湖北省2019中考数学一轮复习 第三章 函数及其图象 第五节 二次函数的综合应用 第1课时 二次函数

中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第三单元 函数及其图象专题3.4 二次函数的图象与性质知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05【例1】已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列对其图象的说法：①开口向下； ②当x＜3时,y随x的增大而减小；③顶点坐标为(3,-1)； ④对称轴为直线x=-3；则其中说法正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个　D.4个A解析式开口方向对称轴顶点坐标一般式顶点式交点式(h,k)x=ha＞0向上a＜0向下无y=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)y=ax2+bx+c1.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_______.2.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是( ) A.直线x=-3 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=03.对于二次函数y=ax 2-2ax-3a+3的性质,下列说法中错误的是( ) A.抛物线的对称轴为直线x=1 B.抛物线一定经过两定点(-1,3)和(3,3) C.当a＜0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点 D.当a＞0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点x=-1x …-3-2-101…y …-3-2-3-6-11…B D4.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n 2与二次函数y=x 2+m的图象可能是( )Dy OxAy Ox B y OxC y OxD 5.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax 2的图象有可能是( )y OxA-11y O xB-11yOx C-11y Ox D-11C6.已知二次函数y=ax 2-2ax-3a(a≠0),关于此函数的图象及性质,下列结论中不一定成立的是( ) A.该图象的顶点坐标为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)； C.若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5)； D.当x＞1时,y随x的增大而增大.7.已知二次函数y=ax 2+bx+c中,y与x的部分对应值如下表：根据表中信息,下列结论错误的是( ) A.其图象开口向下； B.其图象的对称轴为直线x=2 C.方程ax 2+bx+c=0有一个根大于5； D.当x＜1时,y随x的增大而增大D知识点一强化训练二次函数图象与性质C x -1014y -7/3131用描点法画出函数的图象知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05yOx1y=ax 2+bx+c【例2】已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,则以下结论同时成立的是( ) A. B. C. D.abc＞0b 2-4ac＜0abc＜02a+b＞0abc＞0a+b+c＜0abc＜0b 2-4ac＞0判断常见式子的符号判断方法a a的符号决定抛物线的开口方向及大小ba,b的符号(左同右异)决定抛物线对称轴的位置c c决定抛物线与y轴交点的位置b 2-4ac b 2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数a+b+c 当x=1时,y=a+b+c 4a+2b+c 当x=2时,y=4a+2b+cC1.已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc＞0；②2a+b=0；③b 2-4ac＜0；④4a+2b+c＞0其中正确的是( ) A.①③ B.只有② C.②④ D.③④2.如图是抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的一部分,下列结论：①ab＜0,②b 2-4ac＞0,③9a-3b+c＜0,④b-4a=0,⑤方程ax 2+bx=0的两根为x 1=0,x 2=-4.其中正确的结论有( ) A.①③④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤Cx 1Oyx =1B xOy-23.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,下列结论：①abc＜0,② ,③ac+b+1=0,④2+c是关于x的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根其中正确的有______.4.如图是抛物线y=ax 2+bx+c的一部分,下列结论:①b-2a=0,②4a-2b+c＜0,③10a-b+c=0,④(-3,y 1),(1.5,y 2)是抛物线上两点,则y 1＞y 2,⑤8a+7b+2c ＞0.其中正确的是________. ①④y O x1C A B ④点B的坐标为(2+c,0)∴④正确.∴③错误；③把A(-c,0)代入y=ax 2+bx+c得ac 2-bc+c=0∴ac-b+1=0,xy O2x =-1①③④③当x=-4时,y=16a-4b+c=0∵-b/2a=-1,∴10a-b+c=0,∴-3b=-6a,∴b=2a,⑤∵b=2a,4a+2b+c=0,∴8a+7b+2c=6a＜0∴c=-8a5.