27.2.2 相似三角形的性质
一、新课导入
1.课题导入
问题1：相似三角形有什么性质？
问题2：三角形中有各种各样的几何量，除了三条边的长度、三个内角的度数外，还有高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等.如果两个三角形相似，那么除边、角外的其他几何量之间有什么关系呢？
这节课我们研究相似三角形的性质(板书课题) .
2.学习目标
（1）知道三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
（2）知道相似三角形对应线段的比等于相似比.
（3）知道相似三角形面积的比等于相似比的平方.
3.学习重、难点
重点：相似三角形性质.
难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P37.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
②求对应中线的比.
AD AB k A D A B ==''''
③求对应角平分线的比.
AD AB k A D A B ==''''
④相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
⑤相似三角形对应线段的比等于相似比.
⑥相似三角形的周长比等于相似比.
2.自学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生能否理清证明思路.
②差异指导：根据学情分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、对应线段的比都等于相似比.
1.自学指导
（1）内容：教材P38.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①探索相似三角形的面积比与相似比之间的关系.
设△ABC 与△A′B′C′的相似比为k ，分别作△ABC 和△A′B′C′的对应高AD,A′D′.
则AD= k A′D′，BC= k B′C′.
∴S △ABC =
12BC·AD=12× k B′C′· k A′D′= k 2 S △A′B′C′， ∴2ABC A B C S k S ∆∆'''= . 相似三角形的面积比等于 相似比的平方 .
②教材P38例3，如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠
D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积.
先证△ABC ∽△DEF ，并求得相似比.再运用相
似三角形对应高的比等于相似比，求边EF 上的高；
运用相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积. ③你的解答是：∵AB AC DE DF
==2，∠A=∠D, ∴△ABC ∽△DEF,
∴边EF 上的高为3，S △DEF =14
S △ABC
. ④判断题(正确的画“√”，错误的画“×”).
a.一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍.（√）
b.一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.（×）
⑤在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm 变成了6 cm,放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？
放缩比例3∶1;面积是原来的9倍.
2.自学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
① 明了学情：了解学生自学提纲中四个题目的完成情况.
② 差异指导：根据学情进行针对性指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方
.
（2）点3名学生口答自学参考提纲中第④、⑤题，并点评.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？有哪些收获和不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生课堂的注意力，小组协作和回答问题的情况等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时的教学过程中，首先提出问题让学生回答，这有助于学生回顾有关知识，接着老师提出问题并让学生自主探索形成初步认识，最后师生共同归纳，得出结论：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、对应线段的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
在上述教学过程中，教师要充分调动学生的积极性，自主探究，体会发现和解决问题的乐趣.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的周长的比 3∶5 ，面积的比为 9∶25 .
2.(10分)如果两个相似三角形面积的比为1∶9 ，那么它们的对应高的比为 1∶3 .
3.(10分)两个相似三角形对应边上的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为 14 cm ，面积为43
cm 2.
4.(10分)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相
等的两部分，则AD AB =2. 5.(10分)△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15 cm ，则△ABC 的周长为（C ）
A.60 cm
B.45 cm
C.30 cm
D.152
cm 6.(20分)如图，△ABC 与△A′B′C′相似，AD,BE 是△ABC 的高，A′D′,B′E′是△A′B′C′的高，求证:AD BE A D B E =''''
.
证明：∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴AD AB A D A B ='''',BE AB B E A B ='''',∴AD BE A D B E =''''
. 二、综合应用（20分）
7.(20分)如图，△ABC 是一块锐角三角形的材料，边BC=120 mm ，高AD=80 mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QP 落在BC 边上，另两个顶点E ，F 分别在AC ，AB 边上，求这个正方形零件的边长.
解：设高AD 与EF 交于N 点，正方形零件边长为x mm.
∵EF ∥BC,
∴△AFE ∽△ABC. ∴8012080
,EF AN x x CB AD -==即. 解得 x =48.
∴正方形零件的边长为48 mm.
三、拓展延伸（10分）
8.(10分)如图，△ABC 中，AB=8，AC=6，BC=9.如果动点D 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发沿边BA 向点A 运动，此时直线DE ∥BC,交AC 于点E.记x 秒时DE 的长度为y ,写出y 关于x 的解析式，并画出它的图象.
解：经过x 秒后，BD=2x ,AD=8-2x .
∵DE ∥BC,
∴△ADE ∽△ABC. ∴
AD DE AB BC =, 即8289x y -=,即y =-94
x +9(0≤x ≤4).
