1.2《应用举例》---角度的测量

角度如何测量和计算角度角度是几何学中重要的概念之一，描述了物体或图形之间的方位关系。

在实际应用中，测量和计算角度常常是必不可少的任务。

本文将介绍如何准确测量和计算角度，以及一些常用的角度测量工具和计算方法。

一、角度测量的概念和工具角度的测量是通过比较被测角与某一基准角度之间的关系来进行的。

常用的角度测量工具有以下几种：1. 直尺：直尺是最简单常用的角度测量工具之一。

通过将直尺对准直角或其他已知角度，我们可以根据直尺与被测角度的交点位置确定被测角度的大小。

2. 量角器：量角器是一种专门用于测量角度的工具。

它通常由半圆形的底座和一个可旋转的刻度尺组成，可以直接读取被测角度的数值。

3. 转角器：转角器是一种精密测量角度的工具，常用于工程和建筑等领域。

它由一对可旋转的臂组成，可以进行多角度的测量。

二、角度的测量方法和步骤1. 使用直尺进行角度测量：（1）将直尺放置在已知角度的基准线段上。

（2）将直尺沿着基准线段旋转，直到直尺的另一条边与被测角度的一条边相重叠。

（3）读取直尺上与被测角度的交点位置，即可得到被测角度的大小。

2. 使用量角器进行角度测量：（1）将量角器的底座对准基准线段。

（2）旋转量角器，直到刻度尺上的零刻度与基准线段对齐。

（3）读取刻度尺上与被测角度的交点位置，即可读取被测角度的大小。

3. 使用转角器进行角度测量：（1）将转角器的一个臂对准基准线段。

（2）旋转转角器的另一个臂，直到其与被测角度的两条边重合。

（3）读取转角器上的刻度尺，即可得到被测角度的数值。

三、角度的计算方法除了测量外，我们还可以通过已知的角度进行计算。

常见的角度计算方法有以下几种：1. 两角之和：当我们知道两个角的度数时，可以将它们相加来得到它们的和。

2. 两角之差：类似于两角之和，我们也可以将两个角的度数相减得到两角之差。

3. 角度的倍数：如果我们知道一个角的度数，我们可以将其乘以一个整数来得到它的倍数角。

4. 角度的平分：当一个角被分成两个等角时，我们可以通过将原角的度数除以2来得到这些等角的度数。

1．2 应用举例(二)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题．[学问链接] 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用格外广泛，本节课我们来争辩正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用．要点一 测量角度问题例1 如图在海岸A 处发觉北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B 处有一艘走奉命以103私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃跑．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里． 在△ABC 中，由余弦定理， 得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝6(海里)． 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题肯定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后依据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪演练1 甲船在A 点发觉乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B 得：sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点二 正、余弦定理在几何中的应用例2 如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解 设∠AOB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理， 得AB 2＝12＋22－2×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)，于是，四边形OACB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △ABC＝12OA ·OB ·sin α＋34AB 2＝12×2×1×sin α＋34(5－4cos α) ＝sin α－3cos α＋543＝2sin(α－π3)＋543.由于0<α<π，所以当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝56π时，四边形OACB 面积最大．规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC边上的高AD 的长．解 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，x >0， 由正弦定理得7x sin C ＝8xsin B .∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32.∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)． 由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5. ∴AB ＝21或AB ＝35，在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或20 3.1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 如图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危急区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危急区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x . 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ， 即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.故选B.3．一艘海轮从A 处动身，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°，AB ＝40×12＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°.∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(n mile)．4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则AB ＝________.答案 43解析 在△ADC 中，已知AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则由S △ADC ＝12·AC ·AD ·sin ∠DAC ，求得sin ∠DAC ＝12，即∠DAC ＝30°，∴ ∠BAC ＝30°.而∠ABC ＝60°，故△ABC 为直角三角形； ∵ AC ＝6，∴ AB ＝AC cos 30°＝632＝4 3.1．在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先争辩，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．一、基础达标1．从高出海平面h m 的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为 ( )A ．2h m B.2h m C.3h m D ．22h m 答案 A解析 如图所示，BC ＝3h m ，AC ＝h m ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (m)．2．