【三明市5月质检】福建省三明市2014届高三5月质量检查(数学文) Word版含答案

【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若全集，集合，，则()A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量，，若在上的投影向量为，则()A.2B.3C.4D.55.已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为()A. B. C. D.6.声音的等级单位：与声音强度单位：满足喷气式飞机起飞时，声音的等级约为若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为()A.120dBB.100dBC.80dBD.60dB7.已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则点P的横坐标的取值范围为()A. B.C. D.8.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为()A.11B.9C.7D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则()A.在单调递增B.是的零点C.的极小值为0D.是奇函数10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则()A.B.若，，则C.若，则面积的最大值为D.若，则11.已知抛物线与圆交于A，B两点，且过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则()A.若，则直线l的斜率为B.的最小值为18C.为钝角D.点P与点F的横坐标相同时，最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

福建省三明市2024年数学（高考）统编版模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（）A．B．C．D．第(2)题已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（）A．将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线B．将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C．将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线D．将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线第(4)题函数的最小正周期和最大值分别是（）A．和B．和2C．和D．和2第(5)题设集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知复数是的共轭复数，则（）A．2B．3C．D．第(7)题某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（）A．29B．30C．30.5D．31第(8)题几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（）A．1B．－7C．1或－7D．2或－7二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

福建省三明市三校2014届下学期高三年级联考数学试卷（文科） 有答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上． 1．复数()3i -1i 的共轭复数．．．．是 A ．3i - B ．3i + C ．3i --D ．3i -+2．若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m 为 A ．12B ． 8C ．6D ． 44．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84,4.8B ． 84,1.6C ． 85,4D ． 85,1.65．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a = A ．1 B ．4C ．8D ．166．程序框图输出S 的值为 A ．62B ．126C ．254D ．5107．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 A ．81 B ．161C ．271 D ．838．已知m 是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率是 A ．23或25 B ．23 C ．5D ．23或5 9．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ∥a ，则n ∥α D ．若m ∥n ，m ⊥a ，n ⊥β，则α∥β10．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的]0,(,21-∞∈x x )(21x x ≠，有0))()()((1212>--x f x f x x 恒成立. 则当*N n ∈时，有A ．)1()()1(-<-<+n f n f n fB ．)1()()1(+<-<-n f n f n fC ．)1()1()(+<-<-n f n f n fD ． )()1()1(n f n f n f -<-<+11．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图像向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为 A ．2B ．3C ．4D ． 612．把数列一次按第一个括号一个数，按第二个括号两个数，按第三个括号三个数，按第四个括号一个数…，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25) …，则第50个括号内各数之和为A ．390B ．392C ．394D ． 396第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．注意把解答填入到答题卷上． 13．已知ABC ∆中，4AB =，1AC =，3=∆ABC S ，则AB AC ⋅的值为 ．14．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如图3所示，则该几何体的侧面积为 cm ．15．已知x 和y 满足约束条件0,210,20.y x y x y ≥⎧⎪++<⎨⎪++>⎩则21y x --的取值范围为 ．16．若)()()()(x f x f y x f x f +=+满足，则可写出满足条件的一个函数解析式.2)(x x f =类比可以得到：若定义在R上的函数)2();()()()1(),(2121x g x g x x g x g ⋅=+满足)()(,)3(;3)1(2121x g x g x x g <<∀=，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注意把解答填入到答题卷上． 17．（本小题满分12分） 图3俯视图侧(左)视图已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,142n n S a +=-,且12a =(Ⅰ) 求证:对任意n N *∈,12n n a a +-为常数C ,并求出这个常数C ; （Ⅱ）11+=n n n a a b 如果,求数列{b n }的前n 项的和.18．（本小题满分12分）已知21cos 2sin 23)(2--=x x x f (x ∈R). (Ⅰ)求函数()x f 的最小值和最小正周期；(Ⅱ)设∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )=0，若向量m ＝(1,sin A )与向量n ＝(2,sin B )共线，求a ，b 的值. 19．（本小题满分12分）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？ 20．（本题满分12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.4侧视图俯视图MDEBAC N(Ⅰ)求出该几何体的体积。

三明市2024年普通高中高三毕业班质量检测数 学 试 题（本试卷总分150分， 考试时间120分钟。

）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线y=-x+2与圆 x ²+y ²=4相交于M ，N 两点，则|MN|= 2 B.2 2 D.42. 已知a ，b ，c 分别为ΔABC 三个内角A ，B ，C 的对边， a =3，b =37，c =7，则A+C 的值为 A.π6 B.π3 C.2π3D.5π63.随机变量ξ~ N （μ，σ²），函数 f (x )=x ²−4x +ξ没有零点的概率是 12，则μ的值为 A. 1 B.2 C.3 D.44.若 a =−b =−c =log 2313，则A. c>a>bB. c>b>aC. a>b>cD. b>c>a5.各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数（3750）8转换为十进制数的算法为3×8³+7×8²+5×¹+0×8⁰=2024.若将八进制数 77⋯76个7转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是A.3B.4C.5D.66.函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点为图象与x 轴的交点，C 为图象的最高点，且△ABC 是等腰直角三角形，若 OB =−3OA ，则向量 A O 在向量 AC 上的投影向量的坐标为A. −14 , −14B. 14 , 14C. −12 , −12D. 12 ,127.已知抛物线x ²=2p y(p >0)的焦点为F ，第一象限的两点A ，B 在抛物线上，且满足|AF|-|BF|=3，|AB|=3 2若线段AB 中点的横坐标为3，则p 的值为A.2 B.3 C.4 D.58.已知函数f (x )=e ˣ⁻¹−e ¹⁻ˣ+x ³−3x ²+3x ，若实数x ，y 满足f (3x ²)+f (2y ²−4)=2，则x+y 的最大值为A. 1B.52C. 5D.303二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.i 是虚数单位，下列说法正确的是 A.i 2024=−1B.若 ω=−12−32i ，则 ω2=ωC.若|z|=l，z∈C，则|z-2|的最小值为1D.若-4+3i是关于x的方程x²+px+q=0(p,q∈R)的根，则q=710.假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为35B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为120C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为37150D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为183711.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，B C，C1D1的中点，则下列说法正确的是A.若点P在正方体的表面上，且PE⋅PG=0，则点P的轨迹长度为24πB.若三棱锥F-C1CE的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为14πC.过点E，F，D1的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面多边形的周长为2+213D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最小值为32三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 .13.已知关于x的不等式(x−keˣ)[x²−(k+3)x+9]≤0对任意x∈(0，+∞)均成立，则实数k的取值范围为 .14.记N∗m ={1,2,3,⋯,m}(m∈N∗),A k表示k个元素的有限集，S（E）表示非空数集E中所有元素的和，若集合Mm,k ={S(Ak)|Ak⊆N∗m}，则M4,3=，若S(M m,2)≥817，则m的最小值为 .四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，多面体PABCD中，△PBD和△CBD均为等边三角形，平面ABD⊥平面PBD，BD=2，PC=3.（1）求证：BD⊥PC;（2）求平面ABD与平面PBC夹角的余弦值.16.（15分）已知函数f(x)=sinωx+cosωx+>0）图象的两条相邻对称轴间的距离为π2.（1）若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；（2）将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，设ℎ(x)=g(x)+12x,求h（z）在(−2π，π)的极大值点.17.（15分）某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14,园艺类占14民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25,25,45,选手乙答对这三类题目的概率均为12.（1）求随机任选1题，甲答对的概率；（2）现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.18.（17分）已知数列{aₙ}满足a1⋅a2⋯ao−1⋅an=(2)n2+a,n∈N∗.（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若不等式(−1)n t Sn−14≤S n2对任意的n∈N∗恒成立，求实数t的取值范围；（3）记bn =1log2a n,求证：b1−b2b1+b2−b3b2+⋯+b a−b n+1b a<2(n∈N∗).19.（17分）已知平面直角坐标系xoy中，有真命题：函数y=mx+nx (m≥0，n>0)的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y=mx和y轴.例如双曲线y=4x 的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点O顺时针旋转π4得到双曲线x²−y²=8的图象.（1）求双曲线y=1x的离心率：（2）已知曲线E:x²−y²=2,过E上一点P作切线分别交两条渐近线于A，B 两点，试探究△AOB面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；（3）已知函数y=33x+32x的图象为Γ，直线l:x+3y−3=0,过F(1,3)的直线与Γ在第一象限交于M，N两点，过M，N作l的垂线，垂足分别为C，D，直线MD，NC交于点H，求△MNH面积的最小值.三明市2024年普通高中高三毕业班质量检测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．BC 10．ACD 11．BCD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．613．1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．{}6,7,8,9,21（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解法一：（1）证明：取BD 的中点M ，连接PM MC 、,·······················1分∵BPD △和BCD △均为等边三角形，∴BD PM ⊥，BD CM ⊥.··································································2分又PM CM M = ，∴BD ⊥平面CPM ，·········································································3分CP ⊂ 又平面CPM ，∴BD CP ⊥.