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6.3 等比数列(1)

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an a1 q n1 .
强化 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 （学习思考，一题多解） 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 已知等比数列 {an } 中, a 4 1, a 7 提示答案： 引导 回忆
a , a, aq ，是经常使用的方 q
领会 思考
反复 强调 50
2 ,2,6, .的通项公式与第 7 项． 3
1 , a5 5 , 判断 125 是否 25
2.在等比数列 an 中， a2
为数列中的项，如果是，请指出是第几项.
60 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等比数列的通项公式是什么 结论： 理解 提问 回答 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 70
…… 【说明】
a1 a1 1 a1 q0
依此类推，得到等比数列的通项公式：
an a1 q n1 .
（6.6）
知道了等比数列 an 中的 a1 和 q ，利用公式（6.6） ，可以 直接计算出数列的任意一项. 【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量： an 、 a1 、 n 和 q ， 只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针 对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ *巩固知识 典型例题 【任务一】求等比数列 观察
总结 归纳 带领 学生 分析
第 6 章 数列（教案）
教 过
学 程
教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
思考 引导 式启 发学 理解 (6.5) 记忆 生得 出结 果 10
个等比数列的公比，一般用字母 q 来表示． 由定义知，若 an 为等比数列，q 为公比，则 a1 与 q 均不 为零，且有
第 6 章 数列（教案）
教 过
等比数列问题的常用方法． 【想一想】 在等比数列 an 中， a7 比较简单的方法？ 【知识巩固】 【任务三】
学 程
教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
1 1 ， q ．求 a3 时，你有没有 3 9
观察
小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰 好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了 14 条鱼，而每 个人钓鱼数量的积为 64． 并且知道，小强钓的鱼最多，小明 钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？ 分析讨论，展示结果 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为 引导 提问 思考 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点
学 程
教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
1000,1000 1.1,1000 1.12 ,1000 1.13 ,1000 1.14 ,1000 1.15.
5 不难发现，从第 2 项开始，数列中的各项都是其前一项的 1.1 倍， 即从第 2 项开始， 每一项与它的前一项的比都等于 1.1． *动脑思考 探索新知 【任务一】 如果一个数列从第 2 项开始，每一项与它前一项的比都等 于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这 讲解 关键 词语 仔细 分析 自我 分析
a6 ．
2．写出等比数列 3,6,12,24, ……的第５项与第 6 项． *创设情境 兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？
第 6 章 数列（教案）
教 过
*动脑思考 探索新知
学 程
教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
仔细 分析 带领 学生 启发 探究 思考 归纳 总结 问题 得到 等差 理解 记忆 数列 通项 公式 35
1 ,求 a11 ． 8
反思
检验 学生 学习
第 6 章 数列（教案）
教 过
解答 1 由已知条件得

学 程
教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
效果 巡视
a1q 3 1 6 1 a1q 8
指导
动手 求解
培养 学生 总结 反思 学习 过程 的能 力 80
解方程组得 因此
【课题】 6．3 【教学目标】
知识目标： （1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 能力目标：
等比数列
通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的通项公式．
【教学难点】
等比数列通项公式的推导．
【课时安排】
2 课时．(90 分钟)
【教学过程】 教 过
*揭示课题 6．3 等比数列． *创设情境 兴趣导入 【观察】 某工厂今年的产值是 1000 万元，如果通过技术改造，在 今后的 5 年内，每年的产值都比上一年增加 10%，那么今年及 以后 5 年的产值构成下面的一个数列（单位：万元） ： 播放 课件 思考 观看 课件 了解 从实 例出 发使 学生 自然 的走 向知 识点 0
第 6 章 数列（教案）
由此得
领会 反复 强调
1 q ． 2
将q
思考 求解
1 代人（1） ，得 2
a1 2 4 ,
所以，数列的通项公式为
1 an 24 ( )n 1 ． 2
故
1 1 ． a13 a1 q 2 28 256 2
12 4
12
【注意】 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究
与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关 系，分析、探求规律． 设等比数列 an 的公比为 q，则
a2 a1 q, a3 a2 q a1 q q a1 q 2 , a4 a3 q a1 q 2 q a1 q 3 ,
a , a, aq ．则 q
a q a aq 14, a a aq 64. q
解得
a 4, a 4, 或 q 1 . q 2 , 2
当q 2时
a 4 2, aq 4 2 8, q 2
1 【任务二】 在等比数列 an 中， a5 1 ， a ８ ，求 a13 ． 8
小组讨论，展示结果 由 a5 1, a8
1 有 8
（1）
1 a1 q4 ，
1 a1 q 7 ， 8
（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得
拓展 （2）
1 q3 , 8
引导 启发 学生 思考 求解
通过 例题 进一
1 1 1 1, , , , 2 4 8
的第 10 项． 小组讨论，展示结果 由于
解惑 思考
步领 会
1 a1 1 ， q ， 2
主动 求解
第 6 章 数列（教案）
教 过
故，数列的通项公式为
学 程
教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
1 an a1 q n1 1 2
n 1
1 1 (1)n1 2
n 1
(1)n
1 ， 2n1
45
所以
a10 (1)10
1 2
101

