圆中两垂直弦的问题

圆的垂径定理定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。

一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。

证明定理是数学的中心活动。

圆作为数学中常用的图像，有十八个基本定理。

圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中存有一组量成正比那么它们所对应的其余各组量都成正比2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推断1：同弧或等弧所对的圆周角成正比;同圆或等圆中，成正比的圆周角面元的弧也成正比推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所推断3：如果三角形一边上的中线等同于这边的一半，那么这个三角形就是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推断1：①平分弦(不是直径)的直径旋转轴弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推断2 ：圆的两条平行弦所缠的弧成正比4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线短定理：从铅直一点引圆的两条切线，他们的切线短成正比，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9、割线短定理：从铅直一点向圆引两条割线，这一点至每条割线与圆的交点的两条线段长的积成正比。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推断1 ：经过圆心且旋转轴切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等同于它所缠的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：平行两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次联结各分点税金的多边形就是这个圆的内arccosn边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把也已n边形分为2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

中学数学教学参考（中旬〉2021年第4期i由圆中垂直弦模型展开的探究袁敏敏（浙江省杭州钱塘新区景苑中学)摘要：圆的问题离不开弦，圆中两条垂直弦是比较特殊的位置关系，由这种特殊的位置关系又可以得出一些长度关系，探究圆相关问题时，要抓住圆的本质属性，同时要把握条件与结论之间的相互关联，形成完 备的模型体系。

关键词：垂直弦；模型；垂径定理文章编号：1002-2171(2021)4-0059-04初中几何重在培养学生的思维能力，在几何图形 中构造辅助线，搭建起已知与求证的桥梁，是解决问 题的关键，也是学生抽象思维的直接体现。

如何构造 辅助线是一个难点，需要探寻一个恰当的出发点，而 最根本的出发点就是图形的本质属性，如确定圆的要 素是圆心和半径，因此，很多以圆为背景的题目作辅助线时就是联结圆上一点和圆心，进而得到一条半径 或直径。

圆中两条互相垂直的弦，当其中一条是直径 时，我们能很快联想到垂径定理及相交弦定理的推论。

当圆中两条相交弦都不是直径时，会产生哪些问 题？该怎样构造辅助线？又会有哪些重要的结论？下面笔者对此展开探究。

对于第（2)问，大多数学生选择利用全等三角形的性质证明线段相等。

解法1:从全等三角形的性质出发。

如图2,取A E的中点H，分别 E联结 O A，O H，Of：，O B，£B，由圆周角及圆心角定理可得==Z B O M。

因为C D丄A B，所以 +=90。

因为 Z E O H+Z〇£H=90°，所以Z B〇M=Z〇£：H。

又因为0£：所以A O B M g A E O H，所以OM== i A£°l题13呈现如图1，A A B C是©O的内接三角形，D为边上一点，延长C D交©O于点£，联结A£;过点O作O M丄B C，垂足为M。

(1) 若A B恰好平分Z£A C，请找出图中的相似三角形；(2) 若 C D丄A B，且 AD=4，£D=3，BD=6,求 OiW的长。

第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知O的半径为7，弦AB的长为12，则圆心O到AB的距离为A．B．2C．2D．2．如图是⊙的直径,弦⊥于点则A．B．C．D．3．如图，在半径为5的圆O中，AB，C D是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为A．3 B．4C．D．4．如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACB O是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为A．B．C．r D．2r二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB=10 cm，CD=8 cm，则AM=_________cm．6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．7．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．8．“圆材埋壁”是我国古代名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。

以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。

问：径几何？”大意是：如图，CD是⊙O的直径，弦A B⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则CD＝________.9．如图是一个高速公路隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=8米,净高CD=8米,则此圆的半径OA为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此时排水管水面的宽CD．第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知O的半径为7，弦AB的长为12，则圆心O到AB的距离为A．B．2C．2D．【答案】D2．如图是⊙的直径,弦⊥于点则A．B．C．D．【答案】A3．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为A．3 B．4C．D．【答案】C【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM=ON=，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°，∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=3.故选：C．4．如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为A．B．C．r D．2r【答案】B∴AD=OA sin60°=则AB=2AD=.故选:B.【名师点睛】考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB=10 cm，CD=8 cm，则AM=_________cm．【答案】2【解析】连接OD，如图，6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．【答案】5【解析】∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=8，∴BE=4，∠OEB=90°，设OB=x，则OC=x，∵CE=2，∴OE=x-2，∵在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2，∴，解得：，∴OB=5.故答案为5.7．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．【答案】8．“圆材埋壁”是我国古代名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。

垂直于弦的直径知识点1. 弦和直径的定义弦：在圆上取两点A和B，并且A、B点都在圆上，这条线段AB称为弦，常用小写字母表示，例如ab。

直径：过圆心O的两个点，构成直径，常用大写字母表示，例如CD。

垂直于弦的直径：当弦ab与直径CD相交时，如果交点E在弦ab的中点上，则直径CD被称为垂直于弦ab的直径。

2. 垂直于弦的直径性质性质1：垂直于弦的直径的两条弦等长当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，有以下性质成立： - AE = BE - CE = DE - 弦ab与直径CD所在的扇形和面积相等性质2：垂直于弦的直径的两条弦垂直于彼此当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，有以下性质成立： -∠AED = 90° - ∠BEC = 90°性质3：垂直于弦的直径上的任意两点与圆心构成的直线垂直于弦当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，连接两点A、B与圆心O所构成的直线与弦ab垂直，即∠AOC = ∠BOC = 90°。

性质4：垂直于弦的直径上的任意两点与圆心构成的直线是等腰三角形的高当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，连接两点A、B与圆心O所构成的直线是等腰三角形AOC和BOC的高。

3. 实际应用圆的切线利用垂直于弦的直径的性质，可以辅助判断圆与直线的切点。

如果已知弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上，同时弦与直线的交点为F，则EF是切线。

因为垂直于弦的直径与弦垂直，所以EF与切线是垂直的。

这个性质可以用于解决很多与圆相关的实际应用题。

4. 垂直于弦的直径教学反思在教学垂直于弦的直径相关知识时，可以采取以下教学策略，以提高学生的兴趣和理解程度：1.利用多媒体课件或实物演示工具展示圆、弦和直径的概念。

通过图像和实物的展示，引导学生理解弦、直径的概念。

2.引入具体问题或实际应用场景，让学生思考垂直于弦的直径的性质。

可以使用贴近学生生活的例子，如自行车轮胎、篮球等圆形物体。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到，教学不仅仅是传授知识，更重要的是引导学生学会思考、学会学习。在今后的教学中，我将更加关注学生的个体差异，尽量满足不同学生的学习需求，帮助他们建立自信，培养解决问题的能力。
五、教学反思
在上完这节课之后，我思考了很多。首先，关于圆的垂径定理的教学，我发现学生们对于定理的理解和掌握程度超出了我的预期。他们能够通过直观的图形和简单的例子，快速抓住定理的核心。特别是在实践活动中，学生们通过分组讨论和实验操作，将理论知识与实际应也注意到，在定理的证明部分，有一部分学生还是感到有些困惑。我意识到，几何证明对于他们来说是一个难点，需要更多的引导和练习。在接下来的教学中，我打算多花一些时间，通过逐步引导和反复练习，帮助学生克服这个难题。
-举例：在圆中，若AB为弦，O为圆心，OD垂直于AB，则OD平分AB，并且AD=BD，同时弧AC和弧BC相等。
2.教学难点
-理解并证明垂径定理：学生需要理解定理背后的几何逻辑，并能够通过作图和逻辑推理来证明定理的正确性。
-定理在实际问题中的灵活应用：学生在面对具体问题时，可能会难以找到合适的入手点，不知道如何将定理应用到解题过程中。
针对这些教学难点和重点，教师应采用以下策略：
-使用直观的动画或实物模型来展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。
-通过典型例题的讲解，展示定理在实际问题中的应用方法，并指导学生进行步骤分解。

