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北京市东城区2016届九年级(上)期末数学试卷【解析版】

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2015-2016学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．若关于的x方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则a的值为( )A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．﹣42．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为( )A．3 B．4 C．5 D．63．下列图形中，是中心对称图形的为( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AC=2，则cosA的值为( )A．B． C．D．26．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x 的方程x2+bx=5的解为( )A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=57．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则的值为( )A．B．C．D．8．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为( )A．2 B．2C．D．29．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC 的度数为( )A．70°B．90°C．110°D．120°10．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O是BC的中点，点D沿B→A→C 方向从B运动到C．设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )A．BD B．OD C．AD D．CD二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是__________．12．抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为__________．13．已知，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD=，则⊙O半径的长为__________．14．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为__________米．15．如图，已知A（2，2），B（2，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，则图中阴影部分的面积为__________．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线．已知：⊙O和点P求过点P的⊙O的切线小涵的主要作法如下：如图，（1）连结OP，作线段OP的中点A；（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；（3）作直线PB和PC．所以PB和PC就是所求的切线．老师说：“小涵的做法正确的．”请回答：小涵的作图依据是__________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：4cos45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2．18．解方程：x2﹣6x﹣1=0．19．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求CD的长．20．已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象写出y＜0时，对应的x的取值范围；（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长．21．列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？22．如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．23．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若sinC=，半径OA=3，求AE的长．25．如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ 的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路．26．请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：=证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．∴∠1=∠E，∠2=∠3．﹣﹣﹣﹣①∵AD是角平分线，∴∠1=∠2．∴∠3=∠E．﹣﹣﹣﹣②又∵AD∥CE，∴=﹣﹣﹣﹣③∴=．（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答，已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABBD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．28．已知，在等边△ABC中，AB=2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE 绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P．（1）判断△BDE的形状；（2）在图2中补全图形，①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；②求∠APC的度数；（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为__________．（直接填写结果）29．已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y=x的对称函数，例如，y1=x和y2=x为关于y=x的对称函数．（1）判断：①y1=3x和y2=﹣x；②y1=x+1和y2=x﹣1；③y1=x2+1和y2=x2﹣1，其中为关于y=x的对称函数的是__________（填序号）（2）若y1=3x+2和y2=kx+b（k≠0）为关于y=x的对称函数．①求k、b的值．②对于任意的实数x，满足x＞m时，y1＞y2恒成立，则m满足的条件为__________．（3）若y1=ax2+bx+c（a≠0）和y2=x2+n为关于y=x的对称函数，且对于任意的实数x，都有y1＜y2，请结合函数的图象，求n的取值范围．2015-2016学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．