学习内容： 1．（）2=a（a≥0）． 2．＝a（a≥0） 学习目标： 1、理解=a（a≥0）和（）2=a（a≥0），并利用它进行计算和化简． 2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；=a（a≥0）最后运用结论严谨解题． 教学过程 一、自主学习 （一）复习引入 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？ （二）学生学习课本知识5、6，7页 （三）、探究新知 1、根据算术平方根的意义填空： （）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______； 同理可得：（）2=2， （）2=9， （）2=3， （）2=， （）2=0，所以 （）2=a（a≥0） 2，例1 计算1、（）2=2、（3）2=3、（）2=4、（）2= 3，注意：1、（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用． 2、用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数； 用探究的方法导出（）2=a（a≥0）． 1、填空：根据算术平方根的意义，=___；=___；=__ ；=___；=_ _ ；=___． 2、 重点：=a（a≥0） 例1 化简 （1） （2） （3） （4） 解：（1）==（2）==（3）==（4）==3、 注意：（1）＝a（a≥0）．（2）、只有a≥0时，＝a才成立． 二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 例2 计算 1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 例3 在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 例2 填空：当a≥0时，=_____；当aa，则a可以是什么数？ 因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当aa，即使-a>a，a<0综上，a2，化简-． 四、课堂检测 （一）、选择题 1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．的值是（ ）． A．0 B． C．4 （二）、填空题 1．（-）2=________． 2．已知有意义，那么是一个_______数． 3．-=________． 4．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________． （三）、综合提高题 1．计算 （1）（）2 （2）--（）2 （3）（-3）2 (4) ========2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5=（2）3.4=（3） （4）x（x≥0）=3．已知+=0，求xy的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
2023年高考桂林、崇左市联合调研考试理科数学参考答案1~12：CBAAA BCDAA BA 13.114.4315.2.816.π)12(+17.解：（1）由题中表格可得22⨯列联表如下：阅读爱好者非阅读爱好者合计男生451055女生301545合计7525100……………………………………………………………………………………………………2分由题意得K 2＝……………………………………………………………………………………………………5分所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关.……………………………………………………………………………………………………6分（2）根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取，[)90,80内应抽取3人，[]100,90内应抽取2人，…………………………7分所以，X 的取值为0，1，2101)0(3533===C C X P ，53106)1(351223====C C C X P ，103)2(352213===C C C X P …………………………10分所以X 的分布列为：X 012P10153103…………………………………………………………………………11分5610325311010)(=⨯+⨯+⨯=X E 所以X 的数学期望是65……………………………………………………………………12分18.解：（1）nn n a S 21-=+ n n n n S S S 21--=∴+……………………………………1分nn n S S 221+=∴+212211=-∴++n n n n S S …………………………………………………………………………3分又11=a ，2121=∴S …………………………………………………………………………4分所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n S 2是以21为首项和公差的等差数列.………………………………5分z（2）由（1）知：2)121212n n S n n =-+=（所以12-⋅=n n n S ………………………………………………………………………6分()()()112222122n n n n n n a S n a n n -+-∴=+=+∴=+≥又11a =满足上式()()212n n a n n N -*∴=+∈…………………………………………8分因为n N *∀∈，()62nn n a λ-≥所以()()26122n nn n λ--+≥所以()()61,4n n n N λ*-+∀∈≥………………………………9分记()()()()614n n f n n N *-+=∈则只需()minf n λ≥…………………………………………10分又()f n 在51,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为n N*∈所以()()()min 233f n f f ===-所以3λ≤-所以λ的最大值为3-…………………………………………12分19.（1）证明：连接AOO 为BC 中点，ABC ∆为等边三角形∴AO BC⊥ 点P 在底面ABC 上的射影为点O ∴PO ⊥面ABC∴PO BC ⊥……………………………………………………2分由BC AO ⊥，BC PO ⊥，AO PO O ⋂=，AO ⊂面APO ，PO ⊂面APO得BC ⊥面APO ……………………………………………………4分AM ⊂面APO∴BC AM ⊥………………………………………………5分（2）由已知及（1）可知，OB ，OA ，OP 两两互相垂直∴以OB ，AO ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………………………………………6分则()0,3,0A -，()3,0,0BBO 为PB 在底面ABC 上的射影∴PBO ∠为PB 与面ABC 所成角，∴3PBO π∠=，∴3,PO =……………………………………7分∴()0,0,3P ，假设符合题意的点M 存在，且设()()0,0,03M c c <<来源：高三答案公众号设(),,m x y z =为面PAB 的法向量，则0PA m ⋅= ，0PB m ⋅= ()0,3,3PA =--，)3PB =-∴33030y z z --=⎧⎪-=，令1y =，则()1m =- ………………………………8分设的法向量，为面MAB z y x n ),,(111=则0AB n ⋅= ，0AM n ⋅=)AB = ,()0,3,AM c =∴,1,0303311111=⎩⎨⎧=+=+y cz y y x 令则3n c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ …………………………9分 二面角P AB M --的余弦值为31010∴310cos ,10m n <>= ……………………………………………………10分∴31010=，化简得2448630c c -+=解得32c =或212c =（舍）………………………………………………11分∴30,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭符合题意，此时点M 为PO 的中点.