手拉手模型复习专题(学生版)

专题07手拉手模型（知识解读）【专题说明】手拉手模型是指有共同顶点的两个等腰三角形，顶角相等。

因为过共同顶点的四条边，像人的两双手，所以通常称为手拉手模型。

手拉手模型常和旋转结合,在考试中作为几何综合题目出现。

【方法技巧】类型一：等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，▲ABC和▲CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P（2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N（2）连接MN（4）记AD、BE交点为P，连接PC：（5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°（6）连AE:结论六：P点是▲ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）类型二：正方形手拉手如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG【类型一：等边三角形手拉手】【典例1】（2021春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD．（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．【变式1-1】（2021九上·吉林期末）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=2，此时AD=BE，AD⊥BE成立．（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90°时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度．【变式1-2】（2021九上·宜春期末）如图（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠ACB的度数为；②线段BE，CE与AE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上．若CE=2，BE=2，求AB的长度．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．【变式1-3】（2021春•金牛区校级期中）类比探究：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A 旋转到△ACP′处）（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB ＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【典例2】如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．【变式2-1】如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．（1）问题发现当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．【类型二：正方形手拉手】【典例3】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF 2+BE2的值．【变式3】（2021秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF．（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由．（2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．。

“手拉手”模型——相似 模型探究系列
以题串模型
例 一题多问 如图（1），在 △

中，

= ， ∠ = ，点 ，
分别为 ， 的中点.将 △ 绕点 旋转，连接 ， .
图（1）
图（2）
图（3）

=
（1）图（1）中， ， 的数量关系为_______.

图（4）
（2）在图（2）的情形下，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请加以证
明；若不成立，请说明理由.
[答案] 成立.
证明： ∵


=


=


，∴


=

.

又 ∠ = ∠ − ∠ = ∠ − ∠ = ∠ ，
∴△ ∼△ ， ∴


=


= .
（3）图（2）中,延长 交 于点 ，求 ∠ 的度数.
[答案] 设 , 交于点 .
∵△ ∼△ ， ∴ ∠ = ∠ .
又 ∵ ∠ + ∠ + ∠ = ∘ ， ∠ + ∠ + ∠ = ∘ ，
∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = .
（4）当 = 90∘ 时，如图（3）.

=
① 与 的数量关系为_______.

∘

②延长 交 于点 ，则 ∠ 的度数为_____.
（5）当 = 45∘ ， = 时，如图（4）.
.
重要结论：
1.点 ， , 不共线时，有 △ ∼△ ；
2. ⊥ ；
3.点 在 △ 的外接圆上.
类型2 直角三角形的锐角顶点为公共点

模型构建专题：“手拉手”模型【考点导航】目录【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】【类型二共顶点的等腰直角三角形】【类型三共顶点的一般等腰三角形】【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【变式训练】1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有个．①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=90°．2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．求证：(1)AD=BE；(2)△CPQ为等边三角形；3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和b a>b的两个等边三角形纸片ABC和三角形C DE叠放在一起(C与C 重合)的图形．(1)将△C DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE．如图2：在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△C DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图3：在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．4(2023春·广东梅州·七年级校考期末)【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二共顶点的等腰直角三角形】1(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°．(1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是．(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在等腰直角三角形ABC和DEC中，∠BCA=∠DCE=90°，点E在边AB上，ED与AC交于点F，连接AD．(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：AB⊥AD．2(2023春·八年级课时练习)(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．3(2023·山东枣庄·统考二模)感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE =90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32，CD=3，则线段DE的长是多少？【类型三共顶点的一般等腰三角形】1(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BC，CD= CE，∠ACB=∠DCE=42°，AD、BE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB=DB，AC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．2(2023秋·全国·八年级专题练习)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC和△CDE为“同源三角形”，AC=BC，CD=CE，∠ACB 与∠DCE为“同源角”．(1)如图1，△ABC和△CDE为“同源三角形”，试判断AD与BE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且∠ACE=90°，则∠EMD =°．(3)如图3，△ABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD，BE的中点Q，P，连接CP，CQ，PQ，试说明△PCQ是等腰直角三角形．3(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)(1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE．则△ADB≌，此时线段BD和线段CE的数量关系式；(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和线段CE的关系，并说明理由；(3)如图3，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P．请直接写出线段BE和线段CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．。