若关于的x方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则a的值为( )A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．﹣4【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=﹣1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入方程x2+3x+a=0得1﹣3+a=0，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为( )A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，∵a=﹣1＜0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．3．下列图形中，是中心对称图形的为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：第1个、3个图形是中心对称图形，共2个．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球【考点】随机事件．【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AC=2，则cosA的值为( )A．B． C．D．2【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理求出斜边长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴AB=，∴cosA==．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．6．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x 的方程x2+bx=5的解为( )A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据对称轴方程﹣=2，得b=﹣4，解x2﹣4x=5即可．【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，∴﹣=2，解得：b=﹣4，解方程x2﹣4x=5，解得x1=﹣1，x2=5，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则的值为( )A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】条件可以求出AD：AB=2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：∵AD=6，DB=3，∴AB=9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=．故选D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．8．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为( )A．2 B．2C．D．2【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．【分析】连接OA，作OC⊥AB于C，根据垂直定理得到AC=BC，根据直角三角形的性质得到OC=2，根据勾股定理求出AC的长即可得到答案．【解答】解：连接OA，作OC⊥AB于C，则AC=BC，∵OP=4，∠P=30°，∴OC=2，∴AC==，∴AB=2AC=2，故选：A．【点评】本题考查的是垂直定理和直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．9．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC 的度数为( )A．70°B．90°C．110°D．120°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+⊂BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故选C．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．10．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O是BC的中点，点D沿B→A→C 方向从B运动到C．设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )A．BD B．OD C．AD D．CD【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图象，结合等腰三角形的性质，分点当点D在AB上，当点D在AC上以及勾股定理分析得出答案即可．【解答】解：当点D在AB上，则线段BD表示为y=x，线段AD表示为y=AB﹣x为一次函数，不符合图象；同理当点D在AC上，也为为一次函数，不符合图象；如图，作OE⊥AB，∵点O是BC中点，设AB=AC=a，∠BAC=120°．∴AO=，BO=a，OE=a，BE=a，设BD=x，OD=y，AB=AC=a，∴DE=a﹣x，在Rt△ODE中，DE2+OE2=OD2，∴y2=（a﹣x）2+（a）2整理得：y2=x2﹣ax+a2，当0＜x≤a时，y2=x2﹣ax+a2，函数的图象呈抛物线并开口向上，由此得出这条线段可能是图1中的OD．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图形运用数形结合列出函数表达式是解决问题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是x2+2x+1=0．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．答案不唯一．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴b2﹣4ac=0，符合条件的一元二次方程可以为x2+2x+1=0（答案不唯一）．故答案是：x2+2x+1=0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系为：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．12．抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=x2﹣8x+20．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（4，4），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣4）2+4=x2﹣8x+20，故答案为：y=x2﹣8x+20．【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．13．已知，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD=，则⊙O半径的长为1．【考点】切线的性质．