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九年级数学上册《直角三角形》同步练习1 北师大版

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九年级上第一章 第二节直角三角形试题资料库：例1. （1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，求c 。

（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝40，c ＝41，求b 。

解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴c a b 222=+ 又∵c ＞0，∴c a b =+=+=22226810 （2）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴b c a 222=- 又∵b ＞0，∴b c a =-=-=222241409例2. 已知直角三角形的两边长AB cm BC cm ==68，，求第三边的长。

解：（1）若AB 、BC 均为直角边AC AB BC =+=+=22226810（2）若BC 为斜边AC BC AB =-=-=-==22228664362827例3. （1）在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ：BC ：AB ＝___________；（2）如图所示，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，则BC ：AC ：AB ＝___________；若AB ＝8，则AC ＝___________；又若CD ⊥AB ，则CD ＝___________。

CA DB（3）等边△ABC 的边长为a ，则高AD ＝___________，S ABC ∆=___________。

解：（1）112：：（2）1324323：：；；（3）32342a a ；通过此题总结几个基本图形中的常用结论： ①等腰直角三角形三边比为112：：②含30°角的直角三角形三边之比为132：：③边长为a 的等边三角形的高为32a，面积为342a例4. 如图所示，AB AC BC ===2032，，∠DAC ＝90°，求BD 的长。

A解：作AE ⊥BC 于E 设BD 为x ，则DE x =-16AE AC EC 222=-又AD DE AE DC AC 22222=+=-将上式代入，得：DE AC EC DC AC 22222+-=- 即22222AC DC EC DE =+-()()∴2203216162222⨯=-+--x x 解得：x =7例5. 如图所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＞BC 。

求证：()AC BC AD BD AB AD BD 2222-=-=-分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。

Rt △ACD 中，AC AD CD 222=+Rt △BCD 中，BC CD BD 222=+（2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理：()()AC BC AD CD CD BD 222222-=+-+()()()=-=+-=-AD BDAD BD AD BD AB AD BD 22例6. 设CD 是△ABC 的边AB 上的高，且CD 2＝AD ·DB ，求证：∠ACB ＝90°。

CA D B思维入门指导：要得到∠ACB ＝90°，除了知道∠ADC ＝∠BDC ＝90°之外没有别的角的条件，但题中告诉了CD 2＝AD ·BD ，提醒我们是否由AC 2＋BC 2＝AB 2得到△ACB 是直角三角形，从而得到∠ACB ＝90°。

解法一：∵CD ⊥AB 于D ∴=+AC AD CD 222又· CD AD DB 2=()∴=+=+=+=AC AD CD AD AD DB AD AD DB AD AB 2222··同理：·BC BD AB 2= ()∴+=+=+==AC BC AD AB BD AB AB AD BD AB AB AB 222···∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90° 解法二：∵CD ⊥AB 于D∴=+=+AC AD CD BC BD CD 222222，∴+=+++=++AC BC AD CD BD CD AD BD CD 2222222222 又· CD AD BD 2=()∴+=++=+=AC BC AD BD AD BD AD BD AB 2222222·∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90°点拨：这两种解法的总体思路是一致的，只是在变形中采取了不同的方法。

例7. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积。

思维入门指导：要求四边形ABCD 的面积，得把四边形ABCD 分割成三角形，连结AC ，△ABC 是Rt △，若△ACD 也是Rt △，问题就解决了。

解：连结AC∵∠B ＝90°，∴△ABC 是直角三角形 依据勾股定理得：AC AB BC 22222243255=+=+== ∴AC ＝5在中，，∆ACD AD CD AC 222222131********==+=+= ∴=+AD AC CD 222∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°∴四边形ABCD 的面积＝△ABC 的面积＋△ACD 的面积=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=121212431212563036AB BC AC CD一变：把∠B ＝90°变成∠ACD ＝90°，其它不变。

二变：把∠B ＝90°变成AC ＝5，其它不变。

点拨：经过变化，整体思路没变，均利用直角三角形的判定条件。

例8. 已知：如图，ΔABC 中，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，AD ⊥BC 交BE 于F 。