1 ． 512
观察 注意 观察 学生 思考 求解 启发 是否 理解 知识 点
a1 8 q
1 ， 2
1 1 ． a11 8 ( )10 2 128 1 1 解答 2 由 1q3 得 q ．所以 8 2 1 1 1 ． a11 ( ) ( )4 8 2 128
*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业： 教材习题 6． 3A 组 （必做） ； 教材习题 6． 3B 组（选做） (3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个 问题 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 说明 记录
an 1 q ，即 an
an1 an q ．
*巩固知识 典型例题 观察 【任务一】 在等比数列 {an } 中，a1 5 ，q 3 ， 求 a2 、a3 、a4 、
a5 ．
通过 例题 进一
引导 思考 点拨 主动 求解
步领 会
小组讨论，展示结果
a2 a1 q 5 3 15, a3 a2 q 15 3 45, a4 a3 q 45 3 135, a5 a4 q 135 3 405.
【试一试】 你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 15
*运用知识 强化练习 练习 6.3.1
（独立思考，自己解决） 及时 了解 动手 巡视 指导 求解 学生 知识 掌握 得情 况 学生 设疑 思考 参与 分析 自然 的走 向知 识点 30 25
1．在等比数列 an 中， a3 6 ， q 2 ，试写出 a4 、
此时三个人钓鱼的条数分别为 2、4、8. 当q
1 时 2
a 4 1 8, aq 4 2, q 1 2 2
第 6 章 数列（教案）
教 过
学 程
教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
此时三个人钓鱼的条数分别为 8、4、2. 由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了 2 条 鱼，小刚钓了 4 条鱼，小强钓了 8 条鱼． 【注意】 将构成等比数列的三个数设为 法． *运用知识 强化练习 （独立思考，自己解决） 1.求等比数列 巡视 指导 思考 了解 动手 求解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 归纳 思考
分层 次要 求
90
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活；
第 6 章 数列（教案）
是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

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6.3等比数列及其前n项和

6.3等比数列及其前n项和


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a7 解:(1)∵a3a11= =4a7,且a7≠0,∴a7=4.∴b7=4.
2
∵{bn}为等差数列, ∴b5+b9=2b7=8.
4 a q6=1, ① (2)a1a2a3a4=a1·1q·1q ·1q = 1 a a a
2 3
4 a1 q a13a14a15a16=a1q12·1q13·1q14·1q15= ·54=8, ② a a a
答案：(1)ap·q (2)q2 (3)qn (4)递增 a
递减
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基础自测
).
1.等比数列{an}中a5=4,则a2a8等于( A.4 C.16 答案：C B.8 D.32
2.在等比数列{an}中,若a4=8,q=-2,则a7的值为( A.-64 C.-48 B.64 D.48
比为 .
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(4)单调性
a1 0, a1 0, 若 或 ⇔{an} q 1 0 q 1
a1 0, a1 0, 若 或 ⇔{an} 0 q 1 q 1
.
.
q=1⇔{an}为常数列,q<0⇔{an}为摆动数列.
4 a1 q 54 48 ②÷①得, =q =8⇒q16=2, 4 a1 q 6
a1 q a1 q q 又a41a42a43a44=a1q40·1q41·1q42·1q43= 4·166= 4·6·160 a a a
4 a 1 q (q =( ·6)· 16)10
=1·10=1 024. 2
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人教a版高考数学(理)一轮课件：6.3等比数列

