小学奥数知识讲解 格点与面积

第2讲 格点与面积【知识梳理】一. 正方形格点面积公式（1）定义：在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

（2）公式：右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．下面就看一下其面积的计算。

用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理。

二、三角形格点问题（1）定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

（2）公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2。

【典例精讲】【例1】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？【答案】4平方厘米；4平方厘米；12平方厘米【解析】左起第一个阴影图形可以分割成4个小正方形，面积为4平方厘米；左起第二个阴影图形可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积为2×2÷2=2平方厘米，下面三角形的面积是2×2÷2=2平方厘米，则阴影部分的面积为2+2=4平方厘米；左起第三个阴影部分图形可以分割成上面一个三角形、下面一个梯形，上面三角形的面积为5×2÷2=5平方厘米，下面梯形的面积为（2+5）×2÷2=7平方厘米，则阴影部分的面积为5+7=12平方厘米。

【训练1】图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？【答案】8平方厘米；8平方厘米【解析】左起第一个阴影部分可以分割成8个小正方形，面积为8平方厘米；左起第二个阴影部分可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积是4×2÷2=4平方厘米，下面三角形的面积为4×2÷2=4平方厘米，则阴影部分的面积为4+4=8平方厘米。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

.. .......... 名师点拨 --- -------- --- 学科:学科：奥数** 教学内容：第六讲格点与面积开始学习生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。

同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。

这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。

先来介绍什么是“格点”。

见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。

图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。

利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。

显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。

而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。

解答：(1)图中长方形包括3X2=6 (个)面积单位，所以它的面积为6。

(2)将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3X2=6。

(3)将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位,所以它的面积为2。

(4)图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而三角形面积为长方形面积的一半,则三角形面积为3。

(5)将图中梯形的互相平行的一组对边延长,补出一个和原来梯形方向颠倒,但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。

长方形的面积为2+4）X3=18,而梯形的面积为长方形的面积的一半。

如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。

这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。

其中数格子的方法比较原始，很少用。

任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。

格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。

皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。

本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。

例1：求下面各图形的面积。

【解析】：图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。

第三讲格点与面积例1、下面是一个格点图，图中有长方形，三角形，平行四边形和梯形各一个，请你利用方格网计算出他们的面积是多少（如图所示阴影部分的校正方形的面积是1平方厘米）.例2、图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？（单位：厘米）例3、观察下面四个多边形，计算下列各多边形的面积，并统计每个多边形边界上的格点数和图形内的格点数。

比克定理：任何一个正方形格点多边形的面积都等于图形内部的格点数加上图形边界的格点数除以2的和。

例4、下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米，求图中阴影部分的面积。

例5、下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点“∴”和“∵”构成的都是面积为1平方厘米的等边三角形，请你计算图中三角形的面积。

思考与练习1、求下面个图形的面积（相邻格点距离1厘米）2、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）3、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）4、下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。

请你在图中选择7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围城的面积尽可能大，那么，所围图形的面积是多少平方厘米？5、下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积。

6、下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）.7、在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1平方厘米）.8、如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。

M是AB的中点，N是CD的中点，P是EF的中点，问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？。

第十二站 格点与面积月 日 姓 名【知识要点】 1．格点的意义 如下图所示，是一张方格纸，这种方格纸是由水平线和垂直线相交而组成的。

图中水平 线和垂直线的交点称为格点。

E A D B D C D D2．面积单位的意义 面积相等的每个小正方形称为面积单位， 例如上图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

3．利用格点求面积 通常用到“扩展法”或“割补法” 。

“扩展法”通常是根据图形将其扩展为规则图形，利 用规则图形面积减去所求图形以外面积，从而得到图形的面积。

“割补法”通常是把图形通过 割补的方式变为规则图形，从而求得解。

同学们，下面是一道全国希望杯竞赛试题，看起来是不是很难？让我们一起来想想如何 解决它吧！ 请将图中所示的三角形 ABC 分成面积相等的六个部分，请给出三种不同的分法。

