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联结词----否定、合取复合命题是用“联结词”将原子命题联结起来构成的.归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词：(1)否定“⌝”(2)合取“∧”(3) 析取“∨”和异或“”∨(4) 条件（蕴涵）“→”(5)双条件（等价）“∆”或记做“↔”一. 否定“⌝”表示：“…不成立”，“不…”.用于：对一个命题P的否定，写成⌝P，并读成“非P”.⌝P的真值：与P真值相反.例 P：2是素数.⌝P：2不是素数. P ¬P F T T F例1. P: 天津是一个城市.Q: 3是偶数.于是: ⌝ P: 天津不是一个城市.⌝ Q: 3不是偶数.例2. P:济宁学院处处清洁.Q:这些都是男同学.(注意,不是处处不清洁)⌝ P:济宁学院不处处清洁.⌝ Q:这些不都是男同学.二. 合取“∧”表示：“并且”、“不但…而且...”、“既…又...” “尽管…还…”.例 P：小王能唱歌.Q：小王能跳舞.P∧Q：小王能歌善舞. P∧Q读成P合取Q.P∧Q的真值为真，当且仅当P和Q的真值均为真.P Q P∧Q F F F F T F T F F T T T例3. 将下列命题符号化:(1)李平既聪明又用功.(2)李平虽然聪明, 但不用功.(3)李平不但聪明,而且用功.(4)李平不是不聪明,而是不用功.解: 设P:李平聪明. Q:李平用功.则 (1) P∧Q (2) P∧⌝ Q(3) P∧Q (4) ⌝(⌝ P)∧⌝ Q例4. 翻译下列命题的合取.(1) P: 我们在C403教室. Q: 今天是星期二.(2) S：李平在吃饭. R：张明在吃饭.解: (1) P∧Q :我们在C403教室且今天是星期二.(2) S∧R:李平与张明在吃饭.“∧”与日常语言中“与”“和”的不同之处：（1）逻辑学中允许两个相互独立无关，甚至相反的原子命题生成一个新命题.（2）自然语言中有时在不同意义时可以同时使用“与”“和”，但是不能都用“∧”翻译.（如：我和你是好朋友.李敏和李华是姐妹.）说明：“∧”属于二元运算符.合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真时，运算结果才为真，否则为假.自然语言中的表示“并且”意思的联结词，如“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…一面…”、“…和…”、“…与…”等都可以符号化为∧.。
离散数学（2）复习题一、判断题1、两个集合相等的充分必要条件是这两个集合互为补集。
（ × ）2、两个集合相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。
（ √ ）3、两个集合相等的充分必要条件是这两个集合互为幂集。
（ × ）4、对于任意一个集合A ，A f Í。
（ √ ）5、对于任意一个集合A ，A f Î。
（ × ）6、如果有限集合有n 个元素，则其幂集有2n 个元素。
（ √ ）7、设R 、S 是集合A 上的关系，且R S Ê，则()()s R s S Ê。
（ √ ）8、设R 、S 是集合A 上的关系，且R S Ê，则()()t R t S Ê。
（ √ ）9、设R 、S 是集合A 上的关系，且R S Ê，则()()r R r S Ê。
（ √ ）10、一个关系可以：既不满足自反性，也不满足非自反性。
（ √ ）11、一个关系可以：既不满足对称性，也不满足反对称性。
（ √ ）12、一个关系可以：既满足对称性，同时也满足反对称性。
（ √ ）13、若图G 是不连通的，则图G 的补图G -是连通的。
（ √ ）二、单项选择题1、由集合运算定义，下列各式正确的有（ A ）。