二次函数y=ax2+bx+c图象如图,下列结论错误的是( )A.4ac＜b2B.abc＜0C.b+c＞3aD.a＜b6.如图,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),则下列结论①abc＞0；②a-b+c＝0；③2a+c＜0；④a+b＜0.其中正确的结论是( )A.①③B.②③C.②④D.②③④DyO x-1-2C.∵-b/2a＞-1, ∴-b＜-2a∵a-b+c＞0,∴a-2b+b+c＞0∴a-4a+b+c＞0,∴b+c＞3aD.∵a-b+c＞0 ∴a-b＞-c＞0∴a＞bD③∵-b/2a＜0.5,yO x-11∴a+a+c＜0即2a+c＜0∴-b＞a∵a-b+c＝0知识点二强化训练抛物线与a,b,c的关系知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05平移方向平移前的解析式平移后的解析式简记向左平移m个单位y=a(x-h)2+k向右平移m个单位向上平移m个单位向下平移m个单位y=a(x-h+m)2+k y=a(x-h-m)2+ky=a(x-h)2+k+m y=a(x-h)2+k-m左加右减上加下减平移a 不变.1.上下平移, 括号外__________； 2.左右平移, 括号内__________.上加下减左加右减一般式顶式点顶点坐标变换前y=x 2+2x-3关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称关于顶点对称关于y=-2对称y=(x+1)2-4(-1,-4)y=-(x+1)2+4 y= (x-1)2-4 y=-(x-1)2+4 y=-x 2+2x+3y= x 2-2x-3y=-x 2-2x+3y=-x 2-2x-5y=-(x+1)2-4 y=-x 2-2x-1y=-(x+1)2(1,-4) (1,4) (-1,-4) (-1,0)(-1,4) 一般式变换前后的对应点变换前y=x 2+2x-3关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称任取一点(x,y)y=-x 2+2x+3y= x 2-2x-3y=-x 2-2x+3对称点(-x,y) 对称点(-x,-y) 对称点(x,-y) 代入y=x 2+2x-3 代入y=x 2+2x-3 代入y=x 2+2x-3知识点三强化训练二次函数的图象的变换1.将抛物线y=(x-1)2+2绕关于直线 x=-1 对称的新抛物线所对应的函数解析式是____________.2.把抛物线y=-x 2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是_____________________.3.如图,抛物线y=x 2-4x(0≤x≤4)记为l 1,l 1与x轴分别交于点O,A 1；将l 1绕点A1旋转180º得到l 2交于点A 2；将l 2绕点A 2旋转180º得到l 3,l 3交x轴于点A 3；…,如此变换下去,若点P(2021,m)在这种连续变换的图象上,则m=____.y=(x+3)2+2y=-1y=-(x-1)2-4y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 3知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练05【例4】已知二次函数y=x 2-3x+m的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根是( )A.x 1=1,x 2=-1B.x 1=1,x 2=2C.x 1=1,x 2=0D.x 1=1,x 2=3B1.已知二次函数y=x 2-x+ m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是_____.2.已知抛物线y=x 2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是______.3.函数y=ax 2+2ax+m(a＜0)的图象过点(2,0),则使函数值y＜0成立的x的取值范围是____________ .4.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x 1,0)与(x 2,0)(x 1＜x 2),方程ax 2+bx+c-a=0的两根为m、n(m＜n),则下列判断正确的是( ) A.b 2-4ac≥0 B.x 1+x 2＞m+n C.m＜n＜x 1＜x 2 D.m＜x 1＜x 2＜n5.已知m＞0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x 1,x 2(x 1＜x 2),则下列结论正确的是( )x ＜-4或x ＞2m≤5k ＜4D A知识点二次函数的图象及性质01抛物线与a ,b ,c 的关系02二次函数的图象的变换03二次函数与方程(不等式) 04拓展训练051.若二次函数y=ax 2+bx+c图象上部分点的坐标如下表,则该图象的顶点坐标为( ) A.(-2,-2) B.(-3,-3) C.(-1,-3) D.(0,-6)2.已知二次函数y=ax 2-4ax+m(a,m为常数,且a＞0)的图象与直线y=3的一个交点为(-2,3),则关于x的一元二次方程ax 2-4ax+m-3=0的两个实数根是()A.x 1=-2,x 2=6B.x 1=-1,x 2=3C.x 1=-2,x 2=4D.x 1=-1,x 2=63.已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象开口向下,并经过(2,-3),(-2,0)两点,那么该函数图象的对称轴( )A.有可能为y轴B.有可能在y轴的右边且在直线x=2的左边x …-3-2-101…y …-3-2-3-6-11…A A提升能力拓展训练二次函数C4.