电磁场与电磁波第四章

第4章 时变电磁场4.1基本内容概述这一章主要讨论时变电磁场的普遍规律，内容包括：电磁场的波动方程，动态矢量位和标量位，坡印廷定理与坡印廷矢量，时谐电磁场。

4.1.1波动方程在无源的线性、各向同性且无损耗的均匀媒质中，由麦克斯韦方程组可推导出电场E 和磁场H 满足波动方程0t με∂∇-=∂222EE （4.1）2220tμε∂∇-=∂H H （4.2）4.1.2 动态矢量位和标量位在时变电磁场中，动态矢量位A 和动态标量位ϕ的定义为=∇⨯B A （4.3）tϕ∂=--∇∂AE （4.4） 应用洛仑兹条件0tϕμε∂∇+=∂A （4.5） 可得到A 和ϕ的微分方程为222t μεμ∂∇-=-∂AA J （4.6）2221t ϕϕμερε∂∇-=-∂ （4.7）4.1.3 坡印廷定理和坡印廷矢量1．坡印廷定理坡印廷定理表征了电磁场能量守恒关系，其微分形式为11()()22t ∂-∇⨯=++∂E H H B E D E J （4.8） 积分形式为()d S-⨯⎰E H S d 11()d d d 22V V V V t =++⎰⎰H B E D E J （4.9） 坡印廷定理的物理意义：单位时间内通过曲面S 进入体积V 的电磁能量等于单位时间内体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。

2．坡印廷矢量S坡印廷矢量是描述电磁能量传输的一个重要物理量，其定义为=⨯S E H （2W m ） （4.10） 它表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是电磁能量传输的方向。

4.1.4 时谐电磁场1．时谐电磁场的复数表示法以一定角频率作时谐变化的电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。

时谐电磁场可用复数形式来表示(,)Re[()]j t t e ω=E r E r （4.10）其中()()()()()()()y x z j j j x xm y ym z zm E e E eE e φφφ=++r r r E r e r e r e r （4.11）称为电场强度E 的复数形式或复矢量。

习题解答4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为① (0,)(,)0y a y ϕϕ== ② (,0)0x ϕ=③0(,)x b U ϕ=根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为1(,)sinh()sin()n n n y n xx y A a a ππϕ∞==∑由条件③，有01sinh()sin()n n n b n x U A a a ππ∞==∑两边同乘以sin()n x a π，并从0到a 对x 积分，得到002sin()d sinh()an U n xA x a n b a a ππ==⎰02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故得到槽内的电位分布1,3,5,41(,)s i n h ()s i n ()s i n h ()n U n yn xx y n n b a aa ππϕππ==∑4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。

上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从0=y 到a题4.1图d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。

解 应用叠加原理，设板间的电位为(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+其中，1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）的电位，即10(,)x y U y ϕ=；2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①22(,0)(,)0x x b ϕϕ==②2(,)0()x y x ϕ=→∞③002100(0)(0,)(0,)(0,)()U U y y d by y y U U y y d y b d b ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为 21(,)sin()en x bn n n y x y A b ππϕ∞-==∑由条件③有00100(0)sin()()n n U U y y d n y b A U U b y yd y b d b π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑两边同乘以sin()n yb π，并从0到b 对y 积分，得到0002211(1)sin()d ()sin()d dbn d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin()()U b n d n d b ππ故得到 (,)x y ϕ=0022121sin()sin()e n x bn U bU n d n y y b d n b b ππππ∞-=+∑4.3 求在上题的解中，除开0U y b 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。

《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。

电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。

在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。

本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。

电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。

本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。

4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。

下面建立无源空间中电磁场的波动方程。

在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。

在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为t ε=?EH （4.1.1） tμ=-?HE （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有()()tμ=-E H 将式（4.1.1）代入上式，得到22()0t με+=?EE利用矢量恒等式2()()=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到2220tμε??-=?EE （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。

同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为2220tμε??-=?H H （4.1.6）无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。

在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。

例如，式（4.1.5）可以分解为222222220x x x xE E E E x y z tμε++-= （4.1.7） 222222220yyyyE E E E x y z t με++-= （4.1.8）222222220z z z zE E E E x y z t με++-= （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。

第四章 习题4-1、 电量为nC 500的点电荷，在磁场)(ˆ2.1T zB =中运动，经过点)5,4,3(速度为 s m y x/ˆ2000ˆ500+ 。

求电荷在该点所受的磁场力。

解：根据洛仑兹力公式B v q F⨯=N x y z y x 4491012ˆ103ˆ2.1ˆ)ˆ2000ˆ500(10500---⨯+⨯-=⨯+⨯⨯= N y x4103)ˆˆ4(-⨯-= 4-2、真空中边长为a 的正方形导线回路，电流为I ，求回路中心的磁场。

解：设垂直于纸面向下的方向为z 方向。

长为a 的线电流I 在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为aIzB πμ2ˆ01= 因而，边长为a 的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为aIz B B πμ24ˆ401==题4-2图 题4-3图4-3、真空中边长为a 的正三角形导线回路，电流为I ，求回路中心的磁场.解：设垂直于纸面向下的方向为z 方向。

由例4-1知，长为a 的线电流I 在平分线上距离为b 的点上的磁感应强度为2201)2(ˆa b a bIz B +=πμ所以220)2(3ˆa b a bIz B +=πμ ，其中)6(2πtg a b =4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I 。

求半圆中心处的磁场。

(c)题4-4 图解：设垂直于纸面向内的方向为z 方向。

由例4-2知，半径为a 的半圆中心处的磁场为aIz B 4ˆ01μ= （1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此aIz B 4ˆ0μ= （2）由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a 处的磁场为aIz B πμ4ˆ02= 因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和)2(4ˆ0+-=ππμaIz B （3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即)11(4ˆ0ba I zB -=μ 4-5、 在真空中将一个半径为a 的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。