………………………………12分20.【解】（1）将)23,3(),0,2(B A -代入椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 中，1022222=+b a ············································································1分143322=+b a··············································································2分得,3,2==b a ···················································································3分故椭圆C 方程为22143x y +=.································································4分（2）设直线()()1122:,,,,l y kx m P x y Q x y =+，················································5分由()22222,43841203412y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，122212284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，··················································································6分()()2222226444341219248144k m k m k m ∆=-+-=-+，又11212112,222y kx m kx mk k x x x ++===+++故()()()12121212121212122242224kx x k x x m x x mkx m kx m k k x x x x x x ++++++++=+=+++++2222228241681612412161612km k k m km k m mm km k ---++=--++223644m k m km k-=-+，·················································································8分由0321=+⋅+⋅k k k k ，得0321=++）（k k k ，得22320m km k -+=，故()()202m k m k m k --=⇒=或m k =，·····················································9分①当2m k =时，直线():22l y kx k k x =+=+，过定点()2,0A -，与已知不符，舍去；········································································································10分②当m k =时，直线():1l y kx k k x =+=+，过定点()1,0-，即直线l 过左焦点，此时222192481441441440k m k ∆=-+=+>，符合题意.所以FPQ △的周长为48a =.·······································································12分21.解：（1）由题知：x x e xx h x+-=ln )(，其定义域为），（∞+0x x x xe x e x x e x x h ))(1(111)('--=+--=∴…………………………………………………1分令()()0x x e x x ϕ=->，则()'10xx e ϕ=->()x x e x ϕ∴=-在()0,+∞上单调递增()()010x ϕϕ∴>=>0x e x ∴->…………………………………………………………………………………3分设10)('>⇒>x x h ，100)('<<⇒<x x h 所以)(x h 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递减……………………………………4分()()min 111h x h e==+………………………………………………………………………5分（2）设axx exx g x f x F ax -+=+=ln )()()(axx e ax x -+=-ln ln 设ax x t -=ln ，则，易知()tG t e t =+在R 上单调递增要使方程0)()(=+x g x f 有两个不同的实根，则函数t e t G t+=)(存在1个零点…………6分()，则且个零点，设为上存在，在所以函数21210,,20ln x x x x ax x t <<∞+-=且0≠a 0ln ,0ln 2211=-=-ax x ax x 所以)(ln ln 2121x x a x x -=-即ax x x x 1ln ln 2121=--……………………………………………………7分要证ax x 221>+，即证2121x x a +<即证2ln ln 212121x x x x x x +<--2ln ln 212121x x x x x x ->+-⇔2ln 11212121x x x x xx >+-⇔……………………8分设)1,0(,21∈=m m x x，设2ln 11)(m m m m -+-=ϕ所以0)1(2)1(21)1(2)(222'<+--=-+=m m m m m m ϕ所以)(m ϕ在)1,0(单调递减所以0)1()(=>ϕϕm ，即02ln 11>-+-mm m 故2ln ln 212121x x x x x x +<--…………………………………………………10分所以2121x x a +<，即ax x 221>+.………………………12分22.解：（1）由22cos 62+=θρ得22cos 226ρθρ+=.22222222222(cos sin )2()622636x y x y x y x y ρθθ∴-++=∴-++=∴+=.所以曲线C 的直角坐标方程为16222=+y x .……………………………………5分（2）设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=my m x 221221（m 为参数）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得：0122=--m m ，122121-==+∴m m m m ，……………………………………………………8分6424)(2122121=+=-+=-=∴m m m m m m AB .……………………………………10分23.解：（1）化简得：12)(+-+-=a x a x x f .当3=a 时，2)5()3(53)(=---≥-+-=x x x x x f ，当3≤x ≤5时等号成立，所以)(x f 的最小值为2；………………………………………………5分（2）由基本不等式：8)3212()212(2123=-++≤-⋅⋅=-m m m m m m m m ，当且仅当m m 212-=，即4=m 时，等号成立.又因为1)12()(12)(-=+---≥+-+-=a a x a x a x a x x f ，当且仅当()()210x a x a --+≤时，等号成立.…………………………………………8分所以，18a ->18a ∴->或18a -<-9a ∴>或7a <-…………………………………………………………………………10分注：第17—23题提供的解法供阅卷时评分参考，考生其它解法可相应给分。