已知在二次函数y=ax 2-2x-3a的图象有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(0,-3),其中x 1＜-1,0＜x 2＜3,则y 2-y 1的值为( )A.正数B.负数C.0D.非负数5.关于抛物线y=x 2-(a+1)x+a-2,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.不论a为何值,都过定点(1,2)C.当a=2时,经过坐标原点OD.当a＞0时,对称轴在y轴的右侧6.四位同学在研究函数y=x 2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值,乙发现-1是方程x 2+bx+c=0的一个根,丙发现函数的最小值为3,丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论错误,则该同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁B BB7.已知点P(1，m)关于原点对称的点在一次函数y=2x-3的图象上,则点P的坐标是______.8.已知抛物线y=ax 2+bx+c与x轴交于点(-3,0),(1,0),则b:a=_____.9.二次函数y=-(x-h)2+2的图象上有两点A(1,y 1),B(2,y 2),若y 1≤y 2,则h的取值范围为________.10.已知二次函数y=m(x-2m)2+m 2,当x＞m+1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是_________.11.当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点,则a的取值范围是___________.12.已知二次函数y=-x 2+2bx+c,当x＞1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是______.(1,5)2:10＜m≤1h≥1.5-3≤x≤1b≤113.若抛物线y=x 2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为______.14.已知直线y=4与二次函数y=x 2-2mx+m 2+3(m是常数)的图象交于M,N两点(点M在点N的左侧),与y轴交于点P.当点P,M,N中恰好有一点是其余两点组成线段的中点时,m的值为_________.15.如图,二次函数y=-x 2+4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),等腰直角△ACD的直角顶点D在x轴上,AD=3.现将△ACD沿x轴的正方向平移,则当点C在函数图象上时,△ACD的平移距离为______.16.如图,抛物线y=ax 2-4x+c经过坐标原点,与x轴交与点A(-4,0).若在抛物线上存在一点P,满足S △AOP =8,则点P的坐标___________________________.0,3或-30或1x y O D B A C 4或617.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),则下列说法不正确的是( ) A.点A,B的坐标分别是(t,0)(t+2,0) B.AB为定值C.当y≥0时,t≤x≤t+2D.y的最小值为-118.已知抛物线y=ax 2-2ax+a-c与y轴的正半轴相交,直线AB∥x轴,且与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,当x=x 1+x 2时,函数值为p,当 时,函数值为q,则p-q的值为( ) A.a C.-a+c D.a-c CA对称轴：∴x 1+x 2=2∴p=4a-4a+a-c=a-c ；q=a-2a+a-c=-c∴p-q=a-c-(-c)=a19.在平面直角坐标系中,把横、纵坐标都是整数的点叫做整点,如图,已知反比例函数 与二次函数 的图象所围成的阴影部分中(不含边界)有5个整点,则k的值可能为( ) A.4 B.3 C.2 D.14C y O x 43(1,3)(1,2)(1,1)(2,3)(2,2)(2,1)(3,2)(3,1)2≤x ＜3×××20.二次函数 的图像与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横纵坐标都是整数的点有___个721.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上横纵坐标均为整数的点称为好点,已知点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点,若点P在正方形OABC的内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,则m的取值范围为_____________.yO x44P22.如图,抛物线 ,点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A、B两点,AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,连接A1F、B1F、A1O、B1O,若A1F=a,B1F=b,则△A1OB1的面积=____(只用a,b表示).yOxlFB1A1BA23.设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).若该函数图象经过A(-23.1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的两个点,求该二次函数的解析式.当x=1时，y=0，所以不经过点C.y=3x2-2x-1。

2.如图,二次函数y=-x2+4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),等腰直角
△ACD的直角顶点D在x轴上,AD=3.现将△ACD沿x轴的正方向平移,则当点C
在函数图象上时,△ACD的平移距离为_4_或__6__.