····················································································4分（2）以M 为原点，,MB MC所在直线为,x y 轴，过M 作平面BCD 的垂线所在直线为z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，···········································5分∵平面ABD ⊥平面PBD ，平面ABD 平面PBD BD =，PM ⊂平面PBD ，PM BD ⊥∴PM ⊥平面ABD .∵PBD △和CBD △均为等边三角形，∴3PM MC PC ===，60PMC ∠=︒，∴330,,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0C ，()1,0,0B ，··············································6分∴331,,22BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()3,0BC =- .330,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ∴0,0BP BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即330,2230x y z x ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩取1z =,则()3,1=m ，···································································8分平面ABD 的法向量330,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，·················································10分设平面ABD 与平面PBC 的夹角为θ，∴cos cos ,MP MP MP θ⋅==nn n33913313==⋅··································12分∴平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值为3913.····································13分解法二：（1）同解法一······································································4分（2）如图，取MC 的中点E 为原点，连接PE ，过点E 作//EF MB ,交BC 于点F ,由（1）知CM BD ⊥,EF MC ⊥,又由（1）知BD ⊥平面CPM ，PE ⊂ 又平面CPM ，∴BD PE ⊥，∵PBD △和CBD △均为等边三角形且棱长为2，∴3PM MC PC ===，PE MC ∴⊥,BD MC M ∴= PE CBD∴⊥平面∴以E 为原点，,,EF EC EP所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示··························································5分∵平面ABD ⊥平面PBD ，平面ABD 平面PBD BD =，PM ⊂平面PBD ，PM BD ⊥∴PM ⊥平面ABD ，∴平面ABD的法向量30,,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭···················································7分∴30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,,02B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭·············································8分∴()1,CB = ，330,,22CP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m ，∴00CP CB ⎧⋅⎪⎨⋅⎩==⎪m m,即033022x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =,则()=m ，·················10分设平面ABD 与平面PBC 的夹角为θ，∴39cos cos ,13MP MP MP θ⋅===mm m，······························12分∴平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值为3913.····································13分16.解法一：（1）由题意13()sin cos()sin cos sin(6223f x x x x x x ππωωωωω=++=+=+·····································································································2分因为()f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，所以周期2ππ22T ω==⨯，故2ω=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，·····················4分当()0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，·················································5分因为()f x 在区间()0,m 上有最大值无最小值，所以ππ3π2232m <+≤，·········6分解得π7π1212m <≤，所以m 的取值范围为π7π,1212⎛⎤⎥⎝⎦.···································7分（2）将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度，得到sin 2()sin 263y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，············································8分再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()sin g x x =的图象，···································································9分所以函数1()sin 2h x x x =+，所以1()cos 2h x x '=+，································10分令()0h x '=得1cos 2x =-，因为(2,)x ππ∈-，所以当4(2,)3x ππ∈--时，()0h x '>，()h x 单调递增，····························11分当42(,)33x ππ∈--时，()0h x '<，()h x 单调递减，································12分当22(,33x ππ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增，··································13分当2(,)3x ππ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减.·········································14分所以函数()h x 的极大值点为43π-和23π.··············································15分解法二：（1）同解法一.·····································································7分（2）将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度，得到sin 2()sin 263y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，············································8分再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()sin g x x =的图象，···································································9分所以函数1()sin 2h x x x =+，所以1()cos 2h x x '=+，································10分令()0h x '=得1cos 2x =-，当222233k x k ππππ-+<<+时，()0h x '>，()h x 单调递增，因为(2,)x ππ∈-所以1k =-时，423x ππ-<<-，()h x 单调递增，··································11分1k =时，2233x ππ-<<()h x 单调递增·················································12分当242233k x k ππππ+<<+时，()0h x '<，()h x 单调递减，因为(2,)x ππ∈-0k =时，23x ππ<<，()h x 单调递减，··············································13分1k =-时，4233x ππ-<<-，()h x 单调递减，······································14分所以函数()h x 的极大值点为43π-和23π.··············································15分解法三：（1）同解法一.·····································································7分（2）将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度，得到sin 2()sin 263y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，············································8分再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()sin g x x =的图象，···································································9分所以函数1()sin 2h x x x =+，所以1()cos 2h x x '=+，································10分令()0h x '=得1cos 2x =-因为(2,)x ππ∈-，所以,(),()x h x h x '的变化情况如下：x4(2,)3ππ--43π-42(,)33ππ--23π-22(,)33ππ-23π2(,)3ππ()h x '+0-0+0-()h x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减···································································································14分所以函数()h x 的极大值点为43π-和23π.··············································15分17.解:(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件(1,2,3)i A i =，记随机任选1题，甲答对为事件B ，··············································1分则31122331()()(|)()(|)()(|)()(|)i i i P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A ===++∑······························································································2分12121434545255=⨯+⨯+⨯=,·······························································4分所以随机任选1题，甲答对的概率为35；···········································5分(2)乙答对记为事件C ,则1122331111111()()(|)()(|)()(|)4242222P C P A P C A P A P C A P A P C A =++=⨯+⨯+⨯=·····································································································7分设每一轮比赛中甲得分为X ,则331(1)()()()15210P X P BC P B P C ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，·································8分331511(0)()()()225112P X P BC BC P BC P BC ⎛⎫⎛⎫===+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，········9分35511(1)()12P X P BC ⎛⎫=-==-⨯= ⎪⎝⎭.····················································10分三轮比赛后，设甲总得分为Y ,则33(3)10100207P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，······························································11分22331(2)C 10200272P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，··························································12分22123311279(1)C C 331051000102P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，···································13分所以甲最终获得奖品的概率为27272794411(3)0002001000100(2)(1)0P P Y P Y P Y =++====++=.····················15分18.（1）因为2121nn n n a a a a +-⋅⋅= ①所以当2(1)11212,n n n n n a a a a -+--≥⋅⋅= ②，·············································1分由②①得2n n a =··················································································2分因为1n =时12a =也符合上式，····························································3分所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以*,2n n N a n =∈.·············································································4分（2）由（1）知，()12122212nn n S +-==--，···············································5分因为不等式2(1)14n n n tS S -⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，又0n S >且n S 单调递增，·····································································································6分所以14(1)n n nt S S -⋅≤+对任意的n *∈N 恒成立，···········································7分因为1234=26=14=30S S S S =，，，，··························································8分所以当n 为偶数时，原式化简为14n n t S S ≤+对任意的n *∈N 恒成立，即min 14n n t S S ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭因为26S =>2n =时，253t ≤，············································10分。