B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________ ， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 到AB的距离是___________cm ，AB=_________cm. 2 4 A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
⌒ ⌒ = AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB CD ，_________________ AOB COD AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________ ， ______________ ． AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
又因为OE
所以
、OF是AB与CD对应边上的高，
O
·
F
D
OE = OF.
C
⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， = 2.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ BC CD DE
求∠AOE的度数．
解： E D C A
⌒
⌒ =⌒ = BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
O
·
AOE 180 3 35
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能 发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．

第4题 第5题 第6题第1题 第2题 第3题圆的培优专题1——与圆有关的角度计算一 运用辅助圆求角度1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，假设∠DAB ＝20︒，∠DAC ＝30︒， 那么∠BDC ＝ . 〔∠BDC ＝ 12∠BAC ＝100︒〕2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，假设∠C ＝100︒，那么∠BAD ＝ . 〔50︒〕3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20︒，∠BDC ＝30︒，那么 ∠BAD ＝ . 〔∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝40︒＋60︒＝100︒〕解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，假设∠D ＝60︒， 那么∠AEC ＝ . 〔∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120︒〕5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70︒， 那么∠DAO ＋∠DCO ＝ . 〔所求＝360︒－∠ADC －∠AOC ＝150︒〕6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90︒，∠ADC ＝25︒，那么∠ABC ＝ . 〔∠ABC ＝∠ADC ＝25︒〕解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆.第10题 第11题 第12题第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，那么∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，那么∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，那么∠ABC ＝ .答案：7、45︒； 8、30︒； 9、22.5︒； 10、40︒； 11、150︒； 12、110︒ 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50︒，那么∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB 2，弦AC 3∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，假设AC CD =，∠P ＝30︒， 那么∠BDC ＝ . 〔设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题〕解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！第1题 第2题 第3题圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，假设∠BED ＝30︒，⊙O 的半径为4，那么弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90︒， ∵∠BED ＝30︒，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60︒∴∠OAC ＝30︒，OC ＝ 12 OA ＝2，那么AC ＝23AB ＝432、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，那么BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝12 AB=3∴OE 22534-=，那么CE ＝5＋4＝9 ∴BC ＝2293310+=3、如图，⊙O 的半径为25弦AB ⊥CD ，垂足为P ，AB ＝8，CD ＝6，那么OP ＝ . 略解：如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，连接OB ，OD. 那么BE ＝12 AB ＝4，DF ＝12 CD ＝3，且OB ＝OD ＝25 OE 22(25)42-=，OF ＝22(25)311-= 又AB ⊥CD ，那么四边形OEPF 是矩形，那么OP 222(11)15+=4、如图，在⊙O 内，如果OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60︒，那么⊙O 的半径为 . 略解：如图，过点O 作OD ⊥AB ，连接OB ，那么AD ＝12 AB ＝4，因此，BD ＝8，OD ＝43∴OB 22(43)847+=.第4题 第5题 第6题5、如图，正△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 上一点，∠DCA ＝15︒，CD ＝10，那么BC ＝ 略解：如图，连接OC ，OD ，那么∠ODC ＝∠OCD∵△ABC 为等边三角形，那么∠OCA ＝∠OCE ＝30︒，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45︒ ∴△OCD 是等腰三角形，那么OC ＝2 过点O 作OE ⊥BC ，那么BC ＝2CE ＝566、如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为AB 的中点，E 为OB 上一点，∠AEC ＝60︒，CE 的延 长线交⊙O 于点D ，那么CD ＝ 略解：如图，连接OC ，那么OC ＝2∵C 为AB 的中点，那么OC ⊥AB ，又∠AEC ＝60︒，∴∠OCE ＝30︒ 如图，过点O 作OF ⊥CD ，那么OF ＝12 OC ＝1，CF ＝3，∴CD ＝2CF ＝237、如图，A 地测得台风中心在城正西方向300千米的B 处， 并以每小时10760︒的BF 方向移 动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问：A 地是否受到这次台风的影响？假设受到影响，请求 出受影响的时间？解：如图，过点A 作AC ⊥BF 交于点C ，∵∠ABF ＝30︒，那么AC ＝12 AB ＝150<200，因此A 地会受到这次台风影响；如图，以A 为圆心200千米为半径作⊙A 交BF 于D 、E 两点，连接AD ， 那么DE ＝2CD ＝222001501007-= 所以受影响的时间为100710710=〔时〕圆的培优专题3——圆与全等三角形1、如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求CD 的长. 解：如图，连接AB ，BD ，在CB 的延长线上截取BE ＝AC ，连接DE ∵∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD 又∠CAD ＝∠EBD ，AC ＝BE ∴△CAD ≌△EBD 〔SAS 〕 ∴CD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE∵AB 为⊙O 的直径，那么∠ACB ＝∠ADB ＝90︒∴BC 221068-=；∠ADC ＋∠CDB ＝∠CDB ＋∠BDE ＝90︒，即∠CDE ＝90︒ ∴△CDE 是等腰直角三角形且CE ＝14，∴CD ＝22、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆的中点，M 、D 分别是CB 及AB 延长线上一点，且 MA ＝MD ，假设CM 2，求BD 的长.