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km 的速度向正北航行，同时，乙船自B 动身以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟答案 A解析 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ， 两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x －514)2－257＋100∴当x ＝514小时＝1507分钟，y 2有最小值．∴y 最小．3．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________ km. 答案6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.4．在平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是________． 答案 16解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b2－2ab cos α＝17，a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65. 解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16.5．两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________km. 答案3a解析 由于灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，所以∠ACB ＝120°.又由于AC 和BC 的距离都是a km ，由余弦定理，得AB 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×cos 120°＝3a 2，所以A ，B 的距离是3a km.6.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如右图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC ＝2.57 cm ，CE ＝3.57 cm ，BD ＝4.38 cm ，B ＝45°，C ＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm)．解 如下图所示，将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，已知BC 的长及角B 与角C ，可以通过正弦定理求AB ，AC 的长．将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，BC ＝2.57 cm ，B ＝45°，C ＝120°， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋120°)＝15°.∵BC sin A ＝AC sin B ，∴AC ＝BC sin B sin A ＝2.57sin 45°sin 15°. 利用计算器算得AC ≈7.02(cm)． 同理，AB ≈8.60(cm)．答 原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.7．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°.由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°.解得：CD ＝83(n mile)．即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、力量提升8．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/时． 答案 20(6－2) 解析 由题意，得∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)(海里)．则v 货＝20(6－2) (海里/时)．9．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，马上测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇马上以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间． 解 如图所示，设所需时间为t 小时， 则AB ＝103t 海里，CB ＝10t 海里，在△ABC 中，依据余弦定理，则有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103(海里)，BC ＝10(海里)， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的大路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿大路行驶，问最长需要多少分钟检查员开头收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为A ，检查开头处为B ， 设大路上C ，D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)． ∵BC12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 所以最长需要5分钟检查员开头收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．11．某工厂生产产品后，留下大量中心角为60°，半径为R 的扇形边角料，现要利用边角料，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？解 如图所示，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP ＝θ， 则PM ＝R sin θ，∵扇形中心角为60°， ∴∠PQO ＝120°.在△OPQ 中，由正弦定理， 得OP sin 120°＝PQsin (60°－θ)，即PQ ＝23R sin(60°－θ)． ∴矩形MPQR 的面积为 S 1＝PM ·PQ ＝23R 2sin θsin(60°－θ)， sin θsin(60°－θ)＝sin θ(32cos θ－12sin θ) ＝32sin θcos θ－12sin 2 θ ＝34sin 2θ－1－cos 2θ4 ＝34sin 2θ＋14cos 2θ－14＝12sin(2θ＋30°)－14， 当sin(2θ＋30°)＝1时，取得最大值14，即θ＝30°时，sin θsin(60°－θ)≤14.此时S 1＝23R 2sin θsin(60°－θ)≤36R 2，故θ＝30°时，S 1取最大值36R 2，由θ＝30°确定P 点，通过做平行线不难确定出另三点． 三、探究与创新12．现有一块直径为30 cm 的圆形钢板，需截去直径分别为20 cm,10 cm 的圆形钢板各一块，现需在剩余的钢板中再截出同样大小的圆形钢板两块，问这两块钢板的半径最大为多少？解 如图，设⊙A ，⊙B 分别是直径为20 cm 和10 cm 的圆，⊙D 是直径为30 cm 的圆，则⊙A ，⊙B 相外切且与⊙D 内切，再设最终截下的两个最大的圆为⊙C ，⊙E ，则它们与⊙A ，⊙B 相外切，且与⊙D 相内切，连接AB 、AC 、BC 、CD .设⊙C 的半径为r ，在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝10＋r ， BC ＝5＋r ，AD ＝5，CD ＝15－r ， 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝152＋(10＋r )2－(5＋r )22×15×(10＋r )＝30＋r 30＋3r .在△ADC 中，cos ∠DAC ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC＝52＋(10＋r )2－(15－r )22·5·(10＋r )＝5r －10r ＋10.故30＋r30＋3r ＝5r －10r ＋10，整理得7r 2＋40r －300＝0， ∴r ＝307或r ＝－10(舍去)．所以在剩余的钢板中还可以截出半径最大为307cm 的同样大小的圆形钢板两块．。