求证：AE ＝AFAB D C证明：∵AD⊥BC ∴∠1＋∠5＝90°（直角三角形两锐角互余）又∵∠3＝∠5（对顶角相等）∴∠1＋∠3＝90°又∵∠BAC＝90°∴∠2＋∠4＝90°（直角三角形两锐角互余）又∵∠1＝∠2 ∴∠3＝∠4∴AE＝AF（等角对等边）例9. 已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC。

求证：A DBC∠=∠21分析：只需作出∠A的角平分线，转化为证角相等，注意到等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的平分线“三线合一”，所以辅助线有多种添法。

证明：作AH⊥BC于H∵AB＝AC ∴∠BAH＝∠CAH（等腰三角形三线合一）ACAH∠=∠∴21在RtΔAHC和RtΔBDC中，分别有∠CAH＋∠C＝90°∠DBC＋∠C＝90°∴∠CAH＝∠DBC（同角的余角相等）ADBC∠=∠∴21例10.. 已知：如图，ΔABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB于E。

求证：AB AE41=AEB D C1分析：在等腰三角形中可通过添加底边上的高线，产生直角三角形，利用“三线合一”得到直角三角形的30°，再利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可以证明。

证明：连结AD︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠∴︒=∠⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠⊥∴==30901601120211BBBACBACBCADDCBDACAB余）（直角三角形两锐角互）（等腰三角形三线合一，在RtΔABD中∵∠B＝30°ABAD21=∴（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）同理可证ADAE21=ABAE41=∴例11. 如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB。

分析：已知的36米是AC与AB的和，若设AB为x米，则AC为（36－x）米，这样就可以利用勾股定理列方程求解了。

解：设AB ＝x 米，则AC ＝（36－x ）米∵AB ⊥BC ，∴222AC BC AB =+∴222)36(24x x -=+∴x ＝10，∴折断处的高度AB 是10米。

例12. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中△ABC•中的∠C ＝90°，AC ＝4000米，AB ＝5000米，•要求出飞机这时飞行多少千米，•就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC 长，在这个问题中，•斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC 的长．解： 根据题意可得示意图：(如图)在△ABC•中的∠C ＝90°，AC ＝4000米，AB ＝5000米，根据勾股定理可得：BC ＝AB 2+AC 2＝50002+4000 2＝3000(千米） 所以：飞机飞行了3000千米.【点拨】注意勾股定理的应用条件是必须在直角三角形中，另外还要辨别要求的边是斜边，还是直边，进而选择利用勾股定理公式还是变形公式。

例13在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x 尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股定理可求得 （x+1）2＝x 2+52，x 2+2x+1＝x 2+25 解得x ＝12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.例14如图，在长方形ABCD 中，DC ＝5cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把ΔAED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若ΔABF 的面积为30cm 2，那么折叠的ΔAED 的面积为______.分析： 注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解.解：由已知条件可得BF ＝12，则在Rt ΔABF 中，AB ＝5，BF ＝12根据勾股定理可知AF ＝13，再由折叠的性质可知AD ＝AF ＝13，所以FC ＝1，可设DE ＝EF ＝x ，则EC ＝5－x ，则在Rt ΔEFC 中，可得方程：12＋(5－x)2＝x 2.解这个方程，得x ＝135.所以S ΔAED ＝12×135×13＝16.9(cm 2).例15 在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？分析：如图所示，其中一只猴子从A C B →→共30m ，另一只猴子从A D B →→也共走了30m 。