【分析】如图，连接DO，首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°，又AC=3BC，O为AB的中点，由此可以得到∠C=30°，利用锐角三角函数的定义可得OD=CD，可得结果．【解答】解：如图，连接DO，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∴∠ODC=90°，∵AB是⊙O的一条直径，AC=3BC，∴AB=2BC=OC=2OD，∴∠C=30°，∴OD=CD，∵CD=，∴OD=BC=1．故答案为：1．【点评】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题是解答本题的关键．14．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为11.5米．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据题意证出△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【解答】解：由题意得：∠DEF=∠DCA=90°，∠EDF=∠CDA，∴△DEF∽△DCA，则，即，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），即旗杆的高度为11.5m；故答案为：11.5．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．15．如图，已知A（2，2），B（2，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算；坐标与图形变化-旋转．【分析】根据旋转的性质可知阴影部分的面积=S 扇形A ′OA ﹣S 扇形B ′OB ，根据扇形的面积公式S=计算即可．【解答】解：∵点A 的坐标为（2，2），∴OA=4，∵点B 的坐标为（2，1），∴OB=，由旋转的性质可知，S △A ′OB ′=S △AOB ，∴阴影部分的面积=S 扇形A ′OA ﹣S 扇形B ′OB =﹣ =， 故答案为：．【点评】本题考查的是扇形的面积计算和旋转的性质，掌握扇形的面积公式S=、正确根据旋转的性质表示出阴影部分的面积是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线．已知：⊙O 和点P求过点P 的⊙O 的切线 小涵的主要作法如下：如图，（1）连结OP ，作线段OP 的中点A ；（2）以A 为圆心，OA 长为半径作圆，交⊙O 于点B ，C ；（3）作直线PB 和PC ．所以PB 和PC 就是所求的切线．老师说：“小涵的做法正确的．”请回答：小涵的作图依据是直径所对的圆周角是直角．【考点】切线的判定；作图—复杂作图．【分析】根据圆周角定理得出∠PBO=∠PCO=90°，即OB⊥PB，OC⊥PC，即可证得PB、PC是⊙O的切线．【解答】解：∵OP是⊙A的直径，∴∠PBO=∠PCO=90°，∴OB⊥PB，OC⊥PC，∵OB、OC是⊙O的半径，∴PB、PC是⊙O的切线；则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角．故答案为：直径所对的圆周角是直角．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：4cos45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等运算，然后合并．【解答】解：原式=2+﹣2﹣1=﹣1．【点评】本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、乘方等知识，属于基础题．18．解方程：x2﹣6x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣1=0，移项得：x2﹣6x=1，配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，开方得：x﹣3=±，则x1=3+，x2=3﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．19．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求CD的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴=．∵AB=6，BD=4，∴=，∴BC=9，∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．20．已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象写出y＜0时，对应的x的取值范围；（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据图象过原点，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；（2）根据函数与不等式的关系：图象位于x轴下方部分是不等式的解集，可得答案；（3）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得A、D点关于对称轴对称，根据AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案．【解答】解：（1）由y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，得m2﹣1=0，解得m=1或m=﹣1．当x＜0时，y随x的增大而减小，得m=﹣1．抛物线的解析式y=x2﹣3x；（2）由图象1，得位于x轴下方的部分，y＜0时，对应的x的取值范围0＜x＜3；（3）如图2，由AD∥x轴，得A、D关于对称轴x=1.5对称，B、C关于对称轴x=1.5对称，且BC=1，得1.5﹣0.5=1，即B（1，0）．当x=1时，y=1﹣3=﹣2，即A（1，﹣2）．矩形ABCD的周长为2（AB+BC）=2×（2+1）=6．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系：图象位于x轴下方部分是不等式的解集；利用平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出A、D关于对称轴对称是解题关键．21．列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，根据题意可得，2013年的盈利额×（1+增长率）2=2015年的盈利额，据此列方程求解．【解答】解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，由题意得，200×（1+x）2=242，解得：x=0.1．答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是0.1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22．如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．【考点】作图-旋转变换；平行四边形的判定．【专题】作图题．【分析】（1）根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形，（2）根据平行四边形的判定，画出使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的点即可．