解：如图，连接AC ，那么AC ＝BC ，∠C ＝90︒，即△ABC 是等腰直角三角形 过点M 作MN ∥AD ，那么∠NMA ＝∠MAD那么△CMN 也是等腰直角三角形，那么MN 2CM ＝2 ∴∠ANC ＝∠MBD ＝135︒，又MA ＝MD ，∴∠D ＝∠NMA ＝∠MAD ∴△AMN ≌△BMD 〔AAS 〕 ∴BD ＝MN ＝23、如图，AB 为⊙O 的直径，点N 是半圆的中点，点C 为AN 上一点，NC 3 求BC －AC 的值.解：如图，连接AN ，BN ，那么△ABN 是等腰直角三角形 在BC 上截取BD ＝AC ，连接DN ∵AN ＝BN ，∠CAN ＝∠DBN ，AC ＝BD ∴△ACN ≌△BDN 〔SAS 〕∴CN ＝DN ，∠CNA ＝∠DNB ，∴∠CND ＝∠CNA ＋∠AND ＝∠ADN ＋∠DNB ＝90︒，即△CND 是等腰直角三角形 ∴CD 26，∴BC －AC ＝BC －BD ＝CD 64、如图，点A 、B 、C 为⊙O 上三点，AC BC =，点M 为BC 上一点，CE ⊥AM 于E ， AE ＝5，ME ＝3，求BM 的长.解：如图，在AM 上截取AN ＝BM ，连接CN ，CM. ∵AC BC =，∴AC ＝BC ，又∠A ＝∠B ∴△ACN ≌△BCM 〔SAS 〕 ∴CN ＝CM ，又CE ⊥AM ∴NE ＝ME ＝3， ∴BM ＝AN ＝AE －NE ＝25、如图，在⊙O 中，P 为BAC 的中点，PD ⊥CD ，CD 交⊙O 于A ，假设AC ＝3，AD ＝1， 求AB 的长.解：如图，连接BP 、CP ，那么BP ＝CP ，∠B ＝∠C 过点P 作PE ⊥AB 于点E ，又PD ⊥CD ∴∠BEP ＝∠CDP ∴△BEP ≌△CDP 〔AAS 〕 ∴BE ＝CD ＝3+1＝4，PE ＝PD连接AP ，那么Rt △AEP ≌Rt △ADP 〔HL 〕，那么AE ＝AD ＝1 ∴AB ＝AE+BE ＝56、如图，AB 是O 的直径，MN 是弦，AE ⊥MN 于E ，BF ⊥MN 于F ，AB ＝10，MN ＝8. 求BF －AE 的值.解：∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN ，那么AE ∥BF ，∴∠A ＝∠ B如图，延长EO 交BF 于点G ， 那么∠AOE ＝∠BOG ，AO ＝BO∴△AOE ≌△BOG 〔AAS 〕，那么OE ＝OG 过点O 作OH ⊥MN ，FG ＝2OH ，HN ＝4连接ON ，那么ON ＝5，OH ＝22543-=，那么BG －AE ＝FG ＝6.圆的培优专题4——圆与勾股定理1、如图，⊙O 是△BCN 的外接圆，弦AC ⊥BC ，点N 是AB 的中点，∠BNC ＝60︒， 求BNBC的值. 解：如图，连接AB ，那么AB 为直径，∴∠BNA ＝90︒ 连接AN ，那么BN ＝AN ，那么△ABN 是等腰直角三角形∴BN ＝22AB ；又∠BAC ＝∠BNC ＝60︒， ∴BC ＝32AB ， ∴BN BC ＝63〔方法2，过点B 作BD ⊥CN ，即可求解〕2、如图，⊙O 的弦AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，假设AD ＝22，求⊙O 半径. 解：如图，作直径AE ，连接DE ，那么∠ADE ＝90︒ 又AC ⊥BD ，那么∠ADB ＋∠DAC ＝∠ADB ＋∠EDB ＝90︒ ∴∠DAC ＝∠EDB ，那么CD BE =，∴DE BC =， ∵ AC ＝BD ，∴AC CD =，那么AD BC DE == ∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰直角三角形 ∴AE ＝2AD ＝4，即⊙O 的半径为23、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为CB 延长线上一点，且∠CAD ＝45︒， CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F.〔1〕求证：CE ＝EF ；〔2〕假设DF ＝2，EF ＝4，求AC. 〔1〕证：∵ AB 为⊙O 的直径，∠CAD ＝45︒，那么△ACD 是等腰直角三角形，即AC ＝DC 又CE ⊥AB ，那么∠CAE ＝∠ECB如图，过点C 作CG 垂直DF 的延长线于点G又CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，那么四边形CEFG 是矩形，∠AEC ＝∠DGC ＝90︒ ∴EF ＝CG ，CE ∥DG ，那么∠ECB ＝∠CDG ＝∠CAE ∴△ACE ≌△DCG 〔AAS 〕，那么CE ＝CG ＝EF 〔2〕略解：AC ＝CD ＝2246213+=.4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，AC CE =. 〔1〕求证：AF ＝CF ；〔2〕假设⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长 〔1〕证：如图，延长CD 交⊙O 于点G ，连接AC ∵直径AB ⊥CG ，那么AG AC CE == ∴∠CAE ＝∠ACG ，那么AF ＝CF〔2〕解：如图，连接OC 交AE 于点H ，那么OC ⊥AE ，EH ＝AH ＝12 AE=4∴ OH ＝22543-=，那么CH ＝5－3＝2 设HF ＝x ，那么CF ＝AF ＝4－x 那么2222(4)x x +=-，∴32x =，即HF ＝32∴EF ＝1125、如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD. 〔1〕求证：AD ＝AN ；〔2〕假设AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径. 〔1〕证：∵CD ⊥AB ，AM ⊥BC∴∠C ＋∠CNM ＝∠C ＋∠B ＝90︒ ∴∠B ＝∠CNM ，又∠B ＝∠D ，∠AND ＝∠CNM ∴∠D ＝∠AND ，即AD ＝AN （2）解：∵直径CD ⊥弦AB ，那么AE ＝22 又AN ＝AD ，那么NE ＝ED如图，连接OA ，设OE ＝x ，那么NE ＝ED ＝1x + ∴OA ＝OD ＝21x +∴222(22)(21)x x +=+，那么1x = ∴⊙O 的半径OA ＝3圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题1、在⊙O中，弦AB⊥CD于E，求证：∠AOD＋∠BOC＝180︒.证：如图，连接AC，∵AB⊥CD，那么∠CAB＋∠ACD＝90︒又∠AOD＝2∠ACD，∠BOC＝2∠BAC∴∠AOD＋∠BOC＝180︒.2、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，假设⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2. 证：∵AB⊥CD，那么∠CAB＋∠ACD＝90︒如图，作直径AM，连接CM那么∠ACM＝∠ACD＋∠DCM＝90︒∴∠CAB＝∠DCM，=∴BC DM=，∴CM BD∴CM＝BD∵AC2＋CM2＝AM2∴AC2＋BD2＝4R2.3、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，假设点M为AC的中点，求证ME⊥BD.证：如图，连接ME，并延长交BD于点F∵AB⊥CD，且点M为AC的中点∴ME为Rt△AEC斜边上的中线∴AM＝ME∴∠A＝∠AEM＝∠BEF又∠B＝∠C，∠A＋∠C＝90︒∴∠BEF＋∠B＝90︒，即∠BFE＝90︒∴ME⊥BD.4、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，假设ON⊥BD于N，求证：ON ＝12 AC.证：如图，作直径BF，连接DF，那么DF⊥BD，又ON⊥BD，∴ON∥FD，又OB＝OF∴ON＝12DF连接AF，那么AF⊥AB，又CD⊥AB ∴AF∥CD∴AC FD=，那么AC＝FD∴ON＝12AC5、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，假设AC＝BD，ON⊥BD于N，OM⊥AC于M. 〔1〕求证：ME//ON；〔2〕求证：四边形OMEN为菱形.证：〔1〕如图，延长ME交OD于点F∵OM⊥AC，那么点M为AC的中点∵AB⊥CD，那么ME为Rt△ACE的斜边上中线∴AM＝EM，∴∠A＝∠AEM＝∠BEF又∠B＝∠C，∠A＋∠C＝90︒∴∠B＋∠BEF＝90︒，那么∠BFE＝90︒∴MF⊥BD，又ON⊥BD∴MF∥ON〔2〕由〔1〕知MF∥ON，同理可证OM∥NE，∴四边形OMEN是平行四边形∵AC＝BD，∴OM＝ON∴四边形OMEN为菱形.