2021年高考桂林、崇左市联合调研考试数学（理科） 2021.03考生注意：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷草稿上作答无效．3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．a 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2{1},0A x x B x x x =≥-=+<∣∣，则A B ⋂=（ ） A ．(1,0)- B ．[1,0)- C ．(1,0]- D ．[1,0]- 2．复数21iz i=+的模为（ ）A ．1BCD ．33．某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数y 与时间t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合y 与t 之间关系的是（ ）A ．2y kt =B ．2log y t =C ．3y t = D ．t y =4．我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．如最终输出的0x =，则开始输入的x 等于（ ）A ．3132B ．1516C ．78D ．345．数列{}n a 满足：()*12121,3,n n n a a a a a n n N --===+∈．将数列{}n a 的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{}n b ，则21b =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 6．已知4(1)a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4，则实数a =（ ） A ．2 B ．4 C ．2- D ．4- 7．已知向量a b ，满足||2,(2,2)a b ==，且0()a b R λλ+=∈，则||λ=（ ）A ．2B ．2CD ．4 8．将函数1()sin 2(0)26f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位长度后与原函数图像重合，则实数ω的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．6D ．99．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点F 做垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，坐标原点为O ，且OAB 为等腰直角三角形，则此双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．1210．已知四面体P ABC -中，,AB AC AB PB ⊥⊥，且22,3AB PB AC PC ====，则该四面体的外接球的体积为（ ） A ．9π B ．92π C ．8π D ．274π11．若3(ln 2)3(ln 2)(,)abbaa b +≥+∈R ，则（ ）A ．31a b+≥ B ．||32a b -≥ C ．31a b -≥ D ．||32a b +≥12．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（ ）A ．(1,0) B．0) C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设实数,x y 满足1210y x x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，，，，则2z x y =+的最小值为___________．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34567150a a a a a ++++=，则9S =_________．15．设点P 是直线3470x y -+=上的动点，过点P 引圆222(1)(0)x y r r -+=>的切线,PA PB （切点为,A B ），若APB ∠的最大值为3π，则该圆的半径r 等于_____________． 16．已知函数32()33f x x x =-+，有下列命题：①函数()y f x =的图像在点(1,(1))f 处的切线为340x y +-=； ②函数()y f x =有3个零点；③函数()y f x =在2x =处取得极大值；④函数()y f x =的图像关于点(1,1)对称上述命题中，正确命题的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分17．（12分）在新冠后疫情阶段，为拉动汽车售后消费，某汽车美容公司推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元，求X 的分布列和数学期望()E X ． 18．（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为1,,AB BC CC 的中点．（1）画出平面EFG 截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据； （2）求二面角1G EF B --的余弦值． 19．（12分）已知ABC 中，2AB BC ==225AC AB +=． （1）求ABC ∠的值；（2）若P 是ABC 内一点，且53,64APB CPB ππ∠=∠=，求tan PBA ∠． 20.（12分）已知实数0a ≠，设函数()e axf x ax =-. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）当12a >时，若对任意的[1,)x ∈-+∞，均有()2()12a f x x ≥+，求a 的取值范围． 21．（12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l O ，为坐标原点，过F 的直线m 与抛物线E 交于A B 、两点，过F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ． （1）若直线m||||AF BF 的值； （2）设AB 的中点为N ，若O M N F 、、、四点共圆，求直线m 的方程．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐标系内异于O 的三点()12,,,6A B πρϕρϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()3123,,,06C πρϕρρρ⎛⎫-> ⎪⎝⎭都在曲线M 上．（1123ρρ=+；（2）若过B C 、两点的直线的参数方程为212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），求四边形OBAC 的面积． 23．选修4-5：不等式选讲（10分） 已知实数,,a b c ，满足1a b c ++=．（1）若,,0a b c +∈=R ，求证：2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）设222,1a b c a b c >>++=，求证：1a b +>．2021年高考桂林、崇左市联合调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13．3- 14．270 15．1 16．