A.X ⊆X ⋃YB.X ⊇X ⋃YC.X ⊆X ⋂YD.Y ⊆X ⋂Y2、设A B -=∅，则有（ C ）。
A.B =∅B.B ≠∅C.A B ⊆D.A B ⊇3、对任意的集合A 、全集U ，下列命题为假的是（ D ）。
A.A ⋃∅ ＝A ，B.A ⋃U = UC.A ⋂∅ = ∅，D.A ⋂U = U4、集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x ∈A,y ∈A},则R 的性质为（ B ）。
A.自反的B.对称的C.传递的，对称的D.反自反的，传递的5、设R 和S 是集合A 上的任意关系，则下列命题为真的是（ A ）。
离散数学（第2版）——关于数学中重要的研究方向
离散数学是一门涉及数学中各种离散对象的研究方向，包括数论、图论、代数等。
离散数学是计算机科学、通信工程和其他许多工科领域的基础，对于理解计算机算法的原理和应用具有重要意义。
本文将对离散数学（第2版）这本数学教材进行介绍。
离散数学（第2版）是由美国杜克大学的Kenneth H. Rosen所著的数学教材。
这本书共分为五章，分别是基础概念、逻辑和计算、数论、图论、代数和应用。
第一章主要介绍了离散数学的基础概念，包括逻辑基础、集合、关系和函数。
第二章介绍了逻辑和计算的相关内容，包括命题逻辑、谓词逻辑、计算机科学中的逻辑和布尔代数。
第三章是关于数论的章节，包括质数、最大公约数、最小公倍数、模运算、同余方程等内容。
第四章是关于图论的章节，包括无向图、有向图、连通图、生成树、最短路径、最小生成树等内容。
第五章是关于代数和应用的章节，包括代数系统、群、域、同余环、线性代数和代数应用等内容。
本书还附有大量的练习题，帮助读者检验自己的学习效果。
离散数学（第2版）是一本系统而全面的数学教材，涵盖了离散数学的各个方面。
它适合作为计算机科学和工科领域的数学基础教材，也可作为普及离散数学的参考书。
本节小结：要熟练掌握这五个联结词在自然语言中所表示的含义以及它们的真值表的定义。
P Q P∧Q P∨Q P→Q P↔QF F F F T TF T F T T FT F F T F FT T T T T T1-5. 重言(永真)蕴涵式有些重言(永真)式，如(P∧(P→Q))→Q，公式中间是“→”联结词，是很重要的，称之为重言蕴涵式。
1.定义：如果公式A→B是重言式，则称A重言(永真)蕴涵B，记作A⇒B。
上式可以写成(P∧(P→Q))⇒Q注意符号“⇒”不是联结词，它是表示公式间的“永真蕴涵”关系，也可以看成是“推导”关系。
即A⇒B可以理解成由A可推出B，即由A为真，可以推出B也为真。
2.重言(永真)蕴涵式A⇒B的证明方法方法1.列真值表。
(即列A→B的真值表)这里就不再举例了。
下面讨论另外两种方法。
A B A→B F F T F T T T F F T T T先看一看A→B的真值表，如果A→B为永真式，则真值表的第三组指派不会出现。
于是有下面两种证明方法(解释法）。
方法2.假设前件为真，推出后件也为真。
例如求证：P ∧(P→Q)⇒Q证明:设前件P ∧(P→Q) 为真，则P、(P→Q)均真，所以Q为T。
∴P ∧(P→Q) ⇒Q方法3.假设后件为假，推出前件也为假。
例如求证：P ∧(P→Q)⇒Q证明:假设后件Q为F。
1.如P为F，则前件P ∧(P→Q)为F2.如P为T，则(P→Q)为F，所以前件P ∧(P→Q)为假。
∴P ∧(P→Q)⇒Q蕴涵式的直观意义设P：天下雨。
Q：马路湿。
则P∧（P→Q）⇒Q表示：如果天下雨，则马路湿；现在天下雨，所以，马路一定是湿的。
（Q∧（P→Q）⇒P？⌝Q∧（P→Q）⇒⌝P？）论证以下推理的正确性。
⏹P：x是偶数Q：x2是偶数⏹如果x是偶数，则x2是偶数；x是偶数，所以x2是偶数。
⏹如果x是偶数，则x2是偶数；x2是偶数，所以x是偶数。
⏹如果x是偶数，则x2是偶数；x不是偶数，所以x2不是偶数。