并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。

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九年级数学上册直角三角形 同步练习(二)北师大版

九年级数学上册直角三角形 同步练习(二)北师大版

1 / 3直角三角形 同步练习(二)（卷面分7分）班级 某某得分一、判断题（请判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，若全等，请在括号里加注理由）（每空3分，共15分）1．一个锐角和这个锐角的对边对应相等（ ） 2．一个锐角和这个锐角相邻的一直角边对应相等（ ） 3．一个锐角和一斜边对应相等（ ） 4．两直角边对应相等（ ） 5．两锐角对应相等（ ） 二、选择题（每空5分，共15分）1．如图，点P 是∠BAC 内一点，且P 到AB ，AC 的距离PE=PF ，则⊿PEA ≌⊿PFA 的理由是………………………………………………………………（ ）A ．HLB ．AASC ．SSSD ．SAS2．下列条件中，不能使两个三角形全等的条件是……………………（ ） A ．两边一角对应相等 B ．两角一边对应相等C ．三边对应相等D ．两边和她们的夹角相等3．如图，⊿ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等的直角三角形的对数是………………（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对三、填空题：（完成下面的证明）（每空1分，共23分）如图所示，已知：AB=AC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，DC ，BE 相交于F.求证：AF 平分∠BAC.证明：∵ CD ⊥AB ，BE ⊥AC （ ）2 / 3∴∠ADC=∠AEB = 90°（ ） 在⊿ADC 和⊿AEB 中，∠=∠（ ） ∠=∠（ ）AC=AB （ 已知 ） ∴⊿ADC ≌⊿AEB （ ） ∴=（ ）在Rt ⊿ADF 和Rt ⊿AEF 中， =（ ） =（ ）∴Rt ⊿ADF ≌Rt ⊿AEF （ ） ∴∠=∠（ ）∴ AF 平分∠BAC （ ）四、解答题（每小题10分，共40分）1． 已知：如图，D 是⊿ABC 的BC 边的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且DE=DF. 求证：⊿ABC 是等腰三角形.2． 已知：如图，AB=CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE=BF.求证：（1）AE=CF ；（2）AB ∥CD.DBAB3．在⊿ABC中，已知∠A，∠B，∠C的度数之比是1∶2∶3，AB=3，求AC的长.4．如图，在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB = AC = a，AD是⊿ABC的高，求AD的长.C3 / 3。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．2．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sin A＝，tan C＝，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3）与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么cosα的值是（）A．3B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．25．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（）A．+1B．﹣1C．D．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．若BD＝9，DC＝5，cos B＝，E为边AC的中点，则cos∠ADE的值为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．6D．8二．填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为．12．已知等腰三角形两条边的长分别是4，6，底角为α，则cosα＝．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为．14．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当n＝2时，则tanα＝；当tanα的值最大时，n的值为．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AC上，∠ABE＝45°，tan∠CBE＝，若AD＝BC，AC＝2，则线段BC的长是．三．解答题16．根据下列条件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9．17．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin∠AOB＝，点A的坐标为（，0）．（1）求点B的坐标；（2）求sin∠OAB的值．18．如图，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°，∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，过B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，AC＝30，sin B＝，求：（1）线段CD的长．（2）cos∠BDE的值．20．如图（1），在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，以下是某同学推理证明的过程：证明：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴根据你掌握的三角函数知识，请在图（2）中的锐角△ABC中，求证：．参考答案一．选择题1．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∴sin A＝＝＝，∴AB＝3，∴AC＝＝＝．故选：A．2．解：∵sin A＝，∴∠A＝60°，∵tan C＝，∴∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．∴△ABC是等边三角形．故选：C．3．