛物线上纵坐标为号的点到其焦点F的距离；(2)当PA与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求孑一吐的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.y o例5•椭圆的中心是原点0，它的短轴长为2 2，相应于焦点F(c,0)(c 0)的准线I与x轴相交于点A , |OF | 2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点.(I)求椭圆的方程及离心率；(II )若OP.OQ 0,求直线PQ的方程；(山)设AP AQ( 1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明FM FQ .课后练习与提咼1 •以点(1, 1)为中点的抛物线y2 8x的弦所在的直线方程为( )(A) x 4y 3 0 (B) x 4y 3 0 (C) 4x y 3 0 (D) 4x y 3 02 24•过双曲线务占1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ , F1是左焦点，若a bPFQ 90°，则双曲线的离心率是( )(A)(B) 1 2 (C) 2 & (D) 325•过抛物线y ax (a 0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的3)(A)y 25x(B) y 325x (C)y25x3(D) y 25x33•过点(0,1)与抛物线y2 2 px( p 0)只有一个公共点的直线的条数是(A)0 (B) 1 (C)2 (D)3(A) 24、5(B)-5(C)辽5(D)8^5kx 1的两个交点关于y轴对称，则这两1 1长分别是p,q，则丄丄等于()p q1 4(A)2a (B)丄(C)4a (D)兰2a a2X 26•直线y x m与椭圆y 1交于A、B两点，则| AB |的最大值是( )47•已知双曲线x2 y2 kx y 9 0与直线y个交点的坐标为8•与直线2x y 4 0的平行的抛物线y x2的切线方程是 _____________________19.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F( m,0) ( m是大于0的常数).2(I)求椭圆的方程；(n)设Q是椭圆上的一点，且过点F ,Q的直线I与y轴交于点M ,UULW LUUT若|MQ | 2|QF |，求直线I的斜率.10.一个正三角形的三个顶点都在双曲线x2 ay2 1的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a的取值范围.11•已知直线y kx 1与双曲线3x2 y2 1相交于A, B两点•是否存在实数k，使A, B两点关于直线x 2y 0对称？若存在，求出k值，若不存在，说明理由.点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标（一）知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题.（二）能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力.（三）学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力.二、教材分析1重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题.（解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用. ）2•难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围.（解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解.）3.疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件.（解决办法：用图形向学生讲清楚这一点.）三、活动设计四、教学过程（一）问题提出1.点P（x o, y o）和圆锥曲线C: f（x , y）=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部（含焦点区域）、点P在曲线的外部（不含焦点的区域）.那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一.2.直线I : Ax+By+C=0^圆锥曲线C f（x , y）=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答. 直线I与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离.那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二.（二）讲授新课1点M（x o, y o）与圆锥曲线C: f（x , y）=0的位置关系2 2 1 2 己知笃■+告=l（a>b：>0）閑焦点为已，罕.a b a b的焦点为F1、F2, y2=2px（p >0）的焦点为F, —定点为P（x o, y o）, M点到抛物线的准线的距离为d,则有：Ax + By +C=0(上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明.2.直线I : Ax + Bx + C=0与圆锥曲线C ： f(x , y) = 0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离•对于抛物线来说，平行于对 称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与 双曲线只有一个交点，但并不相切•这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直鋼:Ax+Ey + C= 0*圆锥曲线C : f(x, y) =0»由消去y (或消古北)得：as 3 4-bx4-c = 0, A= b 3 -4ac P a^O. ⑴相交： ⑵A ＜0«相离！ ©)△=()令相切・注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件， 但不是充分条件.3.应用例1若直线y 七+1与焦点在蚌由上的懒圆芋+疋=1总有爲茯点,□ m求m 的取值范围.曲兰+汇“得 条件可 (0 , 1) 解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要 求. 由一名同学演板•解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上，知：Ovm<5.(m + 5k 2 H-10kz + 5(l-m) =0.又 •••直线与椭圆总有公共点,二上述方程对一实数喊立.即(10k) 2-4x(m+5k 2) x 5(1-m) >0, 亦即5k 2> 1-m 对一切实数k 成立.••• 1-m <0, 即卩 nn> 1. 故m 的取值范围为m€ (1 , 5).解法二：由于直线过定点(0 , 1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点 必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求.另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上知：0< m <5.' ----- 又•••直线与椭圆总有公共点. | ... ■- ------ •直线所经过的定点(0 , 1)必在椭圆内部或边界上./. — + 一< 1】即 mRl. 5 m故m 的取值范围为m€ (1 , 5),小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大; 解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷.例2椭圆C ：亍+牛=1上疽相异两点关于直线-:y=4"tn 对称，求m 的取值范围.解法一：利用判别式法.设对称点所在的直绸J 的方程为y = 一卜+山将此代入椭圆方程,并整理得：三慕‘ - 2nx - 12 = C L亦即n 2 -l?Cn 2 - 3)>0, /.Sti由方程可得；術+辱〔3 1 24… yi +y^ = -^(K i 4x 2)+ 2ri = -j^ ~2~又点 ■S 直线1 : y 二生i + m 上. 12n 16ii 13 —m 4又导書 一乎一誑＜孚即一辔 故m 的取值范围为（-零, 学）. 2^13 13解法二：禾U 用内点法.设两对称点为 P i (x 1, y i ) , F 2(x 2, y 2), P 1P 2 的中点为 , y o ),•••直线I '与椭圆C 相交于两点,13 -+-A>0? &P(-2n)3 -4X — - 12) >0,卫GC 竺 2 2两式相减亀 冲Z +咛1L 。