【解答】解：（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称的图形如下：（2）根据题意画图如下：【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，用到的知识点是旋转、中心对称、平行四边形的判定，关键是掌握中心对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形．23．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】（1）甲、乙两人出第一次手势时，共有9种等可能的结果数，其中出现相同手势的结果数为3，于是根据概率公式可计算出不分胜负的概率；（2）画树状图展示所有27种等可能的结果数，再找出三种手势都相同或都不相同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率=；（2）画树状图为：共有27种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数为9，所以甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若sinC=，半径OA=3，求AE的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；（2）连接BE，AD，AB是直径，∠AEB=∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，BD=DC，通过解直角三角形求得AD，根据勾股定理得出BD，进而求得BC，解直角三角形BCE求得BE，然后根据勾股定理即可求得AE．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：连接BE，AD，∵AB是直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，BD=DC，∵sinC=，∴sin∠ABC==，∵AB=2OA=6，∴AD=2，∴BD==2，∴BC=2BD=4，在RT△BEC中，∵sinC=，∴BE=BC=×4=4，在RT△ABE中，AE===2．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等．25．如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ 的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路．。

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2016-2017学年北京市东城区初三上学期期末数学试题.docx

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北京市东城区2016—2017 学年第一学期期末统一测试初三数学2017.1学校班级姓名考号1．本试卷共8 页，共三道大题，29 道小题，满分120 分 . 考试时间120 分钟 .考2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号.生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上, 在试卷上作答无效.须4．在答题卡上选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.知5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．关于 x 的一元二次方程 x2 +4 x+ k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值为A ． k=4B ． k=﹣ 4C ． k ≥﹣ 4D ． k≥42A ．直线 x=1B．直线 x=﹣ 1C．直线 x=﹣ 2D．直线 x=23．剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是A B C D4．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为 10 次、 50 次、 100 次、 200 次，其中试验相对科学的是A ．甲组B ．乙组C ．丙组D ．丁组5．在平面直角坐标系中，将抛物线y x22x 1先向上平移3个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，所得的抛物线的解析式是A ．y( x 1)21B． y (x 3)21C．y(x 3)2 5 D． y ( x 1)226．已知点 A（ 2， y1）， B（ 4， y2）都在反比例函数y k（k＜0）的图象上，x则 y1， y 2的大小关系为A ． y 1＞ y2B ． y 1＜ y2C ． y 1 =y 2 D．无法确定7．如图，在△ABC 中，∠ A=78 °， AB=4 ， AC=6.将△ ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是．．．8.如图，圆锥的底面半径 r 为 6cm ，高 h 为 8cm ，则圆锥的侧面积为A ． 30π cm2B ． 48π cm2C． 60π cm2 D ． 80π cm29.如图，⊙ O 是 Rt△ ABC 的外接圆，∠ ACB=90 °，∠ A=25 °，过点C 作⊙ O 的切线，交 AB 的延长线于点 D，则∠ D 的度数是A ．25°B ． 40°C． 50°D ． 65°10.城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网 +”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用. 名为“数据包络分析”（简称 DEA ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置.为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24 个时段的 DEA 值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好 .在某一段时间内，北京的DEA值 y 与时刻 t 的关系近似满足函数关系 y ax2bx c（a，b，c是常数，且a 0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是A. 4.8B. 5C. 5.2D. 5.5y1.10.870.43O 4 56t 二、填空题（本题共18 分，每小题 3 分）11．请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是．12．已知 m 是关于 x 的方程 x2﹣ 2x﹣ 3=0 的一个根，则2m2﹣4m=．13.二次函数 y x2 4x 2 的最小值为．14.