2020年甘肃省兰州市中考数学试卷

初中毕业生学业考试数学试卷注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟.2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座号等个人信息填（涂）写在答题卡的相应位置.3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置.一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 A. 2210x x+= B. 20ax bx c ++= C. (1)(2)1x x -+= D. 223250x xy y --=2.如图，某反比例函数的图像过（-2,1），则此反比例函数表达式为A. 2y x =B. 2y x =-C. 12y x =D. 12y x=- 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°4.如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ''则tan B '的值为A. 12B. 13C. 14D. 4 5.抛物线221y x x =-+的顶点坐标是A. （1,0）B. （-1,0）C. （-2,1）D. (2,-1)6.如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是7.一只盒子中有红球m 个，白球8个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是A. m=3，n=5B. m=n=4C. m+n=4D. m+n=88.点M （-sin60°，con60°）关于x 轴对称的点的坐标是A. 12）B. （-12-）C. （-12）D. （12-， 9.如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）24b ac -＞0；（2）c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个10.用配方法解方程250x x --=时，原方程应变形为A. 2(1)6x +=B. 2(2)9x +=C. 2(1)6x -= D. 2(2)9x -= 11.某校中考学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为A. (1)2070x x -=B. (1)2070x x +=C. 2(1)2070x x +=D. (1)20702x x -= 12.如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰R t △ABC 的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6.则⊙O 的半径为A. 6B. 13C.D.13.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形.其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 414.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是15.如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点C 在反比例函数221k k y x++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，-2），则k 的值为 A. 1 B. -3 C. 4 D. 1或-3二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）16.如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度.17.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1i=1:1，则两个坡角的和为 .18.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是 m.（结果用π表示）19.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，a ≠0）.则方程2(2)0a x m b +++=的解是 .20.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 .三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21. （2011甘肃兰州，21，7分）已知a 是锐角，且sin （a+15°）=2.-4cos α-0( 3.14)π-+tan α+11()3-的值. 22.（本小题满分7分）如图，有A 、B 两个转盘，其中转盘A 被分成4等份，转盘B 被分成3等份，并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记为x ，B 转盘指针指向的数字记为y ，从而确定点P 的坐标为P （x ，y ）.记s=x+y.（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P 的坐标；（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s ＜6时甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？对谁有利？23.（本小题满分7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？（4）请根据以上结论谈谈你的看法.24.（本小题满分7分）如图，一次函数3y kx =+的图像与反比例函数m y x=（x ＞0）的图像交与点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B.一次函数的图像分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且DBP S ∆=27，OC CA =12. (1)求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图像写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？25. （本小题满分9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A 、B 、C.（1）请完成如下操作：①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD 、CD.(2)请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C 、D ；②⊙D 的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为 （结果保留π）； ④若E （7,0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由.26. （本小题满分9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad ），如图①，在△ABC 中，AB=AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA=底边/腰=BC AB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°= .（2）对于0°＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 .（3）如图②，已知sinA=35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值.27. （本小题满分12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD ＞AB)，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE.（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为242cm ，求△ABF 的周长；（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得22AE AC AP =⋅若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.28. （本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系X0Y 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 和D （4，23-）. （1）求抛物线的表达式.（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=2PQ (2cm ).①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取54时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标.一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）16．63 17．75° 18. 19． x1= -4,x2= -1 20．三、解答题（本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（本题满分7分）解：∵sin60°=∴α+15°=60°∴α=45° (2)分∴－4cosα—(－3.14)0+tanα+=2—4×—1+1+3=3………7分每算对一个给1分，最后结果得1分22．（本题满分7分）解：（1）列表：…… 4分（2）∵P （甲获胜）= ……………………………………………………5分P （乙获胜）= ……………………………………………6分 ∴这个游戏不公平，对乙有利。

甘肃省兰州市2020年中考数学试卷一、选择题（共12题；共24分）1.-2020的绝对值是（）A. -2020B. 2020C. −12020D. 12020【答案】B【考点】绝对值及有理数的绝对值【解析】【解答】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|＝2020，故答案为：B．【分析】根据绝对值的定义直接解答．2.如图是有5个完全相同的小正方形组成的几何体,则该几何体的主视图是( ).A. B. C. D.【答案】A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故答案为：A.【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.3.据中国电子商务研究中心()发布《2017年度中国共享经济发展报告》显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得1159.56亿元投资，数据1159.56亿元用科学记数法可表示为（）A. 1159.56×108元B. 11.5956×1010元C. 1.15956×1011元D. 1.15956×108元【答案】C【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：1159.56亿=115956000000，所以1159.56亿用科学记数法表示为1.15956×1011，故答案为：C【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。

其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1。

注意：1亿=108。

4.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. √18B. √13C. √27D. √12【答案】B【考点】最简二次根式【解析】【解答】解：A、√18=3√2不是最简二次根式，不符合题意；B、√13是最简二次根式，符合题意；C、√27=3√3不是最简二次根式，不符合题意；D、√12=2√3不是最简二次根式，不符合题意，故答案为：B【分析】满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数,因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．上述两个条件同时具备(缺一不可)的二次根式叫最简二次根式。

2020年中考数学答案及解析
甘肃省兰州市
一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分）
1．（4分）（2020•兰州）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）　A．B．C．D．
次射击，两人射击成绩的方差分别为=2，=4
3．（4分）（2020•兰州）函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
4．（4分）（2020•兰州）期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话能反
5．（4分）（2020•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（ ）
　A．B．C．D．
AB=
cosA=
2。

