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插值方法

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第4章 插值方法在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 ,2,1,0),,(=i y x i i ，揭示自变量x 与因变量y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式：y =f (x )来表示。

函数f (x )的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可以采用两种方法：一个是曲线拟合的方法，一个是插值的方法。

插值和拟合的主题都是确定一个函数,其解决办法相似.可以考虑分两步走：第一步，适当选择函数的形式；第二步，确定函数的参数。

拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响，寻求整体误差最小、较好反映观测数据的近似函数，并不保证所得到的函数一定满足)(i i x f y =。

插值则要求函数在每个观测点处一定要满足)(i i x f y =。

本章介绍插值的方法。

拟合的方法将在下一章讨论。

插值函数一般是已知函数值的线性组合或者称为加权平均。

插值在工程实践和科学实验中应用非常广泛。

例如：信息技术中的图像重建、图像放大中为避免图像的失真所做的插值补点、建筑工程的外观设计、天气预报等等。

本章主要内容：1）插值思想﹑方法和技术，包括一维插值与高维插值； 2）用Matlab 作插值计算；3）针对三个实际问题，进行建模﹑求解与分析； 4）最后给出实验题目。

§4.1 插值方法本节将简单地介绍常用的一维插值方法的分段线性插值和三次样条插值。

4.1.1 分段多项式插值先介绍分段线性插值。

从数学的角度，分段线性插值的提法如下：问题：设函数f (x )在n +1个节点x 0,x 1,…,x n 处的函数值已知，为y 0,y 1,…,y n 。

要求：求一个分段( 共 n 段)线性函数q (x )，使其满足：q (x i )=y i ,i =0,1,…,n .根据直线的两点式方程变形得到q (x )在第i 段[x i -1,x i ]上的表达式为：n i x x x y x x x x y x x x x x q i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11111 =≤≤--+--=-----可以证明，分段线性插值具有良好的收敛性。

即 )()(lim x f x q n =∞→，f (x )为被插值函数。

分段线性插值在计算插值时，只用到前后两个相邻节点的函数值，计算量小。

在对函数表作插值计算时，经常用到。

例1 求Ф(2.3456789)解 由标准正态分布函数值表可以得到：Ф(2.34)=0.99036; Ф(2.35)=0.99061 。

采用分段线性插值计算Ф(2.3456789) 。

取区间[x i -1,x i ]=[2.34,2.35] ，被插值函数f (x )=Ф(x ) 。

则y i -1=Ф(x i -1)= Ф(2.34)=0.99036; y i =Ф(x i )=Ф(2.35)=0.99061.利用如上分段线性插值公式得到：Ф(2.3456789)= q (2.3456789)=0.9905。

在以上插值问题中，如果除了要求在插值节点的函数值给定外，还要求在节点处的导数值为给定值，即插值问题变为：问题：设函数f (x )在节点x 0,x 1,…,x n 处的函数值为 y 0,y 1,…,y n ，导数值为n y y y ''',,,10。

要求：求一个分段( 共 n 段)多项式函数q (x )，使其满足：q (x i )=y i ,i i y x q '=')(，i =0,1,…,n .相当于在每一小段上应满足四个条件(方程)，可以确定四个待定参数。

三次多项式正好有四个系数，所以可以考虑用用三次多项式函数作为插值函数，d cx bx ax x g +++=23)(，这就是所谓的分段三次埃尔米特插值，与分段线性插值一起都称为分段多项式插值。

4．1.2 三次样条插值上面介绍的分段线性插值，其总体光滑程度不够。

在数学上，光滑程度的定量描述是函数(曲线)的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k 阶光滑性。

自然，阶数越高光滑程度越好。

分段线性插值具有零阶光滑性，也就是不光滑；分段三次埃尔米特插值具有一阶光滑性。

三次样条插值就是较低次数的多项式而达到较高阶光滑性的方法.分段插值曲线的光滑性关键在于段与段之间的衔接点(节点)处的光滑性。

三次样条函数的定义：三次样条函数 记为S (x ), 它是定义在区间[a , b ] 上的函数， 满足以下两个条件：1). S (x ) 在每一个小区间[x i -1,x i ]上是一个三次多项式函数 ；2). 在整个区间[a ,b ]上，其二阶导数存在且连续。

即在每个节点处的二阶导数连续。

问题：给定函数f (x )在n +1个节点x 0,x 1,…,x n 处的函数值为 y 0,y 1,…,y n 。

要求：求一个三次样条函数S (x )，使其满足：S (x i )=y i ,i =0,1,…,n . 如何确定三次样条函数在每一个小区间上的三次多项式函数的系数呢？这里只简介确定系数的思想。

分段线性插值在每一段的线性函数的两个参数，是由两个方程(两个端点处的函数值为给定值)唯一确定；分段三次埃尔米特插值在每段上的三次函数的四个参数，是由四个方程(两个端点的函数值和导数值给定)唯一确定。