天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿 AB 长 2 米，在太阳光下，它的影长BC 为 1.5 米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为 28.5 米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为米．DAE F B C15．如图，在Rt△ABC中，ACB90 ，AC 2 3,以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与 AB 边交于点 D ,将BD绕点 D 旋转 180°后点 B 与点 A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为 .16．如图，已知菱形OABC 的顶点 O（ 0,0），B（ 2,2），菱形的对角线的交点 D 的坐标为；菱形 OABC 绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60 秒时，菱D 的坐标为 .y形的对角线的交点32B A1DC–3 –2 –1O123x–1–2三、解答题（本题共72分，第 17— 26 题，每小题 5 分，第 27,28 题各 7 分，第29 题 8分）17．解方程：2x24x 1 0.18. 如图，在△ ABC中， AD 是中线，∠ B= ∠ DAC ，若 BC =8 ，求 AC 的长 .ACB D19．如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E ，若 AB =8， CD =6，求 BE 的长．20．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， Rt △ ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂足为点 B ，反比例函数 y 1k 1（ x ＞ 0）的图象经过 AO 的中点 C ，且与 AB 相交于点 D ，OB=4 ，xAB=3 ．（ 1）求反比例函数 y 1k 1（ x ＞0）的解析式；x（ 2）设经过 C ， D 两点的一次函数解析式为y 2 k 2 x b ，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当y 2＞y 1 时， x 的取值范围．21． 列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地， 后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分） ，原空地一边减少了 1m ，另一边减少了 2m ，剩余空地的面积为 20m 2 ，求原正方形空地2m的边长．20m 21m22．按照要求画图：（1）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为（﹣1，3），（﹣ 4，1），（﹣ 2，1），将△ ABC 绕原点 O 顺时针旋转90°得到△ A1B1C1，点 A，B， C 的对应点为点A1，B1， C1．画出旋转后的△ A1B1C1；（2）下列 3×3 网格都是由9 个相同小正方形组成，每个网格图中有 3 个小正方形已涂上阴影，请在余下的 6 个空白小正方形中，选取 1 个涂上阴影，使 4 个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．（ 1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（ 2）若两人抽取的数字和为2 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 5 的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24.在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线 x=1 的抛物线2y= -x +bx+c 与 x 轴交于点 A 和点B，与 y 轴交于点C，且点 B 的坐标为（﹣ 1， 0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 的坐标为（ 0，1），点 P 是抛物线上的动点，若△ PCD是以 CD 为底的等腰三角形，求点P 的坐标．25.如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是弦，∠ BAC 的平分线交⊙ O 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥AC 交 AC 的延长线于点E，连接 BD．（ 1 ）求证： DE 是⊙ O 的切线；（ 2）若BD 5，AD 4 5，求CE的长．DE226.问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：A A AB DC B C B C图 2图 3图1已知在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC= 22 ．（1）如图 1，若 AD ⊥BC ，垂足为 D，则 AD 是△ ABC 的一条等积线段，求AD 的长；（2）在图 2 和图 3 中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图 1、图2 和图 3 中的等积线段的长度各不相等）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y mx22mx m 4 （ m 0 ）与x轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C（ 0，-3）．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（ 3）将抛物线在B， C 之间的部分记为图象G（包含B， C 两点），若直线 y= 5x+b 与图象 G 有公共点，请直接写出 b 的取值范围．28.点 P 是矩形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点 A，C 重合），分别过点 A， C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点E， F，点 O 为 AC 的中点．（ 1）如图 1，当点 P 与点 O 重合时，请你判断OE 与 OF 的数量关系；（ 2）当点 P 运动到如图 2 所示位置时，请你在图 2 中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（ 3）若点 P 在射线 OA 上运动，恰好使得∠OEF =30°时，猜想此时线段CF， AE，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．D CCDE(P )OOFPA B图 1A B图2D COA B备用图29．在平面直角坐标系xOy 中，有如下定义：若直线l 和图形 W 相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l 与图形 W 成“ k 相关”，此时称直线与图形W 的相关系数为 k.