福建省三明市第一中学2014-2015学年高二上学期半期考试数学（文）试题（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的， 请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上．）1．公司现有青年人160人，中年人30人，老年人10人，要从其中抽取20个人进行身体 健康检查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法2．命题“∀x ∈R ，221x x+-≥0”的否定是（ ）A ．∃0x ∈R ，20021x x +-≤0B ．∃0x ∈R ，20021x x +-≥0C ．∃0x ∈R ，200210x x +-<D ．∀0x ∈R ，200210x x +-<3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的 是( )A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元D ．劳动生产率为1千元时，工资为90元4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差5．设P 是双曲线1422=-y x 上一点，F 1、F 2是双曲线的焦点，若|PF 1|等于1，则|PF 2|等于 ( )A ．5B ．3C ．2D ．1 6．已知,522:=+p 23:>q ，则下列判断中，正确的是（ ）A ．p 或q 为真，非q 为真B ． p 或q 为真，非p 为真C ．p 且q 为假，非p 为假D ． p 且q 为假，p 或q 为假7.从装有3个红球和4个白球的口袋中任取2个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为( )A ．“都是红球”与“至少一个红球”B ．“恰有一个红球”与“至少一个白球”C ．“至少一个白球”与“至多一个红球”D ．“都是红球”与“至少一个白球”8.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方 厘米到64π平方厘米的概率是( )A ．925B ．1625C ．310D ．159．3<m <5是方程18322=-+-m y m x 表示的图形为双曲线的( ) A ．充分但非必要条件 B ．必要但非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件10．设21,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 4511．若直线4=+ny mx 与圆O ：422=+y x 没有交点，则过点),(n m P 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．012．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分． 请把答案填在答题卷相应的位置上．)13．命题“若0232≠+-x x ，则2≠x ”的逆否命题为_________14．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： [20，40)， [40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人 数是__________15．阅读右上所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于__________16．给出下列四个命题：①动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则点P 的轨迹是双曲线； ②“直线与双曲线只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件； ③直线l 交椭圆484322=+y x 于A ，B 两点，AB 的中点为M (2，1)，则l 的斜率为23-； ④已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心 P 的轨迹是椭圆．其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．三、解答题（本大题共6小题，共74分． 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）现有参加CBA2013～2014赛季的甲、乙两支球队，统计两队队员的身高如下(单位：cm )：甲队队员：194，187，199，207，203，205，209，199，183，215，219，206，201， 208； 乙队队员：179，192，218，223，187，194，205，207，185，197，199，209，214， 189． (1)用茎叶图表示两队队员的身高；第14题图第15题图(2)根据茎叶图判断哪个队队员的身高更整齐一些．18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出后放回，连 续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中 三等奖．（1）求中二等奖的概率； （2）求未中奖的概率．19.（本小题满分12分）求以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线的标准方程．20.（本小题满分12分）已知m ＞0，p ：(x ＋2)(x －6)≤0，q ：2－m ≤x ≤2＋m ． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围．21.（本小题满分13分）设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．22.（本小题满分13分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(2，0)，离心率为21．(1)求椭圆C 的方程； (2)求过点(1，0)且斜率为23的直线被C 所截线段的中点坐标． (3)设A 1和A 2是长轴的两个端点，直线l 垂直于A 1A 2的延长线于点D ，|OD |＝4，P是l 上异于点D 的任意一点．直线A 1P 交椭圆C 于M (不同于A 1，A 2)，设λ＝A 2M →·A 2P →， 求λ的取值范围．草稿纸班级 姓名 座三明一中2014—2015学年第一学期学段考高二数学（文）参考答案一、选择题：二、填空题：13．若,2=x 则0232=+-x x ； 14．50； 15． -3； 16．②③④． 三、解答题17．解： (1)茎叶图如下(以十位百位为茎，个位为叶)：……８分(2)由(1)中图知甲队队员的身高更整齐些．……12分18.解：（1）试验包含的所有基本事件有（0，0），（0，1）（0，2）（0，3），（1，0），（1，1）， （1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2）， （3，3）共16个， ………………2分设“中二等奖”的事件为A ， 事件A 包含基本事件(1,3),(2,2),(3,1)共3个， ……………4分故163)(=A P ………………6分 （2）设“未中奖”的事件为B ，“两个小球号码相加之和等于3”这一事件包括基本事件(0,3),(1,2)(2,1),(3,0)， 共4个，“两个小球号码相加之和等于5”这一事件包括基本事件(2,3),(3,2)共2个………………9分3427()1()1()16161616P B P B \=-=-++=……12分 答：中二等奖的概率为163，未中奖的概率为167．……13分19．解：椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)，∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，………………3分 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)…………4分∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ， ∴b a ＝12，……………………………6分 ∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，……………8分 ∴a 2＝8，b 2＝2，……………10分即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1．……12分 20．解： p ：－2≤x ≤6，q ：2－m ≤x ≤2＋m (m ＞0)……………2分(1)∵p 是q 的充分条件∴⎩⎪⎨⎪⎧2－m ≤－2，2＋m ≥6，……………4分 解之得m ≥4．故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．……6分(2)当m ＝5时，q ：－3≤x ≤7．……………7分∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴p 、q 一真一假，……………8分∴⎩⎨⎧>-<≤≤-7362x x x 或或⎩⎨⎧≤≤->-<7362x x x 或……………10分 得－3≤x ＜－2或6＜x ≤7．因此，实数x 的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]．……12分21．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，…………2分又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43．……5分 (2) l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2……………6分设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0．……………8分则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2．……………9分 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|即43＝2|x 2－x 1|．……………10分则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝224)1(8b b +…………12分 解得b ＝22．……13分 22．解：(1)将点(2，0)代入椭圆C 的方程，得24a ＝1，∴a ＝2，…………1分 又e ＝c a ＝21，∴c ＝1，∴3222=-=c a b ……………3分 ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．……………4分 (2)过点(1，0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x －1)， 设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝23(x －1)代入 椭圆方程得14)1(422=-+x x ，即2x 2－2x －3＝0，……………5分 由韦达定理得x 1＋x 2＝1，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝21，纵坐标为43)12123-=-（，……7分即所截线段的中点坐标为(43,21-)．……………8分(3)由(1)知，A 1(－2，0)，A 2(2，0)．设M (x 0，y 0)．∵M 在椭圆C 上，∴y 20＝34(4－x 20)．……………9分 由P ，M ，A 1三点共线可得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2．……………10分 ∴A 2M →＝(x 0－2，y 0)，A 2P →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2．……………11分 ∴A 2M →·A 2P →＝2(x 0－2)＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)，……………12分 ∵－2<x 0<2，∴λ＝A 2M →·A 2P →∈(0，10)．……………13分。

福建省三明市三校2014届下学期高三年级联考数学试卷（理科） 有答案注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1、如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z +所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S a 的值为（ ） A ．154 B ．152C ．74D ．723．已知向量(1,1)a =-,(3,)b m =,//()a a b +,则m =（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．34.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π5、已知,l m 为两条不同的直线，α为一个平面。

若α//l ，则“m l //”是“α//m ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件6．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归方程y bx a =+中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ） A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟7、函数()f x 具有下列特征：2()(0)1,(0)0,0,()0f x f f x f x x''''==>⋅>，则()f x 的图形可以是下图中的（ ）8、函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≤时，1()22xf x x a =-+，则函数()f x 的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=-．3C π∠=，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆ABC ∆的形状．（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 10． 已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合： ① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ② {}2),(-==xe y y x M ③ {}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(== 其中所有“Ω集合”的序号是（ ）（A ）②③ ． （B ）③④ ． （C ）①②④． （D ）①③④．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.11．在531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为p ，则=+⎰dx p x )3(102 .12．已知实数,x y 满足012210x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数,(0)z ax y a =+≠取得最小值时最优解有无数个，则实数a 的值为 .13．定义一种运算S a b =⊗，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“⊗”的含义。