全等三角形手拉手模型一、单选题1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是()A.1B.2C.3D.42.如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.43.如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE ②∠AGB=60° ③BF=AH④△CFH是等边三角形 ⑤连CG，则∠BGC=∠DGC．其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.54.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.15.如图，A，B，E三点在同一直线上，△ABC，△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC：下列结论中正确的是()①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④6.如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE=CD；②∠AHD=60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有()A.6个B.5个C.4个D.3个7.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有()①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE=12BD•CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为()A.①B.①②C.①②③D.①②④9.如图，点C是线段AE上一动点(不与A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD =BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有( )个A.1B.2C.3D.410.如图，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有( )个①∠AFB=60° ②连接FC，则CF平分∠BFD ③BF=3DF ④BF=AF+FCA.4B.3C.2D.1二、填空题11.如图，△ABD、△CDE是两个等边三角形，连接BC、BE．若∠DBC=30°，BD=6，BC=8，则BE=．12.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②△DGC≌△EFC；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是．(填序号)13.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①AE=BD；②∠DAB=∠BCD；③ED⊥DB；④AE2+AD2=2AC2；其中正确的结论有(填序号)14.如图，∠DAB=∠EAC=600，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是°.15.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为cm．16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为三角形右侧外一点．且∠BDC=45°．连接AD，若△ACD的面积为98，则线段CD的长度为．17.如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为．18.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是．19.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=．20.在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°,AB=4,点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边ΔADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为．三、解答题21.如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O是AB中点，∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，∠MON的两边分别与射线AC、CB交于点D、E．(1)当∠MON转动至如图一所示的位置时，连接CO，求证：△COD≅△BOE；(2)当∠MON转动至如图二所示的位置时，线段CD、CE、AC之间有怎样的数量关系？请说明理由．23.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右作△ADE，使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)①如图1，求证：△ABD≌△ACE；②当点D在BC边上时，请直接写出△ABC，△ACD，△ACE的面积(S△ABC，S△ACD，S△ACE)所满足的关系；(2)当点D在BC的延长线上时，试探究△ABC，△ACD，△ACE的面积(S△ABC，S△ACD，S△ACE)所满足的关系，并说明理由．24.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，把线路AD绕着点A逆时针旋转至AE(即AD=AE)，使得∠DAE=∠BAC，连接DB、CE．(1)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度．(2)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，则∠BCE=度．(3)如图3，设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在线段BC上移动时，α，β的数量关系是什么？请说明理由．(4)设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．25.在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE=BE，DE=CE，∠AEB=∠DEC．(1)求证：AC=BD；(2)求证：∠APB=∠AEB．26.如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度数；(3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？(填“改变”或“不改变”)27.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，若∠EOF=90°，DO=4，求四边形AEOF的面积．28.