①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说眀、证明进程或演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（1）∵第一次消费为200元，利润为50元1分第二次消费190元，利润为40元2分∴两次消费的平均利润为45元4分（2）若该会员消费1次，则50x=(50)0.6P x==5分若该会员消费2次，则5040452x+==(45)0.2P x==6分若该会员消费3次，则504030403x++==(40)0.1P x==7分若该会员消费4次，则50403020354x+++==(35)0.05P x==8分若该会员消费5次，则5040302010305x++++==(30)0.05P x==9分故x的分布列为：10分x∴的期望为500.6450.2400.1350.05300.0546.25EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）12分18．（本小题满分12分）解：（1）截面多边形为如图所示正六边形 EFGHIJ 2分 （说明：做图1分，说明图形1分） 做图依据如下：由做图过程知：,,H I J 分别为11111,,C D D A AA 的中点11//,//EH BC FG BC//EH FG ∴，即：,,,E F G H 四点共面同理可证：,,,F G H I 四点共面,,,E F G H ∴，五点共面同理可证：,,,E F G J 四点共面∴点J 在,,,,E F G H I 五点确定的平面内 故,,,,,E F G H I J 六点共面 5分（说明：只要能说明六点共面的依据均给分）（2）据题可建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则11(0,0,0),(2,2,2),(2,1,0),(1,2,0),(2,2,2)D B E F DB =， 1(1,1,0),(0,1,2)EF EB =-= 6分由（1）易知1(2,2,2)DB =为平面EFG 的一个法向量 7分 设平面1EFB 法向量为(,,)n x y z =，则1n EF n EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，可得1020n EF x y n EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，，令2y =-，则2,1x z =-=(2,2,1)n ∴=--平面1EFB 的一个法向量了 9分111cos ,2||n DB n DB n DB ⋅∴<>===⨯ 11分∴平面EFG 与平面1EFB所成的二面角的余弦值为3． 12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）由2AB BC ==，知AB BC == 由225AC AB +=，知2525AC AB =-=- 1分 在ABC 中，由余弦定理得：222cos 22BC AB AC ABC AB BC +-∠===⨯ 3分 0ABC π<∠< 4分4ABC π∴∠=5分（2）,44PBA PBC PCB PBC BPC πππ∠+∠=∠+∠=-∠=PBA PBC ∴∠=∠ 6分设PBA α∠=，则 在PBC 中，由正弦定理得2sin 3sin sin 4PB BCPB απα=∴= 8分在APB 中，由正弦定理得：56sin sin 66PBAB PB παππα⎛⎫=∴=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭10分sin sin cos cos sin 666πππαααα⎛⎫⎫∴=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭化简可得：tan 5α=11分故tan PBA ∠=12分 20.（本小题满分12分）解：（1）当1a =时，由()10xf x e '=-=，解得0x =． 1分 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞内单调递减． 3分∴函数()f x 在0x =取得极小值(0)1f =，无极大值． 4分（2）由()2()12a f x x ≥+，则有2(1)2ax ae x ≥+． 令0x =，得11,222a a ≥<≤． 5分 当1x =-时，不等式2(1)2axaex ≥+显然成立， 6分 当(1,)x ∈-+∞时，两边取对数，即2ln(1)ln2aax x ≥++恒成立． 令函数()2ln(1)ln2aF x x ax =+-+，即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立． 由22(1)()011a x F x a x x '-+=-==++，得211x a=->-． 故当21,1x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0,()F x F x '>单调递增； 当21,x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭时，()0,()F x F x '<单调递减． 因此22()12ln 2ln 2ln 22a a F x F a a a a ⎛⎫≤-=-++=--⎪⎝⎭． 9分令函数()2ln2a g a a =--，其中122a <≤， 则11()10a g a a a '-=-==，得1a =，故当1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g a g a '<单调递减； 当(1,2]a ∈时，()0,()g a g a '>单调递增．又13ln 40,(2)022g g ⎛⎫=-<=⎪⎝⎭，故当122a <≤时，()0g a ≤恒成立，因此()0F x ≤恒成立， 11分 即当122a <≤时，对任意的[1,)x ∈-+∞，均有()2()12af x x ≥+成立． 12分 21．（本小题满分12分） 解：（1）设||||AF BF λ=，当1λ>时，设||0BF k =>，则||AF k λ= 直线m直线m 的倾斜角为60︒ 1分由抛物线的定义，有1||cos60(||||)cos60()2AB AF BF k k k k λλ⋅︒=+⋅︒=+⨯=+ 112λλ+∴=-，解得：3λ= 3分若01λ<<时，同理可得：13λ=4分 ||3||AF BF ∴=或||1||3AF BF =． 5分 （2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=． 设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y t y y +==-． 6分由2211224,4y x y x ==，得()22221212212122(4)2(4)424444y y y y y y t x x t +--⨯-+=+===+，所以()221,2N t t +． 8分因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -， 则直线n 的方程为(1)y t x =--．由1(1)x y t x =-⎧⎨=--⎩，，解得(1,2)M t -． 9分若O M N F 、、、四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得2t =±， 11分 所以直线m的方程为1)y x =-． 12分22．（本小题满分10分）（1）由1232cos ,2cos ,2cos 66ππρϕρϕρϕ⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2分则2312cos 2cos 66ππρρϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4分 （2）由曲线M 的普通方程为：2220x y x +-=，联立直线BC的参数方程得：20t =解得120,t t ==1,,(2,0)22B C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭6分 则231,2,6πρρϕ===；又得1ρ= 8分即四边形面积为121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+=． 10分 23．（本小题满分10分）解：（1）2222111111122a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2分 11,,1,()4a b R a b a b a b +⎛⎫∈+=++≥ ⎪⎝⎭ 114a b∴+≥ 4分 从而22211(14)2522a b a b +⎛⎫⎛⎫+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5分 （2）假设1a b +≤，则由1a b c ++=，知0c ≥，故0a b c >>≥． 6分 又由2222()a b c a b c ++=++，得0ab bc ca ++= 8分但0a b c >>≥，知0ab bc ca ++>，矛盾 9分故：1a b +>． 10分。