角度的测量如何测量角度角度的测量是几何学中的重要内容，它在各个领域都有着广泛的应用。

正确、准确地测量角度是保证测量结果正确性的前提。

本文将介绍常见的角度测量方法和工具，并探讨如何进行角度测量。

一、角度的定义角度是两条射线之间的转动程度，通常用度数或弧度来表示。

角度的度数表示方式是以圆心为原点，从起始射线逆时针旋转到终止射线所对应的弧长。

而弧度表示方式是将角对应的弧长与半径的比值。

这两种单位在不同的场合下使用，根据实际需求选择合适的单位。

二、角度测量的工具1. 量角器：量角器是测量角度最常用的工具之一。

它通常由透明塑料或金属制成，具备清晰的刻度线和可调节的刻度盘。

使用量角器时，将其底边与起始射线重合，然后调整刻度盘使其尺度线与终止射线相交，读取刻度盘上的角度数值即可。

2. 可调节三角板：可调节三角板可以通过改变角度大小来准确测量角度。

它由两条边和一个可调节的角度标记组成。

将其中一条边与起始射线重合，并旋转另一条边使其与终止射线相交，再读取角度标记上的数值即可得到所求角度。

3. 光学投影仪：光学投影仪是一种高精度的测量角度工具。

它通过投影出的光束来测量角度，具备较高的精度和可靠性。

但是，由于设备复杂且价格昂贵，一般用于工业和科研领域。

三、常见角度的测量方法1. 直接测量法：直接测量法适用于较小角度的测量。

使用量角器或可调节三角板直接与角度进行相互的重合和配合，确定角度的大小。

2. 间接测量法：间接测量法适用于较大角度或无法直接测量的角度。

可以利用三角函数的性质，将角度转化为长度或其他可测量的物理量进行测量。

例如，借助测量的边长和高度，可以使用正弦、余弦或正切函数计算得到所求角度的数值。

四、角度测量的注意事项1. 在使用量角器或可调节三角板时，要确保工具与射线的重合度高，尽量减小误差的影响。

2. 测量角度时要保持仪器和测量对象之间的距离适中，防止观测角度时视线失焦或产生其他误差。

3. 对于较大角度的测量，可以通过多次测量求取平均值，提高测量结果的准确性。

角的测量方法范文角是平面上两条射线的公共端点所围成的部分，它的度量是角度的大小。

在几何学中，我们常常用度来度量角的大小。

下面我将详细介绍角的测量方法，包括度的概念、角度的转化和角度的加减、角度的单位换算以及角度的测量工具。

1.度的概念：度是用来度量角度大小的单位，用符号°表示。

一个完整的角度为360°，这是因为一个平面角是由两条不同射线围成的，而一圈是由360°组成的。

我们可以把一个圆看作是一个角度为360°的角。

2.角度的转化：角度可以通过将它们转化为弧度来进行计算。

弧度是另一种用来度量角度大小的单位，用符号rad表示。

一个完整的角度有2π弧度，所以一个圆的周长是2πr。

角度和弧度之间的转换关系是：1圆周角＝360°＝2π弧度；1度＝π/180弧度。

3.角度的加减：当我们需要计算两个角度之和或差时，可以使用下列公式：角度之和：A+B=C，其中C是两个角度之和；角度之差：A-B=C，其中C是两个角度之差。

4.角度的单位换算：除了度和弧度之外，还有一些其他的角度单位。

常见的角度单位换算如下：1度=60分钟(')；1分钟=60秒(")。

5.角度的测量工具：角度可以使用各种工具进行测量，最常用的工具是量角器和转角尺。

量角器是一种广泛应用于学校和工程中的角度测量工具。

它通常由半圆形的底座和可转动的标尺组成。

通过移动标尺上的指针，可以测量角度的大小。

转角尺是一种专业的测量工具，主要用于工程和建筑领域。

它由两个可调节的臂构成，通过调节臂的位置可以测量角度的大小。

除了这些测量工具外，数字量角仪和角度传感器等也是用来测量角度的常见工具。

总结：角是平面上两条射线的公共端点所围成的部分，可以通过度的概念进行度量。

角度的转化可以通过将角度转化为弧度来进行计算，它们之间有一个固定的换算关系。

角度的加减可以通过相加或相减来实现。

角度的单位可以通过换算来进行转换，还有一些其他的角度单位。

第一课时 1.2 应用举例（一）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝＋1)，c ＝，则∠A 为 .2.在△ABC 中，sin A ＝sin sin cos cos B C B C++，判断三角形的形状. 解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：① 出示例1：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).分析：实际问题中已知的边与角？ 选用什么定理比较合适？→ 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC =sin()sin[180()]a γδβγδ+︒-++ =sin()sin()a γδβγδ+++， BC =sin sin[180()]a γαβγ︒-++=sin sin()a γαβγ++. 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =④ 练习：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60︒，∠ACD =30︒，∠CDB =45︒，∠BDA =60︒. （答案：AB .2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°. A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离. ()2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B在观察站C 南偏东60︒，则A 、B a km ）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m )③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C, BC =sin sin AB A C =5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？ 如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：① 出示例1：甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→ 学生讲述解答过程 （答案：630） → 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？② 练习：已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°，甲船自A 以50海里／小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ →如何解三角形.→ 师生共同解答. （答案：北偏东8331'︒方向；1.4小时）④ 练习：某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A 组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明. 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：∆ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha 、hb、h c，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=12absin C，S=1bcsin A,S=12acsinB③练习：已知在∆ABC中，∠B=30︒,b=6,c求a及∆ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边= 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在∆ABC中，求证：（1）222222sin sin;sina b A Bc C++=（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若22tantanA aB b=，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40︒. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。

