第九章 复习自测题

第九章 复习自测题
一、填空题
1. 设有一平面薄片，占有xoy 面上的闭区域D ，薄片上分布有面密度为
(,)x y μ的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，则该薄片上的全部电荷可用二重 积分表达为： 。

解：(,)D
x y dxdy μ⎰⎰
2. 设(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则由积分中值定理，在D 上至少存在一点(,)ξη，使得 。

解：(,)(,)D D
f x y dxdy f S ξη=⎰⎰
3. 2D
d σ=⎰⎰ ，其中
22
{(,)|1}169
x y D x y =+≤；
解：24π
4. 根据二重积分的几何意
义
D
= ；
其中22:4,0,0D x y x y +≤≥≥；
解：4
3
π
5. 将二次积分10
(,)y
I dy f x y dx =⎰⎰
交换积分次序，得I = ； 解：1
1
(,)x
I dx f x y dy =⎰⎰
6.
把二次积分2
220
)dx x y dy
+⎰化为极坐标系中的二次积分为 ；
解：2cos 32
d d π
θ
ρρθ⎰
⎰
7.设均匀薄片（面密度为常量μ）占
据的闭区域为{(,)|0,0}D x y x a y b =≤≤≤≤则x I = 。

解：31
3
ab μ
8. 设L 是以点()()()2303 0,0，，，，为顶点
的三角形区域的正向边界，则
(24)(356)L
x y dx x y dy -+++-=⎰
；
解析：(24)(356)L
x y dx x y dy
-+++-⎰
412D
d σ==⎰⎰格林公式
9.设L 为圆周222x y a +=，则
22()n L
x y ds +=⎰
；
解：cos ::02sin x a L y a θ
θπθ
=⎧→⎨=⎩
22220
()n L
x y ds a π
θ
+=⎰
⎰ 22121
02n n a d a π
θπ++==⎰
10.设D 为平面上的一个单连通区域，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数，则(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +⎰在D
内与路径无关的充要条件是： 在D 内处处成立. 解：
(,)(,)
Q x y P x y x y
∂∂=∂∂ 二、计算下列积分
1.D
xyd σ⎰⎰，其中D
是由抛物线y =与2y x =所围成的闭区域；
解：2
1
1
20
0[2
x x x
y =⎰
⎰
25361
1001[]2261212x x x x dx ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
⎰ 2. sin ,D
y
d y
σ⎰⎰
其中D 是由直线,,12
x
y x y y ==
=所围成的区域； 解：120sin sin y y D
y
y d dxdy y y σ=⎰⎰⎰⎰
1
120
0sin [
]sin y
y y x dy ydy y
==⎰⎰
10[cos ]1cos1y =-=- 3. 22
,x y D
e
d σ--⎰⎰其中
2
2
{(,)|1};D x y x y =+≤ 解：2
21
e
d d π
ρρρθ-⎰⎰
2
2100
122e d d πρρρθ-=-
-⎰⎰ 2
21200
1()2e d d πρρθ-=--⎰⎰
22211
00011[](1)22
e d e d ππρθθ--=-=--⎰⎰ 11(1)22e π=--1(1)e
π=- 4. 计算二次积分2
11
x y
I dy e dx =⎰⎰.
解：2
2
11
10
x
x x y
dy e dx dx e dy
=⎰⎰⎰⎰
2
2
1
12001()'2x x xe dx x e dx ==
⎰⎰
=221210
011[]22x x e dx e =⎰=1
(1)2e - 三、计算下列曲线积分
1.(),L
x y ds +⎰其中L 为连接点(1,0)与
(0,1)的直线段；
解：:1:01L y x
x =-→
1
()[(1L
x y ds x x +=+-⎰⎰
==⎰
2. ,L
xdy ydx -⎰L 为
（1）圆心为原点，半径为a ，按逆时针方向绕行的上半圆周；
（2）从点(,0)A a 沿x 轴到点(,0)B a -的直线段；
解（1）cos ::0sin x a L y a θ
θπθ=⎧→⎨
=⎩
L
xdy ydx -=
⎰
22220
(cos sin )a a d π
θθθ+⎰
220
a d a π
θπ==⎰
（2）:0:L y x a a =→-
00a
L
a
xdy ydx dx --==⎰
⎰
3. 222()(),y y L
y xe dx x e x dy +++⎰其中
L 是从点(0,0)到点(4,0)
的上半圆周
y =解：1
222()()y y L L y xe dx x e x dy
++++⎰
00D
dxdy =-=⎰⎰
222()()y
y L
y xe
dx x e x dy
+++⎰
1
222()()y y L y xe dx x e x dy =-+++⎰
1:0:40L y x =→
1
222()()y y L y xe dx x e x dy +++⎰
4
8
xdx ==-⎰
222()()8y y L
y xe dx x e x dy +++=⎰
四、设平面薄片占据的闭区域D 是由
螺线2ρθ=的一段弧(0)2
π
θ≤≤与射
线2
π
θ=
所围成，它的面密度
(,)x y μ=. （如下图）
解：质量(,)D
m x y dxdy μ=⎰⎰
4
22
20
24
m d d π
θ
π
ρρθ==
⎰
⎰
五、求上半球面z =圆柱面22x y ax +=内部的那部分曲面的面积；
解：
z z x y ∂∂==
∂∂ =
有对称性可知：
2D
S = 2D
=
cos 20
02a a π
θ
=⎰⎰
cos 2
02)a a r dr π
θ
=-⎰
⎰
1cos 2
2
2222
0()()a a a r a r dr πθ
-'=---⎰
⎰
1cos 2
22222
()()a a a r d a r π
θ
-=---⎰⎰
1
2
2cos 2200
[2()]
a a a r d πθ
θ=--⎰
220
2(1sin )(2)a a d a πθθπ=-=-⎰
六、设在xoy 面内有力
2(,)()(21)F x y x y i xy j =++-构成力
.证明：在此力场中，场力所作的功. (,)F x y 作的功
2()(21)L
W x y dx xy dy =++-⎰
2(21)()2x y xy x y y ''-=+=
.
七、附加题
1、求螺旋线cos sin (02)x a t y a t t z bt π=⎧⎪
=≤≤⎨⎪=⎩
对
z 轴的转动惯量，
设曲线的密度为常数μ；
解：20
z I π
=⎰
20
z I π=⎰
20
2z I a π
πμ==⎰2、
求上半球面z =面,z b z a ==之间部分的面积.其中
0b a <<.
解：半球此部分在xoy 面上投影为：
2222:D x y a b +≤-
z z x y ∂∂==
∂∂
=
D
S =
D
=
20
a π
=⎰
200
2)2a r dr π=-⎰
1222
22200
()()2a a r a r dr π-'=--⎰
1222
22200()()2a a r d a r π-=--⎰
1222
22200
()()2a a r d a r π-=--⎰
122
22
[()a a r π
θ=--⎰
20
()2()a a b d a a b π
θπ=-=-⎰。