圆的培优专题6——圆与内角〔外角〕平分线一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的根本图形1、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝90︒. 求证：CA ＋CB 2CD.证：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC 〔SAS 〕 ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝45︒∴△CDE 是等腰直角三角形，那么CA ＋CB ＝CE 22、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝120︒，求CA+CBCD 的值.解：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC 〔SAS 〕 ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝60︒ ∴△CDE 是等边三角形∴CD ＝CE ＝CA ＋BC ，即CA+CBCD＝13、如图，过O 、M (1,1)的动圆⊙1O 交y 轴、x 轴于点A 、B ，求OA ＋OB 的值. 解：如图，过点M 作ME y ⊥轴，MF ⊥x 轴，连AM 、BM 由M 〔1，1〕知：四边形OFME 是正方形 ∴OE ＝OF ＝4，EM ＝FM ，又∠MBF ＝∠MAE ， ∴△AEM ≌△BFM 〔AAS 〕，那么AE ＝BF ∴OA ＋OB ＝AE ＋OE ＋OF －BF ＝8.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝90︒. 求证：〔1〕PA PB =；〔2〕AC －BC ＝2PC. 证：〔1〕如图，连接AP ，那么∠PCQ ＝∠PAB 又∠PCQ ＝∠PCA ，那么∠PAB ＝∠PCA ∴PA PB =〔2〕连接BP ，由〔1〕得，PA ＝PB在AC 上截取AD ＝BC ，连PD ，又∠PAD ＝∠PBC ∴△PAD ≌△PBC 〔SAS 〕，那么PD ＝PC又∠PCD ＝45︒，那么∴PCD 是等腰直角三角形，∴AC －BC ＝CD ＝2PC. 5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝120︒. 求BC －AC PC的值.解：如图，在BC 上截取BD ＝AC ，连AP 、BP 、DP ∵∠PCB ＝∠PCQ ＝∠PBA ∴AP ＝BP ，又∠CAP ＝∠DBP∴△CAP ≌△DBP 〔SAS 〕，那么CP ＝DP 又∠ACB ＝120︒，∴∠PCD ＝30︒， ∴BC －AC PC ＝ CD PC＝36、如图，A (4,0)，B (0,4)，⊙1O 经过A 、B 、O 三点，点 这P 为OA 上动点〔异于O 、A 〕. 求PB －PAPO的值.解：如图，在BP 上截取BC ＝AP∵A (4,0)，B (0,4)，那么OA ＝OB ＝4 又∠OAP ＝∠OBC ∴△OAP ≌△OBC 〔SAS 〕∴OC ＝OP ，且∠COP ＝∠AOB ＝90︒，那么PB －PA PO ＝ PCPO ＝2.第6题一 切线与一个圆 答案：1、70︒；2、20︒；3、80︒；4、120︒；5、130︒；6、45︒1、如图，AD 切⊙O 于A ，BC 为直径，假设∠ACB ＝20︒，那么∠CAD ＝ .2、如图，AP 切⊙O 于P ，PB 过圆心，B 在⊙O 上，假设∠ABP ＝35︒，那么∠APB ＝ .3、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为ACB 上一点，假设∠BCA ＝50︒，那么∠APB ＝ .4、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为AB 上一点， 假设∠BCA ＝150︒，那么∠APB ＝ .5、如图，点O 是△ABC 的内切圆的的圆心，假设 ∠BAC ＝80︒，那么∠BOC ＝ .6、如图，PA 切⊙O 于A ，假设PA ＝AB ，PD 平分∠APB 交AB 于D ，那么∠ADP ＝ . 〔设元，列方程〕二 切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于D 、E ，小圆的DE 的度数为110︒， 那么大圆的BC 的度数为 .8、如图，⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且点O 1在⊙O 2上，假设∠D ＝110︒，那么∠C ＝ 9、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于D ，AB 过点D ，假设∠AO 2D ＝100︒，C 为优弧BD 上任一点， 那么∠DCB ＝ . 答案：7、140︒；8、40︒；9、50︒〔过点D 作两圆的切线〕第1题 第2题 第3题 第4题第5题第7题 第8题 第9题1、如图，在⊙O 的内接△ACB 中，∠ABC ＝30︒，AC 的延长线与过点D 的切线BD 交于 点D ，假设⊙O 的半径为1，BD //OC ，那么CD ＝ . 〔CD ＝33〕2、如图△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，过点A 的切线与OC 的延长线交于D ，∠BAC ＝75︒， CD ＝3，那么AD ＝ . 〔AD ＝3〕3、如图，⊙O 为△BCD 的外接圆，过点C 的切线交BD 的延长线于A ，∠ACB ＝75︒，∠ABC ＝45︒，那么 CD DB 的值为 . 〔CDDB ＝2〕4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦DC 交AB 于E ，过C 作⊙O 的切线交DB 的延长线于M ， 假设AB ＝4，∠ADC ＝45︒，∠M ＝75︒，那么CD ＝ . 〔CD ＝23〕5、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于B ，AD ⊥BD 于D ，AD 交⊙O 于E ，⊙O 的半径为1，那么AE ＝ . 〔AE ＝1〕6、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，BC ＝5，⊙O 与ABC 的三边相切于D 、E 、F ，假设⊙O 的半径为2，那么△ABC 的周长为 . 〔C ＝30〕7、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝12，BC ＝16，点O 在AB 上，⊙O 与BC 相切于D ， 连接AD ，那么BD ＝ . 〔示：过D 作DE ⊥AB ，设CD ＝DE ＝x ，BD ＝10〕第1题 第2题 第3题 第4题第5题 第6题第7题解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理1、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AE 的中点，CD ⊥BE 于D. 〔1〕判断DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； 〔2〕假设DC ＝3，⊙O 的半径为5，求DE 的长. 解：〔1〕DC 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接OC ，BC ，那么∠ABC ＝∠CBD ＝∠OCB ∴OC ∥BD ，又CD ⊥BE ∴OC ⊥CD ，又OC 为⊙O 的半径 ∴DC 是⊙O 的切线〔2〕如图，过O 作OF ⊥BD ，那么四边形OFDC 是矩形，且BE ＝EF ∴OF ＝CD ＝3，DF ＝OC ＝5，∴EF ＝BF ＝22534-=，∴DE ＝DF －EF ＝12、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线 BF 交AD 的延长线于点F. 〔1〕求证：DE 为⊙O 的切线；〔2〕假设DE ＝3，⊙O 的半径为5，求DF 的长. 〔1〕证：显然，∠CAD ＝∠OAD ＝∠ODA ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 半径 ∴DE 为⊙O 的切线〔2〕解：如图，过点O 作OG ⊥AC ，那么OGDE 是矩形，即OG ＝DE ＝3，DE ＝OD ＝5 ∴AG ＝22534-=，那么AE ＝5＋4＝9，∴2293310+= 连接BD ，那么BD ⊥AD ，∴BD ＝2210(310)10-=设DF ＝x ，那么22(10)x +＝BF ＝22(310)10x +-，∴DF ＝103x =. 3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于E ，DA 平分∠BDE. 〔1〕求证：AE 是⊙O 的切线； 〔2〕假设AE ＝2，DE ＝1，求CD 的长.