y
y
A
C
DP
C
B0
x
D
AO B x
培优训练
抛物线的变换
知识点二
3.如图,抛物线y=x2-4x(0≤x≤4)记为l1,l1与x轴分别交于点O,A1；将l1绕
=
x1
+ 2
x2
时,
函数值为q,则p-q的值为( A ) A.a B.c C.-a+c
D.a-c
2.已知A(x1,2022),B(x2,2022)是抛物线y=ax2+bx+2021(a≠0)上的两点,则
当x=x1+x2时,二次函数的值是( D )
A. 2b2 5
a
B. b2 5
4a
C.2022
D.2021
2.如图,抛物线
y
=
1 4p
x
2
(
p
>
0)
,点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点
F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l
于点A1,BB1⊥l于点B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F=a,B1F=b,则△A1OB1的面
积=_14_a_b_(只用a,b表示). A C B
9.若P1(x1,x1),P2(x2,x2)是抛物线y=ax2-4ax上两点,则当|x1-2|＞|x2-2|时, 下列不等式一定正确的是( D )

当堂训练---二次函数的图象的变换
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛物
线y=0.5x2-2x,其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面
积为( B )
A.2
B.4
C.8
D.16
2.将抛物线y=0.5x2-6x+21向左平移2个
单位后,得到抛物线的解析式为( D )
A.y=0.5(x-8)2+5 B.y=0.5(x-4)2+5
人教版中考数学第一轮总复习
第三单元 函数及其图象
•§3.6 二次函数图象与性质(2)
目录
01 二次函数的图象的变换
02 二次函数与一元二次方程
03 二次函数图象的最值问题
考点聚焦---二次函数的图象的变换
二次函数图 平 移 ①先求出原抛物线的顶点；
象的平移
规
律
②后求出变换后的抛物线的顶点； ③写出变换的抛物线的解析式。
【例1】将抛物线y=x2+2x-3,化成顶点式为_y_=_(_x_+_1_)_2_-_4__; (1)该抛物线是由y=x2_向__左__1_个__单__位__,_再__向__下__4_个___单__位__平移得到的；
(2)写出该抛物线关于x轴,y轴,原点和(1,1)对称的抛物线解析式: 关于 x 轴对称：_y_=_-_x_2_-_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4___。 关于 y 轴对称：_y_=__x_2_-_2_x_-_3___；_y_=__(_x_-_1_)_2_-_4___。 关于 x=2 对称：_y_=_x_2_-_1_0_x_+_2_1__；_y_=_(_x_-_5_)_2_-_4____。 关于原 点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4___。 关于(1,1)对称：_y_=_-_x_2_+_6_x_-_9___；_y_=_-_(_x_-_3_)_2_+_6___。

第五节二次函数的图象及性质,怀化七年中考命题规律)合条件的点的坐标2021选择3二次函数的概念以选择题形式判断二次函数3解答24二次函数的图象与性质二次函数及方程的关系，二次函数及反比例函数的综合应用10132021解答24二次函数的图象与性质二次函数及圆的综合应用，二次函数的表达式与性质10102021解答24二次函数的图象与性质二次函数、反比例函数、相似形、勾股定理的综88二次函数的图象及性质(3次)1．(2021怀化中考)二次函数y ＝x 2＋2x －3的开口方向、顶点坐标分别是( A )A ．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)B ．开口向下，顶点坐标为(1，4)C ．开口向上，顶点坐标为(1，4)D ．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)2．(2021怀化中考)以下函数是二次函数的是( C ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2 D ．y ＝12x －23．(2021 怀化中考)二次函数y ＝x 2＋2x 的顶点坐标为__(－1，－1)__，对称轴是直线__x ＝－1__．二次函数的图象及性质的综合应用(3次)4．(2021怀化二模)在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1及二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是( C ),A ) ,B ) ,C ) ,D )5．(2021怀化中考)如图1，在平面直角坐标系中，AB ＝OB ＝8，∠ABO ＝90°，∠yOC ＝45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC 经过点B 时停顿运动，设平行移动x s 后，射线OC 扫过Rt △ABO 的面积为y.(1)求y 及x 之间的函数关系式；(2)当x ＝3 s 时，射线OC 平行移动到O′C′，及OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的表达式；(3)现有一动点P 在(2)中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在三角形POB 的面积S ＝8的情况？假设存在，求出点P 的坐标，假设不存在，请说明理由．