2014年普通高中毕业班质量检查（一）理 科 数 学第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i 45i z =- (其中i 为虚数单位)，则复数z 为 （ ） A ．54i - B ．54i -+ C ．54i + D ．54i -- 2．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}8221|{<<=x x B ，则A B 等于（ ） A ．(2,12)B ．(2,3)C ．(1,3)-D ．(1,12)-3．观察下列关于两个变量x 和y 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（ ）A ．正相关、负相关、不相关B ．负相关、不相关、正相关C ．负相关、正相关、不相关D ．正相关、不相关、负相关 4． 设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若b a ,与α所成的角相等，则b a //B ．若α//a ，β//b ，βα//，则b a //C ．若α⊥a ，β⊥b ，βα⊥，则b a ⊥D ．若α⊂a ，β⊂b ，b a //，则βα// 5．在二项式1()nx x-的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．－56B ．－35C ． 35D ．566．设0a >且1a ≠，命题p ：函数()x f x a =在R 上是增函数 ，命题q ：函数3()(2)g x a x =-在R 上是减函数，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线221()my x m -=∈R 与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．13y x =±D ．3y x =± 8．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一 点，则点落在四面体内的概率为（ ）A ．913p B ． 113p C ．169p D ．169p9．已知函数11,[0,2],()1(2),(2,),2x x f x f x x ì-- ïïï=íï-? ïïïî则函数()ln(1)y f x x =-+的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．在数列{}n a 中，112a =，且55n n a a +≥+，11n n a a +≤+，若数列{}n b 满足1n n b a n =-+，则数列{}n b 是 A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．11．曲线21y x =+与直线0,1x x ==及x 轴所围成的图形的面积是 ．12．执行如图所示的程序框图，若输入的5a =，则输出的结果是__ __．13．已知变量,x y 满足约束条件1,1,3,2x y x y y ⎧⎪-≤⎪+≥⎨⎪⎪≤⎩若,x y 取整数，则目标函数2z x y =+的最大值是 .14．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为 .15．对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件： （ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=； （ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=； （ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕， 则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为普通加法； ②{}A =复数，运算“⊕”为普通减法； ③{}A =正实数，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有 ．（把所有正确的序号都填上）2n三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为合格产品的数量，求X 的分布列和数学期望EX ；(Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率． 17．(本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ,AB AD ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD ,若8,AB =2DC =，AD =4PA =,45PAD ∠=，且13AO AD =．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小为(090)θθ<≤，求cos θ的值．18．(本小题满分13分)已知点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上不同的两点，点D 在抛物线C 的准线l 上，且焦点F 到直线20x y -+=的距离为2. (I ）求抛物线C 的方程；(Ⅱ）现给出以下三个论断：①直线AB 过焦点F ；②直线AD 过原点O ；③直线BD 平行x 轴． 请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明. 19．(本小题满分13分)若函数()sin cos (,)f x a x b x a b R =+ ，非零向量(,)a b =m ，我们称m 为函数()f x 的“相伴向量”，()f x 为向量m 的“相伴函数”.PABCD O 17题图（Ⅰ）已知函数22()(sin cos )2cos 2(0)f x x x x ωωωω=++->的最小正周期为2π，求函数()f x 的“相伴向量”；（Ⅱ）记向量=n 的“相伴函数”为g()x ，将g()x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移23π个单位长度，得到函数()h x ，若6(2),(0,)352h ππαα+=∈，求sin α的值； （Ⅲ）对于函数()sin cos 2x x x ϕ=，是否存在“相伴向量”？若存在，求出()x ϕ“相伴向量”；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分14分)已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R)，211()() (0)2g x x m x m m=-+>，且()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线方程为10x y --=.(Ⅰ）求,a b 的值；(Ⅱ）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0,2)内有且仅有一个极值点，求m 的取值范围；(Ⅲ）设1(,) ()M x y x m m>+为两曲线() ()y f x c c =+∈R ，()y g x =的交点，且两曲线在交点M 处的切线分别为12,l l .若取1m =，试判断当直线12,l l 与x 轴围成等腰三角形时c值的个数并说明理由.21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ）求二阶矩阵M ；(Ⅱ）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程. （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的方程为()2241x y -+=．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和圆M 的参数方程；(Ⅱ）求圆M 上的点到直线l 的距离的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设函数()211f x x x =--+.（Ⅰ）求不等式()0f x £的解集D ；（Ⅱ）若存在实数{|02}x x x 危 a 成立，求实数a 的取值范围．2014年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 二．填空题： 11．4312．62 13．5 14．162π 15．①、③ 三、解答题： 16．解：（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.0450.0750.0550.8⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………2 分所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为400.832⨯=． ……………………………3 分 则X 可能的取值为0,1,2， …………………………………………4分所以()2824070195C P X C ===,()11832240641195C C P X C ===,()2322401242195C P X C ===， 因此X 的分布列为7分故X 数学期望76412431280121951951951955EX =⨯+⨯+⨯==． …………………9分 (Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为40.85=， ……………10分 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为223144855125P C ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ……………………………………………13分 17．解：（Ⅰ）因为13AO AD =，AD =，所以AO = ……………1分 在PAO ∆中，由余弦定理2222cos PO PA AO PA AO PAO =+-⋅∠， 得(22242482PO =+-⨯⨯=， ……………………………………3分PO ∴=222PO AO PA ∴+=， ………………………………………………4分 PO AD ∴⊥， …………………………………………………………………5分又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ． ………………………………………………………………6分(Ⅱ）如图，过O 作//OE AB 交BC 于E ，则OA ，OE ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OE ，OP 所在直线为z x 、y 、轴，建立空间直角坐标系O xyz -， …………………………7分 则)0,0,0(O，,A B ，(42,2,0),C P - (8)分(6,0)BC ∴=--，PB =8,-，……………………9分 设平面PBC 的一个法向量为=()x ,y ,zn ，由,,BC PB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得60,80,y y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩即,3,y z x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩取1x =则3y z ==-，所以(1,3)=-n 为平面PBC 的一个法向量． ……………………………11分 AB ⊥平面PAD , ()0,8,0AB ∴=为平面PAD 的一个法向量． 所以cos ,ABAB AB =⋅n n n==， ………………………………12分 cos cos ,6AB θ∴==n ． …………………………………………………13分18． 解：（I ）因为(,0)2p F ， 依题意得2d ==, …………………………2分 解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x = …………………………………4分(Ⅱ）①命题：若直线AB 过焦点F ，且直线AD 过原点O ，则直线BD 平行x 轴.…………………………………5分设直线AB 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ， ………………………6分 由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩ 得2440y ty --=，124y y ∴=-， ……………………………………………8分直线AD 的方程为11yy x x =， ……………………………………………9分所以点D的坐标为11(1,)yx --，112211144y y y x y y ∴-=-=-=， ……………………………………………………12分 ∴直线DB 平行于x 轴. ………………………………………………………13分 ②命题：若直线AB 过焦点F ，且直线BD 平行x 轴，则直线AD 过原点O . …………………………………5分设直线AB 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ， ………………………6分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩ 得2440y ty --=， 124y y ∴=-， ……………………………………………8分即点B 的坐标为224(,)x y -， ……………………………………………9分∵直线BD 平行x 轴，∴点D 的坐标为14(1,)y --， …………………………10分∴11(,)OA x y =，14(1,)OD y =--，由于111114()(1)0x y y y y ---=-+=，∴OA ∥OD ，即,,A O D 三点共线， ……………………………………………12分∴直线AD 过原点O . ………………………………………………………13分 ③命题：若直线AD 过原点O ，且直线BD 平行x 轴，则直线AB 过焦点F .…………………………………5分设直线AD 的方程为 (0)y kx k =≠，则点D 的坐标为(1,)k --， …………6分 ∵直线BD 平行x 轴，∴B y k =-，∴24B k x =，即点B 的坐标为2(,)4k k -， ……………………8分由2,4,y kx y x =⎧⎨=⎩得224k x x =， ∴244,,A A x y k k ==即点A 的坐标为244(,)k k ， ……………………………10分∴2244(1,),(1,)4k FA FB k k k =-=--，由于224444(1)()(1)04k k k k k k k k---⋅-=-+-+=，∴FA ∥FB ，即,,A F B 三点共线， ………………………………………12分 ∴直线AB 过焦点F . ………………………………………………………13分19．解：（Ⅰ）22()(sin cos )2cos2f x x x x ωωω=++-22sin cos sin 21cos 22x x x x ωωωω=++++- sin 2cos 2x x ωω=+)4x πω=+， ………………………………………1分依题意得222ππω=，故12ω=. ………………………………………2分 ∴()sin cos f x x x =+，即()f x 的“相伴向量”为（1，1）． ………3分(Ⅱ）依题意，g()cos 2sin()6x x x x π=+=+， ……………………………4分将g()x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数12sin()26y x π=+， ………………………………………………………5分再将所得的图象上所有点向左平移23π个单位长度，得到12()2sin[()]236h x x ππ=++， 即11()2sin()2cos 222h x x x π=+=， ……………………………6分∵6(2)35h πα+=，∴3cos()65πα+=，∵(0,)2πα∈，∴2(,)663πππα+∈，∴4sin()65πα+=， ……………8分∴3sin sin[()]sin()cos cos()sin 66666610ππππππαααα=+-=+-+=. ………………………………………………………10分(Ⅲ）若函数()sin cos 2x x x ϕ=存在“相伴向量”，则存在,a b ，使得sin cos 2sin cos x x a x b x =+对任意的x R ∈都成立，……………11分 令0x =，得0b =，因此sin cos 2sin x x a x =，即sin 0x =或cos 2x a =， 显然上式对任意的x R ∈不都成立，所以函数()sin cos 2x x x ϕ=不存在“相伴向量”. …………………………13分 (注：本题若化成3()sin sin x x x ϕ=－2，直接说明不存在的，给1分) 20． 