A A ABCBCBC有点难度是不是？不用怕，认真听讲、多动脑，学完本节课这道题就是小 Case 啦！【典型例题】 例 1 在下列格点里面分别连出一个正方形，一个长方形，一个三角形，一个平行四边形和 一个梯形，并且这些图形的所有顶点都要在格点上。

例 2 个。

下面的格点间距都是 1 厘米，请分别画出面积为 36 平方厘米的正方形、长方形各一例3用割补法求出下图中各个图形的面积。

（单位面积为 1）例4用扩展法求下列图中多边形的面积。

（单位面积为 1）随堂小测姓 名 成 绩1．用“割补”或“扩展”法求下图中各图形的面积。

（单位面积为 1）①②2．下图中四个图形的面积各是多少？（单位面积为 1）3．如图，每个小方格为 1 个单位，则阴影部分的三角形面积为单位面积。

课后作业姓 名 成 绩1．求下图中各图形的面积； （单位面积为 1）2．请在下面的格点中分别画出面积为 8 个单位、12 个单位的两个图形。

（单位面积为 1）3．求下图中各图形的面积。

（单位面积为 1）①②③。

小学奥林匹克数学辅导————格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.例3 如右图（b），计算这个格点多边形的面积. 例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.例9 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD的面积.习题1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

格点与面积
知识点介绍：
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形！本讲主要学习求格点多边形的面积问题。

计算面积一般有2种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。

皮克公式: 格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”.
例题1、判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴⑵
⑶
练习下图中喇叭、小猫、小狗是格点多边形吗？
例题2、求下面各图形的面积。

练习
如图，计算各个格点多边形的面积．
例题3、下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。

练习
下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
例题4、你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？
练习
1、(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
2、如图，44 的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．
F E D
C
B A
1cm 1cm
课后训练
1.如图，计算各个格点多边形的面积．
2.求下列各个格点多边形的面积．
3、“乡村小屋”的面积是多少？
⑵
⑴⑷
⑶
4、如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？。

第六讲 格点与面积在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。

例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。

典型例题例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。

它们的面积分别是多少？· · · · · · · · · · · · · · · · · · ··· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·（1） （2） （3） （4）分析 题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。

格点面积知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2例题讲解：例 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 3.在一个9 6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来。

例4.右图中每个小正方形的面积都是1平方厘米,求图中阴影部分的面积.例5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.例6.右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.同步练习：1.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?2.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？3.右中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?4.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.课后作业：1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC的面积.2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【例3】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例4】如图，计算各个格点多边形的面积．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例9】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【例10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．B PQFEDCB A板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD F E(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？SRQABC DEFNM PEB【例23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．。