〔1〕证：如图，连接OA ，那么∠ADE ＝∠ADO ＝∠OAD ∴OA ∥CD ，又AE ⊥CD ∴OA ⊥AE ，又OA 为⊙O 的半径 ∴AE 是⊙O 的切线〔2〕解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，那么CD ＝2DF ，且四边形OFEA 是矩形 ∴EF ＝OA ＝OD ，OF ＝AE ＝2 设DF ＝x ，那么OD ＝EF ＝1x + ∴2222(1)x x +=+，∴ 1.5x = ∴CD ＝2CF ＝23x =4、如图，AE 是⊙O 的直径，DF 切⊙O 于B ，AD ⊥DF 于D ，EF ⊥DF 于F. 〔1〕求证：EF ＋AD ＝AE ；〔2〕假设EF ＝1，DF ＝4，求四边形ADFE 的周长. 〔1〕证：如图，连接CE ，那么四边形CDFE 是矩形 连接OB 交CE 于点G ， ∵DF 是⊙O 的切线 ∴OB ⊥DF ，OB ⊥CE∴BG ＝CD ＝EF ，OG ∥AC ，又AO ＝OE ∴AC ＝2OG∴EF ＋AD ＝AC ＋CD ＋EF ＝2OG ＋2BG ＝2OB ＝AE. 〔2〕解：显然CE ＝DF ＝4，CD ＝EF ＝1设AC ＝x ，那么AD ＝1x +，AE ＝2x +∴2224(2)x x +=+，那么3x =，那么AC ＝3，AD ＝4，AE ＝5 ∴四边形CDFE 的周长为14.圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理1、如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC ＝BC ， AC ＝12OB. 〔1〕求证：AB 是⊙O 的切线；〔2〕假设∠ACD ＝45︒，OC ＝2，求弦CD 的长. 〔1〕证：∵OC ＝OB ，∴AC 为OAB 的OB 边上的中线，又AC ＝12OB ∴△OAB 是直角三角形，且∠OAB ＝90︒，又OA 为⊙O 的半径 ∴AB 是⊙O 的切线〔2〕解：显然，OA ＝OC ＝AC ，即△OAC 是等边三角形 ∴∠AOC ＝60︒，∴∠D ＝30︒ 如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，∵∠ACD ＝45︒，∴△AEC 是等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝22AC ＝22OC 2DE 3AE ＝6 ∴CD 622、如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，点M 在PB 上，且OM //AP ，MN ⊥AP 于N. 〔1〕求证：OM ＝AN ；〔2〕假设⊙O 的半径3r =，PA ＝9，求OM 的长. 〔1〕证：如图，连接OA ，∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP ，又MN ⊥AP ∴OA ∥MN ，又OM //AP ，∴四边形OANM 是矩形，即OM ＝AN 〔2〕解：如图，连接OB ，∵PB 、PA 为⊙O 的切线 ∴∠OBM ＝∠MNP ＝90︒，PB ＝PA ＝9∵OM //AP ，∴∠OMB ＝∠P ，又OB ＝OA ＝MN ，∴△OBM ≌△MNP 〔AAS 〕 ∴OM ＝PM ，那么32＋OM 2＝〔9－OM 〕2，∴OM ＝53、如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线， E 为切点，连接CE 交AB 于F.〔1〕求证：DE ＝DF ；〔2〕连接AE ，假设OF ＝1，BF ＝3，求DE 的长. 〔1〕证：如图，连接OE ∵PE 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥DE ，又OC ⊥AB∴∠C ＋∠CFO ＝∠OEF ＋∠DEF ＝90︒ 又∠C ＝∠OCF ，∠CFO ＝∠DFE ∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF 〔2〕解：显然，OE ＝OB ＝OF ＋BF ＝4设BD ＝x ，那么DE ＝DF ＝3x +，OD ＝4x + ∴222(3)4(4)x x ++=+，∴x =4.5 ∴DE ＝7.54、如图，正方形ABCO 的顶点分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切于F ， A (0,8)，求圆心M 的坐标.解：如图，连接FM 交延长交AB 于点E ∵⊙M 与x 轴相切，即OC 是⊙M 的切线∴EF ⊥OC ，又四边形ABCO 是正方形 ∴EF ⊥AB ，又A 〔0，8〕即AB ＝EM ＝OA ＝8 ∴ AE ＝4设MF ＝AM ＝x ，那么EM ＝8－x∴2224(8)x x +-=，∴5x =，即MF ＝5 ∴点M 的坐标为〔－4，5〕圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图，BD 为⊙O 的直径，A 为BC 的中点，AD 交BC 于E ，过D 作⊙O 的切线，交BC 的延长线于F. 〔1〕求证：DF ＝EF ；〔2〕假设AE ＝2，DE ＝4，求DB 的长. 〔1〕证：如图，连接AB∵BD 为⊙O 的直径，DF 为⊙O 的切线 ∴∠BAD ＝∠BDF ＝90︒∴∠ABC ＋∠AEB ＝∠ADB ＋∠FDE ＝90︒ 又∠ABC ＝∠ADB ，∠AEB ＝∠DEF ∴∠DFE ＝∠DEF ，∴DE ＝EF〔2〕解：如图，过点F 作FG ⊥ED ，那么EG ＝GD ＝2＝AE ， 又∠BAE ＝∠FGE ＝90︒，∠AEB ＝∠GEF ， ∴△ABE ≌△GFE 〔ASA 〕，∴BE ＝EF ，即DE 为R △BDF 的斜边上中线 ∴DF ＝EF ＝DE ＝4，BF ＝8，那么BD ＝432、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 的一点，OC ⊥AD ，CF ⊥DB 于F. 〔1〕求证：CF 为⊙O 的切线；〔2〕假设BF ＝1，DB ＝3，求⊙O 的半径. 〔1〕证：∵AB 为⊙O 的直径 ∴DF ⊥AD ，又OC ⊥AD ∴OC ∥DF ，又CF ⊥DB ∴OC ⊥CF ，又OC 为⊙O 的半径 ∴CF 为⊙O 的切线〔2〕解：如图，过点C 作CE ⊥BD 于点E ， 那么BE ＝DE ＝1.5，EF ＝2.5 又OC ⊥CF ，CF ⊥EF∴四边形OCFE 是矩形 ∴⊙O 有半径OC ＝EF ＝2.53、如图，以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. 〔1〕求证：OC ＝OD ； 〔2〕过D 作DM 切⊙O 于M ，假设AB ＝2，DM ＝22O 的半径. 〔1〕证：如图，连接OA 、OB ，那么OA ＝OB ∴∠OAB ＝∠OBA ∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ＝90︒ ∴∠OAD ＝∠OBC ∴△OAD ≌△OBC 〔SAS 〕 ∴OC ＝OD〔2〕解：如图，连接OM 、BD ，那么OM ⊥DM ，且BD 2＝2＝DM 又OM ＝OB ，OD ＝OD ，△ODM ≌△ODB 〔SSS 〕 ∴OB ⊥BD ，又∠ABD ＝45︒∴∠OAB ＝45︒，即△OAB 是等腰直角三角形 ∴OA ＝22AB 24、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. 〔1〕求证：AD ＝BD ；〔2〕弦CE 交BD 于M ，假设3ABCBCM S S=，求BD CE. 〔1〕略证：连接CD ，那么CD ⊥AB又AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，∴AD ＝BD 〔2〕解：如图，连接BE ，过A 作AN ⊥CE 于N ， ∵3ABCBCMSS=，∴2ACMBCMSS=∴AN ＝2BE∵∠CAN ＝∠BCE ，AC ＝BC ，∠ANC ＝∠CEB ∴△ANC ≌△CEB 〔AAS 〕 ∴BE ＝CN ，CE ＝AN设CN ＝BE ＝x ，那么CE ＝AN ＝BE ＝2x ， ∴BC 5x ，∴AB 210x ，即BD ＝102x∴BD CE ＝104. 圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于D ，与边AC 交于E ， 过D 作DF ⊥AC 于F.〔1〕求证：DF 为⊙O 的切线；〔2〕假设DE ＝5，AB ＝5，求AE 的长. 〔1〕证：如图，连接AD ，OD ， ∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB ＝AC ，OA ＝OB ∴∠EAD ＝∠DAB ＝∠ADO ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的直径 ∴DF 为⊙O 的切线〔2〕解：∵∠EAD ＝∠DAB ，∴BD ＝DE ＝5，又AB ＝5，∴AD ＝225(5)25-= ∵DF ×AC ＝AD ×CD ，∴DF ＝2，CF ＝EF ＝52(5)21-=，∴AE ＝5－2＝3 2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以边AB 为直径作⊙O ，交BC 于D ，过D 作DE ⊥AE. 〔1〕求证：DE 是⊙O 的切线；〔2〕连接OC ，假设∠CAB ＝120︒，求 DEOC的值. 