（1）若图形W 是由A2， 1 ， B2,1 ， C 2，1 ， D 2， 1 顺次连线而成的矩形：○1 l1：y=x+2，l2：y=x+1，l3：y=-x-3 这三条直线中，与图形W 成“2 相关”的直线有________;○画出一条经过 0，1的直线，使得这条直线与W 成“ 5 相关”；2○3若存在直线与图形W 成“ 2 相关”，且该直线与直线y3x 平行，与y轴交于点Q，求点 Q 纵坐标y Q的取值范围；（2）若图形 W 为一个半径为 2 的圆，其圆心 K 位于 x 轴上 . 若直线y33 与图形x3W 成“ 3 相关”，请直接写出圆心K 的横坐标x K的取值范围 .备用图北京市城区2016-2017 学年第一学期期末一初三数学参考答案及分准2017.1一、（本共30 分，每小3分）号12345678910答案A B A D A B C C B C 二、填空（本共18 分，每小3分）号111213141516如：y 1答案不唯（ 1,1）；（ -1，-1）答案x6-6383一，只要足 k＜0即可三、解答（本共72 分，第 17— 26 ，每小 5 分，第 27 7分，第 287 分，第29 8 分）17．解方程：2x24x10解： x22x1.12x22x1 1 .⋯⋯⋯⋯2分32(x1)2.⋯⋯⋯⋯ 3 分2x16. 2∴x1 16, x216 2.218.解：∵∠ B = ∠ DAC ，∠ C=∠ C，∴△ ABC∽△ DAC .⋯⋯⋯⋯2分∴AC BC .CD AC∴ AC 2CD BC ．⋯⋯⋯⋯3分∵ AD 是中，BC =8 ，∴ CD 4 .⋯⋯⋯⋯4分⋯⋯⋯⋯ 1 分⋯⋯⋯⋯ 5 分AC B D∴AC 4 2 .⋯⋯⋯⋯5 分1119. 解： 接 OC.⋯⋯⋯⋯ 1 分∵AB 是⊙ O 的直径，弦CD ⊥ AB 于点 E ，∴ 点 E 是 CD 的中点 .⋯⋯⋯⋯ 2 分在 Rt △ OCE 中， OE 2 CE 2 OC 2 ，∵ AB=8， CD=6 ，∴ 可求 OE7 . ⋯⋯⋯⋯ 4 分∴BE 47 .⋯⋯⋯⋯ 5 分20.（ 1）由 意可求点C 的坐 （2，3） .⋯⋯⋯⋯ 1 分2y 13⋯⋯⋯⋯ 2 分∴ 反比例函数的解析式（ x ＞0） .x（ 2）可求出点 D 的坐 （ 4，3） .⋯⋯⋯⋯ 3 分4∴ 可求直 CD 的解析式y 2 - 3x 9 . ⋯⋯⋯⋯ 4 分8 4 当 2＜ x ＜ 4 ， y 2＞y 1 . ⋯⋯⋯⋯ 5 分.21．解： 原正方形空地的xm ．⋯⋯⋯⋯ 1 分根据 意，得 x 1 x 2 20 ． ⋯⋯⋯⋯ 2 分解方程，得x 1 6, x 2 3(舍）⋯⋯⋯⋯ 4 分答：原正方形空地的6m ． ⋯⋯⋯⋯5 分1222． 解：（1）旋 后的△A 1B 1C 1 如下 ：B 1C 1A 1⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）根据 意画 如下：符合其中的两种即可 ．⋯⋯⋯⋯5 分23．解 ： （ 1）所有可能出 的 果如 ：从表格可以看出， 共有 9 种 果，每种 果出 的可能性相同，其中两人 抽取相同数字的 果有3 种，所以两人抽取相同数字的概率1； ⋯⋯⋯3 分3（2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和 2 的倍数有 5 种，两人抽取数字和 5 的倍数有 3 种，所以甲 的概率 5，乙 的概率1 ． ∵5＞ 1，939 3∴甲 的概率大，游 不公平．⋯⋯⋯⋯5 分1324.解：（ 1）由题意可求点A 的坐标为（ 3,0）．将点 A（3,0）和点 B（-1,0）代入 y= - x2 +bx+c，0=-9+3b c,得0 1 b c.b 2,解得c 3.∴抛物的解析式 yx2 2x 3 ．⋯⋯⋯⋯3分（2）可求出点 C 的坐（ 0,3）．由意可知足条件的点P 的坐2．∴x2 2x 3=2 ．解得 x1 12, x2 1 2.∴点 P 的坐(12,2) 或(12,2)．⋯⋯⋯⋯5分25.（ 1）证明：连接 OD ．∵OA=OD，∴ ∠ BAD =∠ODA ．∵AD 平分∠BAC ，∴ ∠BAD=∠DAC ．∴ ∠ODA=∠DAC．∴ OD∥ AE．∵DE⊥ AE，∴OD⊥DE ．∴ DE 是⊙ O 的切．⋯⋯⋯⋯2分（2）解：∵ OB 是直径，∴∠ADB =90°．∴∠ADB =∠ E．又∵∠ BAD =∠DAC ，∴△ABD ∽△ ADE．14∴AB BD 5 ．AD DE2∴AB 10 ．由勾股定理可知BD 2 5 ．接 DC ，∴BD DC 2 5．∵A,C ,D ,B 四点共 .∴∠DCE =∠ B.∴△ DCE∽△ ABD．∴AB BDDC .CE∴CE =2.⋯⋯⋯⋯5分26.解：（ 1）在 Rt△ADC 中，∵AC2 2 ， C =45°，∴AD2．⋯⋯⋯⋯ 1 分（2）符合意的形如下所示：AE AC 中点，BE10 .EB CGH ∥ BC，GH 2 2 .A⋯⋯⋯⋯ 5G H分B C15。

2017.1 东城初三上 数学期末答案(1)

2017.1 东城初三上 数学期末答案(1)


，x2 =
．
18. 【答案】4√2 ．
19. 【答案】4 − √7 ．
20. 【答案】（1）反比例函数y1 =
智
3 x
爱
康
(x > 0)
．
x+ 9 4
（2）一次函数解析式为y2 = −
3 8
，当2 < x < 4 时，y2 > y1 ．
21. 【答案】原正方形空地的边长为6m ．
22. 【答案】（1）画图见解析． （2）画图见解析．
（答案不唯一）
12. 【答案】6
13. 【答案】−6
爱
智
康
14. 【答案】38
15. 【答案】√3
16. 【答案】1．(1, 1) 2．(−1, −1)
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
2 + √6 2 2 − √6 2
17. 【答案】x1 =
l1
和l 2 ．
2 画图见解析． 3
−1 − √3 ⩽ yQ ⩽ 1 + √3
．
（2）−3 − √7 ⩽ xK ⩽ −3 + √7 ．
爱
智
康
23. 【答案】（1） ．
3
1
（2）该游戏不公平．
24. 【答案】（1）解析式为y = −x2 + 2x + 3 ． （2）P (1 + √2, 2) 或P (1 − √2, 2) ．
25. 【答案】（1）证明见解析． （2）C E = 2 ．
26. 【答案】（1）AD = 2 ． （2）画图见解析，BE = √10 ，GH
2016~2017学年北京东城区初三上学期期末数学试卷
2016.1北京各区初三期末第一学期28题整理

2016.1北京各区初三期末第一学期28题整理

A D A
O B 图1 C B 图2 C
28.（平谷）探究活动： 利用函数 y ( x 1)( x 2) 的图象(如图 1)和性质，探究函数 y ( x 1)( x 2) 的图象 与性质. 下面是小东的探究过程，请补充完整： (1)函数 y ( x 1)( x 2) 的自变量 x 的取值范围是___________； (2)如图 2，小东列表描出了函数 y ( x 1)( x 2) 图象上部分点，请画出函数图象；
P l A O B C
28.（昌平）已知，点 O 是等边△ABC 内的任一点，连接 OA，OB，OC. （1）如图 1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60° 得△ADC. ①∠DAO 的度数是； ②用等式表示线段 OA，OB，OC 之间的数量关系，并证明； （2）设∠AOB=α，∠BOC=β. ①当 α，β 满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图 2 中画出符合条件的图形， 并说明理由； ②若等边△ABC 的边长为 1，直接写出 OA+OB+OC 的最小值.