初中毕业生学业考试数学试卷注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟.2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座号等个人信息填（涂）写在答题卡的相应位置.3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置.一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 A. 2210x x+= B. 20ax bx c ++= C. (1)(2)1x x -+= D. 223250x xy y --=2.如图，某反比例函数的图像过（-2,1），则此反比例函数表达式为A. 2y x =B. 2y x =-C. 12y x =D. 12y x=- 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°4.如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ''则tan B '的值为A. 12B. 13C. 14D. 4 5.抛物线221y x x =-+的顶点坐标是A. （1,0）B. （-1,0）C. （-2,1）D. (2,-1)6.如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是7.一只盒子中有红球m 个，白球8个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是A. m=3，n=5B. m=n=4C. m+n=4D. m+n=88.点M （-sin60°，con60°）关于x 轴对称的点的坐标是A. 12）B. （-12-）C. （-12）D. （12-， 9.如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）24b ac -＞0；（2）c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个10.用配方法解方程250x x --=时，原方程应变形为A. 2(1)6x +=B. 2(2)9x +=C. 2(1)6x -= D. 2(2)9x -= 11.某校中考学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为A. (1)2070x x -=B. (1)2070x x +=C. 2(1)2070x x +=D. (1)20702x x -= 12.如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰R t △ABC 的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6.则⊙O 的半径为A. 6B. 13C.D.13.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形.其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 414.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是15.如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点C 在反比例函数221k k y x++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，-2），则k 的值为 A. 1 B. -3 C. 4 D. 1或-3二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）16.如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度.17.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1i=1:1，则两个坡角的和为 .18.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是 m.（结果用π表示）19.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，a ≠0）.则方程2(2)0a x m b +++=的解是 .20.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 .三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21. （2011甘肃兰州，21，7分）已知a 是锐角，且sin （a+15°）=2.-4cos α-0( 3.14)π-+tan α+11()3-的值. 22.（本小题满分7分）如图，有A 、B 两个转盘，其中转盘A 被分成4等份，转盘B 被分成3等份，并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记为x ，B 转盘指针指向的数字记为y ，从而确定点P 的坐标为P （x ，y ）.记s=x+y.（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P 的坐标；（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s ＜6时甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？对谁有利？23.（本小题满分7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？（4）请根据以上结论谈谈你的看法.24.（本小题满分7分）如图，一次函数3y kx =+的图像与反比例函数m y x=（x ＞0）的图像交与点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B.一次函数的图像分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且DBP S ∆=27，OC CA =12. (1)求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图像写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？25. （本小题满分9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A 、B 、C.（1）请完成如下操作：①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD 、CD.(2)请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C 、D ；②⊙D 的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为 （结果保留π）； ④若E （7,0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由.26. （本小题满分9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad ），如图①，在△ABC 中，AB=AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA=底边/腰=BC AB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°= .（2）对于0°＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 .（3）如图②，已知sinA=35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值.27. （本小题满分12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD ＞AB)，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE.（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为242cm ，求△ABF 的周长；（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得22AE AC AP =⋅若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.28. （本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系X0Y 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 和D （4，23-）. （1）求抛物线的表达式.（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=2PQ (2cm ).①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取54时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标.一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）16．63 17．75° 18. 19． x1= -4,x2= -1 20．三、解答题（本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（本题满分7分）解：∵sin60°=∴α+15°=60°∴α=45° (2)分∴－4cosα—(－3.14)0+tanα+=2—4×—1+1+3=3………7分每算对一个给1分，最后结果得1分22．（本题满分7分）解：（1）列表：…… 4分（2）∵P （甲获胜）= ……………………………………………………5分P （乙获胜）= ……………………………………………6分 ∴这个游戏不公平，对乙有利。

2020年甘肃省兰州市中考数学试题及参考答案与解析（满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小原给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．的绝对值是（）A．B．C．2 D．﹣22．如图，该几何体是由5个形状大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由4G到5G的转折阶段．据中国移动2020年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约31720000户．将31720000用科学记数法表示为（）A．0.3172×108B．3.172×108C．3.172×107D．3.172×1094．如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝50°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣26．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（）A．40°B．60°C．70°D．80°7．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝28．若点A（﹣4，m﹣3），B（2n，1）关于x轴对称，则（）A．m＝2，n＝0 B．m＝2，n＝﹣2 C．m＝4，n＝2 D．m＝4，n＝﹣29．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°11．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，若y1＜y2＜0，则下列结论正确的是（）A．x1＜x2＜0 B．x2＜x1＜0 C．0＜x1＜x2D．0＜x2＜x112．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB＝3，AC＝4，则CD＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．因式分解：m3﹣6m2+9m＝．14．点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，则k＝．15．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB ＝3，则A′B′＝．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝．三、解答题（本大题共12小题，共86分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：×﹣（+1）2．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣．20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC和AB的中点．求证：BD＝CE．21．（6分）某学校组织了以“纪念革命先烈，激发爱国热情”为主题的爱国主义教育研学活动，参加活动的学生可从学校提供的四个研学地点中任选一个，地点如下：A：陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆；B：陇南市两当兵变纪念馆；C：甘南州迭部县腊子口战役纪念馆；D：张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆．小宁和小丽决定通过抽签的方式确定本次研学活动目的地，请你用树状图或列表的方法求出小宁和小丽抽到同一地点的概率．22．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．（1）求反比例函数y＝（k≠0，x＞0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的表达式；（2）求△AOB的面积．23．（7分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，点C是AB的中点，以OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若OC＝2，求OA的长．24．（7分）为培养学生正确的劳动价值观和良好劳动品质，加强新时代中学生劳动教育，某校八年级（1）班对本班35名学生进行了劳动能力量化评估和近一周家务劳动总时间调查，并对相关数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下：信息一：劳动能力量化评估的成绩采用十分制，得分均为整数；信息二：信息三：近一周家务劳动时间分布表时间/小时t≤1 1＜t≤2 2＜t≤3 3＜t≤4 t＞4人数/人 5 8 12 7 3 信息四：劳动能力量化成绩与近一周家务劳动总时间统计表6 7 8 9 10成绩/分人数时间/小时t≤1 4 1 0 0 01＜t≤2 0 6 1 1 02＜t≤3 0 0 9 3 03＜t≤4 0 1 1 3 2t＞4 0 0 0 1 2 根据以上信息，解决下列问题：（1）直接从信息二的统计图中“读”出八年级（1）班劳动能力量化成绩的平均分为分；（2）请你判断下列说法合理吗？（请在横线上填写“合理”或“不合理”）①规定劳动能力量化成绩8分及以上为合格，八年级（1）班超过半数的学生达到了合格要求：．②班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上，且劳动能力量化成绩取得10分的学生进行表彰奖励，恰有3人获奖：．③小颖推断劳动能力量化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在2＜t≤3的时间段：．（3）结合以上信息，你认为普遍情况下参加家务劳动的时间与劳动能力之间具有怎样的关系？25．（7分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC＝73.14°探测最小角：∠OAC＝30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）26．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，∠CAB＝60°，点D为AB的中点，线段AC上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到DF，过点F作FC⊥AB 于点G．设A、E两点间的距离为xcm，F，G两点间的距离为ycm．小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整．（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x 与y的几组对应值：x/cm 0 0.51 1.03 1.41 1.50 1.75 2.20 2.68 3.00 3.61 4.10 4.74 5.00 y/cm 0 0.94 1.91 2.49 2.84 3.00 2.84 2.60 2.00 1.50 0.90 0.68 请你通过计算补全表格；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中（如图2），描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的图象；（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？；（4）解决问题：当AE+FG＝2时，FG的长度大约是cm（保留两位小数）．27．（10分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于点O，交BC于点E，EG＝EC，GF∥AD交DE于点F，连接FC，点H为线段AO上一点，连接HD，HF．（1）判断四边形GECF的形状，并说明理由；（2）当∠DHF＝∠HAD时，求证：AH•CH＝EC•AD．28．（12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C （0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）判断△ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG 与BD的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物物的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小原给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．的绝对值是（）A．B．C．2 D．﹣2【知识考点】绝对值．【思路分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解题过程】解：﹣的绝对值是．故选：A．【总结归纳】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．如图，该几何体是由5个形状大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】从物体的上面看到的物体的形状，即可得出其俯视图．【解题过程】解：根据俯视图的意义可得，选项D的图形符合题意，故选：D．【总结归纳】本题考查简单组合体的三视图，从正面看物体所得到的图形是主视图，从上面看物体所得到图形是俯视图．3．智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由4G到5G的转折阶段．据中国移动2020年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约31720000户．将31720000用科学记数法表示为（）A．0.3172×108B．3.172×108C．3.172×107D．3.172×109【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】根据科学记数法表示大数的方法，将31720000写成a×10n的形式即可．【解题过程】解：31720000＝3.172×107，故选：C．。