角度测量基本知识及实例1.水平角测量原理面上两条直线之间的夹角在水平面上的投影称为水平角。

如图所示，A 、B 、 O 为地面上的任意点，通OA 和OB 直线各作一垂直面，并把OA 和OB 分别投影到水平投影面上，其投影线Oa 和Ob 的夹角∠aOb ，就是∠AOB 的水平角。

如果在角顶O 上安置一个带有水平刻度盘的测角仪器，其度盘中心O ′在通过测站O 点的铅垂线上，设OA 和OB 两条方向线在水平刻度盘上的投影读数为和，则水平角为：2.经纬仪的使用经纬仪的技术操作包括：对中——整平——瞄准——读数。

1. 对中对中的目的是使仪器的中心与测站的标志中心位于同一铅垂线上。

2. 整平（1）使水准管平行于两脚螺旋的连线，如图 4-2a) 所示。

操作时，两手同时向内 ( 或向外 ) 旋转两个脚螺旋使气泡居中。

气泡移动方向和左手大拇指转动的方向相同。

（2）将仪器绕竖轴旋转90 °，如图 4-2b) 所示，旋转另一个脚螺旋使气泡居中。

按上述方法反复进行，直至仪器旋转到任何位置时，水准管气泡都居中为止。

图 4-2上述两步技术操作称为经纬仪的安置。

目前生产的光学经纬仪均装置有光学对中器，若采用光学对中器进行对中，应与整平仪器结合进行，其操作步骤如下：（1）将仪器置于测站点上，三个脚螺旋调至中间位置，架头大致水平。

使光学对中器大致位于测站上，将三脚架踩牢。

（2）旋转光学对中器的目镜，看清分划板上的圆圈，拉或推动目镜使测站点影像清晰。

（3）旋转脚螺旋使光学对中器对准测站点。

（4）伸缩三脚架腿，使圆水准气泡居中。

（5）用脚螺旋精确整平管水准管转动照准部 90 ゜，水准管气泡均居中。

（6）如果光学对中器分划圈不在测站点上，应松开连接螺旋，在架头上平移仪器，使分划圈对准测站点。

（7）重新再整平仪器，依此反复进行直至仪器整平后，光学对中器分划圈对准测站点为止。

3. 瞄准（1）将望远镜照准远处，调节对光螺旋使十字丝清晰。

举例说明角度测量在工程中的应用角度测量，这个看似简单的事儿，其实在工程里大有用处，怎么说呢，真是无处不在。

咱们常说“工欲善其事，必先利其器”，工具用得对，工程做得好，角度测量这工具，简直就是工程师的“好帮手”。

有了它，许多看似复杂的事情就变得轻松多了。

你想啊，建筑工程里，角度的精确可是一件大事。

比如，建筑师设计楼房的时候，墙壁的角度一定得对，不然一扭曲，整座楼都可能倾斜，像是“人站歪了”似的，怎么看都不舒服。

那时候，角度测量就派上了大用场。

拿激光测角仪一瞄，精确到毫米，墙壁的倾斜度、角度都能测得清清楚楚，准到不行。

再说说桥梁工程，桥梁是要承受各种压力的，桥的结构稳定性直接关系到行车的安全。

比如，桥墩与桥梁的连接角度，必须得精准。

你可以想象一下，如果角度测量出现偏差，桥梁的整体结构就可能发生变形，像是身上多了一块石头，慢慢沉下去，影响可大了。

一个桥梁的建设，除了计算承重、材料选择，最重要的一步就是角度的测量了。

为了避免“桥面不平”，工程师们每天拿着精密仪器，仔仔细细地量测每一个角度，确保每一寸土地都在预定的范围内，不敢有丝毫差错。

为了这个角度，没少费劲，角度测量也是“无形的功臣”啊。

再来看看机械行业，大家知道，机械设备一般都是由很多零件组成，零件之间的连接角度决定了机器能不能正常运行。

如果角度不对，机器可能转不动，甚至损坏。

像那种高速旋转的机器，角度的偏差就更可怕了，稍微偏一点，可能就会造成机器的振动，长期下去，不仅工作效率低下，还会对设备造成损害，真是“自掘坟墓”啊。

工程师们在装配这些机器时，往往需要用到角度测量工具，不管是通过电子测量仪器，还是传统的量角器，反正一切都要精确到位，不能有半点马虎，毕竟“细节决定成败”嘛。

再讲一个大家可能不太注意的领域，叫做道路建设。

你看啊，道路可不仅仅是铺铺水泥，开开车那么简单。

为了确保车辆行驶平稳，路面之间的角度就必须要考虑得特别细致。

尤其是坡道，斜坡的角度过大，不仅影响车辆的驾驶安全，还可能对交通造成影响。