y
y
2 1
2
1
1
图1
O
2
x
-1
O
1 图2
2
3
4
x
(3)解决问题：设方程 ( x 1)( x 2)
1 x b 0 的两根为 x1 、 x 2 ，且 x1 x2 ，方程 4
x 2 3x 2
的大小关系为
1 x b 的两根为 x3 、 x 4 ，且 x3 x4 .若 1 b 2 ，则 x1 、 x 2 、 x3 、 x 4 4
AF CE
2016年北京市东城区初三数学一模试题及答案

2016年北京市东城区初三数学一模试题及答案

北京市东城区2015—2016学年第二学期统一练习（一） 初三数学 2016.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．数据显示，2015年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果.将数据51 660 000用科学记数发表示应为 A ．75.16610⨯ B ．85.16610⨯ C ．651.6610⨯ D ． 80.516610⨯2．下列运算中，正确的是A ．x ·x 3=x 3B ．(x 2)3=x 5C ．624x x x ÷= D ．(x -y )2=x 2+y 23．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是 A ．15 B ．25 C ．35 D ．454．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示则这四人中发挥最稳定的是5. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=A ．52°B ．38°C ．42°D ．62°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD =CA ，连接BC 并延长至E ，使CE =CB ，连接ED . 若量出DE =58米，则A ，B 间的距离为A ．29米B ． 58米C ．60米D ．116米7．在平面直角坐标系中，将点A （-1，2）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 关于x 轴的对称点C 的坐标是A ．（-4，-2）B ．（2，2）C ．（-2，2）D ． （2，-2）8. 对式子2241a a --进行配方变形，正确的是A ．22(1)3a +-B ． 23(1)2a --C ．22(1)1a --D ．22(1)3a -- 9. 为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品. 已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过．．．200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是A ．5B ．6C ．7D ．810. 如图，点A 的坐标为（0,1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰Rt △ABC ，使 ∠BAC =90°，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标 为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：22ab ac -= ．12．请你写出一个一次函数，满足条件：○1经过第一、三、四象限；○2与y 轴的交点坐标为（0，-1）. 此一次函数的解析式可以是 ．13. 已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形的边数是 .14. 为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是 ．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己23的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？” 设甲持钱为x ，乙持钱为y ，可列方程组为 ．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：请你判断哪位同学的作法正确 ；这位同学作图的依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：011tan 6021)()2-︒--.18. 解不等式组22)3(1),1,34x x x x --⎧⎪+⎨⎪⎩（≤＜ 并把它的解集表示在数轴上.19．已知230x x --=，求代数式（x +1）2﹣x （2x +1）的值．20．如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠BAC =40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）.21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？22．如图：在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交BC 于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF ． （1）求证：四边形ABEF 为菱形；（2）AE ，BF 相交于点O ，若BF =6，AB =5，求AE 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y =k 1x +b 与与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x=的图象在第一象限交于点A （3,1），连接OA . （1）求反比例函数2k y x=的解析式； （2）若S △AOB :S △BOC = 1:2，求直线y =k 1x +b 的解析式.24. 某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n ，并按以下规定分为四档：当n ＜3时，为“偏少”；当3≤n ＜5时，为“一般”；当5≤n ＜8时，为“良好”；当n ≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数； （2）分别求出统计表中的x ，y 的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数.25. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥PO 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB =∠EPB ．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26. 在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）.小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积.图1 图227．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．28. 