《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计第一课时◆教学目标1．清楚直线与抛物线的关系，提升学生的数学抽象素养．2.．会用坐标法求解直线与抛物线的有关问题，提高学生的逻辑推理素养．3．加强数形结合思想的训练与应用，提高学生的直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：直线与抛物线的三种位置关系教学难点：会用坐标法求解直线与抛物线的有关问题◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习直线与抛物线的位置关系（2）本节课是学生在学习了直线与椭圆、双曲线的位置关系的基础上，研究直线与抛物线的位置关系，进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用．本节内容也是高考的重点与热点内容．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题．类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题．（引出课题：直线与圆锥曲线的位置关系）例4：已知点)2,0(A 和抛物线x y C 6:2=，求过点x 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.师生活动：根据上一节学习方法，尝试解决本例．预设的答案:当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点)2,0(A 可知，直线l 就是y 轴，其方程为0=x ，由消去未知数x 得02=y .这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线0=x 与抛物线C 相切如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为2+=kx y ，由方程组⎩⎨⎧=+=xy kx y 622，消去x ，整理得01262=+-y ky .为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有0124)6(02=⨯--≠k k 且，因此可解得43=k ，此时直线l 的方程为0843,243=+-+=y x x y 即. 综上可知，直线l 的方程为08430=+-=y x x 或.教师讲解：一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．设计意图：求经过抛物线外一点且与抛物线相切的直线的方程.本题一方面可以考查直线方程斜率存在和斜率不存在两种情况的分类讨论，另一方面也可以通过数形结合认识到从抛物线外一点可作两条切线，若联立方程只求出一条，那么另一条切线的斜率不存在.让学生分析研究的路径并找出合适的方法，激发进一步探究的欲望．问题3：通过上述例题，请同学们总结直线l 与圆锥曲线C 位置关系的判断方法． 师生活动：教师指导学生总结，学生总结完发言．预设的答案:判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0=++C By Ax (B A ,不同时为0)代人圆锥曲线C 的方程0),(=y x F ，消去y (或消去x )得到一元方程02=++c bx ax ．(1)当0=a 时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点.此时，若C 为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行．(2)当0≠a 时，若0>∆，直线l 与圆锥曲线C 相交，有两个不同的交点;若0=∆，直线l 与圆锥曲线C 相切，有唯一的公共点(切点);若0<∆，直线l 与圆锥曲线C 相离，没有公共点．设计意图：通过对例题的总结，得出一般性的结论，有助于学生的理解，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．例5：已知直线2:-=x y l 与抛物线y x C 62-=：相交于B A ,两点，且O 为坐标原点.(1)求弦长|AB|;(2)判断⊥OA OB 是否成立，并说明理由.师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：(1)设),(),,(2211y x B y x A ，则2122122)()(||y y x x AB -+-= 因为),(),,(2211y x B y x A 都是直线2:-=x y l 上的点，所以⎩⎨⎧-=-=222211x y x y第二式减去第一式可得1212x x y y -=-，从而2122122122)(2)()(||x x x x x x AB -=-+-=又因为从方程组⎩⎨⎧-=-=262x y y x ，中消去y ，整理可得01262=-+x x ，而且21,x x 是该方程的两个根，因此由韦达定理可知⎩⎨⎧-=-=+1261212x x x x ，所以844)()(12212212=-+=-x x x x x x ， 因此168||2=AB ，从而可知422168||==AB ．(2)设),(),,(2211y x B y x A ，则因此2121y y x x OB OA +=⋅将⎩⎨⎧-=-=222211x y x y 代入上式可得1212121222()80⋅=+=-+=-≠OA OB x x y y x x x x所以⊥OA OB 不成立．设计意图：解法中，同以前一样，我们设了A ，B 两点的坐标，但是解题过程中并没有实际求出，因此使用的也是“设而不求”的方法.该题当然也可以先求出A 与B 的坐标，然后再求弦长，并验证垂直是否成立．四、归纳小结，布置作业问题5：什么是弦长？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解弦长的一些基本概念．布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB的面积为|AB |=( )A. 2B. 4C.D. 8 设计意图：考查学生对椭圆的几何性质的基本判断．2直线()1y kx k R =+∈与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为 A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．()()1,55,⋃+∞D ．[)()1,55,⋃+∞设计意图：考查学生利用椭圆的几何性质求椭圆方程．3．过点M （1，1）的直线与椭圆1342222=+y x 交于A ，B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ）A ．4x +3y ﹣7=0B ．3x +4y ﹣7=0C ．3x ﹣4y +1=0D ．4x ﹣3y ﹣1=0 设计意图：考查学生对椭圆离心率的理解．参考答案：1．D 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0），可设直线l 的方程为x =ty +1，代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |y 1﹣y 2|=.=△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 2=4t =±1，则|AB |=.=8，故选：D.2．【答案】C3．B 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆的方程可得：134221221=+y x ，134222222=+y x 两式相减可得：03))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x 解得43-=k 则直线AB 的方程为：3x +4y ﹣7=0．故选：B ．。