(1)如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．(2)在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．29.已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点【问题解决】(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°，小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程；【类比探究】(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数；30.如图，D为△ABC内一点，AB=AC，∠BAC=50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．(1)求证：EB=DC；(2)若∠ADC=125°，求∠BED的度数．31.如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．(1)求证：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度数；(3)求证：AF平分∠DFE．32.【问题发现】(1)如图1，△ABC和ΔADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC的度数为；②线段BD、CE之间的数量关系为；【类比探究】(2)如图2，△ABC和ΔADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试判断∠BEC的度数以及线段BE、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】(3)如图3，∠AOB=∠ACB=90°，OA=4，OB=8，AC=BC，则OC2的值为．全等三角形手拉手模型一、单选题1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，∠BAD=∠BCE，∠AEH=∠BEC=90°，EH=EB，∴△HEA≌△BEC(AAS)，∴AE=EC=4，则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1．故选A.2.如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】D【详解】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正确；∵△ADC≌△ABE∴∠ADC=∠ABE设AB与CD交于G点，∵∠AGD=∠BGC∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正确；过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴点A在∠DOE的平分线上，④正确故选D．3.如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE ②∠AGB=60° ③BF=AH④△CFH是等边三角形 ⑤连CG，则∠BGC=∠DGC．其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5【答案】D【详解】试题分析：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，∵BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，∴△BCE≌△ACD(SAS)；故①正确；∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠BFC=∠AFG，∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正确；在△BCF和△ACH中，∠CBF=∠CAH，BC=AC，∠BCF=∠ACH，∴△BCF≌△ACH(ASA)，∴CF=CH，BF=AH；故③正确；∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形；故④正确；连接CG，过C点作CM⊥BE，作CN⊥AD，∵△BCE≌△ACD，CM⊥BE，CN⊥AD，∴CM=CN，∴GC平分∠BGD，∴∠BGC=∠DGC，故⑤正确．故选：D．4.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.1【答案】A【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角，∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正确；过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，BD与OA相交于点H，如图所示：∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC，∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD，∴∠AMB=∠BOA=40°，∴∠OEC=∠OFD=90°，∵OC=OD，∠OCA=∠ODB，∴△OEC≌△OFD(AAS)，∴OE=OF，∴OM平分∠BMC，故③④正确；所以正确的个数有4个；故选A．5.如图，A，B，E三点在同一直线上，△ABC，△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC：下列结论中正确的是()①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】B【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的说法是正确的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，S△PCD=S△QCE，过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，∴1 2PD•CG=12QE•CE，∴CG=CH，∴OC平分∠AOE，∴③的说法是正确的；无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．6.