如图，等边△ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°.BB（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.备用图29. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.（1）当⊙O 的半径为1时，○1分别判断在点D （21，14），E （0，，F （4，0）中，是⊙O 的相邻点 有__________；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程.○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围； （2）⊙C的圆心在x 轴上，半径为1，直线3y x =-+x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线．段．MN上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．图1 备用图1 备用图2北京市东城区2015-2016学年第二学期统一练习（一）初三数学参考答案及评分标准2016.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）题8分）17．计算：011tan6021)()2-︒--解：原式212-…………4分=1-. …………5分18. 解：解不等式○1，得-1x≥.…………1分解不等式○2，得3x＜. …………2分∴不等式组的解集为-13x≤＜. …………4分不等式组的解集在数轴上表示如下：…………5分19. 解：21)(21)x x x+-+（= 22212x x x x++--=21x x-++. …………3分∵230x x--=，∴23x x-+=-. …………4分∴原式= -2. …………5分20. 解：∠E=35°，或∠EAB=35°，或∠EAC=75° . …………1分∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，∴ ∠ABC =∠ACB =70°. …………3分又∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD =∠CBD =35° . …………4分 ∵ AE ∥BD ，∴ ∠E =∠EAB =35° . …………5分 ∴ ∠EAC =∠EAB +∠BAC =75° .21．解：设第二批鲜花每盒的进价是x 元. …………1分依题意有6000113000210x x =⨯+. …………2分 解得x =120. …………3分经检验：x =120是原方程的解，且符合题意． …………4分 答：第二批鲜花每盒的进价是120元． …………5分22．解：（1）证明： 由尺规作∠BAD 的平分线的过程可知，AB =AF ，且∠BAE =∠F AE . 又∵平行四边形ABCD ，∴ ∠F AE =∠AEB . ∴ ∠BAE =∠AEB .∴ AB =BE . ∴ BE= F A .∴四边形ABEF 为平行四边形.∴四边形ABEF 为菱形. …………2分 （2）∵四边形ABEF 为菱形，∴AE ⊥BF ，OB =21BF =3，AE =2AO .在Rt △AOB 中，AO 4=. ∴AE =2AO =8.…………5分23．解：（1）由题意可知21=3k ．∴23k =. …… 1分 ∴ 反比例函数的解析式为3y x=. （2）符合题意有两种情况：○1直线y =k 1x +b 经过第一、三、四象限. ∵ S △AOB :S △BOC = 1:2，点A （3,1）， ∴ 可求出点C 的坐标为（0，-2）.∴ 直线的解析式为2y x =- . .…………3分○2直线y =k 1x +b 经过第一、二、四象限. 由题意可求点C 的坐标为（0，2）.∴ 直线的解析式为1-+23y x =. …………5分24. 解：（1）由表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%=50名. （2）调查学生中“良好”档次的人数为50×60%=30. ∴x =30﹣（12+7）=11名.y =50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3名．（3）由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为=8%，∴估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%=32名．…………5分25. 解：（1）证明：∵ ∠EDB =∠EPB ，∠DOE =∠POB ，∴ ∠E =∠PBO =90゜，∴ PB 是⊙O 的切线．…………2分（2）∵ PB =3，DB =4，∴ PD =5.设⊙O 的半径的半径是r ，连接OC . ∵ PD 切⊙O 于点C ， ∴ OC ⊥PD .∴ .222OD OCCD =+∴ .)4(2222r r -=+∴.23=r可求出PO =易证△DEP ∽△OBP . ∴DE DPOB OP=.解得 DE =. …………5分26．解：（1）菱形（正方形）. …………1分（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.（写出其中的两条就行） …………3分 已知：筝形ABCD. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. …………4分（3）连接AC .过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E . ∵∠ABC=120°， ∴∠EBC=60°. 又∵B C=2，∴BE =1，CE∴S四边形ABCD =21122422ABC S AB CE ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=.…………5分27.解：（1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->，∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根. …………2分（2）x ==∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. …………5分 （3）a >1或a <-5. …………7分 28.解：（1）相等. …………1分（2）思路：延长FD 至G ，使得GD=DF ，连接GE ，GB .证明△FCD ≌△GBD ，△GED 为等边三角形， ∴△GED 为所求三角形. 最大角为∠GBE=120°. …………4分（3）过D 作DM ，DN 分别垂直AB ，AC 于M ，N .11 / 11∴∠DMB =∠DNC=∠DMA=∠DNA=90°.又∵DB=DC ，∠B=∠C ，∴△DBM ≌△DCN.∴DM =DN .∵∠A=60°，∠EDF=120°，∴∠AED +∠AFD=180°.∴∠MED =∠AFD.∴△DEM ≌△DFN.∴ME=NF .∴AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN =333442+=. …………7分29.解：（1）①D ,E . …………2分②连接OD ，过D 作OD 的垂线交⊙O 于A ，B 两点. …………4分（2）∵⊙O 的半径为1，所以点P 到⊙O 的距离小于等于3，且不等于1时时，符合题意.∵ 点P 在直线3y x =-+上，∴03p x ≤≤. …………6分（3）09C x ≤≤. …………8分。