而对于三次样条插值呢，每一个区间上的三次函数的四个参数，在该区间上由两个端点的函数值只能够产生两个方程，仅此不足以唯一确定四个参数。

注意到三次样条函数对整体光滑性要求，其二阶导数存在且连续，从全局的角度上考虑参数个数与方程个数的关系如下：参数：每个小段上4个，n个小段共计4n个。

方程：1) 每个小段上由给定函数值得到2个，n个小段共计2n个；2) 光滑性要求每一个内部节点的一阶二阶导数连续，得出其左右导数相等，因此，每个节点产生2个方程，共计2(n-1) 个。

现在得到了4n-2个方程，还差两个。

为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，这就是所谓的边界条件。

需要两个，正好左右两个端点各一个。

常用如下三类边界条件：m边界条件给定两个边界节点的一阶导数值：m,m n, 即：S'(x0)=m0,S'(x)=m n。

nM边界条件给定两个边界节点的二阶导数值：M,M n, 即：S''(x0)=M0,S'' (x)=M n。

n特别地，当M0和M n都为零时，称为自然边界条件。

周期性边界条件在两个边界的函数值，一阶导数值以及二阶导数值均相等：即S'(x)=S'(x n)；S''(x0)=S''(x n) 。

以上分析说明，理论上三次样条插值函数是确定的，具体如何操作，可以查阅有关资料。

§4.2 利用MATLAB软件进行插值计算介绍如何用MATLAB做一维插值和高维插值。

4.2.1 一维插值插值函数为：interp1()具体使用如下：yi=interp1(x，y，xi，'method')x, y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x为向量。

'method'表示采用的插值方法，Matlab提供的插值方法有：'nearest' ：最邻近插值；'linear'：线性插值；'spline' ：三次样条插值；'cubic' ：立方插值。

缺省时表示线性插值。

注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。

例4．1作出函数y=sin x的曲线。

1）产生其粗糙的曲线x=0:10;y=sin(x);plot(x,y,'o')2）增加横坐标上的点，也就是产生插值点（很多个），并用插值产生更加精细的曲线线性插值：xi=0:.05:10;yi=interp1(x,y,xi);plot(x,y,'o',xi,yi)三次样条插值：例4.2在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得环境温度数据分别为（°C）12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13推测中午1点（即13点）时的温度？x = 0:2:24;y =[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13];plot(x,y,'o') x1=13; y1=interp1(x,y,x1,'spline')y1 =若要得到一天24小时的温度曲线：xi=0:1/60:24;yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(x,y,'o',xi,yi)还有其它的插值函数，如interp1q, interpft, spline, interp2, interp3, interpN.4.2.2 高维插值N维插值函数：interpN()其中：N可以为2，3，...,等。

例如，N=2为二维插值：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'method')其中：x,y,z为插值节点，zi为被插值点(xi,yi)处的插值结果。

'method'表示采用的插值方法：'nearest' 最邻近插值；'linear' 线性插值；'cubic' 双三次插值。

缺省时表示线性插值。

所有的插值方法都要求x和y是单调的网格，x 和y可以为等距的也可以为不等距。

例4．3产生一个山顶函数peaks曲面1）产生peaks 的粗糙近似：2）通过插值作出更加精细的山顶曲面：[xi,yi]=meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3);zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)例4．4 气旋变化情况的可视化下面是气象学家测量得到的气象资料：在南半球地区按不同纬度﹑不同月份的平均气旋数字。

根据这些数据，绘制出气旋分布曲面图形。

表4-1 南半球地区按不同纬度﹑不同月份的平均气旋数据解:下面就用二维三次插值方法，得到不同月份按纬度（可以认为是连续）变化的气旋值（插值结果），然后再作出其可视化图形如图4-2。

相应的Matlab 程序如下x=1:12;y=5:10:85;z=[2.4 1.6 2.4 3.2 1.0 0.5 0.4 0.2 0.5 0.8 2.4 3.6 ;18.7 21.4 16.2 9.2 2.8 1.7 1.4 2.4 5.8 9.2 10.3 16; 20.8 18.5 18.2 16.6 12.9 10.1 8.3 11.2 12.5 21.1 23.9 25.5; 22.1 20.1 20.5 25.1 29.2 32.6 33.0 31.0 28.6 32.0 28.1 25.6; 37.3 28.8 27.8 37.2 40.3 41.7 46.2 39.9 35.9 40.3 38.2 43.4;48.2 36.6 35.5 40 37.6 35.4 35 34.7 35.7 39.5 40 41.9;25.6 24.2 25.5 24.6 21.1 22.2 20.2 21.2 22.6 28.5 25.3 24.3; 5.3 5.3 5.4 4.9 4.9 7.1 5.3 7.3 7 8.6 6.3 6.6; 0.3 0 0 0.3 0 0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.3];[xi,yi]=meshgrid(1:12,5:1:85);zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');mesh(x i,yi,zi)xlabel('月份'),ylabel('纬度'),zlabel('气旋'),axis([0 12 0 90 0 50])title('南半球气旋可视化图形')§4.3 综合案例4.3.1 地图绘制问题问题地图的绘制：根据本章开始的介绍，地图的绘制最终涉及到对某一地区或国家，如何根据测绘部门测量的数据绘制一张该地区的地图。