第20讲 直线与圆锥曲线的位置关系(2)一、复习目标1、会利用圆锥曲线的定义处理焦点弦、弦长等问题；2、能够根据圆锥曲线图形的特征判断直线与曲线的位置关系问题，进而判断直线与曲线的交点个数；3、强化运用数形结合的思想方法分析、判断，能综合运用函数、方程、不等式的知识解决相关问题. 二、基础回顾1、过椭圆223448x y +=的左焦点F 引直线交椭圆于,A B 两点，若7AB =，则此直线的方程为______________________.2、已知动点P 在抛物线x y =2上，且P 到此抛物线的准线距离为d ，当点P 到直线02=+-y x 的距离最小时，d 等于（ ）A 、41B 、21C 43D １3、已知椭圆22221(0),(2,0)x y a b A a b+=>>为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0,2AC BC OC OB BC BA ⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则椭圆的焦距为（ ）A3 B 3 C 3D 以上答案都不对 4、B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地 在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B,C 两地转运货物，经测算，从M 到B ，M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km ，2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）万元。

A 、a )272(-B 、a 5C 、a )172(+D 、a )132(+5、、若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线有两个交点，则此圆锥曲线为（ ）A. 双曲线B.椭圆C.抛物线D. 椭圆或双曲线推广（１）若是椭圆或抛物线呢？（２）若是双曲线，所交弦对应的圆心角是否为定值？ 三、例题探究例1、已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A (4,-1),若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程．例2、已知)0,22(=，Ｏ为坐标原点，点M +-＝６ （１）点M 的轨迹C 的方程。

