重积分论文
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《高等数学》——重积分摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。
重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。
重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。
其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。
关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用.在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。
这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。
高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。
在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。
重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。
文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。
因此学习重积分要从它的应用着手。
第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。
主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。
I .重积分的应用归纳如下:曲面的面积设曲面∑的方程为()，y x f z,=∑在xoy 面上的投影为xy D ，函数()y x f ,在D 上具有连续偏导数，则曲面∑的面积为： 若曲面∑的方程为()，z y g x ,=∑在yoz 面上的投影为yz D ，则曲面∑的面积为：若曲面∑的方程为()，x z h y ,=∑在zox 面上的投影为zx D ，则曲面∑的面积为：例1：计算双曲抛物面xy z =被柱面222R y x =+所截出的面积A 。
解：曲面在xoy 面上投影为222:R y x D ≤+,则即有:从而被柱面222R y x=+所截出的面积A 如上所示。
例2:求半径为a 的球的表面积.解:取上半球面方程为222y x a z --=,则它在xoy 面上的投影区域(){}222,a y xy x D ≤+=.又由,222y x a x x z ---=∂∂,222y x a y y z ---=∂∂得.122222y x a a y z x z --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+因为这函数在闭区域D 上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域(){}()a b b y x y x D <<≤+=0,2221为积分区域,算出相应于1D 的球面面积1A 后,令a b →取1A 的极限就得半球面的面积.利用极坐标,得于是 ().22lim lim 2221a b a a a A ab a b ππ=--=→→ 这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为 质量若平面薄片占有平面闭区域D ，面密度为()y x ,μ，则它的质量为()⎰⎰=Dd y x m σμ,，其中()σμd y x dm ,=称为质量元素.若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ，则它的质量为()⎰⎰⎰=Ddvz y x m ,,μ例3：由螺线θρ2=，与直线2πθ=，围成一平面薄片D ，它的面密度为22y x +=μ，求它的质量。
解：如图所示，()⎰⎰⎰⎰+==DDy x dxdy m 22μ质心若平面若平面薄片占有平面比区域D ，面密度为()y x ,μ，则它的质心坐标为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎰⎰⎰⎰D D d y x y m y d y x x m x σμσμ,1,1，其中m 为平面薄片的质量. 若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ，则它的质心坐标为：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D dv z y x m z dvz y x m y dv z y x m x ,,1,,1,,1μμμ，其中m 为物体的质量. 例4：求位于两球面()42222=-++z y x，和()11222=-++z y x 之间的均匀物体的质心.解：由对称性可知，质心必须位于z 轴上 ，故由公式由面≡μ常数，不妨设1≡μ，则()⎰⎰⎰ΩΩΩ=的体积υμd ，所以71532820==ππz ， 从而质心坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛715,0,0。
例5:求位于两圆θρsin 2=和θρsin 4=之间的均匀薄片的质心。
解：如图所示：因为闭区域D 对称于轴y 轴，所以质心()y x C ,，必位于y 轴上，于是0=x 。
再按公式计算y ，由于闭区域D 位于半径为1和半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两圆面积之差，即π3=A 。
再利用极坐标计算积分因此 ,3737==ππy所以质心是⎪⎭⎫ ⎝⎛37,0C 。
转动惯量若平面薄片占有平面闭区域D ，面密度为()y x ,μ，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:例6：求半径为a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。
解:建立坐标系如图所示:⎩⎨⎧≥≤+0:222y a y x D 221241sin sin 0432232πμθθμθθμμπ⋅⋅⋅====⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDax a dr r d drd r dxdy y I又 半圈薄片的质量μπ221a M =.412Ma I x =∴. 例7：求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量。
解:取球心为原点, z 轴为l 轴,设球所占域为,:2222a z y x≤++Ω则()().3452132252sin sin cos sin cos sin 20032543222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⋅⋅==⋅+=+=ΩΩππρππρϕϕθρθϕϕθϕθϕρρaa M M a a dr r d d d drd r r r dxdydzy x I 引力若平面若平面薄片占有平面比区域D ，面密度为()y x ,μ，质量为m的质点位于()00,y x ，设薄片对质点的引力为{}y x F F F ,=，则4sin 2242sin 056sin sin sin 73DDyd d d d d d πθπθσρθρθθθρρθθπ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()⎰⎰-=Dx d r x x GmF σμ30, ()⎰⎰-=Dy d r y y Gm F σμ3其中()()2020y y x x r-+-=,G 为引力常数.若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ，质量为m 的质点位于()000,,z y x ，设薄片对质点的引力为{}z y x F F F F ,,=，则其中()()()202020z z y y x x r-+-+-=,G 为引力常数.例8：求一高R ，底面半径为R 的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。
解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为z 轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为R z y x ≤≤+22，设密度为μ，所求{}z y x F F F F ,,=用微元法讨论，在圆锥任意一点()z y x ,,处取微元υd ，则此小块质量为υμd ，它对原点处单位质点引力为：r rd G r r r d G F d 321υμυμ=⋅=，其中{}.,,,222z y x r z y x r ++==由对称性可知0==y x F F ，因为r z =ϕcos ，所以υμd rz G dF z 3=， 从而所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为()R G F μπ22-=。
例9：求半径为R 的均匀球2222R z y x ≤++对位于点()()R a a M >,0,00的单位质量质点的引力.解：利用对称性知引力分量0==x xF FII.重积分小谈积分学与微分学积分学与微分学是相对的统一。
微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。
客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。
对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。
对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。
可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。
但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。
浅谈积分学思想积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。
在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。
一重积分，即定积分，通过NewTon.–Leibniz公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。
二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于X型Y型区域去处理。
XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。
整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。
“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。
只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。
三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。
将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。
其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。
必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。
如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。
浅谈积分学的计算直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。
即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的），则可以回到NewTon –Leibniz公式。
三重积分的先一次再两次积分是常用方法。
可以向任何一个平面投影，但我们一般向XOY平面投影的。
先两次再一次积分适用于某一个变量，如z具有明确上下限，而由z所确D平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。
主要适用于：球体，半球体，锥体，定的z椭球体，以及类形体。
关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。
我们都可以看做是重积分的换元法。