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插值的概念和各种基本方法

插值的概念和各种基本方法

插值的概念和各种基本方法插值是一种基于已知数据点的函数关系来估计未知数据点的方法。

在实际应用中，由于各种原因，我们经常只能通过有限的数据点来描述一个函数关系，而无法得到函数的精确表达式。

因此，通过插值方法，我们可以根据已知数据点推断出未知数据点的值，从而进行进一步的分析和预测。

插值的基本方法可以分为两类：多项式插值和非多项式插值。

1.多项式插值方法多项式插值是通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点，并且在插值区间内的其他位置也能够比较好地拟合实际数据。

常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

- 拉格朗日插值：拉格朗日插值是利用拉格朗日多项式来进行插值的方法。

给定 n+1 个已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值函数可以表示为：L(x) = Σ(yi * li(x))其中，li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj)，i ≠ j，函数 L(x)即为插值函数。

-牛顿插值：牛顿插值是通过对已知数据点进行差商运算来构造插值多项式的方法。

牛顿插值多项式可以表示为：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1))其中，f[x0, x1, ..., xi]表示 x0, x1, ..., xi 对应的差商。

2.非多项式插值方法非多项式插值方法是通过其他函数形式进行插值的方法，常用的非多项式插值方法包括分段线性插值和样条插值。

-分段线性插值：分段线性插值是将插值区间划分为多个小区间，然后在每个小区间内用线性函数来逼近实际数据。

具体地，给定相邻的两个已知数据点(x0,y0)和(x1,y1)，分段线性插值函数可以表示为：L(x)=(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0)+y0-样条插值：样条插值是利用分段多项式函数来进行插值的方法。

插值方法

插值方法

多项式，若f(x)Cn[a,b] ， f(x)在(a, b)内存在 n+1阶导数，其中 [a, b]是包含点x0, x1, …, xn 的任一区间，则对任意给定的x[a,b] ，总
存在一点(a, b) （依赖于x）使
R(x) f (x) Ln (x)
f ( (n1) )
(n 1)! (x x0 )( x x1) (x xn )
记Nn(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1) +…+ f(x0,x1,…,xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
R(x)=f(x)-Nn(x)=f(x0,x1,…,xn,x)(x-x0)(x-x1)…(x-xn) R(xi)=0 (i=0,1,…n)
L2(x0)= y0 ，L2(x1)= y1 ，L2(x2)= y2. 二次Lagrange插值多项式为
L２(x)= y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x)
其中
l0 (x)

(x ( x0

x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
l1 ( x)

(x ( x1
f (n) ( )
从而f(x0,x1,…,xn)＝ n! ， (a, b)
比较Ln(x)与Nn(x)中xn的系数有f(x0,x1,…,xn)=
n

i0
f

(xi ) (xi )
Newton插值多项式
一次Newton插值多项式 N1(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)
二次Newton插值多项式
几种常用的插值方法

几种常用的插值方法

几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。

1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。

对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。

2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。

常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。

常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。

-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。

-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。

三次样条插值具有良好的平滑性和精度。

4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。

几种插值法简介

几种插值法简介

举例来看：可以认为某水文要素T 随时间t 的变化是连续的，某一个测点的水文要素T 可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。

①平均值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则直接取T 为T i 和T i+1的平均值。

插值公式为：T=T i +T i+12②拉格朗日（Lagrange ）插值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则可用T i-1、T 1、T i+1三个点来求得，也可用T i 、T i+1、T i+2这三个点来求得。

前三点内插公式为：T=(t-t i )(t-t i+1)(t i-1-t i )(t i-1-t i+1) T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1) T i +(t-t i )(t-t i-1)(t i+1-t i )(t i+1-t i-1) T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i -t i+1)(t i -t i+2) T i +(t-t i )(t-t i+2)(ti-t i )(t i -t i+2) T i+1+(t-t i )(t-t i+1)(t i+2-t i )(t i+2-t i+1) T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。

③阿基玛（Akima ）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i 和T i+1满足：f(t i )=T i df dt |t-ti =k i f’(t i+1)=T’i df dt|t-ti+1=k i+1 式中k i ，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P 0+P 1(t-t i )+P 2(t-t i )2+P 3(t-t i )3，来对T i 和T i+1之间的一点T 进行内差。