解：如图，过P点作P A⊥x轴于A，则∠POA＝α，∵点P的坐标为（1，3），∴OA＝1，P A＝3，∴tan∠POA＝＝＝3，即tanα＝3．故选：D．4．解：∵∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝，∴AB＝BC＝×＝2，∴AC＝＝＝＝．故选：C．5．解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．6．解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tan B＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选：C．7．解：如图：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，∴∠BAD＝∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝1+，在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．8．解：∵AD⊥BC，BD＝9，cos B＝，∴AB＝＝15，AD＝＝12，∵DC＝5，∴AC＝＝13，∵E为边AC的中点，∴ED＝，∴∠EDA＝∠DAE，∴cos∠EDA＝cos∠DAE＝，故选：D．9．解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，∴AD＝，∴tan∠BAD＝．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴tan∠BDE＝tan∠BAD＝，故选：C．10．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4，∵AB＝4，∴BE＝AB+AE＝8，∴BC＝＝＝4，故选：B．二．填空题11．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝，故答案为：．12．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝4，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝3，在Rt△ABD中，cos B＝＝，当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝6，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝2，在Rt△ABD中，cos B＝＝＝，综上所述：cosα＝或，故答案为：或．13．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故答案为：2．14．解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，如图所示：则∠AMC＝90°，∠ANB＝90°，∵直线y＝﹣2与x轴平行，∴∠ABN＝α，∠CGB＝90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∵∠AMC＝∠CGB＝90°，∴△AMC∽△CGB，∴，设BG＝m，∵点A坐标为（4，3），点C坐标为（0，n），∴AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∴＝，当n＝2时，可得，解得m＝1，∴GB＝1，BN＝3，∴tanα＝＝；∵tanα＝，当BN最小，即BG最大时，tanα最大，∵＝，∴m＝﹣（n﹣3）（n+2）＝﹣（n﹣）2+，∵﹣＜0，∴当n＝时，m取得最大值，即tanα最大，故答案为：，．15．解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，设AD与BF交于点G，∵∠ABE＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝BF，∵∠GDB＝∠AFG＝90°，∠BGD＝∠AGE，∴∠GBD＝∠F AG，∴tan∠GBD＝tan∠F AG，∴＝＝，设DG＝x，则BD＝2x，∴BG＝＝x，设FG＝a，则AF＝2a，∴BF＝AF＝2a，AG＝＝a，∴BG＝BF﹣FG＝a，∴a＝x，∴AD＝AG+DG＝a+x＝6x，∵DC＝BC﹣BD＝AD﹣BD＝a+x﹣2x＝a﹣x＝4x，在Rt△ADC中，根据勾股定理得AD2+DC2＝AC2，∴（6x）2+（4x）2＝（2）2，∴x＝1（负值舍去），∴BC＝AD＝6x＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∴a＝b＝12，∴∠B＝30°，b＝4，a＝12；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，c＝2a＝6，∴∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6．17．解：（1）过点B作BC⊥OA于点C，在Rt△BOC中，OB＝4，sin∠AOB＝，∴BC＝OB•sin∠AOB＝4×＝3，∴，∴点B的坐标为（，3）；（2）∵点A的坐标为（，0），∴OA＝，∴AC＝OA﹣OC＝＝，∵∠ACB＝90°，∴，∴，∴sin∠OAB的值为．18．解：如图，设CE交BD于G．∵∠A＝∠A＝90°，∠ADC＝∠ABD，∴△ADC∽△ABD，∴，，解得AD＝5，∴DC＝＝，DB＝＝，∵∠A＝∠ECD＝∠CBE＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ECB，设∠DBA＝∠CDA＝α，则∠ECB＝α，∴∠GCB＝∠GBC＝α，∴CG＝GB，设CG＝GB＝x，∴DG＝﹣x，∴（）2+x2＝（﹣x）2，解得x＝，∴tan∠CDB＝＝．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝30，sin B＝＝，∴AB＝50，∵D为直角三角形ABC斜边上的中点，∴CD＝AB＝25；（2）∵AB＝50，D为AB的中点，∴AD＝BD＝25，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝40，由勾股定理得：BE2＝BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2，即252﹣DE2＝402﹣（25+DE）2，解得：DE＝7，∴cos∠BDE＝＝．20．解：过C点作CD⊥AB于D，过B点作BE⊥AC于E，∴sin A＝，sin B＝，∴CD＝b sin∠A＝a sin B，∴，同理，∴．。