甘肃省兰州市2020年（春秋版）中考数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）数a的相反数是b，下列结论错误的是（）A . a=-bB . a+b=0C . a和b都是正数D . a和b可同时为零2. （2分）长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（）A . 3B . 4C . 12D . 163. （2分）函数中自变量x的取值范围是（）A . x≠3B . x＞3C . x＞3且x≠-2D . x≥34. （2分） (2015八上·哈尔滨期中) 等腰三角形的一个内角是50°，则其底角是（）A . 65°或50°B . 65°C . 50°D . 65°或80°5. （2分） (2018七上·天门期末) 在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示．若ac<0，b+a<0，则一定成立的是（）A . |a|>|b|B . |b|<|c|6. （2分）(2018·河东模拟) 据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为（）A . 0.1263×108B . 1.263×107C . 12.63×106D . 126.3×1057. （2分）如图矩形ABCD中，折叠矩形一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=cm,且CE:CF=3:4,则矩形ABCD的周长为（）A . 36cmB . 36cmC . 72cmD . 72cm8. （2分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A . ac＜0B . a－b＋c＞0C . b＝－4aD . 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根是x1＝－1，x2＝59. （2分）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（）A . k≥4D . k=410. （2分） (2016九上·端州期末) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC=（）A . 15°B . 20°C . 30°D . 45°二、填空题 (共9题；共10分)11. （1分）(2017·保康模拟) 若关于x的方程 + =2的解为正数，则m的取值范围是________．12. （1分）(2017·毕节) 记录某足球队全年比赛结果（“胜”、“负”、“平”）的条形统计图和扇形统计图（不完整）如下：根据图中信息，该足球队全年比赛胜了________场．13. （1分）(2017·苏州) 如图，点在的平分线上，点在上，，，则的度数为________ ．14. （1分）如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i= ，则AC的长度是________cm．15. （1分） (2017八上·金堂期末) 在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+1的图象经过P1（x1 ， y1）、P2（x2 ， y2）两点，若x1>x2 ，则y1________y2（填“>”或“<”）．16. （1分）(2017·湘潭) 某同学家长应邀参加孩子就读中学的开放日活动，他打算上午随机听一节孩子所在1班的课，下表是他拿到的当天上午1班的课表，如果每一节课被听的机会均等，那么他听数学课的概率是________．班级节次1班第1节语文第2节英语第3节数学第4节音乐17. （1分）(2018·番禺模拟) 直线与轴交于点C，与轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点A，连接OA，若，则k的值为________．18. （1分）若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为________．19. （2分）如图，直径为13的⊙E，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA ＞OB）的长分别是方程x2+kx+60=0的两根．（1）OA：OB=________ ；（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当△BOC∽△BDA时，点D的坐标为________ ．三、解答题 (共9题；共82分)20. （5分）(2017·苏州模拟) 计算： +|﹣ |﹣﹣tan30°．21. （5分）(2012·成都) 化简：．22. （10分） (2017九下·建湖期中) 如图，AB为⊙O的直径，BC、AD是⊙O的切线，切点分别为B、A，过点O作EC⊥OD，EC交BC于点C，交AD于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．（结果保留π）23. （10分） (2017九上·东丽期末) 如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．24. （10分）(2016·大庆) 如图，P1、P2是反比例函数y= （k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．（1）求反比例函数的解析式．（2）①求P2的坐标．②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．25. （10分）(2016·河池) 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径作⊙O，交AC于D，E为的中点，连接CE，BE，BE交AC于F．（1）求证：AB=AF；（2）若AB=3，BC=4，求CE的长．26. （10分）(2017·柘城模拟) 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．27. （7分）(2017·邓州模拟) 如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC 方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P 作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为 cm，AC=8cm，设运动时间为t秒．（1）求证：NQ=MQ；（2）填空：①当t=________时，四边形AMQN为菱形；②当t=________时，NQ与⊙O相切．28. （15分）(2017·雁江模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D 四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共9题；共10分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共9题；共82分)20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、27-1、27-2、28-1、28-2、28-3、。

