中考数学复习线段和差最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kP A+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=．证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：FEDCBAABCDE如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kP B ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：例：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路． 法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可． 【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23． 【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决． 法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！ P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．练习题1.如图，在ABC∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．2.如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12 PD PC-的最大值为_______．3.如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为．A BCDAB CDP4.如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为．5.如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+14PB的最小值为．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13P A+PB的最小值为．8．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+12PC的最小值为．9．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是弧AB上一动点，则PC+12PD的最小值为．10．如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+12AP的最小值是．11．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则P A+PB的最小值为．12.如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C＝60°，CD＝4，则PB+12PD的最小值为．13．如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB ＝90°，OA ＝6，点C 在OA 上，且OC ＝2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为 ．14. 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)过A 、B 两点，OA=1，OB=5，抛物线与y 轴交于点C ，点C 的纵坐标与点B 的横坐标相同，抛物线的顶点为D.(1) 抛物线的解析式为_________________，顶点D 的坐标为__________.(2) 如图，已知⊙A 的半径为2，点M 是⊙A 上一动点，连接CM 、MB ，则13CM+BM 是否存在最小值？若存在，说明在何处取得最小值；若不存在，请说明理由.参考答案2.5 4.1635.6-6.2 8.5 9.13214.(1)y=x 2-6x+5 D(3,-4)(2)AH=13AM ，当H 、M 、B 13CM+BM 取最小值.。
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
高中阿氏圆例题
【实用版】
目录
1.阿氏圆的定义与性质
2.阿氏圆的判定方法
3.阿氏圆的例题解析
正文
一、阿氏圆的定义与性质
阿氏圆（Apollonius Circle），又称为阿波罗圆或费马圆，是指在平面上到两个定点距离之比为常数的所有点的轨迹。
该轨迹形成的圆称为阿氏圆。
阿氏圆具有以下性质：
1.定点距离之比为常数，即对于圆上的任意一点 P，其到两个定点 F1、F2 的距离之比为常数 k，即 PF1:PF2=k（k 为常数）。
2.阿氏圆上任意一点到两个定点的距离之和为常数，即 PF1+PF2=2a （a 为常数）。
3.阿氏圆的圆心位于两个定点的连线上，且圆心到两个定点的距离分别为 a 和 b（a>b）。
二、阿氏圆的判定方法
要判断一个圆是否为阿氏圆，需要满足以下条件：
1.圆上的任意一点到两个定点的距离之比为常数。
2.圆上任意一点到两个定点的距离之和为常数。
三、阿氏圆的例题解析
例题：在平面直角坐标系 xOy 中，已知两个定点 F1（-2,0）和 F2（2,0），请问是否存在一个阿氏圆，使得该圆上到 F1、F2 的距离之比为
2:1？若存在，请求出该阿氏圆的方程。
解析：
1.假设存在阿氏圆，圆心为 C(x, y)，半径为 r。
2.由题意得，|CF1|：|CF2|=2:1，即√[(x+2)+y]:√[(x-2)+y]=2:1。
3.整理得：(x+2)+y=(2√[(x-2)+y])。
4.化简得：x+y-8x+4=0。
5.这是一个以 F1、F2 为焦点，距离之比为 2:1 的阿氏圆。
专题2.6 阿氏圆阿氏圆问题问题：求解“AP nPB+”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值②造：根据线段比，构造母子型相似③算：根据母子型结论，计算定点位置④转：“AP nPB+”问题+”转化为“AP PM关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数②系数小于1：内部构造母子型③系数大于1：外部构造母子型【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 ．【答案】【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，∴，，∴，∵∠PBQ＝∠CBP，∴△BPQ∽△BCP，∴，∴PQ＝CP，∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，故答案为：．【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（ ）A．B．6C．2 D．4【答案】A【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD 最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故选：A．【变式1-3】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（ ）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图∵ABCD是正方形，AB＝8∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°∵BP＝4∴，∴且∠PBC＝∠PBC∴△PBE∽△BCP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6∴DE＝＝10∵PD+PE≥DE∴PD+PE≥10∴PD+PC的最小值是10故选：C．【变式1-4】如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B 的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．【解答】解：如图，在OC上取一点T，使得OT＝，连接PT，BT，OP．由题意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，∴OP2＝OT•OB，∴＝，∵∠POT＝∠COP，∴△POT∽△COP，∴＝＝＝，∴PT＝PC，∴PB+PC＝BP+PT≥BT，在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，∴BT＝＝＝，∴ABP+PC≥，∴BP+PC的最小值为．【变式1-5】（西峡县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（ ）A．4B．C．D．【答案】C【解答】解：在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴＝，∵AP＝2，AQ＝1，∴＝，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QB＝＝，∴的最小值，故选：C．【变式1-6】（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值为，故答案为．【变式1-7】（龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．【答案】．【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴＝，∵CP＝3，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，∴QB＝，∴PA+PB的最小值，故答案为：．【变式1-8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则AD+BD的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，在CB上取一点T，使得CT＝，连接DT，AT．∵CD＝2，CT＝，CB＝3，∴CD2＝CT•CB，∴＝，∵∠DCT＝∠BCD，∴△DCT∽△BCD，∴＝＝，∴DT＝BD，∴AD+BD＝AD+DT≥AT，在Rt△ACT中，AC＝4，CT＝，∴AT＝＝＝，∴AD+BD≥，∴AD+BD的最小值为．【变式1-9】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 5 ．【答案】5．【解答】解：如图，在BC上取一点T，使得BT＝1，连接PB，PT，DT．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCT＝90°，∵CD＝4，CT＝3，∴DT＝＝＝5，∵PB＝2，BT＝1，BC＝4，∴PB2＝BT•BC，∴＝，∵∠PBT＝∠PBC，∴△PBT∽△CBP，∴＝＝，∴PT＝PC，∵PD+PC＝PD+PT≥DT＝5，∴PD+PC的最小值为5，故答案为：5．【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 ．【答案】2．版权所有【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP，∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点，∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，∴△OPE∽△OCP，∴＝＝，∴EP＝2DC，∴2PC+PD＝PE+PD，∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，∴2PC+PD最小值＝＝2．【变式2-1】如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为 ．【答案】【解答】连接OP，延长OC至点E，使得OE＝6，则＝，，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POE，∴，即2PA＝PE，∴PB+2PA＝PB+PE，∴当E、P、B三点共线时，PB+PE最小，∴PB+2PA的最小值为BE＝＝．故答案为：．【变式2-2】（梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，∵，∠AOP＝∠POH，∴△AOP∽△POH，∴，∴HP＝3AP，∴3PA+PB＝PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH＝＝＝，故答案为：．【变式2-3】（溧阳市一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．【答案】4．【解答】解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值为4，∴答案为4．【变式2-4】如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 2 ．【答案】2【解答】解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．。