〔1〕证：如图，连接AD ，OD ，那么AD ⊥BC 又AB ＝AC ，∴CD ＝BD ，又AO ＝OB ∴OD ∥AC ，又DE ⊥AE∴OD ⊥DF ，∴DE 是⊙O 的切线；〔2〕解：如图，过点O 作OF ⊥BD 于F ，那么BD ＝2BF ∵AB ＝AC ，∠CAB ＝120︒，∴∠B ＝30︒ 设OF ＝x ，那么BF ＝3x ，OB ＝2x ，∴AC ＝AB ＝4x ，CD ＝BD ＝23x ，那么CF ＝33x由勾股定理，得OC ＝7x ，由面积法，得DE 3x ，∴DEOC＝2114. 3、如图，AB ＝AC ，点O 在AB 上，⊙O 过点B ，分别交BC 于D 、AB 于E ，DF ⊥AC. 〔1〕证：DF 为⊙O 的切线；〔2〕假设AC 切⊙O 于G ，⊙O 的半径为3，CF ＝1，求AC. 〔1〕证：如图，连接OD ，∵ AB ＝AC ，OB ＝OD ∴∠B ＝∠C ＝∠ODB ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DF 为⊙O 的切线〔2〕解：如图，连接OG ，∵AC 为⊙O 的切线∴OG ⊥AC ，又OD ⊥DF ，DF ⊥AC ，OG ＝OD ∴四边形ODFG 是正方形，即OB ＝OG ＝GF ＝3 设AG ＝x ，那么AB ＝AC ＝4x +，那么AO ＝1x + ∴2323(1)x x +=+，∴4x =，那么AC ＝84、如图，CD 是⊙O 的弦，A 为CD 的中点，E 为CD 延长线上一点，EG 切⊙O 于G. 〔1〕求证：KG ＝GE ；〔2〕假设AC //EG ，DK CK ＝ 35 ，AK ＝210，求⊙O 的半径.〔1〕证：如图，连接OG ，OA 交CD 于点F ∵A 为CD 的中点，EG 是⊙O 的切线 ∴OA ⊥CD ，OG ⊥GE∴∠OAG ＋∠AKF ＝∠OGA ＋∠EGK 又∠OAG ＝∠OGA ，∠AKF ＝∠EKG ∴∠EGK ＝∠EKG ∴KG ＝GE〔2〕解：∵AC ∥EG ，∴∠CAK ＝∠EGK ，又∠EGK ＝∠EKG ＝∠CKA ∴∠CAK ＝∠CKA ，∴CA ＝CK设CK ＝CA ＝5x ，那么DK ＝3x ，∴CD ＝8x ，CF ＝4x ，EG ＝x ∴AF ＝22(5)(4)3x x x -=在Rt △AFK 中，222(3)(210)x x +=，∴2x =∴CE ＝8，AE ＝6，设⊙O 的半径为R ，那么R 2＝82＋〔R －6〕2，∴R ＝253圆的培优专题13——圆与三角形的内心1、如图，AB 是⊙O 的直径，AC CE =，点M 为BC 上一点，且CM ＝AC.〔1〕求证：M 为△ABE 的内心；〔2〕假设⊙O 的半径为5，AE ＝8，求△BEM 的面积. 〔1〕证：如图，连接CE ，那么AC ＝CE ＝CM ∴∠CME ＝∠CEM ，∠CEA ＝∠CBE ∴∠CBE ＋∠BEM ＝∠CEA ＋∠AEM ∴∠AEM ＝∠BEM ，又∠ABC ＝∠CBE ∴点M 为△ABE 的内心.〔2〕解：如图，过点M 作MN ⊥BE 于点N ，那么MN 为△ABE 的内切圆的半径. ∵AB ＝10，AE ＝8，那么BE 221086-=∴MN ＝681022+-=， ★★ MN ＝2a b c +-＝aba b c++＝2 ∴BME 的面积为12×6×2＝6.2、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 点M 是△ABC 的内心. 〔1〕求证：BC 2DM ；〔2〕假设DM ＝52AB ＝8，求OM 的长. 〔1〕证：如图，连接BD ，CD ， ∵BC 为直径，AD 平分∠BAC ∴BD ＝CD ，∠BDC ＝90︒， ∴BC 2 连接CM ，那么∠ACM ＝∠BCM ，∠DAC ＝∠BCD∴∠DMC ＝∠ACM ＋∠DAC ＝∠BCM ＋∠BCD ＝∠DCM ， ∴DM ＝CD ，即BC 2（2）解：显然，BC 2＝10，AB ＝8，那么AC ＝6，且∠MAE ＝45︒如图，过M 作ME ⊥BC 于点N ，作MF ⊥AC 于点F ，那么ME ＝MF ＝AF ＝2∴ CF ＝CE ＝4，那么OE ＝1 ∴OM ＝22215+=.3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，I 是△ABD 的内心，DI 的延长线交⊙O 于N.〔1〕求证：DE 是⊙O 的切线；〔2〕假设DE ＝4，CE ＝2，求⊙O 的半径和IN 的长. 〔1〕证：∵D 是BC 的中点，OA ＝OD ∴∠CAD ＝∠DAO ＝∠ADO ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AB ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DE 是⊙O 的切线.〔2〕解：如图，过点O 作OF ⊥AC ，那么AF ＝CF ∵DE ⊥AB ，OD ⊥DE∴四边形ODEF 是矩形，那么OF ＝DE ＝4设⊙O 的半径为R ，那么OA ＝OD ＝EF ＝R ，AF ＝CF ＝R －2 ∴〔R －2〕2＋42 ＝R 2，∴R ＝5，∴AB ＝10，如图，连接BI ，AN ，BN ，那么IN ＝BN ＝AN ＝52 ★4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，I 是△ABC 的内心，⊙O 交AB 于E ，BE 为⊙O 的直径. 〔1〕求证：AI 与⊙O 相切；〔2〕假设BC ＝6，AB ＝5，求⊙O 的半径. 〔1〕证：如图，延长AI 交BC 于点D ，那么AD ⊥BC ， 连接OI ，那么∠OIB ＝∠OBI ＝∠OBD ∴OI ∥BC ，又AD ⊥BC ∴AD ⊥OI ，又OI 为⊙O 的半径 ∴AI 与⊙O 相切〔2〕显然BD ＝3，AB ＝5，那么AD ＝4如图，过点I 作IF ⊥AB 于点F ，那么BF ＝BD ＝3，AF ＝2，IF ＝ID ，设IF ＝ID ＝x ，那么AI ＝4x -，∴2222(4)x x +=-，那么IF ＝32x =设O 的半径为R ，那么OF ＝3－R ，∴〔3－R 〕2＋〔32 〕2 ＝R 2，∴R ＝158圆的培优专题14——圆中动态问题1、如图，点P 是等边△ABC 外接圆BC 上的一个动点，求证PA ＝PB ＋PC. 证：如图，在AP 上截取PD ＝PC ，连接CD∵△ABC 是等边三角形，∠ABC ＝∠ACB ＝60︒ ∴∠DPC ＝∠ABC ＝60︒∴△PCD 是等边三角形，即CD ＝PC ∵∠ACD ＋∠BCD ＝∠BCP ＋∠BCD ＝60︒ ∴∠ACD ＝∠BCP ，又AC ＝BC ∴△ACD ≌△BCP 〔SAS 〕 ∴AD ＝BP∴PA ＝AD ＋DP ＝PB ＋PC.2、弦AD ⊥BD ，且AB ＝2，点C 在圆上，CD ＝1，直线AD 、BC 交于点E. 〔1〕如图1，假设点E 在⊙O 外，求∠AEB 的度数； 〔2〕如图2，假设C 、D 两点在⊙O 上运动，CD 的 长度不变，点E 在⊙O 内，求∠AEB 的度数. 解：〔1〕如图－1，连接OC ，OD ∵AD ⊥BD∴AB 为⊙O 的直径，且AB ＝2∴CD ＝OC ＝OD ＝1，即△OCD 是等边三角形 ∴∠COD ＝60︒∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒∴∠AEB ＝60︒ 〔2〕如图－2，连接OC ，OD图－1同理可得：∠ACD ＝60︒， ∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒又∠ADB ＝90︒，∴∠AED ＝120︒3、直线l 经过⊙O 的圆心O ，且交⊙O 于A 、B ，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30︒，点 P 是直线l 上一个动点〔与O 不重合〕，直线CP 与⊙O 交于Q ，且QP ＝QO. 〔1〕如图1，当点P 在线段AO 上时，求∠OCP 的度数； 〔2〕如图2，当点P 在线段OA 的延长线上时，求∠OCP 的度数； 〔3〕如图3，当点P 在线段OB 的延长上时，求∠OCP 的度数. 解：〔1〕如图－1，设∠OCP ＝x ∵OC ＝OQ ，那么∠OQP ＝x 又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ ∴2(30)180x x +︒+=︒ ∴∠OCP ＝40x =︒〔2〕如图－2，设∠COQ ＝x ， 又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ 又OC ＝OQ∴∠OQP ＝∠OCQ ＝60x +︒ ∴(60)2(30)180x x +︒++︒=︒ ∴∠COQ ＝20x =︒ ∴∠OCP ＝100︒ 〔3〕如图－3，设∠QPO ＝x∴QP ＝PO ，那么∠QOP ＝∠QPO ＝x ∴OC ＝OQ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x图－1图－2图－3∴230x x +=︒ ∴∠QPO ＝x ＝10︒ ∴∠OCP ＝20︒圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。