人教a版高考数学(理)一轮课件：6.3等比数列


1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( A.1 2 ������5 ������2 1 8
1 4
) D.
1 2
B.-2
1 2
C.2
【答案】D 【解析】∵ q3= = ,∴ q= .
2.若等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列 {an}的前 10 项之和是( A.90 ) B.100 C.145 D.190
1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个 非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个非零常数叫做等比数列的公比, 等比数列的通项公式为 an=a1qn-1.
等比数列的通项公式还可以改写成 an= 1· qn 的形式,显然 等比数列{an}的图象是函数 y= 1· qx 的图象上的一群孤立的点.
【答案】B 【解析】设等差数列{an}的公差为 d,则(1+d)2=1×(1+4d),∵ d≠0,∴ d=2. 于是,S10=10+
10×9 ×2=100. 2
3.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则其公比 q 为( A.2 B.4 C.8 【答案】B 【解析】令 n=1,得 a1a2=16,① 令 n=2,得 a2a3=162.② ②÷ ①,得 3=16,即 q2=16,于是得 q=± 4. 又由①知 q>0,因此 q=4.
n-1 2
.
1-(-2) S5= =11. 1-(-2)
5
T 题型一等 比数列的定义及判定
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}
中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1=n+1 转化成 an 与 an+1 的递推关 系,再构造数列{an-1}. (2)由 cn 求 an 再求 bn.
6.3等比数列前n项和的公式

6.3等比数列前n项和的公式

一、 创设情境，提出问题 《国王与麦粒》故事传说，舍罕王要重赏国际象棋的发明人——西萨。

西萨指着国际象棋的棋盘说：“陛下，请您在这张棋盘的第一小格内，赏给我一粒麦子，第二小格内给二粒麦子，第三小格内给四粒麦子，照这样下去，每一小格内的麦粒都比前一小格增加一倍。

然后把这棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得太容易了，就同意了他的要求。

命令仆人把一袋麦子拿高棋盘前，但是，还没有放到第20格，袋子已经 空了。

于是，麦子一袋一袋地扛进来，结果仓库也空了，棋盘上的格子还没有全部放上麦粒呢！舍罕王大吃一惊。

二、 学生探究，解决情境引导学生写出每一格子的麦粒数，所形成的6322,,2,2,1 是一个什么数列？（等比数列）那先算一算，麦粒放到第几格，这一格的麦粒已经超过一亿粒？第64格大约要放几亿粒？（9223372036854775808）如何来求出麦粒的总数呢？632642221++++= S 后一项为前一项的2倍64326422222++++= S 引导学生发现各项的变化（错位）三、类比联想，解决问题（错位相减法）设nn n a a a a a S +++++=-1321①乘以公比q ，nn n n qa a a a a qS +++++=-132 ②①-②：()nnqa a S q -=-11，1≠q 时：()qq a qaq a qqa a S nnn n --=--=--=11111111=q 时：1na S n =注意：（1），注意求和公式中是nq，通项公式中是1-n q不要混淆，（2）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

（3）公式变形：q qa a q qa a S n nn --=--=11111原公式已知首项、项数和公比；变形公式已知条件为首末项和公比（4）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个 四、 公式应用例6． 已知数列{}n a 为等比数列。

第六章§6.3等比数列

第六章§6.3等比数列


A. 3 2 f
B. 3 22 f
C. 12 25 f
D. 12 27 f
答案 D 本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用. 由题意知,十三个单音的频率构成首项为f,公比为 12 2 的等比数列,设该等比数列为{an},则a8=a1 q7,即a8= 12 27 f,故选D.
易错警示 本题是以数学文化为背景的实际应用问题,有以下几点容易造成失分:①读不懂题 意,不能正确转化为数学问题.②对要用到的公式记忆错误.③在求解过程中计算错误.
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答案 B 设f(x)=ln x-x(x>0),则f '(x)= 1x -1= 1x x ,
令f '(x)>0,得0<x<1, 令f '(x)<0,得x>1, ∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数, ∴f(x)≤f(1)=-1,即有ln x≤x-1. 从而a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1, ∴a4<0,又a1>1,∴公比q<0. 若q=-1,则a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)=ln a1>0,矛盾. 若q<-1,则a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)<0,而a2+a3=a2(1+q)=a1q(1+q)>0,∴ln(a1+a2+a 3)>ln a1>0,也矛盾.∴-1<q<0.