如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE=CD；②∠AHD=60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分)∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有(A.6个B.5个C.4个D.3个【答案】C【详解】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴∠ABD=∠EBC=60°，BA=BE，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中，BA=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE=CD，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠AGB=∠DGH，∴∠AHD=∠ABG=60°，故②正确；在△AGB和△DFB中，∠BAG=∠BDF；∴△AGB≌△DFB(ASA)，故③正确；AB=DB∠ABG=∠DBF=60°∵△AGB≌△DFB，∴BG=BF，∵∠GBF=60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠FGB=∠ABD=60°，∴FG∥AC，故⑤正确；∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD，∴BM=BN，∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误；根据题意，无法判断DH=CH，故⑥错误．故选：C．7.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有()①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE=12BD•CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD，∠ABD=∠ACE，故①正确；∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，在△BCG中，∠BGC=180°-(∠BCG+∠CBG)=180°-90°=90°，∴BD⊥CE，∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE=12CE·BG+12CE·DG=12BD•CE，故④正确；由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；从题干信息没有给出AC=AD, 所以只有AE∥CD时，∠DAE=∠ADC=90°，无法说明AE∥CD，更不能说明CD=AD, 故②错误；∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∵条件不足以证明△CAE≌△BAE,∴∠AEC与∠AEB相等无法证明，∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故选：C．8.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．)其中正确的个数为(A.①B.①②C.①②③D.①②④【答案】D【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在ΔAOC和ΔBOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD∴ΔAOC≅ΔBOD(SAS)，∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；所示：作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2则∠OGC=∠OHD=90°，在ΔOCG和ΔODH中，∠OCA=ODB∠OGC=∠OHDOC=OD∴ΔOCG≅ΔODH(AAS)，∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM∵ΔAOC≅ΔBOD，∴∠COM=∠BOM∵MO平分∠BMC，∴∠CMO=∠BMO，在ΔCOM和ΔBOM中，∠COM=BOMOM=OM∠CMO=∠BMOΔCOM≅ΔBOM，∴OB=OC，∵OA=OB∴OA=OC与OA>OC矛盾，∴③错误；综上所述，正确的是①②④；故选：D．9.如图，点C是线段AE上一动点(不与A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有( )个A.1B.2C.3D.4【答案】D【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE，∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；故①正确；③∵△ACD≌△BCE(已证)，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，∴△ACP≌△BCQ(ASA)，∴AP=BQ；故③正确；②∵△ACP≌△BCQ，∴PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60∘，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE；故②正确；④∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠QE，则DP≠DE，故④错误；⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，故选D．10.如图，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有( )个①∠AFB=60° ②连接FC，则CF平分∠BFD ③BF=3DF ④BF=AF+FCA.4B.3C.2D.1【答案】A【详解】解：①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC，∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACDEC=DC∴△BCE≌△ACD SAS，∴∠CBE=∠CAD，∵∠AFB=∠CBE+∠CDA，∠ACB=∠CDA+∠CAD，∴∠AFB=∠ACB=60°，故①正确；②如图所示，作CM⊥BE于M点，CN⊥AD于N点，则∠CME=∠CND=90°，∵△BCE≌△ACD，∴∠CEM=∠CDN，在△CEM和△CDN中，∠CME=∠CND∠CEM=∠CDNCE=CD∴△CEM≌△CDN AAS，∴CM=CN，∴CF平分∠BFD，故②正确；③如图所示，作FP⊥BD于P点，∵S△BCF=12BF∙CM=12BC∙FP，S△DCF=12DF∙CN=12CD∙FP，∴S△BCFS△DCF=12BF∙CM12DF∙CN=12BC∙FP12CD∙FP，∵CM=CN，∴整理得：BFDF =BC CD，∵BC=3CD，∴BF DF =3CDCD=3，∴BF=3DF，故③正确；④如图所示，在AD上取点Q，使得FC=FQ，∵∠AFB=∠ACB=60°，CF平分∠BFD，∴∠BFD=120°，∠CFD=12∠BFD=60°，∴△FCQ为等边三角形，∴∠FCQ=60°，CF=CQ，∵∠ACB =60°，∴∠ACB +∠ACF =∠FCQ +∠ACF ，∴∠BCF =∠ACQ ，在△BCF 和△ACQ 中，BC =AC∠BCF =∠ACQCF =CQ∴△BCF ≌△ACQ SAS ，∴BF =AQ ，∵AQ =AF +FQ ，FQ =FC ，∴BF =AF +FC ，故④正确；综上，①②③④均正确；故选：A．