5,三角函数的恒等变形(一)

⑶ 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式 加以变形后，正用或逆用公式.
1 1 为锐角， cos , cos( ) 例1、已知，角 、 7
14
求：cos
(cos ,sin )， 变式：已知：向量 a ， b (cos , sin )
2 5 a b 5


) 求：⑴ cos(
，求： , 0 , 且 sin sin ⑵0 2 2 13
2 cos10o sin 10o 2 o o sin 10 cos10 sin 1 cos ) 法二：利用半角公式 (tan 2 1 cos sin
o o o 原式 (tan5 cot5 ) tan10
2 tan5o (tan5 cot 5 ) 1 tan2 5o
o o
2(t an2 5o 1) 1 t an2 5o
2
法三： 利用结构特点 原式 (tan 5o 1 o ) tan 10 o
tan 5
t an2 5o 1 t an10o o t an5
t an2 5o 1 2 t an10o o 2 t an5
2 cot10o tan10o
2
注：在三角恒等变换中，对于函数名称比较多的情况，一般是 进行弦切的互化，尽量减少函数名称，便于化简.
方 法 归 类
三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形 （结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题，一般的考虑方法是： ⑴ 找差异：角、名、形的差异； ⑵ 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形 之间可以用哪个公式联系起来；
求：cos

§ 3.2 简单的三角恒等变换（一）学习目标： ⒈娴熟掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用．⒉能灵巧应用和 （差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形 ．教课要点 ：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换对比较中，领会三角变换的特色，提升推理、运算能力．教课难点 ：认识三角变换的特色， 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不停提升从整体上掌握变换过程的能力．教课方法 ：讲练联合．教具准备 ：多媒体投影．教课过程 ：（Ⅰ）复习引入：师：前方一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式．生：（默写公式）．师：学习了上述公式此后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，进而使三角函数的内容、思路和方法更为丰富，为我们提升推理、运算能力供给了新的平台本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，认识三角恒等变换在数学中的应用．（Ⅱ）讲解例题：例 1 试以 cos表示 sin 2 ， cos 22 ， tan 2．22剖析： 是 的二倍角，所以在仅含 的正弦、余弦的二倍角公式 C (2) 中，2以 取代就能够获得 sin 2 、 cos 2，而后运用同角三角函数的基本关系可222得 tan 2 ． 2解：略．师：例 1 的结果还能够表示为：1 cos1 cos1 cos，sin2， cos， tan21 cos222有些书上称之为半角公式，其符号由角终边的地点确立． 2师：由例题 1 和过去的经验，你以为代数式变换与三角变换有什么不一样？生：代数式变换常常着眼于式子构造形式的变换．三角恒等变换经常第一找寻式子所包括的角之间的联系．师：因为不一样的三角函数式不单会有构造形式方面的差别，并且还会有所包括的角，以及这些角的三角函数种类方面的差别，所以以式子所包括的角之间的关系为依照选择能够联系它们的适合公式，这是三角恒等变换的特色．例 2求证：⑴ sincos1 [sin() sin()] ；2⑵ sinsin2sincos．22剖析：关于⑴我们能够从此中右式出发，利用和（差）的正弦公式睁开、归并即可得出左式．我们也能够从两个式子构造形式的不一样点考虑，发现sin cos 与和（差）的正弦公式之间的联系． 记 sin cos x ，cos sin y ，则有 x y sin() ， x y sin( ) ，由此解出 x ，即求出了 sin cos ．⑵的证明能够直接利用⑴的结果，令， ，解出 、 后代如即可．证明：略师：在此例中，假如不利用⑴的结果，如何证明⑵？大家能够从角与角之间的关系下手考虑．生：将 ，22 代入左侧，而后利用和（差）的2 2正弦公式睁开、归并即可得出右式．师：在例 2 的证明中，把 sin cos 当作 x ，sin当作 y 把等式看作 x ，cosy 的方程，经过解方程组求得 x ，是方程思想的表现； 把 看作 ， 看作 ，进而把包括、 的三角函数式变换成、 的三角函数式，是换元思想的应用．（Ⅲ）课后练习：课本P练习155（Ⅳ）课时小结 :⑴关于例 1 和例 2，不该只看重它的结果，而要从获得结果的过程中领会三角恒等变换的门路和思想方法．⑵进行三角恒等变换的大概过程是：剖析题意，明确思想起点；选择公式，掌握思想方向；实行变换，运用数学思想．（Ⅴ）课后作业：⒈课本 P习题 3.2 A 组⒈⑵⑶⑸⑹⑻ B 组⒈156⒉预习课本154 155，思虑问题：P ～ P形如 y a sin x bcos x 的函数如何转变为 y A sin( x ) 的形式？转变过程表现了如何的思想？板书设计：§ 3.2简单的三角恒等变换（一）例1例2小结预习纲要教课后记 :。