1.2直角三角形练习1【北师大版九年级数学上册】

1.2直角三角形练习1【北师大版九年级数学上册】

1.2直角三角形练习【知识要点】【能力要求】勾股定理及其逆定理的证明，原命题和逆命题的概念进一步掌握推理证明的方法，能够证明直角三角形全等的“ 判定定理，HL”会识别两个互逆命题._S—T习[来源:wwwshulihu]【基础练习】一、填空题：1. 命题“两条平行线被是______________ ；2. 命题“矩形是正方形”这是一个_____________'一、选择题：1. 若等腰三角形的顶角是120 ° ,底边长为. 3 23A. cmB. cm3 32. 若直角三角形两直角边上的中线长分别为角形的斜边长为（）.B. 4 10 cm第三条直线所截，同位角相等”的逆命题命题，它的逆命题是2cm,则它的腰长等于（4 3D. cm32 10 cm,则这个直角三C. 2cm5cm和);A. 10cm二、解答题:C. .13 cmD. 2 . 13 cm1.已知：如图，梯形ABCD中，AB// DC, BC = CD 求该梯形的面积.=DA = 2AB = 10cm.试2.已知：△ ABC中，AB = 13, BC = 10, BC边上的中线AD = 12.求证：△ ABC是等腰三角形.【综合练习】如图1-20, Rt△ ABC中，AB = AC, D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点, 且DE丄DF.若BE = 12cm, CF = 5cm,求厶DEF的面积.【探究练习】、1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；2.假，正方形是矩形，真; 、1. B ；2. D.三、1. 75、_3cm 2; 2.提1 【综合练习】12; cm 2. 4【探究练习】（略）我们知道，命题“直角三角形斜边上的高是它分斜边所成的两条线段的 比例中项”是一个真命题，试写出它的逆命题，并判断它是否是真命题, 如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由• 纠正错解 ［来源 : 数理化网］ ［来源:www.shulihua.n et ］ 示：证△ ABD 是直角三角形［来源:wwwshulihu ］ 练习答案 【基础练习】。