2020年甘肃省兰州市中考数学试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小原给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）的绝对值是（）A．B．C．2D．﹣22．（4分）如图，该几何体是由5个形状大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由4G到5G的转折阶段．据中国移动2020年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约31720000户．将31720000用科学记数法表示为（）A．0.3172×108B．3.172×108C．3.172×107D．3.172×109 4．（4分）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝50°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（4分）化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣26．（4分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（）A．40°B．60°C．70°D．80°7．（4分）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝2D．x1＝1，x2＝2 8．（4分）若点A（﹣4，m﹣3），B（2n，1）关于x轴对称，则（）A．m＝2，n＝0B．m＝2，n＝﹣2C．m＝4，n＝2D．m＝4，n＝﹣2 9．（4分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC ＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°11．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，若y1＜y2＜0，则下列结论正确的是（）A．x1＜x2＜0B．x2＜x1＜0C．0＜x1＜x2D．0＜x2＜x1 12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB＝3，AC＝4，则CD＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）因式分解：m3﹣6m2+9m＝．14．（4分）点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，则k＝．15．（4分）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝．16．（4分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB 的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝．三、解答题（本大题共12小题，共86分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：×﹣（+1）2．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣．20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC和AB的中点．求证：BD＝CE．21．（6分）某学校组织了以“纪念革命先烈，激发爱国热情”为主题的爱国主义教育研学活动，参加活动的学生可从学校提供的四个研学地点中任选一个，地点如下：A：陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆；B：陇南市两当兵变纪念馆；C：甘南州迭部县腊子口战役纪念馆；D：张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆．小宁和小丽决定通过抽签的方式确定本次研学活动目的地，请你用树状图或列表的方法求出小宁和小丽抽到同一地点的概率．22．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．（1）求反比例函数y＝（k≠0，x＞0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的表达式；（2）求△AOB的面积．23．（7分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，点C是AB的中点，以OC 为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线；的长．（2）若OC＝2，求OA24．（7分）为培养学生正确的劳动价值观和良好劳动品质，加强新时代中学生劳动教育，某校八年级（1）班对本班35名学生进行了劳动能力量化评估和近一周家务劳动总时间调查，并对相关数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下：信息一：劳动能力量化评估的成绩采用十分制，得分均为整数；信息二：近一周家务劳动时间分布表时间/小时t≤11＜t≤22＜t≤33＜t≤4t＞4人数/人581273信息四：劳动能力量化成绩与近一周家务劳动总时间统计表678910成绩/分人数时间/小时t≤1410001＜t≤2061102＜t≤3009303＜t≤401132t＞400012根据以上信息，解决下列问题：（1）直接从信息二的统计图中“读”出八年级（1）班劳动能力量化成绩的平均分为分；（2）请你判断下列说法合理吗？（请在横线上填写“合理”或“不合理”）①规定劳动能力量化成绩8分及以上为合格，八年级（1）班超过半数的学生达到了合格要求：．②班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上，且劳动能力量化成绩取得10分的学生进行表彰奖励，恰有3人获奖：．③小颖推断劳动能力量化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在2＜t≤3的时间段：．（3）结合以上信息，你认为普遍情况下参加家务劳动的时间与劳动能力之间具有怎样的关系？25．（7分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC＝73.14°探测最小角：∠OAC＝30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）26．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，∠CAB＝60°，点D为AB的中点，线段AC上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到DF，过点F作FC⊥AB于点G．设A、E两点间的距离为xcm，F，G两点间的距离为ycm．小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整．（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm00.51 1.03 1.41 1.50 1.75 2.20 2.68 3.00 3.61 4.10 4.74 5.00 y/cm00.94 1.91 2.49 2.84 3.00 2.84 2.60 2.00 1.500.900.68请你通过计算补全表格；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中（如图2），描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的图象；（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？；（4）解决问题：当AE+FG＝2时，FG的长度大约是cm（保留两位小数）．27．（10分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于点O，交BC于点E，EG＝EC，GF∥AD交DE于点F，连接FC，点H为线段AO上一点，连接HD，HF．（1）判断四边形GECF的形状，并说明理由；（2）当∠DHF＝∠HAD时，求证：AH•CH＝EC•AD．28．（12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB 上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）判断△ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物物的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．数学试题参考答案1-10ADCBA CDBAB11-12CD13．m（m﹣3）2。

兰州市2020 年中考试题数学（A）注意事项：1.本试卷满分150 分，考试用时120 分钟。

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

一、选择题：本大题共15 小题，每小题4 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。

1.如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。

（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。

从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A。

【考点】简单组合体的三视图2.反比例函数的图像在（）。

（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到k的影响，当k 大于0 时，图象位于第一、三象限，当k 小于0 时，图象位于第二、四象限，本题中k ＝2 大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B。

【考点】反比例函数的系数k 与图象的关系3.已知△ABC ∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）。