高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案教学目标：1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力教学重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)教学难点：恰当选用几何法或者联立消元解决位置相关问题．教学过程：一、情境导入：判断几何图形位置关系的常用方法有哪些？各有什么利弊？二、小组合作：1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋B＋＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线的方程F(x，)＝0，消去(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量)的一元方程．即F(x，)＝0Ax＋B＋＝0，消去，得ax2＋bx＋＝0(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋＝0的判别式为Δ，则Δ&gt;0⇔直线与圆锥曲线相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；Δ&lt;0⇔直线与圆锥曲线相离．三、班内交流：（2）问题：当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[小题体验]1．(教材习题改编)直线＝x－＋1与椭圆9x2＋42＝1的位置关系为()A．相交B．相切．相离D．不确定解析：选A直线＝x－＋1＝(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的() A．充分不必要条B．必要不充分条．充要条D．既不充分也不必要条解析：选A直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点故选A教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．四、点拨精讲[题组练透]1．双曲线：a2x2－b22＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为，则直线l与双曲线的左，右两支都相交的充要条是() A．＞－ab B．＜ab．＞ab或＜－ab D．－ab＜＜ab解析：选D由双曲线渐近线的几何意义知－ab＜＜ab 2．(2016·兰州检测)若直线x＋n＝4和圆：x2＋2＝4没有交点，则过点(，n)的直线与椭圆9x2＋42＝1的交点个数为()A．至多一个B．2．1 D．0解析：选B∵直线x＋n＝4和圆：x2＋2＝4没有交点，∴2＋n24＞2，∴2＋n2＜4∴92＋4n2＜92＋44－2＝1－362＜1，∴点(，n)在椭圆9x2＋42＝1的内部，∴过点(，n)的直线与椭圆9x2＋42＝1的交点有2个．3．(易错题)若直线＝x＋2与双曲线x2－2＝6的右支交于不同的两点，则的取值范围是()A．1 B．31．，01 D．，－11解析：选D由x2－2＝6＝x＋2，得(1－2)x2－4x－10＝0设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，1)，B(x2，2)，则＞0，－10解得－31＜＜－1即的取值范围是，－11[谨记通法]直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点(1)判定方法①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，的方程组，消去(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．如“题组练透”第1题．(2)关注点①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．五、巩固练习：(教材习题改编)已知抛物线方程为2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为则＝________时，直线l与抛物线有且只有一个公共点．答案：－1或21或0教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．六、堂小结请学生谈一谈本节的收获有哪些。

①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。

③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。

①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。

①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。

直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。

该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。

该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。

点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。

直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。

求参数的取值范围。

根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。

指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。

<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。

②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。

联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。

(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。

复习专题二 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的重点内容，除在客观题中考查外，解答题对解析几何的考查也以直线与圆锥曲线的位置关系为主。

本专题的复习内容与要求是：1．掌握研究直线与二次曲线的位置关系问题（如弦长、中点弦、对称等)的基本方法.2．能够综合运用代数、三角、几何方面的知识解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。

圆锥曲线的几种常见题型（1)直线与圆锥曲线位置关系的判定；(2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法:设弦端点A ),(),,(2211yx B y x ______________________.AB =（3）圆锥曲线的弦中点问题的解法:(4)解析几何中的最值和定值的方法: 【热身练习】1、方向向量为)2,1(--=a 且与抛物线2x y =相切的直线的方程是______________。

2、“a =b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切"的______________条件。

3、过椭圆141622=+y x 内一点)1,1(M 的直线交椭圆于B A ,两点，且满足MB AM =,则该直线的方程_________。

4、直线3y x =-与抛物线24yx =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为______________.5、等轴双曲线C ：221xy -=的左焦点为F ，若点P 为左下半支上任意一点(不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是________________。