解：(Ⅰ）()af x b x'=+，∴(1)1f a b '=+=，又(1)0f b ==， ∴1,0a b ==． …………………………………3分(Ⅱ）211()ln ()2h x x x m x m=+-+； ∴11()()h x x m x m'=+-+由()0h x '=得1()()0x m x m--=，∴x m =或1x m=． …………………………………5分 ∵0m >，当且仅当102m m <<≤或102m m<<≤时，函数()h x 在区间(0,2)内有且仅有一个极值点． …………………………………6分 若102m m <<≤，即102m <≤，当(0,)x m ∈时()0h x '>；当(,2)x m ∈时()0h x '<，函数()h x 有极大值点x m =，若102m m <<≤，即2m ≥时，当1(0,)x m ∈时()0h x '>；当1(,2)x m∈时()0h x '<，函数()h x 有极大值点1x m=，综上，m 的取值范围是1|022m m m ⎧⎫<≤≥⎨⎬⎩⎭或． …………………………………8分(Ⅲ）当1m =时，设两切线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，则1tan ()()2f x g x x xαβ''===-，tan =， ∵2x >， ∴,αβ均为锐角， …………………………………………9分当αβ>，即21x <<时，若直线12,l l 能与x 轴围成等腰三角形，则2αβ=；当αβ<，即1x >12,l l 能与x 轴围成等腰三角形，则2βα=．由2αβ=得，2tan 1βαββ==-2t a n ta n2t a n ，得212(2)1(2)x x x ---=，即23830x x -+=，此方程有唯一解(2,1x =，直线12,l l 能与x 轴围成一个等腰三角形．……11分 由2βα=得， 2tan 1αβαα==-2t an tan2t an ，得21211x x x⋅--2=，即322320x x x --+=， 设32()232F x x x x =--+，2()343F x x x '=--，当(2,)x ∈+∞时，()0F x '>，∴()F x 在(2,)+∞单调递增，则()F x在(1)+∞单调递增，由于5()02F <，且512，所以(10F <，则(1(3)0F F <， 即方程322320x x x --+=在(2,)+∞有唯一解，直线12,l l 能与x 轴围成一个等腰三角形． 因此，当1m =时，有两处符合题意，所以直线12,l l 能与x 轴围成等腰三角形时，c 值的个数 有2个． ………………………………………14分21.（1）解：（Ⅰ）设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12234A ==-，1213122A --⎛⎫⎪∴= ⎪-⎝⎭，…………2分 21582131461122M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………………3分 (Ⅱ）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ …………………………………………4分代入22221x xy y ++=可得()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=． ……………………………………7分 21.（2）解：（Ⅰ）由1sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得1sin cos cos sin 662ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11222x y ∴+=，即10x -=， ………………………1分 设4cos ,sin ,x y ϕϕ-=⎧⎨=⎩4cos ,sin ,x y ϕϕ=+⎧∴⎨=⎩ ………………………2分所以直线l的直角坐标方程为10x -=；圆M 的参数方程4cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数). …………………………………3分(Ⅱ）设()4cos ,sin M ϕϕ+，则点M 到直线l 的距离为32sin 62d πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， ………………………5分泉州中远学校2014届高三毕业班数学试卷11∴当sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即22()3k k Z πϕπ=-+∈时，min 12d =. 圆M 上的点到直线l 的距离的最小值为12. ………………………7分（21）(3）解：（Ⅰ）当1x ≤-时，由()20f x x =-+≤得2x ≥，所以x ∈∅； 当112x -<≤时，由()30f x x =-≤得0x ≥，所以102x ≤≤； 当12x >时，由()20f x x =-≤得2x ≤，所以122x <≤. …………2分 综上不等式()0f x ≤的解集D {}02x x =≤≤. ………………3分 (= ……………………………………4分由柯西不等式得2(31)((2))8x x ?+-=，∴≤， …………………………………………………………5分 当且仅当32x =时取“=”， ∴ a的取值范围是(- . …………………………………………………7分。

绝密★启用前试卷类型：A2023-2024学年福州市高三年级第三质量检测评分参考数学2024.4一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（i 是虚数单位），则z =A ．1-B ．1C ．i-D ．i解析：∵i i 1i z +=+，∴i 1z =，即i z =-，故选C.2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，cos α=，(,2)P m 为其终边上一点，则m =A ．4-B ．4C ．1-D ．1解析：∵cos α=，∴2tan 2m α==，∴1m =，故选D .解析：结合该函数为偶函数，及()03f =可判断应选A.4．在菱形ABCD 中，若||||AB AD AB -= ，且AD 在AB 上的投影向量为AB λ，则λ=A ．12-B ．12C ．22-D ．22解析：由已知AB AD AB -=知该菱形中AB AD BD ==，∴由D 向AB 作垂线，垂足即为AB 中点，∴12λ=，故选B .5．已知5log 2a =，2log b a =，1(2bc =，则A.c b a >>B.c a b>> C.a b c >> D.b c a>>解析：∵55log 2log 51a =<=，∴2log 0b a =<，1(12b c =>，∴c a b >>，故选B.6．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为1BD 上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为 A.33B.63C.66D.32解析：在正方体中，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BD DD D = ，∴AC ⊥平面1BDD ，易知当OP ⊂平面1BDD ，且1OP BD ⊥时，OP 的长度最小，在1RT BDD △中,不难求得66OP =，故选C.7．若直线y ax b =+与曲线e xy =相切，则a b +的取值范围为A ．(,e]-∞B ．[2,e]C ．[e,)+∞D ．[2,)+∞解析：设切点为00(,e )x x ，则0e ,x a =∴切线方程为000e ()e x x y x x =-+，则00(1)e x b x =-，∴00(2)e x a b x +=-，设00()(2)e x f x x =-，则00()(1)e x f x x '=-，易知函数()(1)e f x f ≤=，又(2)02f =<，故可判断选A.（由图象知当且仅当切线与曲线相切于()1,e 时，11e e a b a b +=⨯+==最大，亦可知选A.）8．已知函数()2sin cos )f x x x x ωωω=+(0)ω>在π(0,)3上单调递增，且对任意的实数a ，()f x 在(,π)a a +上不单调，则ω的取值范围为A ．5(1,]2B ．5(1,]4C ．15(,22D ．15(,]24解析：∵π()2sin cos )2sin(2)3f x x x x x ωωωω=+=-+∵()f x 在π(0,3上单调递增，∴πππ2332ω⋅-≤，∴54ω≤，∵对任意的实数a ，()f x 在区间(,π)a a +上不单调，∴()f x 的周期2πT <，∴2π2π2T ω=<，∴12ω>，∴1524ω<≤，故选D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDACDBC9．双曲线2222:13x y C a a-=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，且C 的两条渐近线的夹角为θ，若12||2F F e =（e 为C 的离心率），则解析：易知该双曲线实半轴为a ，半焦距为2a ，∴离心率22ae a==，∴焦距44a =，即1a =，∴选项A 正确，选项C 错误；易知C 的两条渐近线的斜率为3k a=±=，∴这两条渐近线的倾斜角分别为π3和2π3，∴C 的两条渐近线的夹角为π3，∴选项B ，D 正确；综上所述，应选ABD .10.定义在R 上的函数()f x 的值域为(,0)-∞，且(2)()()0f x f x y f x y ++-=，则A ．(0)1f =-B ．2(4)[(1)]0f f +=C ．()()1f x f x -=D ．()()2f x f x +-≤-解析：令0x y ==，则()()2000f f+=，∵函数()f x 的值域为(,0)-∞，∴(0)1f =-，选项A 正确；令1x =，0y =，则2(2)[(1)]f f =-，令2x =，0y =，则24(4)[(2)][(1)]f f f =-=-，∴选项B 错误；令0x =，则(0)()()0f f y f y +-=，∴()()(0)1f y f y f -=-=，即()()1f x f x -=，∴选项C 正确；∵()0f x ->，()0f x -->，∴[()()]2f x f x -+-≥∴()()2f x f x +-≤-，故选项D 正确；综上所述，应选ACD .11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量1,1,(1,2,3)n n n X n ⎧==⎨-⎩第次投出正面,第次投出反面,．记A 表示事件“120X X +=”，B 表示事件“21X =”，C 表示事件“1231X X X ++=-”，则A ．B 和C 互为对立事件B ．事件A 和C 不互斥C ．事件A 和B 相互独立D ．事件B 和C 相互独立解析：考查选项A ，事件B 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项A 错误；考查选项B ，事件A 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项B 正确；考查选项C ，易知12211()(22P A C ==，1()2P B =，事件AB 为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则1()4P AB =，∴1()()()4P AB P A P B ==，故选项C 正确；考查选项D ，由选项AC 可知311()(28P BC ==，1()2P B =，在事件C 中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则23313()(28P C C ==，∴()()()P BC P B P C ≠，故选项D 错误；综上所述，应选BC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.160；13.2；14.22mm +；1或2．12.62()x x+的展开式中常数项为．解析：易知该二项展开式通项为662()r r r C x x-，∴当3r =时，得到常数项为160，故应填160．13．某圆锥的体积为π3，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为．解析：设该圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，根据侧面展开图为半圆得2ππr l =，即2l r =，又根据圆锥体积得1ππ33r =，解得1r =，2l =，故应填2．14.设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >．则2a =（结果用m 表示）；若数列1{}nT 为等差数列，则m =．解析：易知112m T a ==，∴12221)(2m a a a a m =+=+，解得222a m m =+，故应填22m m +；（方法一）211111111111111n n n n n n n n T T m a m a m a m ma a m m m a ---------=-=-=-----+(2)n ≥，若数列1{}n T 为等差数列，则2111n n m ma a ----为常数d ，①若0d =，则11n a -=(2)n ≥恒成立，即1n a =(1)n ≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则1211n n dm dm a a --=--，∴2,,11dm dm ==⎧⎨⎩解得1,1,d m ==⎧⎨⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．（方法二）∵1{}n T 为等差数列，∴111n n d T T -=+(2)n ≥，易知112T m =，且12(1)n n d T m=+-，当2n ≥时，∵n n T a m +=，∴1n n n T T m T -+=，∴111n n m T T -=+，∴由12(1)n n d T m =+-，可得22(1)1(2)m n d n d m+-=++-，∴2(1)1(2)m dn m d m-=-++-对于任意n 恒成立，∴1,21(2)0,m m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩或0,21(2)0,d m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩解得1,1,m d =⎧⎨=⎩或0,2,d m =⎧⎨=⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin a C c B =，2π3C =.（1）求B 的大小；（2）若ABC △的面积为4，求BC 边上中线的长.解：（1）∵sin sin a C c B =，∴由正弦定理，得sin sin sin sin A C C B =，…………2分∵0πC <<，∴sin 0C >，∴sin sin A B =，………………………………………3分∵0πA <<，0πB <<，∴A B =，……………………………………………………5分∵πA B C ++=，且2π3C =，∴π6B =.……………………………………………6分（2）依题意1sin 42ab C =，………………………………………………………………7分∵A B =，∴a b =，………………………………………………………………8分212πsin 23a ==，解得a =，…………………………………………10分设边BC 的中点为D ，∴32CD AC ==∴在ACD △中，由余弦定理知2222cos AD AC CD AC CD C=+-⋅⋅332π2132cos4234=+-⨯=，………………………………………………………12分∴BC 边上中线的长为212.……………………………………………………………13分16．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AB AC BC AA ====，1A B =.