解：(1)∵AB＝OB ，∠ABO ＝90°，∴△ABO 是等腰直角三角形，∴∠AOB ＝45°，∵∠yOC ＝45°，∴∠AOC ＝(90°－45°)＋45°＝90°，∴AO ⊥CO ，∵C ′O ′是CO 平移得到，∴AO ⊥C ′O ′，∴△OO ′G 是等腰直角三角形，∵射线OC 的速度是每秒2个单位长度，∴OO ′＝2x ，∴y ＝12·2x ·x ＝x 2；(2)当x ＝3 s 时，OO ′＝2×3＝6，∵12×6＝3，∴点G 的坐标为(3，3)，设抛物线表达式为y ＝ax 2＋bx ，那么⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝3，64a ＋8b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝85，∴抛物线的表达式为y ＝－15x 2＋85x ；(3)设点P 到x 轴的距离为h ，那么S △POB ＝12×8h ＝8，，－15x 2＋85x＝2，整理得，x 2－8x ＋10＝0，解得x 1＝4－6，x 2＝4＋6，此时，点P 的坐标为(4－6，2)或(4＋6，2)；当点P 在x 轴下方时，－15x 2＋85x ＝－2，整理得，x 2－8x －10＝0，解得x 1＝4－26，x 2＝4＋26，此时，点P 的坐标为(4－26，－2)或(4＋26，－2)，综上所述，存在点P 的坐标为(4－6，2)或(4＋6，2)或(4－26，－2)或(4＋26，－2)，使△POB 的面积S ＝8.6．(2021怀化中考)函数y ＝kx 2－2x ＋32(k 是常数)．(1)假设该函数的图象及x 轴只有一个交点，求k 的值；(2)假设点M(1，k)在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数与二次函数y ＝kx 2－2x ＋32都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；(3)设抛物线y ＝kx 2－2x ＋32及x 轴交于A(x 1，0)，B(x 2，0)两点，且x 1<x 2，x 21＋x 22＝1，在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？假设存在，求出点P 及△ABP 的面积；假设不存在，请说明理由．解：(1)①当k ＝0时，函数y ＝－2x ＋32的图象及x 轴只有一个交点；②当k≠0时，假设函数y ＝kx 2－2x ＋32的图象及x 轴只有一个交点，那么方程kx 2－2x ＋32＝0有两个相等的实数根，∴(－2)2－4k×32＝0，即k ＝23.综上所述，假设函数的图象及x 轴只有一个交点，那么k 的值为0或23；(2)设反比例函数为y ＝mx ，那么k ＝m 1，，反比例函数为y ＝kx ，要使该反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，那么k<0，二次函数y ＝kx 2－2x ＋32＝k(x －1k )2－1k ＋32的对称轴为x ＝1k，要使二次函数y ＝kx 2－2x ＋32是y 随着x 的增大而增大，在k<0的情况下，x 必须在对称轴的左边，即x<1k 时，才能使得y 随着x 的增大而增大，∴综上所述，要使该反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，k<0且x<1k ；(3)∵抛物线y ＝kx 2－2x ＋32及x 轴有两个交点，∴一元二次方程kx 2－2x ＋32＝0的判别式Δ＝(－2)2－4×k ×32>0，即k<23，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k，x 1x 2＝32k，x 21＋x 22＝1.∴k 2＋3k －4＝0，∴k ＝－4或k ＝1.又∵k<23，∴k ＝－4，在y 轴上，设P(0，b)是满足条件的点，那么(b 2＋x 21)＋(b 2＋x 22)＝(x 2－x 1)2，b 2＝－x 1x 2，∴|b|＝64，∴b ＝±64，(x 2－x 1)2＝2b 2＋x 21＋x 22＝2×38＋1＝74，∴x 2－x 1＝72，∴S Rt △ABP ＝12(x 2－x 1)×|b|＝12×72×64＝4216，∴在y 轴上，存在点P 1(0，64)，P 2(0，－64)，使△ABP 是直角三角形，△ABP的面积为4216.7．(2021怀化中考)以下图是二次函数y ＝(x ＋m)2＋k 的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象及x 轴的交点A ，B 的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P ，使S △PAB ＝54S △MAB ，假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由；(3)将二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象答复：当直线y ＝x ＋b(b<1)及此图象有两个公共点时，求b 的取值范围．解：(1)∵M(1，－4)是二次函数y ＝(x ＋m)2＋k 的顶点坐标，∴y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3，令x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴A 、B 两点的坐标为A(－1，0)，B(3，0)；(2)在二次函数的图象上存在点P ，使S △PAB ＝54S △MAB ，设P(x ，y)，那么S △PAB ＝12|AB|×|y|＝2|y|，又S △MAB ＝12|AB|×|－4|＝8，∴2|y|＝54×8，即y ＝±5，∵二次函数的最小值为－4，∴y ＝5，当y ＝5时x ＝－2或x ＝4，故点P 的坐标为(－2，5)或(4，5)；(3)当直线y ＝x ＋b(b<1)经过A 点时可得b ＝1，当直线y ＝x ＋b(b<1)经过B 点时，可得b ＝－3，由图象可知符合题意的b 的取值范围为－3<b<1.,中考考点清单)二次函数的概念及表达式1．定义：一般地，如果两个变量x 与y 之间的函数关系可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项．2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)两点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2为抛物线及x 轴交点的横坐标．3．三种表达式之间的关系顶点式――→确定一般式――→分解因式两点式 4．