6、已知实数x,y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是_____________。

7、已知圆M ：1)sin ()cos (22=-++θθy x ,直线l ：kx y =，下列四个命题：A 、对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切B 、对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点C 、对任意实数θ，必存在对实数k ，使得直线l 和圆M 相切D 、对任意实数k ,必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切 其中真命题的代号是 （写出所有真命题）【例题分析】例1、已知抛物线y 2=2px （p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B,OB 的中点为M. （1）求抛物线方程;(2)过M 作MN ⊥FA, 垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K （m ，0）是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系。

第2讲直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018·全国Ⅰ卷,理8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·等于( D )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:由题意知直线MN的方程为y=(x+2),联立直线与抛物线的方程,得解得或不妨设M为(1,2),N为(4,4).又因为抛物线焦点为F(1,0),所以=(0,2),=(3,4).所以·=0×3+2×4=8.故选D.2.(2018·全国Ⅰ卷,理11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F 为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|等于( B )(A)(B)3 (C)2(D)4解析:由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=±x.设两条渐近线夹角为2α,则有tan α==,所以α=30°.所以∠MON=2α=60°.又△OMN为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN⊥ON,如图所示.在Rt△ONF中,|OF|=2,则|ON|=.则在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan 2α=·tan 60°=3.故选B. 3.(2017·全国Ⅰ卷,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C 交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( A )(A)16 (B)14 (C)12 (D)10解析:y2=4x的焦点F(1,0),由题意知l1,l2的斜率都存在且不为0,设直线l1方程为y=k(x-1)(k≠0),则直线l2方程为y=-(x-1).设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).将y=k(x-1)代入y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=2+,同理可得x3+x4=2+4k2,所以|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+4=4+4++4k2≥8+2=16.(当且仅当k=±1时取等号).故选A.4.(2018·全国Ⅲ卷,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C 的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .解析:法一设点A(x1,y1),B(x2,y2),则所以-=4(x1-x2),所以k==.设AB的中点M'(x0,y0),抛物线的焦点为F,分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足为A',B',则|MM'|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA'|+|BB'|).因为M'(x0,y0)为AB中点,所以M为A'B'的中点,所以MM'平行于x轴,所以y1+y2=2,所以k=2.法二由题意知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线方程为y=k(x-1),直线方程与y2=4x联立,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,x1+x2=.由M(-1,1),得=(-1-x1,1-y1),=(-1-x2,1-y2).由∠AMB=90°,得·=0,所以(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,所以x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0.又y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1],y1+y2=k(x1+x2-2),所以1++1+k21-+1-k-2+1=0,整理得-+1=0,解得k=2.经检验k=2是分式方程的根.答案:25.(2017·全国Ⅱ卷,理16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C 上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .解析:由y2=8x可得F(2,0),FM的斜率一定存在,设为k,则直线FM的方程为y=k(x-2),令x=0可得N(0,-2k),又M为FN中点,所以M(1,-k),代入y2=8x得k2=8,所以|FN|====6.答案:66.