（A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A。

【考点】相似三角形的性质4.在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则AB＝（）。

（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。

【考点】三角函数的运用5.一元二次方程的根的情况（）。

（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B。

甘肃省兰州市2020年中考数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）－3的相反数是（）A .B .C .D .2. （2分）下列各式计算正确的是（）A . 6a+a=6a2B . ﹣2a+5b=3abC . 4m2n﹣2mn2=2mnD . 3ab2﹣5b2a=﹣2ab23. （2分） 2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市”，在江苏十三个省辖市中居第一位，居民人均可支配收入约18000元，其中“18000”用科学记数法表示为（）A . 0.18×105B . 1.8×103C . 1.8×104D . 18×1034. （2分）在“手拉手，献爱心”捐款活动中，九年级七个班级的捐款数分别为：260、300、240、220、240、280、290(单位：元)，则捐款数的中位数为（）A . 280B . 260C . 250D . 2705. （2分）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A . 6B . 6C . 8D . 86. （2分）已知y＝＋＋3，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019七下·广州期中) 将一副三角板ABC如图放置，使点A在DE上，BC//DE，其中，则∠E=30°，则∠AFC的度数是（）A . 45°B . 50°C . 60°D . 75°8. （2分）小明用一个半径为5cm，面积为15πcm2的扇形纸片，制作成一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为（）A . 3cmB . 4cmC . 5cmD . 15cm二、填空题 (共10题；共10分)9. （1分）(2020·藤县模拟) 分解因式：ab2+4ab+4a=________.10. （1分）(2016·温州) 关于的不等式组的解集为，则 ________．11. （1分）用7根火柴首尾顺次相接摆成一个三角形，能摆成________个不同的三角形.12. （1分）(2017·南岗模拟) 一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，1，5，5，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是1的概率为________．13. （1分）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若BD=12cm，△DOE的周长为15cm，则▱ABCD的周长为________cm．14. （1分）(2017·祁阳模拟) 已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是________．15. （1分） (2016七下·鄂城期中) 如果3+ 的小数部分是a，5﹣的整数部分是b，那么a+b的平方应该等于________．16. （1分） (2016九上·越秀期末) 若将抛物线y=x2-4x-3的图像向右平移3个单位，则所得抛物线的解析式是________．17. （1分） (2016八上·青海期中) 如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段PQ=AB，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP=________18. （1分） (2020八下·溧阳期末) 若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD 满足的条件为.________三、解答题 (共10题；共91分)19. （10分）化简下列各式：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）；（2）．20. （5分） (2019七下·黄冈期末) 已知不等式组的解集是﹣6＜x＜3，求2m+n的值.21. （5分） (2017八下·石景山期末) 如图，在□ 中，过点作⊥ 于点，⊥于点，．求证：四边形是菱形．22. （5分）(2017·通辽) 2017•通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．23. （16分）(2016·滨湖模拟) 某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学就餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有________名；（2）补全条形统计图；（3）计算在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数；（4）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校20000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？24. （5分） (2020九上·渭滨期末) 数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据tan67° ，tan37° ）25. （10分） (2014九上·临沂竞赛) 近年来随着全国楼市的降温，商品房的价格开始呈现下降趋势，2012年某楼盘平均售价为5000元/平方米，2014年该楼盘平均售价为4050元/平方米．（1）如果该楼盘2013年和2014年楼价平均下降率相同，求该楼价的平均下降率；（2）按照（1）中楼价的下降速度，请你预测该楼盘2015年楼价平均是多少元/平方米？26. （10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．27. （10分）如图，在同一直角坐标系中，一次函数y= x﹣2的图象和反比例函数y= 的图象的一个交点为A（，m）．（1）求m的值及反比例函数的解析式．（2）若点P在x轴上，且△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．28. （15分）菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；（2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝ AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2 ，当CF＝1时，请直接写出BE的长．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共10题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共10题；共91分)19-1、19-2、20-1、22-1、23-1、23-2、23-3、23-4、24-1、25-1、25-2、26-1、27-1、27-2、28-1、28-2、。