C
A
M└
●
B O

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
垂径定理及推论
条件 ①② ①③ 结论 命题
A
M└
●
B
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 .
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
A C O D A C O B (2) D A C


O B
(1) B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
（7）平分弦的直径垂直于弦
C B O A C B C O A D A O E D (6)
AB CD ，____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ 相 等
A E B
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ 因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO，BO=DO， 所以△AOB ≌ △COD.
练习
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
A
B E A
O
O
C C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
E D
B
A
E C
B
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。

复习课圆中垂直弦问题自主学习单课题圆中垂直弦问题一、学习要求：（1）复习与圆有关的一些性质。

（2）掌握一类教特殊而有规律的几何图形及变式，培养解决问题的能力。

二、学习重点：圆中有关性质及解决几何证明问题的思考方法。

三、学习难点：如何从已知条件中寻找解决问题的方法。

四、学习时间：一课时五、学习过程：问题提出：已知：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E ,BD=6，AC=8，求圆的半径。

探究一：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，探究∠AOC与∠BOD的大小关系探究二：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，讨论AC、CB、BD、DA、半径R之间的大小关系。

探究三：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，AB=a，CD=b，求四边形ACBD的面积。

探究四：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，过E作AC的垂线交AC于T，交DB于S，讨论SE、SD、SB三条线段的大小关系。

（反之，结论成立吗？）探究五：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，若OG⊥AD，讨论OG与CB的大小关系。

应用：一、解决“问题提出”中的问题；二、、已知：△ABC内接于⊙O ，高AD 、BE交与点G ,AD的延长线交⊙O与点F ,求证：DG = DF. 三、如图，⊙O中，AB⊥CD于E，若OG⊥AD，O F⊥BC，AD=BC,求证：四边形OFEG为菱形。

拓展探究六：基本条件：ΔABC 内接于⊙O ，AD为BC边上的高，AE为⊙O的直径，基本结论：AB•AC =AE•AD（AB•AC =h •2R）课后练习：如图所示，ABC∆为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD AB⊥于D，设AD a=，BD=b．（1）分别用,a b表示线段OC，CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．●归纳结论：根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b+的大小关系是：____________________．●实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．。

2、在探索垂径定理的过程中，对部分学生来说存在着困 难。因此，教师在教学过程中除了是组织者和引导者 之外，还应扮演“雷锋”的角色，适时指导帮助，多给 学生一些赞许鼓励，让更多的学生参与到学习中来， 尽量使每个学生都能够达到课程标准规定的要求。
七、教学反思：
3、本节课存在一些不足之处：首先，在新课引 入部分证明直径平分弦这一结论时，不能只 局限于学生添加半径作为辅助线这一结果上 ，还可以利用这一机会帮助学生对之前所学 的证明两条线段相等的几种方法进行回顾， 以使证明方法系统化，不单纯为一节课服务 ；其次，题型设计稍显单一，课后训练题量 不够，可以再找一些基础训练和典型题型， 让学生加深对垂径定理的理解；另外，本节 课只有垂径定理推论的具体内容，但没有相 应的习题训练，可在下节课进行系统设计。
2、学生已有的生活经验：学生在生活中经常会遇到有关圆的图 形,也喜欢动手操作，会对本节课比较感兴趣。同时，学生在之 前的学习中，已明确了学习具体程序，并能充分利用导学案， 具备了学习活动的经验基础。
3、学生已有的学习方式和学习习惯：进入初三，学生思维活跃， 求知欲强，对探索问题充满好奇，但学习积极性有所减退，自 我意识增强。同时，由于我所任教的班级学生大多数来自农村， 基础不一，两极分化较明显，在合作交流、探索新知等方面发 展很不均衡，在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。
22
OD=OC－CD=（R－7.23）m
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+（R－7.23）2
A
D
B
R
解得：R≈27.3
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
设计意图：回到情境引入，让学生明白数学来源于生活又应用于生活.

圆的专题复习—圆中垂直弦的问题教学目标1、知识与技能：理解垂径定理，并会简单应用；掌握直径所对的圆周角是直角，能综合应用这些定理解决相关问题；2、过程与方法：通过探究活动，让学生经历观察，猜想，分析，归纳，证明过程，感受知识发生发展到形成的变化过程，培养他们主动探究问题的能力以及推理能力3、情感态度与价值观：在教学过程中逐步渗透朴素的辩证唯物主义思想；培养学生勇于探索的精神，让学生在探索的过程中，发现并掌握数形转化思想，化归转化的的思想，并获得成功的喜悦，增强学生学习数学的信心。

教学重点综合应用圆的如何灵活应用圆的知识解决圆中垂直弦的问题教学难点相关知识解决圆中垂直弦的问题教学过程一、复习旧知圆中垂直弦的基本图形及相关知识垂径定理“直径对直角”设计意图：复习圆的相关知识，让学生面对问题时能够有理可依，有据可循二、课堂典例：例1.如图，在⊙O中，弦AC＝8，DE＝2，直径BD⊥AC于E，求半径.变式1：如图，⊙O中，若弦AC⊥弦BD，AC=BD=8,DE=2,求半径.变式2：若AC ⊥BD ，⊙O 的半径是r ，求︵AB l ＋︵CD i .变式3:已知如图 ，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点．如图，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AD=6，BC=8，求⊙O 的半径．例2.如图，在圆O 中，弦AB ⊥弦CD 于E 点，弦AG ⊥弦BC 于F 点，CD 与AG 相交于M点，如果AB=12，CM=4，求⊙O 的半径.课堂反思：本节课是针对中考复习的一个有效探讨，在选材料过程中思考在中考复习给学生什么材料，给他们这些资料是否对他们的复习起到一定的作业，所以，如何选题，如何复习，如何析题，如何总结，是我们的思考方向，也是本节公开课的一个探讨目的。

这节课以圆为例，主要针对中考第二轮的专题复习。

圆中垂直的问题，一直是一个重点也是一个难点，在挖掘题目的过程中，渗透数学思想，提高学生的逻辑推理能力，借助这节课，也让学生明白，几何的复习应当如何进行。

中点弦二级结论
中点弦二级结论，也称为中点弦定理，指的是在一个圆中，连接圆上两点的弦的中点连线会与这个圆的圆心连线垂直且平分这个圆的圆周弧。

具体来说，假设在一个圆中连接了两个不同的点A和B，这两个点的连线就是一条弦。

将这条弦的中点记为M，则连接圆心O和中点M的线段OM垂直于弦AB，且OM平分弧AB。

这个结论可以用来解决一些几何问题，例如计算圆的半径，确定圆弧的长短等等。

证明中点弦定理可以使用勾股定理和正弦定理，也可以使用向量的方法和复数的方法进行证明。

但无论采用何种证明方法，最终结论都是相同的。

总之，中点弦定理是一个非常有用的几何定理，它帮助我们更好地理解和应用圆的性质。

C
构造等腰三角形，利 用等腰三角形的性质 和勾股定理解释
A
P
.
D
· O
B
• 第三步，现在我们知道直径CD和弦AB是垂直的. 请思考：如果把圆沿直径CD所在的直线对折，弦 AB的两个端点会怎样？线段AP和线段BP有怎么 样的数量关系？这说明什么问题？同时弧AD和弧 BD，弧AC和弧BC有怎样的数量关系？为什么呢？
∴ AD=17.2 ∵ OA OD AD
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
问题三：求作弧AB的四等分点。
C m n
F
A
E
G
B
D
问题四：
你能破镜
m
n
C
重圆吗？
注意：不能做两 条平行弦的垂直 平分线 作图依据：
有关垂直于弦的直径简单介绍垂直于弦的直径圆o的直径ab垂直于弦是直径直径是圆中最长的弦弦是直径吗圆中两垂直弦的问题圆o的直径ab与弦cd证明直径是最长的弦弦的垂直平分线经过
重点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问 题. 关键 探 索 并 证 明 垂径定理及利用垂径定理解 决一些实际问题.
解:作 OC ⊥ AB 于 C, 由垂径定理得: AC=1/2 AB=0.5 × 16=8 由勾股定理得:
8
C
10 8
OC OB2 BC2 102 82 6
CD=OD-OC=4
D
如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8，D
⌒ 是AC的中点，连结CD，求CD的长。 B
练 一 练