(2018·全国Ⅲ卷,理20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1.y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P1,-,||=,于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||,即||,||,||成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=②将m=代入①得k=-1,所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.所以该数列的公差为或-.1.考查角度主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积及轨迹问题.2.题型及难易度选择题、解答题,难度为中档、中档偏上.(对应学生用书第44~47页)直线与圆锥曲线的位置关系的判断【例1】(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.判断直线与圆锥曲线的位置关系有两种常用方法(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.(2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.热点训练1:(2018·淮北一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左右焦点为F1,F2,过F1的直线l:x+my+=0与椭圆C交于A,B两点,且椭圆离心率e=.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆上存在点M,使得2=+,求直线l的方程.解:(1)直线l:x+my+=0过点F1,令y=0,解得x=-,所以c=,因为e==,所以a=2,所以b2=a2-c2=4-3=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),由2=+,得x3=x1+x2,y3=y1+y2代入椭圆方程可得x1+x22+y1+y22-1=0,所以++++(x1x2+4y1y2)=1,所以x1x2+4y1y2=0,联立方程消去x可得(m2+4)y2+2my-1=0,所以y1+y2=,y1y2=,所以x1x2+4y1y2=(my1+)(my2+)+4y1y2=(m2+4)y1y2+m(y1+y2)+3=0,即m2=2,解得m=±,所求直线l的方程为x±y+=0.圆锥曲线的弦长问题【例2】(2018·合肥市二次质检)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点P-,,椭圆E的一个焦点为(,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l过点M(0,)且与椭圆E交于A,B两点,求|AB| 的最大值.解:(1)依题意,椭圆E的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),由椭圆E经过点P-,,得|PF1|+|PF2|=4=2a,所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2).由得(1+4k2)x2+8kx+4=0.由Δ>0得(8k)2-4(1+4k2)×4>0,所以4k2>1.由x1+x2=-,x1x2=得|AB|=·=2.设t=,则0<t<,所以|AB|=2=2≤,当且仅当t=时等号成立,当直线l的斜率不存在时,|AB|=2<,综上,|AB|的最大值为.(1)涉及圆锥曲线的弦长问题的求解步骤:①设方程(注意斜率k是否存在)及点的坐标;②联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零);③利用根与系数的关系,设而不求计算弦长,涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解;(2)弦长计算公式:设斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C的两个交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|==|x1-x2|=·= |y1-y2|=·.热点训练2:(2018·东城区二模)已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)若OA⊥OB,求△AOB面积的最小值.解:(1)由抛物线C:y2=2px经过点P(2,2)知4p=4,解得p=1.则抛物线C的方程为y2=2x,所以抛物线C的焦点坐标为,0,准线方程为x=-.(2)由题知,直线AB不与y轴垂直,设直线AB:x=ty+a,由消去x,得y2-2ty-2a=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,解得y1y2=0(舍)或y1y2=-4,所以-2a=-4,解得a=2.所以直线AB:x=ty+2,所以直线AB过定点(2,0),S△AOB=×2×|y1-y2|==≥=4.当且仅当y1=2,y2=-2或y1=-2,y2=2时,等号成立.所以△AOB面积的最小值为4.中点弦问题【例3】求一个焦点是F(0,5),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程.解:法一(设而不求)设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),由消y得(4b2+a2)x2-4b2x+b2-a2b2=0,①所以x1+x2=,因为c=5,所以b2=a2-c2=a2-50,所以x1+x2=,由题意知=,x1+x2=,所以=,解得a2=75,所以b2=25,方程①为175x2-100x-1 850=0,即7x2-4x-74=0,此时Δ>0,故所求椭圆的标准方程为+=1.法二(点差法)设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,可得弦AB的中点坐标为,,且=,=-.将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得两式相减并化简,得=-×=-2×=3,所以a2=3b2.又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25.