2020年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1．（4分）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．=B．=C．=D．=2．（4分）如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．4．（4分）如图，在⊙O中，=，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（）A．45°B．50°C．55°D．60°5．（4分）下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.36．（4分）如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＞B．m C．m=D．m=7．（4分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．20 B．24 C．28 D．308．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A．5 B．4 C．3.5 D．39．（4分）抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣6 10．（4分）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）=3000 B．80×70﹣4x2=3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000 11．（4分）如图，反比例函数y=（x＜0）与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集为（）A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．x＜﹣3或﹣1＜x ＜012．（4分）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣213．（4分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（）A．8.5米B．9米C．9.5米D．10米14．（4分）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（）A．B．C．D．15．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F 点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（）A．B．5 C．6 D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是．17．（4分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，=，则= ．18．（4分）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的 P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为．19．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的顶点A，B 的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与▱ABCO的边相切时，P点的坐标为．三、解答题（共8小题，满分70分.解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）学校： 班级： 科目： 教师： 得分：一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分. 1．（4分）（2020•兰州）2019-的相反数是( ) A ．12019B ．2020C ．2019-D ．12019-2．（4分）（2020•兰州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，//a b ，180∠=︒，则2(∠= )A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒3．（4分）（2020•兰州）计算：123(-= ) A ．3B ．23C ．3D ．434．（4分）（2020•兰州）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2020•兰州）1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24(a b +=) A ．2-B ．3-C ．1-D ．6-6．（4分）（2020•兰州）如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则(C ∠= )A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒7．（4分）（2020•兰州）化简：212(11a a a +-=++ )A ．1a -B ．1a +C ．11a a -+D ．11a + 8．（4分）（2020•兰州）已知ABC ∆∽△A B C '''，8AB =，6A B ''=，则(BCB C ='' ) A ．2B ．43C ．3D ．1699．（4分）（2020•兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( ) A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩10．（4分）（2020•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形1111A B C D ，已知(3,5)A -，(4,3)B -，1(3,3)A ，则1B 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,4)D ．(4,1)11．（4分）（2020•兰州）已知点1(1,)A y ，2(2,)B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是( ) A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>12．（4分）（2020•兰州）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = )A ．12B ．22C ．31-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2020•兰州）因式分解：322a a a ++= ．14．（4分）（2020•兰州）在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，则B ∠= ︒．15．（4分）（2020•兰州）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，6OABC S =矩形，则k = ．16．（4分）（2020•兰州）如图，矩形ABCD ，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若1BE =，则矩形ABCD 的面积等于 ．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）（2020•兰州）计算：02|2|(31)(2)tan 45--+--︒．18．（5分）（2020•兰州）化简：(12)2(1)(1)a a a a -++-． 19．（5分）（2020•兰州）解不等式组：215113x x x x -<+⎧⎪⎨+<-⎪⎩①②．20．（6分）（2020•兰州）如图，AB DE =，BF EC =，B E ∠=∠，求证：//AC DF ．21．（6分）（2020•兰州）2020年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用1A ，2A ，3A ，4A 表示）； 第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用1B ，2B ，3B 表示）． （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22．（7分）（2020•兰州）如图，8AC =，分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D ．依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O ． （1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由； （2）求BD 的长．23．（7分）（2020•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过等边三角形BOC 的顶点B ，2OC =，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，OA ． （1）求反比例函数(0)ky k x=≠的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是33，求点A的坐标．24．（7分）（2020•兰州）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生(25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分数段班级6070x<7080x<8090x<90100x八年级1班75103分析数据：表二统计量班级平均数中位数众数极差方差八年级1班788536105.28小丽用同样的方法对八年级2班全班学生(25名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量班级平均数中位数众数极差方差八年级2班75767344146.80根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在8090x<这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25．（7分）（2020•兰州）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD ． 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角ADC ∠最大(77.44)ADC ∠=︒；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳蓬CD 的夹角BDC ∠最小(30.56)BDC ∠=︒．窗户的高度2AB m =． 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560.51︒≈，cos30.560.86︒≈，tan30.560.59︒≈，sin77.440.98︒≈，cos77.440.22︒≈，tan77.44 4.49)︒≈26．（9分）（2020•兰州）如图，在ABC ∆中，6AB AC cm ==，8BC cm =，点D 为BC 的中点，BE DE =，将BDE ∠绕点D 顺时针旋转α度(083)α︒，角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为xcm ，M ，N 两点间的距离为ycm ．小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.934.10 /x m00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.5083/y m 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(,)x y，并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．（4）解决问题：当2=时，BM的长度大约是cm．（保留两位小数）．MN BM27．（10分）（2020•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt ABCACB∠=︒，将斜边AB绕点A顺时针旋转90︒得到AD，过点D作∆，90=，BC AE=．∆≅∆，进而得到AC DE⊥于点E，可以推理得到ABC DAEDE AC我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt ABC ∆内接于O ，90ACB ∠=︒，2BC =，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，DAE ABC ∠=∠，1DE =，连接DO 交O 于点F ．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G ，连接FB ．求证：2FG GO GB =． 28．（12分）（2020•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】如图，在Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，可以推理得到ABC DAE ∆≅∆，进而得到AC DE =，BC AE =．