二、填空题11.如图，△ABD 、△CDE 是两个等边三角形，连接BC 、BE ．若∠DBC =30°，BD =6，BC =8，则BE =．【答案】BE =10【详解】如图，连接AC ，∵△ABD 、△CDE 是两个等边三角形，∴AB =BD =AD =2，CD =DE ，∠ABD =∠ADB =∠CDE =60，∴∠ADB +∠BDC =∠CDE +∠BDC ，∴∠ADC =∠BDE ，在△ACD 与△BDE 中AD =BD∠ADC =∠BDE CD =DE，∴△ACD ≌△BED (SAS )，∴AC =BE ，∵∠DBC =30°，∴∠ABC =∠ABD +∠DBC =60°+30°=90°，在Rt △ABC 中，AB =6，BC =8，∴AC =AB 2+BC 2=62+82=10，∴BE =10，故答案为：10．12.如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，下列结论：①AE =BD ；②△DGC ≌△EFC ；③线段AE 和BD 所夹锐角为80°；④FG ∥BE ．其中正确的是．(填序号)【答案】①②④【详解】解：如图，记AE 与BD 的交点为H ，∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠BCA =∠DCE =60°∵点B 、C 、E 在同一条直线上，∴∠ACD =60°，∴∠BCD =∠ACE =120°在△BCD 和△ACE 中，BC =AC∠BCD =∠ACECD =CE∴△BCD ≌△ACE ，∴BD =AE , 所以结论①正确；∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC =∠CEA ，∵∠AHB =∠DBE +∠BEA =∠DBE +∠BDC =180°-∠BCD =60°，所以③错误；在△GCD 和△FCE 中，∠GCD =∠DCECE =CD ∠CDB =∠CEA，∴△GCD ≌△FCE ，∴所以②正确；∵△GCD ≌△FCE ，∵CG =CF ，∠ACD =60°，∴∠GFC =60，又∵∠DCE =60°，∴∠GFC =∠DCE ，∴GF ∥BC ，所以④正确．故答案为：①②④．13.如图，△ABC 和△ECD都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ABC 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，连接BD ，有下列结论：①AE =BD ；②∠DAB =∠BCD ；③ED ⊥DB ；④AE 2+AD 2=2AC 2；其中正确的结论有(填序号)【答案】①②③④【详解】解：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴∠ECD =∠ACB ，∴∠ECD -∠ACD =∠ACB -∠ACD ，即：∠ECA =∠DCB ，∵CA =CB ，CE =CD ，∴△ACE ≌△BCD SAS ，∴AE =BD ，故①正确；由三角形外角定理，∠DAC =∠E +∠ECA ，∵∠DAC =∠DAB +∠BAC ，∴∠E +∠ECA =∠DAB +∠BAC ，∵∠E =∠BAC =45°，∴∠ECA =∠DAB ，∵∠ECA =∠DCB ，∴∠DAB =∠BCD ，故②正确；∵△ACE ≌△BCD ，∴∠E =∠CDB =45°，∵∠BDE =∠CDA +∠CDB ，∴∠BDE =45°+45°=90°，即：ED ⊥DB ，故③正确；∵∠BDE =90°，∴在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2=AB 2，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB 2=AC 2+BC 2=2AC 2，∴AD 2+BD 2=2AC 2，∵AE =BD ，∴AD 2+AE 2=2AC 2，故④正确；故答案为：①②③④．14.如图，∠DAB =∠EAC=600，AB =AD，AC =AE ，BE 和CD 相交于O ，AB 和CD 相交于P ，则∠DOE 的度数是°.【答案】120【详解】如图所示：∵∠DAB =∠EAC =60°，∴∠DAB +∠BAC =∠BAC +∠EAC ，∴∠DAC =∠EAB ，在△ADC 和△AEB 中，AD =AB∠DAC =∠EAB AC =AE,∴△ADC ≌△ABE (SAS )，∴∠E =∠ACD ，又∵∠AFE =∠OFC ，∴∠EAF =∠COF =60°，∴∠DOE =120°．故答案是：120．15.已知：如图，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E ，F 分别是边AD 、CD 上的点，若AE =4cm ，CF =3cm ，且OE ⊥OF ，则EF 的长为cm ．【答案】5【详解】解：连接EF ，∵OD =OC ，∵OE ⊥OF∴∠EOD +∠FOD =90°∵正方形ABCD∴∠COF +∠DOF =90°∴∠EOD =∠FOC而∠ODE =∠OCF =45°∴△OFC ≌△OED ，∴OE =OF ，CF =DE =3cm ，则AE =DF =4，根据勾股定理得到EF =CE 2+CF 2=32+42=5cm ．故答案为：5．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点D 为三角形右侧外一点．且∠BDC =45°．连接AD ，若△ACD 的面积为98，则线段CD 的长度为．【答案】32【详解】解：过点B 作BE ⊥BD ，交DC 的延长线于点E ，连接AE ，如图所示：∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD=90°，∴∠ABE=∠CBD，∵∠BDC=45°，∠EBD=90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，∵AB=BC，∴△BCD≌△BAE(SAS)，∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴∠AED=∠AEB+∠BED=90°，∵S△ACD=12CD⋅AE=98，∴CD2=94，∴CD=32；故答案为3 2．17.如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为．【答案】10【详解】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，BD=DC∠NBD=∠FCDBN=CF，∴△NBD≌△FCD(SAS)，∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，DE=DE∠EDF=∠EDNDN=DF，∴△EDN≌△EDF(SAS)，∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案为：10．18.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是．