所以椭圆方程为+=1,①把y=2x-1代入①,化简得7x2-4x-74=0,此时Δ>0,故所求椭圆的标准方程为+=1.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ>0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.(2)圆锥曲线以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k=-椭圆+=1,k=双曲线-=1,k=(抛物线y2=2px).其中k=(x1≠x2),(x1,y1),(x2,y2)为弦的端点坐标.热点训练3: 过点M(1,1)的直线与椭圆+=1交于A,B两点,且点M平分弦AB,则直线AB的方程为( )(A)4x+3y-7=0 (B)3x+4y-7=0(C)3x-4y+1=0 (D)4x-3y-1=0解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).易得+=1,+=1,两式相减,整理得+=0.由M(1,1)是弦AB的中点得x1+x2=2,y1+y2=2,所以有+=0,得=-,即直线AB的斜率k=-,所以,直线AB的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.故选B.求轨迹方程考向1 直接法【例4】已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P 作y轴的垂线,垂足为Q,且·=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y),所以=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),所以·=x2-2+y2.由·=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.考向2 定义法求轨迹方程【例5】(2018·郑州市二次质检)已知动圆E经过点F(1,0),且和直线x=-1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程;(2)已知A(3,0),若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.解:(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线x=-1的距离,所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程是y2=4x.(2)由题意设直线l的方程为y=x+m,其中-3<m<0.联立,得消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0,Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0.设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=4-2m,x1x2=m2,所以|BC|=4,又点A到直线l的距离d=,所以S△ABC=×4×=2·(3+m).令=t,t∈(1,2),则m=1-t2,所以S△ABC=2t(4-t2)=8t-2t3,令f(t)=8t-2t3,则f'(t)=8-6t2,易知f(t)在1,上单调递增,在,2上单调递减,所以当t∈(1,2)时,f(t)在t=处取得最大值,最大值为.此时m=-,满足-3<m<0,所以△ABC面积的最大值为.考向3 相关点法求轨迹方程【例6】已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上两个不同的动点,求直线A1P与A2Q 交点的轨迹E的方程.解:由题设知|x1|>,A1(-,0),A2(,0),则有直线A1P的方程为y=(x+),①直线A2Q的方程为y=(x-).②联立①②,解得即③则x≠0,|x|<.而点P(x1,y1)在双曲线-y2=1上,所以-=1.将③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为+y2=1,x≠0且x≠±.(1)若动点满足的几何条件可用等式表示,则只需把这个等式“翻译”成含x,y的等式,通过化简、整理可得到曲线的方程,这种求轨迹方程的方法叫直接法,也称坐标法.(2)若动点轨迹的条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法.利用定义法求轨迹方程时,要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.(3)若动点P(x,y)所满足的条件不易表述或求出,但随另一动点Q(x',y')的运动而有规律地运动,且动点Q的轨迹方程给定或容易求得,则可先将x',y'表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得点P的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法,也称代入法.热点训练4: (2018·西宁一模)在平面直角坐标系xOy中,点F1(-1,0),F2(1,0),动点M满足|-|+|-|=4.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)若直线y=kx+m与轨迹E有且仅有一个公共点Q,且与直线x=-4相交于点R,求证:以QR为直径的圆过定点F1.(1)解:因为|-|+|-|=4,所以|MF1|+|MF2|=4,由椭圆定义可知动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,所以2a=4,即a=2,因为c=1,所以b2=a2-c2=3,所以动点M的轨迹E的方程为+=1.(2)证明:由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,如图,设点Q的坐标为(x0,y0),依题意m≠0,由Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=0可得4k2+3=m2,此时x0=-=-,y0==,所以Q-,,由解得y=-4k+m,所以R(-4,-4k+m),由F1(-1,0),可得=-1,-,=(3,4k-m),所以·=3-1-(4k-m)=0,所以QF1⊥RF1,所以以QR为直径的圆过定点F1.