我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点(1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式； （2）连接BD ，当32t =时，求DNB ∆的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标； （4）当54t =时，在直线MN 上存在一点Q ，使得90AQC OAC ∠+∠=︒，求点Q 的坐标．2020年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．（4分）2019-的相反数是()A．12019B．2020C．2019-D．12019-【考点】14：相反数【分析】根据相反数的概念求解可得．【解答】解：2019-的相反数为2020，故选：B．2．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，//a b，180∠=︒，则2(∠=)A．130︒B．120︒C．110︒D．100︒【考点】平行线的性质【分析】先利用对顶角相等得到380∠=︒，然后根据平行线的性质，利用12180∠+∠=︒可计算出2∠的度数．【解答】解：如图，180∠=︒，380∴∠=︒，//a b，23180∴∠+∠=︒，218080100∴∠=︒-︒=︒．故选：D．3．（4分）计算：123(-=)A．3B．23C．3D．43【考点】二次根式的加减法【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解：1232333-=-=，故选：A．4．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180︒能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D 、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180︒不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C ．5．（4分）1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24(a b += ) A ．2-B ．3-C ．1-D ．6-【考点】一元二次方程的解【分析】先把1x =代入方程220x ax b ++=得21a b +=-，然后利用整体代入的方法计算24a b +的值．【解答】解：把1x =代入方程220x ax b ++=得120a b ++=， 所以21a b +=-，所以242(2)2(1)2a b a b +=+=⨯-=-． 故选：A ．6．（4分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则(C ∠= )A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒【考点】圆内接四边形的性质【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算C ∠的度数． 【解答】解：四边形ABCD 内接于O ， 180C A ∴∠+∠=︒， 18040140C ∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．7．（4分）化简：212(11a a a +-=++ )A ．1a -B ．1a +C ．11a a -+ D ．11a + 【考点】分式的加减法【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．【解答】解：原式211a a -=+(1)(1)1a a a +-=+ 1a =-，故选：A ．8．（4分）已知ABC ∆∽△A B C '''，8AB =，6A B ''=，则(BCB C='' ) A ．2B ．43C ．3D ．169【考点】相似三角形的性质【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，∴8463BC AB B C A B ===''''． 故选：B ．9．（4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( ) A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩， 故选：C ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形1111A B C D ，已知(3,5)A -，(4,3)B -，1(3,3)A ，则1B 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,4)D ．(4,1)【考点】坐标与图形变化-平移【分析】根据A 和1A 的坐标得出四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形1111A B C D ，则B 的平移方法与A 点相同，即可得到答案．【解答】解：由(3,5)A -，1(3,3)A 可知四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形1111A B C D ， (4,3)B -， 1B ∴的坐标为(2,1)，故选：B ．11．（4分）已知点1(1,)A y ，2(2,)B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是()A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【解答】解：当1x =时，221(1)2(11)22y x =-++=-++=-； 当2x =时，221(1)2(21)27y x =-++=-++=-； 所以122y y >>． 故选：A ．12．（4分）如图，2ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM =)A ．12B 2C 31D 21【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】根据正方形的性质得到2AB AD BC CD ===90DCB COD BOC ∠=∠=∠=︒，OD OC =，求得22BD AB =，得到1OD BO OC ===，根据折叠的性质得到2DE DC =DF CE ⊥，求得21OE =，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，2AB AD BC CD ∴====，90DCB COD BOC ∠=∠=∠=︒，OD OC =， 22BD ∴==，1OD BO OC ∴===，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处， 2DE DC ∴=DF CE ⊥，21OE ∴，90EDF FED ECO OEC ∠+∠=∠+∠=︒，ODM ECO ∴∠=∠，在OEC ∆与OMD ∆中，90EOC DOC OD OC OCE ODM ∠=∠=︒⎧⎪=⎪⎪∠=∠⎨⎪⎪⎪⎩，()OEC OMD ASA ∆≅∆， 21OM OE ∴=，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）因式分解：322a a a ++= 2(1)a a + ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式a ，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±． 【解答】解：322a a a ++，2(21)a a a =++，⋯（提取公因式） 2(1)a a =+．⋯（完全平方公式）故答案为：2(1)a a +．14．（4分）在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，则B ∠= 70 ︒． 【考点】等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算B ∠的度数． 【解答】解：AB AC =，B C ∴∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒， 1(18040)702B ∴∠=︒-︒=︒．故答案为70．15．（4分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，6OABC S =矩形，则k = 6 ．【考点】反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质【分析】因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即||S k =． 【解答】解：根据题意，知||6S k ==，6k =±， 又因为反比例函数位于第一象限，0k >，所以6k =， 故答案为6．16．（4分）如图，矩形ABCD ，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若1BE =，则矩形ABCD 的面积等于 33 ．【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质【分析】根据矩形的性质得到90B BAD ∠=∠=︒，求得30ACB ∠=︒，由作图知，AE 是BAC ∠的平分线，得到30BAE CAE ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到AE CE =，过E 作EFAC 于F ，求得1EF BE ==，求得223AC CF ==3AB 3BC =，于是得到结论．【解答】解：四边形ABCD 是矩形， 90B BAD ∴∠=∠=︒， 60BAC ∠=︒， 30ACB ∴∠=︒，由作图知，AE 是BAC ∠的平分线， 30BAE CAE ∴∠=∠=︒， 30EAC ACE ∴∠=∠=︒， AE CE ∴=，过E 作EFAC 于F ，1EF BE ∴==，223AC CF ∴== 3AB ∴3BC =，∴矩形ABCD 的面积33AB BC ==，故答案为：33．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）计算：02|2|(31)(2)tan45--++--︒．【考点】零指数幂；实数的运算；特殊角的三角函数值【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式21414=-+-=．18．（5分）化简：(12)2(1)(1)a a a a-++-．【考点】单项式乘多项式；平方差公式【分析】先去括号，再注意到(1)(1)a a+-可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可【解答】解：原式2222(1)a a a=-+-22222a a a=-+-2a=-19．（5分）解不等式组：215113x xxx-<+⎧⎪⎨+<-⎪⎩①②．【考点】解一元一次不等式组【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：215113x xxx-<+⎧⎪⎨+<-⎪⎩①②解不等式①得：6x<，解不等式②得：2x>，所以，不等式组的解集为26x<<．20．（6分）如图，AB DE=，BF EC=，B E∠=∠，求证：//AC DF．【考点】全等三角形的判定与性质【分析】要证明//AC DF ，只要证明ACB DFE ∠=∠即可，要证明ACB DFE ∠=∠，只要证明ABC DEF ∆≅∆即可，根据题目中的条件可以证明ABC DEF ∆≅∆，本题得以解决． 【解答】证明：BF EC =， BF FC EC FC ∴+=+， BC EF ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中， AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC DEF SAS ∴∆≅∆， ACB DFE ∴∠=∠， //AC DF ∴．21．（6分）2020年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用1A ，2A ，3A ，4A 表示）； 第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用1B ，2B ，3B 表示）． （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率． 【考点】列表法与树状图法【分析】（1）利用画树状图展示所有12种等可能的结果数；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率21126==．22．（7分）如图，8AC =，分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D ．依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O ． （1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由； （2）求BD 的长．【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD 为菱形；（2）根据菱形的性质得4OA OC ==，OB OD =，AC BD ⊥，然后利用勾股定理计算出OB ，从而得到BD 的长．【解答】解：（1）四边形ABCD 为菱形； 由作法得5AB AD CB CD ====， 所以四边形ABCD 为菱形； （2）四边形ABCD 为菱形，4OA OC ∴==，OB OD =，AC BD ⊥，在Rt AOB ∆中，22543OB =-， 26BD OB ∴==．