二次函数表达式确实定(1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式；A ．当抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式；B ．当抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式；C ．当抛物线及x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．(2)步骤：①设二次函数的表达式；②根据条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式．二次函数的图象及其性质5．图象性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c为常数，a≠0)图象对称轴直线x＝①__－b2a __直线x＝－b2a顶点坐标(－b2a，4ac－b24a)(－b2a，4ac－b24a)续表函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)增减性在对称轴的左侧，即x<－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而增大，简记为左减右增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而减小，简记为左增右减最值抛物线有最低点，当②__x＝－b2a__时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝③__4ac－b24a__6.系数a，b，c及二次函数的图象关系工程字母字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0④__开口向下__bb＝0对称轴为y轴ab>0(b及a同号)对称轴在y轴左侧ab<0(b及a异号)对称轴在y轴右侧cc＝0⑤__经过原点__c>0及y轴正半轴相交c<0及y轴负半轴相交特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c假设a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0假设a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0二次函数图象的平移7．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．8．平移规律：移动方向平移前的表达式平移后的表达式规律向左平移m个单位y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h＋m)2＋k左加向右平移m个单位y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h－m)2＋k右减向上平移m个单位y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h)2＋k＋m上加向下平移m个单位y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h)2＋k－m下减口诀：上加下减常数项、左加右减自变量.二次函数及一元二次方程的关系9．当抛物线及x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．10．当抛物线及x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．11．当抛物线及x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根． 12．y ＝ax 2＋bx ＋c ，ax 2＋bx ＋c ＝0及b 2－4ac 的关系：y ＝ax 2＋bx ＋c及x 轴的 交点个数ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况 b 2－4a 的 值的情况 2 有两个不相等实数根 b 2－4ac ＞0 1 有两个相等实数根b 2－4ac ＝0 无交点 没有实数根 b 2－4ac ＜0 有交点有实数根b 2－4ac≥0,中考重难点突破)二次函数的图象及性质【例1】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的大致图象如图，关于该二次函数，以下说法错误的选项是( )A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x ＝12C ．当x<12，y 随x 的增大而减小D ．当－1<x<2时，y>0【解析】A .由抛物线的开口向上，可知a>0，函数有最小值，正确，故A 选项不符合题意；B .由图象可知，对称轴为x ＝12，正确，故B 选项不符合题意；C .因为a>0，∴当x<12时，y 随x 的增大而减小，正确，故C 选项不符合题意；D .由图象可知，当－1<x<2时，y<0，错误，故D 选项符合题意．【学生解答】D1．(2021原创)如图，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象及x 轴交于A ，B 两点(A 点在B 点左侧)，及y 轴交于点C ，假设A 点坐标为(－1，0)，B 点坐标为(3，0)，那么以下说法正确的选项是( C )A ．b>0B ．该抛物线的对称轴是直线x ＝－1C ．当x ＝－3及x ＝5时，y 值相等D ．假设y>0，那么－1<x<3抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象及a ，b ，c 的关系【例2】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如下图，且关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，有以下结论：①b2，正确结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3【解析】此题考察二次函数图象的性质以及及系数a、b、c的关系．