【答案】①②③④【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，∴△ABG≌△AEC(SAS)，∴BG=CE，故①正确；，设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB，∵∠AKG=∠NKC，∴∠CNG=∠CAG=90°，∴BG⊥CE，故②正确；，过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠EAP，即∠EAM=∠ABC，故④正确；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP(AAS)，∴EP=AH，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠P=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQEP=GQ∴△EPM≌△GQM(AAS)，∴EM=GM，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．19.如图，CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =50°，AD 、BE 交于点H ，连接CH ，则∠CHE =．【答案】65°【详解】解：如图，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔBCE 中，CA =CB∠ACD =∠BCECD =CE∴ΔACD ≅ΔBCE (SAS )；过点C 作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BE 于N ，∵ΔACD ≅ΔBCE ，∴∠CAM =∠CBN ，在ΔACM 和ΔBCN 中，∠CAM =∠CBN∠AMC =∠BNC =90°AC =BC∴ΔACM ≅ΔBCN ，∴CM =CN ，在Rt ΔCMH 与Rt ΔCNH 中CM =CN CH =CH∴Rt ΔCMH ≅Rt ΔCNH (HL )，∴∠MCH =∠NCH ，∴CH 平分∠AHE ；∵ΔACD ≅ΔBCE ，∴∠CAD =∠CBE ，∵∠AFC =∠BFH ，∴∠AHB =∠ACB =50°，∴∠AHE =180°-50°=130°，∴∠CHE =12∠AHE =12×130°=65°，故答案为：65°．20.在△ABC 中，∠ACB =90°,∠B =60°,AB =4,点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AD 的右侧作等边ΔADE ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为．【答案】3【详解】解：在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，∵∠ACB =90°,∠B =60°,则∠BAC =30°,则∠FAB =∠FAC -∠BAC =60°-30°=30°，故点C 、F 关于AB 对称，则∠ABF =∠ABC =60°，BF =BC =12AB =12×4=2，∵△AFC ,△ADE 均为等边三角形，∴∠FAD +∠DAC =60°，∠DAC +∠EAC =60°，AF =AC ,AD =AE ,∴∠FAD =∠EAC ，∴ΔADF ≅ΔAEC (SAS )，∴DF =EC ，当DF ⊥BC 时，DF 最小，由∠ABC =∠ABF =60°,BC =BF =2,∴∠FBD =60°,∠DFB =30°,故BD =12BF =12×2=1，故CD 的长度为BD +CB =1+2=3，故答案为：3.三、解答题21.如图所示，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，且点B 、A 、E 在同一直线上，连接BD 交AC 于M ，连接CE 交AD 于N ，连接MN ．(1)求证：BD =CE ；(2)求证：△ABM ≌△ACN ；(3)求证：△AMN 是等边三角形．解：(1)∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°，∴∠BAD =∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAEAD =AE∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD =CE ．(2)由(1)知△ABD ≌△ACE ，∴∠ABM =∠ACN ．∵点B 、A 、E 在同一直线上，且∠BAC =∠DAE =60°，∴∠CAN =60°=∠BAC ．在△ABM 和△ACN 中，∠BAM =∠CANAB =AC ∠ABM =∠ACN；∴△ABM ≌△ACN (ASA )．(3)由(2)知△ABM ≌△ACN ，∴AM =AN ，∵∠CAN =60°，∴△AMN 是等边三角形．22.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点O 是AB 中点，∠MON =90°，将∠MON 绕点O 旋转，∠MON 的两边分别与射线AC 、CB 交于点D 、E．(1)当∠MON 转动至如图一所示的位置时，连接CO ，求证：△COD ≅△BOE ；(2)当∠MON 转动至如图二所示的位置时，线段CD 、CE 、AC 之间有怎样的数量关系？请说明理由．【详解】(1)证明：∵AC =BC ，∠C =90°，AO =OB ，∴OC ⊥AB ，OC =AO =OB ，∴∠OCD =∠B =45°，∵∠MON =∠COB =90°，∴∠DOC =∠EOB ，在△COD 和△BOE 中，∠OCD =∠BOC =OB ∠OCD =∠BOE，∴△COD ≅△BOE ASA ．(2)解：CE -CD =AC ．理由：连接OC．∵AC =BC ，∠C =90°，AO =OB ，∴OC ⊥AB ，OC =AO =OB ，∴∠OCD =∠B =45°，∴∠DOC =∠CBE =135°，∵∠MON =∠COB =90°，∴∠DOC =∠EOB ，在△COD 和△BOE 中，∠OCD =∠BOC =OB ∠OCD =∠BOE，∴△COD ≅△BOE ASA ，∴CD =BE ，∴CE -CD =CE -BE =BC =AC ．23.在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点，连接AD ，以AD 为边向右作△ADE ，使得AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE．(1)①如图1，求证：△ABD ≌△ACE ；②当点D 在BC 边上时，请直接写出△ABC ，△ACD ，△ACE 的面积(S △ABC ，S △ACD ，S △ACE )所满足的关系；(2)当点D 在BC 的延长线上时，试探究△ABC ，△ACD ，△ACE 的面积(S △ABC ，S △ACD ，S △ACE )所满足的关系，并说明理由．【详解】(1)证明：①∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠CAD =∠DAE -∠CAD ，即∠BAD =∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE。