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例 某种木材横纹抗压力的实验值 服从正态分布，对10个试件作横纹 抗压力试验，得数据如下（单位： 公斤/ 平方厘米）： 482，493，457，471，510， 446，435，418，394，469 试例对P7该4例木1材平均横纹抗压力
进行区间估计（ 0.05）.
解 2未知，用区间
( X t /2 (n 1)
其中 1，试分别用矩估计法
0 其他
f
(
x)
(
1)x
,0
(
x 1
0)
例 设总体X的概率密度为
得的矩估计量为ˆ
1 2X
X。 1
令E( X
)
A1,即
2 1
X
,
0 1
(1
)
x
dx
1
2 1
，
E( X ) xf (x; )dx
解
d 1 i1 ln xi ,令 d 0
d ln L n
2
2
2
2
n i1
n
1 E(X ) 1 n E(X )
n
n i1
n i1
(2)E( X ) E( 1 X i ) 1 E( X i )
n
n
解 (1)E( X i ) E( X ) .
设
1( X1, X2 ,..., Xn ),2 ( X1, X2 ,..., Xn )
均为参数的无偏估计，如 果对于任意 ，有
2
2
(2) X是的无偏估计( )；
(1) X i是的无偏√估√ 计(对 )；
判断：
对
X的样本，E( X ) , D(否X ) 2
例 设X 1, X 2 ,...,X n是来否自总体
/n
2
2
2
(4)E( X ) D( X ) (E( X ))
2
2
( 0) 2
(3)E( X i ) D( X i ) (E( X i ))
n
i1
Ci X i是的无偏估计，其中
n
X1, X 2 ,...,X n是X的样本，证明：
例 设总体X的数学期望存在，
i1
故 Ci X i是的无偏估计。
n
i1
i 1
Ci Ci
n
n
i1
i 1
解 E( Ci X i ) Ci E(X i )
n
n
E( X )的无偏估计量。 k
矩 n i1 X i 是总体k阶原点矩
D(ˆ 1 ) D(ˆ 2 )
则称 1 比 2 有效。
设 ˆ (X1 , X2 ,..., Xn ) 为 的一个估计量，如果
>0
lim
n
P(|
ˆ n
|
)
1
则称 为的相合估计量。
定义：设总体分布中含未知参数， 如果统计量
(X1, X 2,..., X n ), (X1, X 2,..., X n )
对给定值(0<<1),满足
P( ) ≥1-
则称1-为置信水平，称 ( , )为的
置信水平为1-的置信区间。
总体X~N(, 2),方差 2 未知，求均值的置信度 为1-的置信区间。
总体X~N(, 2),方差 2 未知，均值的置信度为 1-的置信区间：
( X t /2 (n 1)
S) n
f Xi (x) =f(x; 1,2,...,k), (i=1,2,…,n)
X1,X2,...,Xn的联合密度为
f (x1, x2 ,..., xn )
f X1 (x1) f X2 (x2 )... f Xn (xn )
n
f (xi ;1,2 ,...,k ) i 1
称
n
L1,2,...,k P(xi ;1,2,...,k )
1
,
...,
的矩估计。
k
例 设总体X的分布律为
X 1 2
p 1 1 1
X
1
,
X
2
,...
,X
是来自
n
X的样
本，求未知参数 的矩估计。
E(X ) 1 1 2 1 ... 1
[ (1 ) ] 1 1
2
2
令E( X ) A1,即
1 X，解得
2
ˆ 2 X 1即为的矩估计。
例 设总体X的概率密度为
n 9, x 5, 将它们代入
(X
z / 2
n
,X
z / 2
)
n
例即P得74所例1求区间(4.412,5.588)。
2.方差2 未知，均值的置 信度为1-的置信区间：
如果总体X的分布函数 的形式已知，它的参数未知， 通过X的一组样本观测值 x1,x2,…,xn估计总体的参数， 称为参数的点估计问题。
设总体X的分布函数为F(x,
)，其中为待估计参数，
用样本X1, X2, …, Xn 构造统
计量 ^
^
( X1, X 2 ,..., X n )
去估计总体未知参数，我
且对任意 有
E( )=， 则称 为的无偏估计量。
E( ) -
称为用 估计时估计的
系统误差。无偏估计的 实际意义就是无系统误 差。
设X1, X 2 , X 3为总体X的 一个样本，统计量
(1)T1
2 5
X1
1 5
X2
2 5
X3
(2)T2
1 6
X1
1 6
X2
1 6
X3
哪个是总体X的均值E( X )的
X1,X2,...,Xn的联合分布律
P{X1 x1, X 2 x2 ,..., X n xn} P{X1 x1}P{X 2 x2}...P{X n xn}
n
P(xi ;1,2,...,k ) i 1
设总体X的概率密度为:
f (x)=f(x; 1,2,...,k), 其中1,2,...,k为待估参数， 设X1,X2,...,Xn是来自X的样 本，则Xi的概率密度为
或
i 1
n
L1,2,...,k f (xi ;1,2,...,k ) i 1 为样本的似然函数。
如：甲箱有990只红球，10只 白球，乙箱有10只红球，990 只白球，现随机地取一箱， 从中任取5球，结果都是红 球，问此5球取自何箱？
极大似然法的思想：如果在一次观察
中一个事件出现了，那么可以认为此
但E ( 1
n
n
（X i
i 1
X )2)
D(X )
即，样本k阶矩Ak
1 n
n i 1
X
k i
是
总体X的k阶矩的无偏估计;
样本均值X是总体均值E( X )
的无偏估计;
样本方差S 2是总体方差D( X )
的无偏估计.
(4) X 是 的无偏估计( )。
2
2
(3) X i 是 的无偏估计( )；
W W ( X1, X 2,...,X n; ), 要求W分布已知，且包含待估参数
而不含其它未知参数①；
(2)对给定值 ,确定a,b,使得 P{a W b} 1
(3)由上式确定
P{ } 1, ( ， )即为所求。
含义: 若反复抽样多次，每
个样本确定一个区间( , ),其 中包含真值的区间约占 100(1 )%，不包含真值的 区间约占100 %。
k
k
k
k
故X1 , X 2 ,...,X n 也与X 同分布，所以
k
k
k
k
解 因为X1, X 2 ,...,X n与X同分布，
(1)
E(1 n
n i 1
X
k i
)
E(X k )
(2) E( X ) E( X ),
E(S 2) D(X ),
注：E(
1 n 1
n
（X
i 1
i
X )2) D(X )
无偏估计量。
解E( X1) E( X 2 ) E( X 3) E( X )
（1）E(
2 5
X1
1 5
X
2
2 5
X
3)
2 5
E(X1)
1 5
E(X
2
)
2 5
E(
X3
)
(2 1 2)E(X ) E(X ) 555
（1）E ( 1 6
X1
1 6
X
2
1 6
X
3)
1 2
E(X
)
i1
Ci 1，Ci 0。
计量与极大似然估计量分别相同。 (2)正态总体数学期望和方差的矩估 直接求之。
max 1,2 ,...,
k
{L(1
,
2
,...,
k
)}
L(ˆ1,ˆ2 ,...,ˆk )
i
ln L
0(i
1,2,...,n)无解，可按定义
注：(1)若方程组
设估计量
ˆ= (X1,X2,...,Xn)
的数学期望E( ) 存在，
1 N
N i 1
X
2 i
，
X
nˆ
(1
(X )2 X)X 1
N
N i1
即为矩估计。
X
2 i
Байду номын сангаас 注：不论总体X 服从什么分布
X的均值和方差 2的矩估计
都为（例3）
ˆ
X ,ˆ 2
1 n
n i1
(Xi
X )2
设总体X的分布律为:
P{X=x}=P(x; 1,2,...,k), 其中1,2,...,k为待估参数， 设X1,X2,...,Xn是来自X的样 本，则Xi的分布律 P{Xi=x}=P(x; 1,2,...,k), (i=1,2,…,n) ,