热点训练5:如图,从曲线x2-y2=1上一点Q引直线l:x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.解:设点P的坐标为(x,y),曲线上点Q的坐标为(x0,y0).因为点P是线段QN的中点,所以点N的坐标为(2x-x0,2y-y0).又因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x0+2y-y0=2.①因为QN⊥l,所以k QN==1,即x0-y0=x-y.②由①②,得x0=(3x+y-2),y0=(x+3y-2).又因为点Q在曲线x2-y2=1上,所以(3x+y-2)2-(x+3y-2)2=1.化简,得x-2-y-2=.故线段QN的中点P的轨迹方程为x-2-y-2=.【例1】(2018·宜宾模拟)在直角坐标系xOy中,已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足:|-|+|-|=4.分别过点(-1,0),(1,0),作两条平行直线m,n,设m,n与轨迹C的上半部分分别交于A,B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.解:设点P(x,y),由点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|-|+|-|=4,知||+||=4,由椭圆定义可知动点P的轨迹是以点(1,0),(-1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,所以a=2,c=1,b=,其方程为+=1.设直线m:x=ty-1,它与轨迹C的另一个交点为D,设两条平行线间的距离为d,由椭圆的对称性知=(|AF1|+|BF2|)·d=(|AF1|+|DF1|)·d=|AD|d=,x=ty-1与C联立,消去x,得(3t2+4)y2-6ty-9=0,Δ>0,|AD|==·,又点F2(1,0)到直线m:x=ty-1的距离为d=,所以=,令m=≥1,则=,因为y=3m+在[1,+∞)上单调递增,所以当m=1即t=0时,取得最大值3,所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.【例2】(2018·福建省质检)在平面直角坐标系xOy中,点F的坐标为0,,以MF为直径的圆与x轴相切.(1)求点M的轨迹E的方程;(2)设T是轨迹E上横坐标为2的点,OT的平行线l交E于A,B两点,交E在T处的切线于点N,求证:|NT|2=|NA|·|NB|.(1)解:法一设点M的坐标为(x,y),因为F0,,所以MF的中点坐标为,.因为以MF为直径的圆与x轴相切,所以=.即|MF|=,所以=,化简得x2=2y,所以点M的轨迹E的方程为x2=2y.法二设以MF为直径的圆的圆心为点C,与x轴的切点为D,连接CD,则CD⊥x轴,且|MF|=2|CD|.作直线l':y=-,过点M作MN⊥l'于点H,交x轴于点I,则|CD|=,所以|MF|=|MI|+|OF|,又|IH|=|OF|=,所以|MF|=|MH|,所以点M的轨迹是以F为焦点,l'为准线的抛物线,所以M的轨迹E的方程为x2=2y.(2)证明:因为T是轨迹E上横坐标为2的点,由(1)得T(2,2),所以直线OT的斜率为1.因为l∥OT,所以设直线l的方程为y=x+m,m≠0.由y=x2,得y'=x,则E在点T处的切线斜率为2,所以E在点T处的切线方程为y=2x-2.由得所以N(m+2,2m+2),所以|NT|2=[(m+2)-2]2+[(2m+2)-2]2=5m2.由消去y得x2-2x-2m=0,由Δ=4+8m>0,得m>-且m≠0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=-2m.因为点N,A,B在直线l上,所以|NA|=|x1-(m+2)|,|NB|=|x2-(m+2)|,所以|NA|·|NB|=2|x1-(m+2)|·|x2-(m+2)|=2|x1x2-(m+2)(x1+x2)+(m+2)2|=2|-2m-2(m+2)+(m+2)2|=2m2,所以|NT|2=|NA|·|NB|.【例3】(2018·唐山五校联考)在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的两端点C,D分别在x轴,y轴上滑动,=.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A,B两点,=+,当点M在曲线E上时,求直线l的方程.解:(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).由=,得(x-m,y)=(-x,n-y),所以得由||=+1,得m2+n2=(+1)2,所以(+1)2x2+y2=(+1)2,整理,得曲线E的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=+,知点M的坐标为(x1+x2,y1+y2).易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,则x1+x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)+2=.由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,即+=1,解得k2=2.此时直线l的方程为y=±x+1.【例4】(2018·长沙、南昌部分学校联合模拟)已知抛物线y2=4x,如图,过x轴上的点P作斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,已知直线l1与抛物线在第一象限切于点A(x0,y0),直线l2与抛物线在第四象限分别交于两点B,C,记△PAB,△PAC的面积分别为S1,S2,且S1∶S2=1∶3.(1)求点P的横坐标关于x0的表达式;(2)求的值.解:(1)当y>0时,y=2,所以A(x0,2).因为直线l1与抛物线切于点A,y'=,所以k1=,所以直线l1的方程为y-2=(x-x0),令y=0,得点P的横坐标x P=-x0.(2)由(1)知P(-x0,0),易得k2<0,所以直线l2的方程为x=y-x0.设B(x1,y1),C(x2,y2),联立直线l2与抛物线的方程,消去x得y2-y+4x0=0,所以y1+y2=,y1y2=4x0.①因为S1∶S2=1∶3,所以|PB|∶|PC|=1∶3,所以y2=3y1,代入①式得=,所以k2=-,又k1=,所以=-.。