（1）设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；（2）求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．（第16题图）解：（1）∵D 为AC 中点，且2AB AC BC ===，∴在ABC △中，有BD AC ⊥，且BD =……………………………………………1分∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =，∴BD ⊥平面11ACC A ，………………………………………………………………………2分∵1A D ⊂平面11ACC A ，∴1BD A D ⊥，……………………………………………………3分∵1A B =，BD =1A D ，……………………………………………………4分∵1AD =，12AA =，1A D =，∴由勾股定理，有1AC A D ⊥，……………………………………………………………6分∵AC BD ⊥，1A D BD D = ，∴AC ⊥平面1A DB ，…………………………………………………………………………7分（2）如图所示，以D 为原点，DA ，DB ，1DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，可得(1,0,0)A，1A，B ，………………………………………………9分∴1(AA =-，(AB =-，…………………………………………………10分设平面11A AB 的法向量为(,,)x y z =n ，则由10,0,A A B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =1y =，1z =，∴=n ，…………………………………………12分由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A的一个法向量为(0,BD =，…………………………………………13分记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为α，∴5cos ||5||BD BD α⋅==n |n |，∴平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值为5．………………………………………15分17．（15分）从一副扑克牌中挑出4张Q 和4张K ，将其中2张Q 和2张K 装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q 和2张K 放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q ，则把它放回袋中；若抽出K ，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q 放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K 全部置换为Q.（1）在操作2次后，袋中K 的张数记为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作1n +()n *∈N 次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ．”为n A ，记()n n P P A =.（i ）在第1次取到Q 的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；（ii ）试探究1n P +与n P 的递推关系，并说明理由.解：（1）由题意X 的取值可能为0，1，2，……………………………………………1分当0X =时，即第一次取出K ，第二次也取出K ，∴211(0)22318P X ==⨯=++，…………………………………………………………2分当1X =时，即第一次取出Q ，第二次取出K ，或第一次取出K ，第二次取出Q ，∴2223135(1)22222231488P X ==⨯+⨯=+=++++，……………………………3分当2X =时，即第一次取出Q ，第二次也取出Q ，∴221(2)22224P X ==⨯=++，…………………………………………………………4分∴X 的概率分布列为…………………………………………………………………5分∴X 的数学期望1519()0128848E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………6分（2）（i ）记事件“第1次取到Q ”为B ，事件“总共4次操作恰好完成置换”为C ，则1()2P B =，………………………………………………………………………………7分依题意，若第1次取出Q ，则剩余的3次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，①若第2次亦取出Q ，则第3次和第4次均须取出K ，X 012P185814其概率为1221122+22+23+132⨯⨯⨯=；………………………………………………………8分①若第2次取出K ，则第3次须取出Q ，第4次须取出K ，其概率为1231322+23+13+164⨯⨯⨯=；………………………………………………………9分∴13()53264(|)1()322P CB P C B P B +===，即在第1次取到Q 的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为532．…………………………………………………………………………10分（ii ）（方法一）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，①当第1次取出Q ，则剩余的1n +次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，概率为212+22n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1次取出K ，则从第2次起，直到第1n +次均须取出Q ，且第2n +次取出K ，概率为23113(()2+23+13+184n n⨯⨯=⨯；………………………………………………………14分∴1+113(284n n n P P +⨯=．…………………………………………………………………15分（方法二）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，则一定有第2n +次（最后一次）取出K ，①当第1n +次（倒数第二次）取出Q ，则须在之前的n 次操作中的某一次取出K ，概率为333+14n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1n +次（倒数第二次）取出K ，则从第1次起，直到第n 次均须取出Q ，概率为3221111()((2+22+23+1822n n n +⨯⨯=⨯=；…………………………………………14分∴133+1(42n n n P P ++=．……………………………………………………………………15分18．（17分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且当l 的斜率为1时，|8MN =|．（1）求C 的方程；（2）设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点）．记线段MN 的中点为R ，若||3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．解：(1)不妨设l 的方程为2px my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立l 与C 的方程，得2220y mpy p --=，…………………………………………1分∴122y y mp +=，212y y p =-，…………………………………………………………2分则21212||()22(1)MN x x p m y y p p m =++=++=+，…………………………………3分∴由题可知当1m =时，||8MN =，∴2p =，…………………………………………4分∴C 的方程为24y x =．……………………………………………………………………5分(2)由(1)知1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得2(21,2)R m m +，……………………………6分易知C 的准线方程为1x =-，又l 与C 的准线交于点P ，∴2(1,)P m--，……………7分则直线OP 的方程为2mx y =，………………………………………………………………8分联立OP 与C 的方程，得22y my =，∴2(,2)Q m m ，……………………………………9分∴Q ，R 的纵坐标相等，∴直线QR x ∥轴，……………………………………………11分∴222|||21|1QR m m m =+-=+，…………………………………………………………12分∴MNQ QRM QRN S S S =+△△△121||||2QR y y =-3222(1)2||m QR =+，…………14分∵点Q （异于原点），∴0m ≠，…………………………………………………………15分∵||3QR ≤，∴13||QR <≤，∴3222||QR <≤即MNQ S ∈△．…………………………………………17分19．（17分）若实数集A ，B 对a A ∀∈，b B ∀∈，均有(1)1b a ab +≥+，则称A B →具有Bernoulli 型关系.（1）判断集合{|1}M x x =>，{1,2}N =是否具有Bernoulli 型关系，并说明理由；（2）设集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>，若S T →具有Bernoulli 型关系，求非负实数t 的取值范围；（3）当*n ∈N时，证明：1158n k k n -=<+∑．解：（1）依题意，M N →是否具有Bernoulli 型关系，等价于判定以下两个不等式对于1x ∀>是否均成立：①1(1)1x x +≥+，②2(1)12x x +≥+，…………………………………2分∵1x ∀>，1(1)1x x +=+，22(1)1212x x x x+=++>+∴M N →具有Bernoulli 型关系．………………………………………………………4分（2）（方法一）令()(1)1b f x x bx =+--，x S ∈，(0,)b ∈+∞，则1()[(1)1]b f x b x -'=+-，…………………………………………………………………5分①当1b =时，显然有(1)1b a ab +=+，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………6分②当1b >时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递减，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≥=，∴(1)(1)0b x bx +-+≥，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………………………………………………8分③当01b <<时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递增，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，∴()f x 的最大值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≤=，∴(1)(1)0b x bx +-+≤，即(1)1b x bx +≤+，∴当x S ∈，且01b <<时，(1)1b x xb +≥+不能恒成立，…………………………10分综上所述，可知若S T →具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为[1,)+∞．……………………………………………………11分（方法二）当1b =，或01b <<时，与方法一相同；…………………………………8分当1b >时，若10ab +≤，∵(1)01b a ab +>≥+，∴(1)1b a ab +≥+，若10ab +>，则1ab >-，又1b >，∴101b <<，∴由方法一的结论，可知11(1)11b ab ab a b +≤+⋅=+，即1(1)1b ab a +≤+，…………………………………………………………………………9分∵10ab +>，且(1,)a ∈-+∞，∴1[(1)](1)b b b ab a +≤+，即1(1)b ab a +≤+，即(1)1b a ab +≥+；………………………10分∴若集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为为[1,)+∞．…………………………………………………11分（3）∵1112222211((1)k k k k k k-+==+，…………………………………………12分显然211k >-，且1012k<<，由（2）中的结论：当01b <<时，(1)1b x xb +≤+，可知122231111(1)1+122k k k k k +≤⋅=+，………………………………………………………………………………………13分当2k ≥时，33121(1)111[]24()4(1)(1)4(1)(1)k k k k k k k k k k k k +--≤==---+-+，∴1221111(1)1[4(1)(1)k k k k k k +≤+--+，2k ≥，………………………………………15分当1n =时，1158n k k n -=<+∑显然成立；…………………………………………16分当2n ≥时，11122311[1]24(1)4(1)n n n k k k k k k k k k --====+<++--+∑∑∑211111111515[[24(1)(1)242(1)84(1)8n k n n n n k k k k n n n n ==++-=++⋅-=+-<+-+++∑，综上所述，当*n ∈N时，1158n k k n -=<+∑.……………………………………17分。

2023-2024学年福建省泉州五中、三明二中、三明九中等校高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．图中的阴影部分表示的集合为（）A．A∩B∩C B．A∩B∩（∁U C）C．A∩（∁U B）∩C D．（∁U A）∩B∩C2．若Z1，Z2为复数，则“Z1﹣Z2是纯虚数”是“Z1，Z2互为共轭复数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=(2−1)cosx的部分图象为（）1+e xA．B．C．D．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（）A ．3B ．4C ．6（√3−1）D ．3（√3+1） 5．已知数列{a n }满足a n −a n+1=a n a n+12n−1，且a 2＝﹣1，若a k ＝16a 8，则正整数k 为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．106．如图，AB 是圆O 的一条直径，且|AB |＝4．C ，D 是圆O 上的任意两点，|CD |＝2．点P 在线段CD 上，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[√3，2]C ．[3，4]D ．[﹣1，0] 7．已知直线x =5π6，x =4π3是函数f(x)=4sin(ωx +π6)(ω＞0)图像相邻的两条对称轴，将f （x ）的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数g （x ）的图像．若g （x ）在（﹣m ，m ）上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(7π12，11π12] B ．(7π12，13π12] C ．(5π12，13π12] D ．(5π12，11π12] 8．已知a ＝e 0.11，b ＝1.11.1，c ＝1.11，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设正实数a ，b 满足a +b ＝2，则下列说法正确的是（ ）A ．b a +2b 的最小值为3B ．ab 的最大值为1C ．√a +√b 的最小值为2D ．a 2+b 2的最小值为2 10．函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f （x ）的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则（ ）A ．