圆内弦互相垂直结论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:圆内弦互相垂直是一个几何学中的重要结论，它描述了当一个圆内的两条弦相交时，它们的交点与圆心所形成的两个角互相垂直。

这个结论在解决许多与圆相关的几何问题时非常有用。

本文将介绍这一结论的证明方法以及其应用范围。

在几何学中，圆是一个非常基础且重要的图形。

而圆内弦作为直径以外一种特殊的弦，它与圆的关系一直备受关注。

在研究圆内弦的性质时，我们发现了一个有趣而且实用的结论，即圆内的两条弦相交时，它们的交点与圆心所形成的两个角是互相垂直的。

这一结论的证明方法可以通过运用几何学中的一些基本定理和性质来进行推导。

我们可以利用弦与弦的交角等于其对应弧所对应的圆心角的一半这一性质，以及互补角的性质来进行证明。

通过具体的几何图形的分析和角度的计算，我们可以得出这一结论成立的证明。

除了证明过程，圆内弦互相垂直的结论在实际应用中也有广泛的应用。

例如在测量和绘制圆弧时，我们可以利用这个结论来准确确定弦的位置和角度。

此外，在求解与圆相关的各种几何问题时，这一结论也为我们提供了一个有效的解题方法。

因此，了解和掌握圆内弦互相垂直的结论对于学习和应用几何学都具有重要的意义。

在本文的后续部分，我们将进一步介绍圆内弦互相垂直的具体证明方法，并通过一些实例来展示其应用。

通过深入理解和掌握这个重要的结论，读者将能更好地应用几何学知识解决实际问题，并增强对几何学的兴趣和理解。

接下来，我们将详细讨论第一个要点，即圆内弦互相垂直的证明过程。

文章结构部分应该简要介绍本文的整体结构和内容安排。

下面是对1.2文章结构部分的内容描述：本文主要由引言、正文和结论三个部分组成。

引言部分（Chapter 1）将介绍本文的概述、文章结构和目的。

首先，文章将总体说明圆内弦互相垂直的概念以及该结论的重要性。

接着，文章将明确阐述本文的章节组成和主要内容安排。

最后，文章将明确阐述本文的目的，即为读者提供关于圆内弦互相垂直结论的详细说明和解释。

C
弧：ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
和
⌒
⌒
·
E A D B
O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
⌒ 点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ ⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
⌒
ＢＣ
直径ＣＤ平分Βιβλιοθήκη ＡＢ，并且 平分ＡＢ⌒及
ＡＣＢ
⌒
C
即ＡＥ＝ＢＥ ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
A
⌒
⌒
⌒
⌒
·
E D B
O
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
①平分弧的直径必平分弧所对的( ②平分弦的直线必垂直弦 ( ) )
③垂直于弦的直径平分这条弦( ) ④平分弦的直径垂直于这条弦( ) ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ( ) ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ) ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ( )
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ ⌒ 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽 度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于 C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方 形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此 C 货船能否顺利通过这座拱桥？
M H N
A
E
D
F
B

第二十四章 圆
专题28 圆中两垂直弦的问题
武汉专版·九年级上册
【解析】连接AD，BC.∵AE＝DE，∴∠A＝ ∠D.∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠C＝∠B.∴CE＝
(B2E. )如图，若∠AOD＝140°，求 ∠BOC的度数；
【解析】连接BC，∵AB⊥CD，∴∠EBC＋∠ECB＝ 90°.∵∠AOC＝2∠ABC，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOC＋∠BOD ＝180°.∴∠AOD＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝40°.
【解析】过点 O 作 OP⊥AC 于点 P，连接 OA，OC，OB，OD，BC，∵OP⊥AC，ON⊥BD，∴
∠AOP＝1∠AOC，AP＝CP，∠DON＝1∠BOD.由(2)得∠AOC＋∠BOD＝180°，∴∠AOP＋∠DON
2
2
＝1 (∠AOC＋ ∠BOD)＝ 90°. ∵∠AOP＋ ∠OAP＝ 90°，∴∠ OAP＝ ∠DON， ∴△OAP≌△ 2
【解析】连接 DO 并延长，交⊙O 于点 F，连接 BD，AF，BF.∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝ ︵︵
(4)如图，若点M为AC的中点， ∠FBD＝90°，∴∠ADC＝∠FDB.∴∠ADF＝∠CDB，∴AF＝BC.∴AF＝BC＝8.∵∠DAF＝90°，
∴DF＝10.∴⊙O 的半径为 5.
求证：ME⊥BD；
【解析】延长ME交BD于点H.∵AB⊥CD，∴∠AEC＝ 90°.∵点M为AC的中点，∴AM＝ME＝MC，∴∠A＝ ∠MEA.∵∠MEA＝∠BEH，∴∠A＝∠BEH.∵∠C＝∠B， ∠A＋∠C＝90°，∴∠BEH＋∠B＝90°，∴EH⊥BD，即 ME⊥BD.
(5)如图，若ON⊥BD于点N，求 证：ON＝12 AC.
DON(AAS)．∴AP＝ON

垂弦的概念垂弦是一个几何概念，它与圆形有关。

垂弦是从圆的周长的一个点垂直地延伸到圆的直径所形成的弦。

换句话说，通过任意一个圆的直径竖直切割，则所得到的线段就是垂弦。

垂弦在几何学中扮演着重要的角色。

首先，垂弦实际上是一个直角三角形的斜边。

因为直径是弦的直角三角形的斜边，而垂直于斜边的弦垂直于斜边的直角边，所以这两部分组成了一个直角三角形。

垂弦也与直径和弦的关系紧密相连。

根据圆的性质，当两条弦的端点与圆的圆心相连时，必定会与圆的直径垂直相交。

这是因为所有通过圆心的弦都被分成了两个等长的线段，一个弦上的两个端点与圆心相连就变成了直角三角形。

而垂弦正是通过直径与弦相交，将弦分成了两个等长部分。

此外，垂弦也在解决几何问题中发挥着重要作用。

通过垂弦，我们可以推断出许多几何关系。

例如，如果两个弦的垂线交于圆内部的一点，则这两个弦的长度乘积相等。

这个几何性质可以通过下面的推论证明。

设两个弦A B和C D相交于点E，且垂直于两个弦的线分别交于F点。

由于A B和C D垂直与E F，所以E F是垂直并且平分了A B和C D。

根据直角三角形的性质，E F也必然平分了AC和B D这两个弦的长度。

因此，我们可以得出结论：A C×B D=A B×C D。

垂弦还可以帮助我们解决一些实际问题。

例如，假设我们有一个房间，墙壁是弧形的，我们想知道在哪里放置一个垂直的屋顶在保持墙壁的曲线形状的同时，最大化它的高度。

通过将墙壁看作是圆上的一段弧，我们可以使用垂弦将其切割成两段。

然后，我们发现这个问题等效于在两个给定点之间找到一个直线的问题，同时保持其长度最大。

通过解决这个等效问题，我们可以确定屋顶的最大高度。

总之，垂弦是一个几何学的重要概念。

通过理解和运用垂弦的性质，我们可以解决多种几何问题。

无论是在纯粹理论的推导中，还是在实际问题的求解中，垂弦都具有重要的应用价值。