23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过等边三角形BOC 的顶点B ，2OC =，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，OA ． （1）求反比例函数(0)ky k x=≠的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是33A 的坐标．【考点】等边三角形的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征【分析】（1）作BD OC ⊥于D ，根据等边三角形的性质和勾股定理求得1OD =，3BD =进而求得三角形BOD 的面积，根据系数k 的几何意义即可求得3k 数的表达式；（2）求得三角形AOC 的面积，即可求得A 的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A 的坐标．【解答】解：（1）作BD OC ⊥于D ，BOC ∆是等边三角形，2OB OC ∴==，112OD OC ==， 223BD OB OD ∴=-=132OBD S OD BD ∆∴=⨯= 1||2OBD S k ∆=， ||3k ∴= 反比例函数(0)k y k x=≠的图象在一三象限， 3k ∴=∴反比例函数的表达式为3y =； （2）1123322OBC S OC BD ∆==⨯⨯= 3333AOC S ∆∴==1232AOC A S OCy ∆==， 23A y ∴=，把23y =代入3y =，求得12x =， ∴点A 的坐标为1(2，23)．24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生(25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一 分数段班级6070x < 7080x < 8090x < 90100x 八年级1班7 5 10 3 分析数据：表二 统计量班级平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级1班 78 80 85 36 105.28 小丽用同样的方法对八年级2班全班学生(25名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量班级平均数 中位数 众数 极差 方差八年级2班75767344146.80根据以上信息，解决下列问题：x<这一组的数据如下：（1）已知八年级1班学生的成绩在809085，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．【考点】中位数；算术平均数；方差；极差；频数（率)分布表；众数x<这一组中最小的数即可；【分析】（1）根据中位数的定义找出第13个数，然后确定8090（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1班学生的成绩更为优异．x<这一组中，此组最小的数为第【解答】解：（1）共有25个数据，第13个数落在809013个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD ． 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角ADC ∠最大(77.44)ADC ∠=︒；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳蓬CD 的夹角BDC ∠最小(30.56)BDC ∠=︒．窗户的高度2AB m =．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560.51︒≈，cos30.560.86︒≈，tan30.560.59︒≈，sin77.440.98︒≈，cos77.440.22︒≈，tan77.44 4.49)︒≈【考点】解直角三角形的应用【分析】根据正切的定义分别用CD 表示出BC 、AC ，根据题意列式计算即可．【解答】解：在Rt DCB ∆中，tan BC BDC CD∠=， 则tan 0.59BC CD BDC CD =∠≈，在Rt DCA ∆中，tan AC ADC CD ∠=， 则tan 4.49AC CD ADC CD =∠≈，由题意得，AC BC AB -=，即4.490.592CD CD -=，解得，0.5CD m ≈，答：遮阳蓬CD 的长约为0.5m ．26．（9分）如图，在ABC ∆中，6AB AC cm ==，8BC cm =，点D 为BC 的中点，BE DE =，将BDE ∠绕点D 顺时针旋转α度(083)α︒，角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为xcm ，M ，N 两点间的距离为ycm ．小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B ，M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值：请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点(,)x y ，并画出函数y 关于x 的图象．（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y的变化趋势： ．（4）解决问题：当2MN BM =时，BM 的长度大约是 cm ．（保留两位小数）．【考点】动点问题的函数图象【分析】（1）①当0x BM ==时，则123cos BD y MN BN α====；②222809MD HD EH =+=，则tan y MN MD α==，即可求解；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势；（3）2MN BM =，即2y x =，在上图中作直线2y x =，即可求解．【解答】解：（1）①当0x BM ==时，连接AD ，则AD BC ⊥，142BD CD BC ===，2cos cos3BDABDABα∠===，则5sin3α=，则123cosBDy MN BNα====；②83x BM==，在MBD∆中，4BD=，83BM=，2cos cos3Bα∠==，5tan2α=，过点M作MH BD⊥于点H，则16cos9BH BMα==，则85EH=，222809MD HD EH=+=，则222BD BM MD=+，故90BMD∠=︒，则10tan(sin)tan3 y MN MD DBααα====；故：答案为3，103；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：0 1.25x 时，y 随x 最大而减小，当1.25 4.10x <时，y 随x 最大而增大；（3）2MN BM =，即2y x =，在上图中作直线2y x =，直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45，故答案为：2.68或7.45．27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，可以推理得到ABC DAE ∆≅∆，进而得到AC DE =，BC AE =． 我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt ABC ∆内接于O ，90ACB ∠=︒，2BC =，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，DAE ABC ∠=∠，1DE =，连接DO 交O 于点F ．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G ，连接FB ．求证：2FG GO GB =．【考点】MR ：圆的综合题【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在AB 上，AB 为O 直径，故只需证AD AB ⊥即可．由90ABC BAC ∠+∠=︒和DAE ABC ∠=∠可证得90DAE BAC ∠+∠=︒，而E 、A 、C 在同一直线上，用180︒减去90︒即为90BAD ∠=︒，得证．（2）依题意画出图形，由要证的结论2FG GO GB =联想到对应边成比例，所以需证FGO BGF ∆∆∽．其中FGO BGF ∠=∠为公共角，即需证FOG BFG ∠=∠．BFG ∠为圆周角，所对的弧为弧BC ，故连接OC 后有12BFG BOC ∠=∠，问题又转化为证12FOG BOC ∠=∠．把DO 延长交BC 于点H 后，有FOG BOH ∠=∠，故问题转化为证12BOH BOC ∠=∠．只要OH BC ⊥，由等腰三角形三线合一即有12BOH BOC ∠=∠，故问题继续转化为证//DH CE ．联系【模型呈现】发现能证DEA ACB ∆≅∆，得到2AE BC ==，1AC DE ==，即能求AD AB =O 为AB 中点，可得到AO AD DE AE==，再加上第（1）题证得90BAD ∠=︒，可得DAO AED ∆∆∽，所以ADO EAD ∠=∠，//DO EA ，得证．【解答】证明：（1）O 为Rt ABC ∆的外接圆O ∴为斜边AB 中点，AB 为直径90ACB ∠=︒90ABC BAC ∴∠+∠=︒DAE ABC ∠=∠90DAE BAC ∴∠+∠=︒180()90BAD DAE BAC ∴∠=︒-∠+∠=︒AD AB ∴⊥AD ∴是O 的切线（2）延长DO 交BC 于点H ，连接OCDE AC ⊥于点E90DEA ∴∠=︒ AB 绕点A 旋转得到ADAB AD ∴=在DEA ∆与ACB ∆中90DEA ACB DAE ABCDA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DEA ACB AAS ∴∆≅∆2AE BC ∴==，1AC DE == 225AD AB AC BC ∴==+=O 为AB 中点152AO AB ∴== ∴5AO AD DE AE== 90DAO AED ∠=∠=︒DAO AED ∴∆∆∽ADO EAD ∴∠=∠//DO EA ∴90OHB ACB ∴∠=∠=︒，即DH BC ⊥OB OC =OH ∴平分BOC ∠，即12BOH BOC ∠=∠ FOG BOH ∠=∠，12BFG BOC ∠=∠ FOG BFG ∴∠=∠FGO BGF ∠=∠FGO BGF ∴∆∆∽∴FG GO BG GF= 2FG GO GB ∴=28．（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，可以推理得到ABC DAE ∆≅∆，进而得到AC DE =，BC AE =． 我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点(1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）连接BD ，当32t =时，求DNB ∆的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当54t =时，在直线MN 上存在一点Q ，使得90AQC OAC ∠+∠=︒，求点Q 的坐标． 【考点】二次函数综合题【分析】（1）将点(1,0)-，(4,0)B 代入22y ax bx =++即可；（2）由已知分别求出(2,0)M ，(2,1)N ，(2,3)D ，根据DNB ∴∆的面积DMB =∆的面积MNB -∆的面积即可求解；（3）由已知可得(21,0)M t -，设(21,)P t m -，根据勾股定理可得222(21)(2)PC t m =-+-，222(25)PB t m =-+，再由PB PC =，得到m 与t 的关系式：45m t =-，因为PC PB ⊥，则有474512125t t t t --=---求出1t =或2t =，即可求D 点坐标； （4）当54t =时，3(2M ，0)，可知点Q 在抛物线对称性32x =上；过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与32x =的交点分别为1Q 与2Q ，由5AB =，可得圆半径52AM =，即可求Q 点坐标分别为3(2，5)2-，3(2，5)2． 【解答】解：（1）将点(1,0)-，(4,0)B 代入22y ax bx =++，12a ∴=-，32b =， 213222y x x ∴=-++； （2）(0,2)C ，BC ∴的直线解析式为122y x =-+， 当32t =时，3AM =， 5AB =，2MB ∴=，(2,0)M ∴，(2,1)N ，(2,3)D ，DNB ∴∆的面积DMB =∆的面积MNB -∆的面积111222222MB DM MB MN =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯=； （3）52BM t =-，(21,0)M t ∴-，设(21,)P t m -，222(21)(2)PC t m =-+-，222(25)PB t m =-+，PB PC =，2222(21)(2)(25)t m t m ∴-+-=-+，45m t ∴=-， (21,45)P t t ∴--， PC PB ⊥， ∴474512125t t t t --=--- 1t ∴=或2t =， (1,0)M ∴或(3,0)M ， (1,3)D ∴或(3,2)D ；（4）当54t =时，3(2M ，0)， ∴点Q 在抛物线对称性32x =上， 如图：过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与32x =的交点分别为1Q 与2Q ，5AB =，52AM ∴=， 190AQ C OAC ∠+∠=︒，90OAC MAG ∠+∠=︒，1AQ C MAG ∴∠=∠，又1AQ C CGA MAG ∠=∠=∠，13(2Q ∴，5)2-， 1Q 与2Q 关于x 轴对称，23(2Q ∴，5)2， Q ∴点坐标分别为3(2，5)2-，3(2，5)2；。