函数f （x ）在(−3π2，−π)上单调递增 B ．圆的半径为2√73C ．函数f （x ）的图象关于点(−2π3，0)成中心对称 D ．函数f （x ）在[2021π12，2023π12]上单调递减 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝2AB ＝2AA 1＝4，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点，点P 在侧面A 1ADD 1内，且BP →=xBE →+yBF →(x ，y ∈R)，则三棱锥P ﹣BB 1F 外接球表面积的取值可能是（ ）A ．10πB ．20πC ．12πD ．44π12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝2a n （lna n +1）+1，则下列说法正确的有（ ）A ．2a 3a 1+a 2＜5B ．a n+1≤2a n 2+1C ．若n ≥2，则34≤∑1a i +1＜1n i=1 D ．∑ln(a i +1)≤(2n −1)ln2ni=1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin （π6+α）=√33，α∈(−π4，π4)，则sin(π3−α)= ． 14．非零向量a →，b →满足b →=(√3，1)，〈a →，b →〉=π3，(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为 ．（请用a →或b →表示）15．已知数列{a n }满足a 12+a 222+⋯+a n 2n =n(n ≤N ∗)，b n =λ(a n −1)−n 2+4n ，若数列{b n }为单调递增数列，则λ的取值范围为 ．16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”，在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 1，O 3，则∠O 1AO 3＝ ；若△O 1O 2O 3的面积为√3，则三角形中|AB |+|AC |的最大值为 ．四、解答题：共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f(x)=√3sin(2x +φ)+cos(2x +φ)(|φ|＜π2)，将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）＝a 在[π6，512π]上恰有两个实数根，求实数a 的取值范围． 18．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a ＝﹣2，是否存在实数m （m ∈N *），都有f （x ）≤m （x +1）恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由．19．设数列{a n }前n 项和S n 满足S n +a n =n−1n 2+n ，n ∈N *． （1）证明：数列{S n −1n+1}为等比数列； （2）记1b n =1n+1−S n ，求数列{b n (b n −1)(b n+1−1)}的前n 项和T n ． 20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 为等边三角形，M 为P A 的中点，PD ⊥AB ，平面P AD ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面CDM ⊥平面P AB ；（2）若AD ∥BC ，AD ＝2BC ＜4，AB ＝2，直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值为3√3434，求三棱锥P﹣MCD的体积．21．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y ＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DÊ．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DÊ上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）在x∈[﹣π，π]的单调区间与最值；（2）当a＞13时，若g(x)=f(x)−12ax2，证明：g（x）有且仅有两个零点．2023-2024学年福建省泉州五中、三明二中、三明九中等校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．图中的阴影部分表示的集合为（）A．A∩B∩C B．A∩B∩（∁U C）C．A∩（∁U B）∩C D．（∁U A）∩B∩C解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是B的元素，也是A的元素，不是C的元素”，故阴影部分所表示的集合是A∩B∩（∁U C）．故选：B．2．若Z1，Z2为复数，则“Z1﹣Z2是纯虚数”是“Z1，Z2互为共轭复数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：先验证充分性：令Z1＝4i，Z2＝2i满足Z1﹣Z2是纯虚数，但是不满足Z1，Z2互为共轭复数，所以充分性不成立；再验证必要性：令Z1＝Z2＝1，满足Z1，Z2互为共轭复数，但是不满足Z1﹣Z2是纯虚数，所以必要性不成立，所以“Z1﹣Z2是纯虚数”是“Z1，Z2互为共轭复数”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．函数f(x)=(2−1)cosx的部分图象为（）1+e xA．B．C．D．解：f（x）＝（21+e x−1）cos x=1−e x1+e x•cos x，定义域为R，∴f（﹣x）=1−e−x1+e−x•cos（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，D；令f（x）＝0，则x=π2+kπ，k∈Z，故有无数个零点，故排除B．故选：C．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（）A．3B．4C．6（√3−1）D．3（√3+1）解：如图：由题意可得∠FCD＝30°，∠ADE＝75°，CD＝24，∴∠ADC＝180°﹣75°＝105°，∠CAD＝180°﹣30°﹣105°＝45°．△ACD中，由正弦定理可得24sin45°=ADsin30°，∴AD＝12√2．直角三角形ADB中，AB＝AD×sin∠ADB＝12√2×sin（90°﹣75°）＝12√2×sin（45°﹣30°）＝12√2×（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）＝12√2×（√22×√32−√22×12）＝6√3−6，∴AB的长度为6（√3−6）米，故选：C．5．已知数列{a n }满足a n −a n+1=a n a n+12n−1，且a 2＝﹣1，若a k ＝16a 8，则正整数k 为（ ） A ．13B ．12C ．11D ．10 解：由已知可得1a 2−1a 1=(12)0，1a 3−1a 2=(12)1，⋯⋯，1a n −1a n−1=(12)n−2， 以上各式累加可得，1a n −1a 1=(12)0+(12)1+⋯⋯+(12)n−2=1−(12)n−11−12=2−(12)n−2， 又a 2＝﹣1，代入1a 2−1a 1=2﹣（12）0＝1，即﹣1−1a 1=1，解得a 1=−12， 故a n =−2n−2， 令﹣2k ﹣2＝﹣16×26，解得k ＝12． 故选：B ．6．如图，AB 是圆O 的一条直径，且|AB |＝4．C ，D 是圆O 上的任意两点，|CD |＝2．点P 在线段CD 上，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[√3，2]C ．[3，4]D ．[﹣1，0] 解：因为O 为圆心，即O 为AB 中点，所以PA →⋅PB →=(PO →+OA →)⋅(PO →+OB →)=PO →2+PO →⋅OB →+PO →⋅OA →+OA →⋅OB →=PO →2+PO →⋅(OB →+OA →)−OA →2=|PO →|2−4，因为|AB |＝4，|CD |＝2，所以圆心到直线CD 的距离d =√22−12=√3，因为点P 在线段CD 上，所以√3≤|PO →|≤2，即3≤|PO →|2≤4，则−1≤|PO →|2−4≤0，即PA →⋅PB →的取值范围是[﹣1，0]．故选：D ．7．已知直线x =5π6，x =4π3是函数f(x)=4sin(ωx +π6)(ω＞0)图像相邻的两条对称轴，将f （x ）的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数g （x ）的图像．若g （x ）在（﹣m ，m ）上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(7π12，11π12] B ．(7π12，13π12] C ．(5π12，13π12] D ．(5π12，11π12] 解：由题意得4π3−5π6=T 2，即π2=πω，解得ω＝2，则f(x)=4sin(2x +π6)， f （x ）的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)=4sin(2x −π6)， 又g （x ）在（﹣m ，m ）上恰有三个不同的零点，所以转化为h （x ）＝4sin x 在x ∈(−2m −π6，2m −π6)上有三个不同的零点，其中，m ＞0， 则−2m −π6＜−π6，要使h （x ）＝4sin x 在x ∈(−2m −π6，2m −π6)上有三个不同的零点， 则{−2π≤−2m −π6＜−ππ＜2m −π6≤2π或{−3π≤−2m −π6＜−2π0＜2m −π6≤π，解之得7π12＜m ≤11π12． 故选：A ．8．已知a ＝e 0.11，b ＝1.11.1，c ＝1.11，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：下面先证明lnx ＜x ﹣1，（x ＞0且x ≠l ）．记f （x ）＝lnx ﹣（x ﹣1），则f ′（x ）=1x−1，令f′（x）＜0，得：0＜x＜1；令f′（x）＞0，得：x＞1；函数f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，所以对任意x＞0，都有f（x）≤f（1）＝0，即lnx≤x﹣1恒成立，所以对任意x＞0且x≠1，都有f（x）＜f（1）＝0，即lnx＜x﹣1恒成立，故1.1ln1.1＜1.1×（1.1﹣1）＝0.11，故a＞b，构造函数g（x）＝（1+x）1.1﹣（1.1x+1），则g（x）＝1.1（1+x）0.1﹣1.1＝1.1[（1+x）0.1﹣1]，故当x＞0时，f（x）单调递增，故f（0.1）＝（1+0.1）1.1﹣（1.1×0.1+1）＝1.11.1﹣1.11＞0，即b＞c，综上a＞b＞c．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设正实数a，b满足a+b＝2，则下列说法正确的是（）A．ba+2b的最小值为3B．ab的最大值为1C．√a+√b的最小值为2D．a2+b2的最小值为2解：因为a＞0，b＞0，所以ba+2b=ba+a+bb=1+ba+ab≥2+1＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号，A正确；由ab≤(a+b2)2=1，当且仅当a＝b＝1时，ab取得最大值1，B正确；（√a+√b）2＝a+b+2√ab=2+2√ab≤2+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故√a+√b≤2，即最大值为2，C错误；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2≥4−2×(a+b2)2=2，当且仅当a＝b＝1时取等号，a2+b2取得最小值2，D正确．故选：ABD．10．函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则（）A ．函数f （x ）在(−3π2，−π)上单调递增 B ．圆的半径为2√73C ．函数f （x ）的图象关于点(−2π3，0)成中心对称 D ．函数f （x ）在[2021π12，2023π12]上单调递减 解：根据函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）的图象以及圆C 的对称性，可得M ，N 两点关于圆心C （c ，0）对称，所以c =π3，于是T 2=c +π6=π2⇒πω=π2⇒ω=2， 由ω＝2及A(−π6，0)，得−π3+φ=0+kπ，k ∈Z ⇒φ=π3+kπ，k ∈Z ， 由于|φ|＜π2，所以φ=π3， 所以f(x)=2sin(2x +π3)，f(0)=√3，从而M(0，√3)，故半径为|CM|=√(π3)2+3≠2√73，故B 错误； 当x ∈(−3π2，−π)时，2x +π3∈（−8π3，−5π3），因为y ＝sin x 在区间（−8π3，−5π3）上先减后增，所以原函数在（−3π2，﹣π）上先减后增，故A 错误； f （−2π3）＝2sin （﹣π）＝0，故C 正确； 当x ∈[2021π12，2023π12]时，2x +π3∈[2023π6，2025π6]，即2x +π3∈[336π+7π6，336π+9π6]，此时f （x ）为减函数，故D 正确．故选：CD ．11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝2AB ＝2AA 1＝4，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1的中点，点P 在侧面A 1ADD 1内，且BP →=xBE →+yBF →(x ，y ∈R)，则三棱锥P ﹣BB 1F 外接球表面积的取值可能是（ ）A．10πB．20πC．12πD．44π解：连接EF、D1E、D1F，取A1D1的中点G，连接AG、GF，分别取BF、AG的中点H、I，连接HI，如图所示：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，B1C1的中点，∴BF∥AG∥D1E，且BF＝AG＝D1E，∴四边形BED1F是平行四边形，∵BF、AG的中点H、I，连接HI，∴三棱锥P﹣BB1F外接球的球心O在直线HI上，连接OB、OP、IE、IP，设三棱锥P﹣BB1F外接球的半径为R，则R2＝OH2+HB2＝OI2+IP2，∵AD＝2AB＝2AA1＝4，∴HI＝2，HB＝IE=√2，∴R2＝OH2+2＝|2﹣OH|2+EP2+2，∴OH=14EP2+1，则当P与E重合时，OH＝1，此时三棱锥P﹣BB1F外接球的半径取得最小值√3，此时外接球的表面积为12π，当P与D1重合时，OH＝3，此时三棱锥P﹣BB1F外接球的半径取得最大值√11，此时外接球的表面积为44π，故三棱锥P﹣BB1F外接球表面积的取值范围是[12π，44π]，故选：BCD．12．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n（lna n+1）+1，则下列说法正确的有（）A．2a3a1+a2＜5B．a n+1≤2a n2+1C．若n≥2，则34≤∑1a i+1＜1ni=1D．∑ln(a i+1)≤(2n−1)ln2ni=1解：对A选项，∵a1＝1，a n+1＝2a n（lna n+1）+1，∴a2＝2a1（lna1+1）+1＝2×1×（0+1）+1＝3，a3＝2a2（lna2+1）+1＝6ln3+7，∴2a3a1+a2=2(6ln3+7)1+3=3ln3+3.5，∵ln3＞lne＝1，∴3ln3＞3，∴2a3a1+a2=3ln3+3.5＞6.5，故A选项错误；对于B选项，∵a n+1＝2a n（lna n+1）+1，∴要证a n+1≤2a n2+1，即证2a n(lna n+1)+1≤2a n2+1，即证lna n+1≤a n，即证lna n+1﹣a n≤0，令a n＝x，则即证lnx+1﹣x≤0，x＞0，设f（x）＝lnx+1﹣x，x＞0，∴f′(x)=1−xx，x＞0，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）≤f（1）＝0，∴lnx+1﹣x≤0，∴a n+1≤2a n2+1，故选项B正确；对选项C，易知{a n}是递增数列，∴a n≥a1＝1，∴lna n+1≥1，∴a n+1＝2a n（lna n+1）+1≥2a n+1，∴a n+1+1a n+1≥2，∴a n+1a n−1+1⋅a n−1+1a n−2+1⋅⋯⋅a2a1≥2n−1，即a n+1≥2n−1(a1+1)=2n，∴1a n+1≤12n，∴∑ n i=11a i +1≤12+122+⋯+12n =12(1−12n )1−12=1−12n ＜1， 而当n ≥2时，则有∑ n i=11a i +1≥1a 1+1+1a 2+1=34，故选项C 正确； 对选项D ，令g(x)=2lnx −x +1x，x ＞0， ∴g ′(x)=−(x−1)2x 2≤0，∴g （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∴当x ≥1时，g （x ）≤g （1）＝0，∴lnx ≤12(x −1x )，∴a n+1≤2a n [12(a n −1a n)+1]+1=a n 2+2a n ， ∴a n+1+1≤(a n +1)2，∴ln(a n+1+1)ln(a n +1)≤2， ∴ln(a n +1)ln(a n−1+1)⋅ln(a n−1+1)ln(a n−2+1)⋅⋯⋅ln(a 2+1)ln(a 1+1)≤2n ﹣1， ∴ln(a n +1)≤2n−1ln(a 1+1)=2n−1ln2，∴∑ n i=1(lna i +1)≤(1+2+⋯+2n−1)ln2=（2n ﹣1）ln 2，故选项D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin （π6+α）=√33，α∈(−π4，π4)，则sin(π3−α)= √63． 