2021-2022学年北师大版九年级数学《第1章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学《第1章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试（附答案）一．选择题（共6小题，满分30分）1．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则tan B的值为（）A．B．C．D．2．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（）A．B．2C．或4D．2或43．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD 的正切值是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长度为（）A．2B．8C．D．5．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan ∠CPN为（）A．1B．2C．D．6．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度i＝1：1，则两个坡角的和为（）A．90°B．60°C．75°D．105°二．填空题（共10小题，满分50分）7．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．8．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB ＝5：7，则∠BAD的余弦值为．9．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．10．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）11．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．13．如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC 的长度约为米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）14．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为米．（参考数据：sin20°≈0.34）15．如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为cm．16．如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP的坡度为i＝1：（tanα＝），小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼的高度为（结果保留根号）．三．解答题（共5小题，满分40分）17．已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，CD＝，解这个直角三角形．18．如图，△ABC中，∠A＝30°，AC＝2，tan B＝，求AB的长．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．20．如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；（2）若AB＝5，cos∠ABD＝，求BD的长．21．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．①请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由．②如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）参考答案一．选择题（共6小题，满分30分）1．解：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，又∠B+∠BAD＝90°，∴∠CAD＝∠B，∴tan∠B＝，tan∠CAD＝，∴＝，即AD2＝BD•CD＝3×2＝6．∴AD＝．故tan∠B＝＝．故选：D．2．解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，当B2C＝2时，∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，∴CD＝，∴AD＝＝3，B2D＝＝1，∴AB2＝3﹣1＝2，同理可得，AB1＝3+1＝4，即AB的长为2或4，故选：D．3．解：∵CD是AB边上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴tan∠A＝，∴tan∠ACD的值．故选：D．4．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tan A＝＝＝，∴BC＝2．故选：A．5．解：连接格点MN、DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，故选：B．6．解：如图所示，∵ED：AE＝1：，∴∠A＝30°．∵CF：BF＝1：1，∴∠B＝45°．∴∠A+∠B＝30°+45°＝75°．故选：C．二．填空题（共10小题，满分50分）7．解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，∵BC＝，BD＝，∴sin∠ACB＝，故答案为．8．解：如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC＝CD＝5k，BC＝7k，∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，在Rt△ACH中，∵AH2+HC2＝AC2，∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，解得x＝3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），当x＝3k时，∴BH＝AH＝3k，DH＝k，AD＝k，DE＝BE＝k，AE＝2k，∴cos∠BAD＝＝＝，故答案为．9．解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB sin B＝5，BD＝AB cos B＝5，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD+CD＝6，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD﹣CD＝4，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．10．解：在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，在Rt△ADE中，可表示tan∠DAE＝＝＝1，∵tan∠BAC＜tan∠DAE，∴∠BAC＜∠DAE，故答案为：＜．11．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．12．解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．13．解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝10m，∴sin70°＝，解得：AO＝9.4（m），∵∠CDO＝50°，DC＝10m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝7.7（m），则AC＝9.4﹣7.7＝1.70（m），答：AC的长度约为1.70米．故答案为：1.70．14．解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，在Rt△ABE中，∵sinα＝，∴AE＝AB×sin20°≈68米，在Rt△BCG中，∵sinβ＝，∴BG＝BC×sin45°≈142米，∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，故答案为：21015．解：过B作BF⊥AC，由题可知BF＝30cm，AF＝30cm．∵tan∠BCA＝＝，∴CF＝270cm，∴AC＝CF﹣AF＝270﹣30＝240（cm）．故答案为：240．16．解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，∵山坡AP的坡度为i＝1：＝tanα＝＝，AP＝6米，∴α＝30°，∵PE⊥OB，∴PE＝AP＝3（米），AE＝PE＝3（米），∵PF⊥OC，∠CPF＝45°，∴△PCF是等腰直角三角形，∴CF＝PF，设CF＝PF＝m米，则OC＝（m+3）米，OA＝（m﹣3）米．在Rt△AOC中，∠OAC＝60°，∴∠ACO＝30°，∴OC＝OA，即m+3＝（m﹣3），解得：m＝6+6，∴OC＝6+6+3＝（6+9）米，即该居民楼的高度为（6+9）米，故答案为：（6+9）米．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°．∴∠B＝30°．又CD⊥AB于D．∴BC＝2CD＝2．，∴BD＝＝＝3．在直角三角形ACD中，∠A＝60°，CD＝∴AD＝＝＝1，AC＝2AD＝2，∴AB＝BD+AD＝4．18．解：过C点作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACD中，∵sin A＝，cos A＝，即sin30°＝，cos30°＝，∴CD＝×2＝，AD＝×2＝3，在Rt△BCD中，∵tan B＝，∴BD＝＝2，∴AB＝AD+BD＝3+2＝5．19．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cos A＝，∴AD＝＝10，∴＝＝8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD＝DE＝8；（2）由（1）AD＝10，DC＝8，∴AC＝AD+DC＝18，在△ADE与△ABC中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，即＝，∴BC＝24，∴．20．解：（1）补全的图形，如图所示，可得出∠AOB＝90°，理由如下：证明：由题意可知BC＝AB，DC＝AB，∵在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴BC＝DC＝AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD．在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AB＝5，cos∠ABD＝，∴OB＝AB•cos∠ABD＝3，∴BD＝2OB＝6．21．解：（1）过点P作PD⊥AB于点D．依题意可知，P A＝100海里，∠APD＝90°﹣30°＝60°，∠BPD＝45°．∴∠A＝90°﹣60°＝30°．∴PD＝P A＝50（海里），在Rt△PBD中，∠BPD＝45°，∴△PBD是等腰直角三角形，∴PB＝PD＝50（海里）≈70.7（海里）．答：B处距离灯塔P约70.7海里．（2）①海轮到达B处没有触礁的危险，理由如下：依题意知：OP＝150海里，PB＝50海里，∴OB＝OP﹣PB＝（150﹣50）海里≈79.3海里＞60海里，∴海轮到达B处没有触礁的危险．②过点O作OE⊥AB与E，交AB延长线于点E，则∠OEB＝90°，∵∠OBE＝∠PBD＝45°，∴OE＝OB sin∠OBE＝（150﹣50）×＝75﹣50≈56.07＜60，∴海轮从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．。