页眉内容小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使随意两条相邻的平行线的距离都相等( 往惯例定是1 个单位 ) ，这样在纸上就形成了一个方格网，此中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为极点画出的多边形叫做格点多边形，比如，右图中的农村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积怎样计算？它与格点数量有没相关系？假如有，这二者之间的关系可否用计算公式来表达？下边就让我们一同来商讨这些问题吧！用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点， S 表示多边形面积，请同学们剖析前几个例题的格点数．我们能发现以下规律： S N L1 ．这个规律就是毕克定理．2毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的界限上有L 个格点，则它的面积为 S N L1 ．2【例 1】用9个钉子钉成互相间隔为 1 厘米的正方阵 ( 如右图 ) ．假如用一根皮筋将适合的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样获得的三角形中，面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于 2 平方厘米的三角形有多少个？【例 2】如图，4 4 的方格纸上放了16 枚棋子，以棋子为极点的正方形有个．【例 3】判断以下图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷⑸⑹【稳固】假如两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？( 教师总结：面积数值均扩大 4 倍．)【例 5】如图( a)，计算这个格点多边形的面积．III III(a)(b)(c)【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”比赛试题) 右图是一个方格网，计算暗影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【稳固】求以下各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷【例 8】我们开始提到的“农村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个8 12 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．HGFA EDCB【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【稳固】如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】( “小学数学奥林匹克”比赛试题) 5 5 的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的极点称为格点．请你在图上选7 个格点，要求此中随意 3 个格点都不在一条直线上，而且使这7 个点用直线连结后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例 12】( “保良局亚洲区城市小学数学”比赛试题) 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 月 21 日开幕，下边的图形中，每一个小方格的面积是1，那么 7、 2、 1 三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】( 第六届“从小爱数学”邀请赛试题) 两个边长相等的正方形各被分红25 个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的暗影部分 ( 块状 ) 面积为 5.12cm 2，右下角的暗影部分 ( 线状) 面积为 7.4cm2，求大正方形的面积．【例 14】( 第六届“华杯赛”试题 ) 图中正六边形ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF ，CQ=2BQ，求暗影四边形CEPQ 的面积．A P F A P FB E B EQ QC D C D板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为 1，以这样的点为极点画出的多边形为三角形格点多边形．对于三角形格点多边形的面积相同有它的计算公式：假如用S 表示面积， N 表示图形内包括的格点数， L 表示图形周界上的格点数，那么有 S 2 N L 2 ，就是格点多边形面积等于图形内部所包括格点数的 2 倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】如图 ( a) ，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积．A AECF DCB(a) B(b)【稳固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的等边三角形，计算ABC 的面积．ACB【例 16】求以下格点多边形的面积( 每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形) ．⑴⑵⑶⑷【例 17】把大正三角形每边八平分，构成如右图所示的三角形网．假如大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图，假如每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例 19】把同一个三角形的三条边分别 5 平分、 7 平分 ( 如图 1，图 2) ，而后适合连结这些平分点，便获得了若干个面积相等的小三角形．已知图 1 中暗影部分面积是294 平方分米，那么图 2 中暗影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形切割成面积相等的三块．【例 21】如图涂暗影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】( 第五届“华杯赛”试题 ) 正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米． M 是 AB 中点， N 是 CD 中点，P 是 EF 中点．问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？A FA QF M PM P BEB ER S CDCDNN【例 23】假以以下图中随意相邻的三个点构成的三角形面积都是2 平方厘米．那么，三角形 ABC 的面积是 _____平方厘米．。

格点与面积一、知识要点（1）基本概念1、格点：在方格纸（平面）上，纵横两组平行线垂直相交的交点称为格点。

2、格点与多边形：以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形。

3、面积单位：以格点为顶点围成的小正方形称为面积单位。

（格点多边形面积的大小，与格点数有关，格点越多，面积越大。

）（2）常用技巧利用格点求图形的面积。

一是，直接将图形分成若干个面积单位，再通过计算有多少个面积单位求图形的面积。

二是，将复杂的图形转化成长、正方形来求。

（3） 格点图形面积的计算方法1、格点多边形的面积＝图内格点数＋周界上的格点数的一半－112L S N =+- 2、三角形格点多边形面积＝图内格点数的2倍＋周界上格点数－222S N L =+-二、例题精讲【例1】根据下组图填表（1） （2） （3）图形号 1 2 3周界格点数图内格点数面积（单位）【例2】求下图格点多边形的面积。

（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1 的等边三角形）【例3】下图中每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例4】如下图所示，在圆周上有5个钉，在这5个钉中，任取三个钉用皮筋可套出一个三角形，问以钉1为顶点的三角形有多少个？【例5】如图ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC长3厘米，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？【例6】如下图中小猫图的面积是多少？••••••••••••••••••••••••••••••••••••【例7】下图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积是1，试计算四边形的面积。

•••••••••••••••••••••【例8】思考题小刚和小强比赛，用一条长36米的绳子在格点上看谁围出的面积最大，你知道他们是怎样围的吗？（每块土地的长宽均为1米）三、课后作业【作业1】右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少。

(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)。