解：因为sin （π6+α）=√33，α∈(−π4，π4)， 所以cos(π6+α)=√63， 所以sin(π3−α)=cos(π6+α)=√63． 故答案为：√63． 14．非零向量a →，b →满足b →=(√3，1)，〈a →，b →〉=π3，(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →方向上的投影向量为 14b → ．（请用a →或b →表示） 解：因为(a →−b →)⊥a →，所以(a →−b →)⋅a →=a →2−a →⋅b →=0，故a →⋅b →=a →2，即|a →|⋅|b →|cos〈a →，b →〉=|a →|2，故|b →|cos〈a →，b →〉=|a →|，因为〈a →，b →〉=π3，所以12|b →|=|a →|， 又b →=(√3，1)，所以|b →|=√3+1=2，故|a →|=12|b →|=1，a →⋅b →=a →2=1， 所以向量a →在向量b →方向上的投影向量为(a →⋅b →)b →b →2=14b →． 故答案为：14b →． 15．已知数列{a n }满足a 12+a 222+⋯+a n 2n =n(n ≤N ∗)，b n =λ(a n −1)−n 2+4n ，若数列{b n }为单调递增数列，则λ的取值范围为 （38，+∞） ． 解：由题意可得n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n 2n =n ﹣（n ﹣1）＝1，即a n ＝2n ，对n ＝1也成立， 则a n ＝2n ，n ∈N *，b n ＝λ（2n ﹣1）﹣n 2+4n ，若数列{b n }为单调递增数列，则b n +1＞b n 恒成立，即λ（2n +1﹣1）﹣（n +1）2+4（n +1）＞λ（2n ﹣1）﹣n 2+4n ，化为λ＞2n−32n 对n ∈N *恒成立． 设c n =2n−32n ，则c n +1﹣c n =2n−12n+1−2n−32n =5−2n 2n+1， 当n ＝1，2时，c 3＞c 2＞c 1，当n ≥3时，{c n }为递减数列，即c 3＞c 4＞c 5＞...，可得c 3为最大值，且为38， 则λ＞38． 故答案为：（38，+∞）． 16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”，在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 1，O 3，则∠O 1AO 3＝ 120° ；若△O 1O 2O 3的面积为√3，则三角形中|AB |+|AC |的最大值为 4 ．解：因为O1，O3为正三角形ABC'，△AB'C外接圆圆心，所以也是它们的中心，所以在△O1AB中，∠O1AB＝30°，同理∠O3AC＝30°，由∠BAC＝60°，所以∠O1AO3＝120°；由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，则S△O1O2O3=12m2sin60°=√34m2=√3，解得|O1O3|＝m＝2，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，在△O1AB中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，可知∠AO1B＝120°，在等腰△BO1A中，由ABsin120°=O1Asin30°，解得O1A=√3，同理O3A=√3，在△O1AO3中，由余弦定理，得O1O32＝O1A2+O3A2﹣2O1A•O3A•cos120°，即4=c24+b23−2•bc3•（−12），即b2+c2+bc＝12，即（b+c）2﹣bc＝12，故（b+c）2﹣12≤(b+c2)2，解得b+c≤4，当仅当b＝c＝2时，取等号，故三角形中|AB|+|AC|的最大值为4，故答案为：120°；4．四、解答题：共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(|φ|＜π2)，将f（x）的图象向左平移π3个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝a在[π6，512π]上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．解：（1）f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin(2x+π6+φ）的图象向左平移π3个单位，得到g（x）＝2sin（2x+5π6+φ）的图象关于y轴对称；由于|φ|＜π2， 故φ=−π3； 所以f （x ）＝2sin （2x −π6）； （2）根据x ∈[π6，512π]， 所以2x −π6∈[π6，2π3]， 故2sin(2x −π6)∈[1，2]； 当x =5π12时，f （5π12）=√3， 由于函数f （x ）＝2sin （2x −π6）与y ＝a 与恰有两个实数根， 所以a ∈[√3，2）．18．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a ＝﹣2，是否存在实数m （m ∈N *），都有f （x ）≤m （x +1）恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由．解：（1）∵x ＞0，f ′(x)=1x−a ， 当 a ≤0时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，当 a ＞0时，f ′(x)=1−ax x， 令 f ′（x ）＞0，得x ＜1a ，f′(x)＜0，得x ＞1a， ∴f （x ）在(0，1a )单调递增，在(1a，+∞)单调递减， 综合得：当 a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增；当 a ＞0时，f （x ）在(0，1a )单调递增，在(1a，+∞)单调递减； （2）∵a ＝﹣2，∴f （x ）＝lnx +2x +1，∴lnx +2x +1≤m （x +1），∴m ≥lnx+2x+1x+1， 令 g(x)=lnx+2x+1x+1，∴g ′(x)=1x +2−lnx (x+1)2， 令 u(x)=1x +2−lnx ，u′(x)=−1x 2−1x ＜0，∴u（x）在（0，+∞）单调递减，∵u(e2)=1e2+2−lne2=1e2+2−2＞0，∵u(e3)=1e3+2−lne3=1e3+2−3＜0，∴∃x0∈(e2，e3)，使得u′（x0）＝0，即1x0+2−lnx0=0，1x0+2=lnx0，当x∈（0，x0），u（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（x0，+∞），u（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减，∴g(x)max=g(x0)=lnx0+2x0+1x0+1=1x0+2x0+3x0+1=2x2⬚0+3x0+1 x0(x0+1)=2+1x0，∵x0∈(e2，e3)，1x∈(0，1)，∴m≥3，∴m的最小值为3．19．设数列{a n}前n项和S n满足S n+a n=n−1n2+n，n∈N*．（1）证明：数列{S n−1n+1}为等比数列；（2）记1b n =1n+1−S n，求数列{b n(b n−1)(b n+1−1)}的前n项和T n．（1）证明：∵S n+a n=n−1n2+n，且a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），∴2S n−S n−1=2n+1−1n（n≥2），∴2(S n−1n+1)=S n−1−1n(n≥2)，∴S n−1n+1S n−1−1n=12(n≥2)，令n＝1，可得S1＝0，∴S1−12=−12，所以数列{S n−1n+1}是首项为−12，公比为12的等比数列．（2）解：由（1）可得S n−1n+1=(−12)(12)n−1=−(12)n，∴1b n=−(S n−1n+1)=12n，∴b n=2n，∴b n(b n−1)(b n+1−1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，∴T n=(11−13)+(13−17)+(17−115)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD为等边三角形，M为P A的中点，PD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD．（1）证明：平面CDM⊥平面P AB；（2）若AD∥BC，AD＝2BC＜4，AB＝2，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为3√3434，求三棱锥P﹣MCD的体积．解：（1）证明：取AD中点为N，连接PN，因为△P AD为等边三角形，所以PN⊥AD，且平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊂面P AD，所以PN⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以PN⊥AB，又因为PD⊥AB，PN∩PD＝P，PN，PD⊂平面P AD，所以AB⊥平面P AD，又因为DM⊂平面P AD，所以AB⊥DM，因为M为AP中点，所以DM⊥P A，且P A∩AB＝A，P A，PB⊂平面P AD，所以DM⊥平面P AB，且DM⊂平面CDM，所以平面CDM⊥平面P AB．（2）由（1）可知，PN⊥AB且PD⊥AB，PN∩PD＝P，所以AB⊥平面P AD，且AD⊂平面P AD，所以AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AD ＝2a ，则可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，a ，√3a)，M(0，a 2，√3a 2)，C(2，a ，0)，D(0，2a ，0)，即PB →=(2，−a ，−√3a)，DC →=(2，−a ，0)，DM →=(0，−32a ，√32a)， 设平面MCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{DC →⋅n →=0DM →⋅n →=0，即{2x −ay =0−32ay +√32az =0，则可取n →=(a ，2，2√3)， 设直线PB 与平面MCD 所成角为θ，所以sinθ=|cos ＜PB →，n →＞|=|PB →⋅n →||PB →||n →|=√4+4a 2⋅√16+a 2=34， 解得a 2＝16，或a 2＝1，即a ＝4或1，当a ＝4时，则AD ＝2a ＝8，所以V P−MCD =13S PMD ⋅|AB|=13×12×4×4√3×2=16√33． 当a ＝1时，AD ＝2，所以V P−MCD =13S PMD ⋅|AB|=13×12×1×√3×2=√33． 21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x ∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B （﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DÊ． （1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DÊ上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．解：（1）由已知条件，得A＝2，又∵T4=3，T=2πω=12，∴ω=π6．又∵当x＝﹣1时，有y＝2sin（−π6+φ）＝2，∴φ=2π3．∴曲线段FGBC的解析式为y=2sin(π6x+2π3)，x∈[﹣4，0]．（2）由y=2sin(π6x+2π3)=1得x＝6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k＝0，x＝﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=√10．∴景观路GO长为√10千米．（3）如图，OC=√3，CD＝1，∴OD＝2，∠COD=π6，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1＝OP sinθ＝2sinθ，在△OMP中，OPsin120°=OMsin(60°−θ)，∴OM=OP⋅sin(60°−θ)sin120°=4√3⋅sin(60°−θ)=2cosθ−2√33sinθ．S平行四边形OMPQ＝OM•PP1=(2cosθ−2√33sinθ)⋅2sinθ=4sinθcosθ−4√33sin2θ=2sin2θ+2√33cos2θ−2√33=4√33sin(2θ+π6)−2√33θ∈（0，π3）．当2θ+π6=π2时，即θ=π6时，平行四边形面积最大值为2√33．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）在x∈[﹣π，π]的单调区间与最值；（2）当a＞13时，若g(x)=f(x)−12ax2，证明：g（x）有且仅有两个零点．解：（1）由f（x）＝x sin x+cos x，x∈[﹣π，π]，得f'（x）＝x cos x，x∈[﹣π，π]，令f'（x）＝0，则x＝0或x＝±π2，所以当﹣π＜x＜−π2或0＜x＜π2时，f'（x）＞0；当−π2＜x＜0或π2＜x＜π时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为[﹣π，−π2]和（0，π2]，单调递减区间为[−π2，0]和[π2，π]，所以f(x)max=f(−π2)=f(π2)=π2，f（x）min＝f（﹣π）＝f（π）＝﹣1．（2）证明：g(x)=f(x)−12ax2，则g（x）的定义域为（﹣∞，+∞），因为g(−x)=−xsin(−x)+cos(−x)−12a(−x)2=xsinx+cosx−12ax2=g（x），所以g（x）为偶函数．因为g（0）＝1＞0，所以当a＞13时，g（x）有且仅有两个零点等价于当a＞13时，g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点．由g（x）＝x sin x+cos x−12ax2，得g'（x）＝x（cos x﹣a），当a⩾1时，若x＞0，则g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为g(π)=−1−12aπ2＜0，所以g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点，当13＜a＜1时，存在θ∈(0，π2)，使得cosθ＝a，当0＜x＜θ时，f′（x）＞0，当2kπ+θ＜x＜2kπ+2π﹣θ，k∈N时，g′（x）＜0，当2kπ+2π﹣θ＜x＜2kπ+2π+θ，k∈N时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，θ）上单调递增，在（2kπ+θ，2kπ+2π﹣θ）（k∈N）上单调递减，在（2kπ+2π﹣θ，2kπ+2π+θ）（k∈N）上单调递增，由tanθ=√1a2−1，13＜a＜1，可得0＜tanθ＜2√2，当k∈N时，2kπ+2π+θ−tanθ＞2(π−√2)，所以g(2kπ+2π+θ)=−12a[(2kπ+2π+θ−tanθ)2−1]+12a＜−16[(2kπ+2π+θ−tanθ)2−1]+32=−(2kπ+2π+θ−tanθ)2−106＜0因此g（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点．综上，当a＞13时，g（x）有且仅有两个零点．。