由图可知三个结论都正确，下面对三个结论一一证明：序号正误逐项分析①√∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及x轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0②√∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴－b2a>0，∴b>0，∵抛物线及y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，∴abc<0③√如果抛物线的图象向下平移2个单位，那么抛物线及x 轴只有一个交点，∴假设抛物线向下平移d个单位，当d>2时，抛物线及x轴没有交点．∵一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根．∴二次函数y＝ax2＋bx＋c－m中，m>2【学生解答】D2．(2021枣庄中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图，给出以下四个结论：①abc＝0，②a＋b＋c>0，③a>b，④4ac－b2<0；其中正确的结论有( C)A．1个B．2个C．3个D．4个二次函数表达式确实定【例3】(2021 宁波中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)与C(4，5)三点．(1)求二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象及x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【解析】(1)根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)与C(4，5)三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的表达式；(2)令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出及x轴的另一个交点坐标；(3)画出图象，再根据图象直接得出答案．【学生解答】解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)与C(4，5)三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝－1，16a ＋4b ＋c ＝5.，∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－12x －1；(2)当y ＝0时，得12x 2－12x －1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1，∵点A 的坐标为(2，0)，∴点D 的坐标为(－1，0)；(3)y ＝x ＋1，图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是－1<x<4.3．(2021怀化中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过A(－3，0)，B(5，0)，C(0，5)三点，O 为坐标原点．(1)求此抛物线的表达式；(2)假设把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)向下平移133个单位，再向右平移n(n>0)个单位得到新抛物线，假设新抛物线的顶点M 在△ABC 内，求n 的取值范围；(3)设点P 在y 轴上，且满足∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，求CP 的长．解：(1)y ＝－13x 2＋23x ＋5；(2)∵y＝－13x 2＋23x ＋5＝－13(x －1)2＋513，∴依题意得平移后的抛物线表达式为y ＝－13(x －1－n)2＋1，∴平移后抛物线的顶点为(1＋n ，1)，易求得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋5，令y ＝1，那么－x ＋5＝1，∴x ＝4，∴1＋n<4且n>0，∴0<n<3；(3)当P 在y 轴负半轴上求得CP ＝17.当P 在y 轴正半轴上求得CP ＝7，∴CP ＝17或7.4．(2021保定模拟)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 及一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，及y 轴相交于点N ，其顶点为D.(1)求此抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)求直线AC 的表达式；(3)设点M(3，m)，求使MN ＋MD 的值最小时m 的值；(4)假设抛物线的对称轴及直线AC 相交于点B ，直接写出抛物线左右平移多少个单位时过点B ；上下平移多少个单位时过点B.解：(1)抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，顶点D(1，4)；(2)y ＝x ＋1；(3)m ＝185；(4)抛物线向左或向右平移2个单位，经过点B ，抛物线向下平移2个单位，经过点B.5．(2021永州模拟)如下图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点.(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)y ＝13x 2－23x －1；(2)①当AB 为边时，只要PQ∥AB，且PQ ＝AB ＝4即可，又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或－4.∴当x ＝4时，y ＝53，当x ＝－4时，y ＝7.∴P 1(4，53)，P 2(－4，7)；②当AB 为对角线时，只要线段PQ 及线段AB 互相平分即可，又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的点P 只有一个，∴当x ＝2时，y ＝－1，∴P 3(2，－1)．综上：P 1(4，53)，P 2(－4，7)，P 3(2，－1)．。