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三角函数恒等变形公式
以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数：
cos( α+β)=cos α· cosβ - sin α· sin β cos( α - β)=cos α· cosβ+sin α· sin β sin( α±β )=sin α· cosβ± cosα· sin β tan( α+β)=(tan α+tan β)/(1 - tan α· tan β） tan( α - β)=(tan α - tan β)/(1+tan α· tan β） 三角和的三角函数：
.
cosα· sin β=(1/2)[sin( α+β） - sin( α - β)] cosα· cosβ=(1/2)[cos( α+β)+cos( α - β)] sin α· sin β＝- (1/2)[cos( α+β）- cos( α - β)] 和差化积公式： sin α+sin β=2sin[( α+β)/2]cos[( α - β)/2] sin α - sin β=2cos[( α+β)/2]sin[( α - β)/2] cosα+cosβ=2cos[( α+β)/2]cos[( α - β)/2] cosα - cosβ＝- 2sin[( α+β)/2]sin[( α - β)/2] 推导公式 tan α+cot α=2/sin2 α tan α - cot α＝- 2cot2 α 1+cos2α=2cos2α 1- cos2α=2sin2 α 1+sin α=(sin α/2+cos α/2)2

研究三角函数的恒等变换在几何学和数学分析中，三角函数是非常重要的数学概念之一。

三角函数的恒等变换是指通过对三角函数进行运算和变形，得到具有等价关系的表达式，从而帮助我们简化和推导三角函数的性质和公式。

本文将深入研究三角函数的恒等变换，探讨其基本原理和常见形式，并举例说明其在数学问题中的应用。

一、基本恒等变换恒等变换是指在不改变原有等式的前提下，通过运算和变形得到与之等价的形式。

对于三角函数而言，最常见的恒等变换包括：1. 余弦函数的恒等变换（1）互余恒等式：cosθ = sin(π/2 - θ)这个恒等式表明，余弦函数与其对应的正弦函数在相应角度上是互为互余的。

（2）余弦的双替换式：cosθ = cos(2πn ± θ) = cos(2nπ ± θ)这个恒等式表示，余弦函数的函数值周期性地在相应角度上重复出现。

2. 正弦函数的恒等变换（1）互余恒等式：sinθ = cos(π/2 - θ)这个恒等式表明，正弦函数与其对应的余弦函数在相应角度上是互为互余的。

（2）正弦的双替换式：sinθ = sin(2πn ± θ) = -sin(2nπ ± θ)这个恒等式表示，正弦函数的函数值周期性地在相应角度上重复出现，并且与其对应的正负号相关。

以上是余弦函数和正弦函数的基本恒等变换，它们在解三角方程、化简三角表达式等问题中有着广泛的应用。

接下来，我们将继续探讨更多的恒等变换形式。

二、其他常见恒等变换除了基本的互余恒等式和双替换式外，三角函数还有其他形式的恒等变换，包括：1. 三角函数的平方和差恒等式（1）余弦的平方和差恒等式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB这两个恒等式可以用来简化余弦函数的加减运算，并将其转化为乘法运算。

（2）正弦的平方和差恒等式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB同样地，这两个恒等式可以用来简化正弦函数的加减运算。