桂林市、崇左市2019届高三联合调研考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．53．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣B．23 C．12 D．115．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a 等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．217．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．28．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．119．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．2110．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f （m ）的最小值为（ ） A ．4B ．2C ．D ．211．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），M 、N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为cb ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2C ．2D ．212．已知函数f （x ）=﹣x 2﹣6x ﹣3，g （x ）=2x 3+3x 2﹣12x +9，m ＜﹣2，若∀x 1∈[m ，﹣2），∃x 2∈（0，+∞），使得f （x 1）=g （x 2）成立，则m 的最小值为（ ） A ．﹣5 B ．﹣4 C ．﹣2 D ．﹣3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()AB m n =， ，(21)BD =， ，(38)AD =， ，则mn = ．14.71(4)2x - 的展开式中3x 的系数为 ．15. 若函数32()3f x x x a =--（0a ≠）只有2个零点，则a = ．16.在等腰三角形ABC 中，23A π∠=，AB =，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使BCD △ 为正三角形，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4S ，6S ，10S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列及数学期望.19. 如图，在正方体1111ABCD A BC D - 中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E 为棱AB 上一点，113B M MA = 且GM ∥ 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ）的离心率e =，直线10x -=被以椭圆C （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(40)M ， 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅ ，求λ 的取值范围.21. 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)f x x x k x x =+---- （k ∈R ） （1）当3k = 时，求曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程； （2）若()0f x > 对(01)x ∈， 恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=.（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(01)P ，，点0)Q ，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求PM 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.桂林市、崇左市2019届高三联合调研考试理科数学试卷数学参考答案（理科）一、选择题1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x＜4}，故选：C．2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z的虚部为﹣3求得a值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴=（2+ai）（1﹣i）=2+a+（a﹣2）i，∴a﹣2=﹣3，即a=﹣1．∴实部为2+a=2﹣1=1．故选：B．3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图求出前4组的频数为22，且第四组的频数8，即可得到答案．【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1）×2=0.55，则其频数为40×0.55=22，且第四组的频数为40×0.1×2=8，故中位数落在第4组，故选：B4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣B．23 C．12 D．11【考点】等比数列的通项公式．【分析】数列{a n}满足：=，可得a n+1=2（a n+1），利用等比数列的通+1项公式即可得出．+1=2（a n+1），即数列{a n+1}是【解答】解：∵数列{a n}满足：=，∴a n+1等比数列，公比为2．则a4+1=22（a2+1）=12，解得a4=11．故选：D．5．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：2sin2﹣1=﹣cos=﹣，2sin cos=﹣，∵角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），sinθ=2sin cos，∴=﹣，∴a=﹣，故选B．6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．7．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的平方即为模的平方．可得•=﹣2，再由向量的夹角公式：cos＜，＞=，化简即可得到所求值．【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|，即有（﹣）2=（+2）2，即为2+2﹣2•=2+4•+42，化为•=﹣2，由与的夹角的余弦值为﹣，可得cos＜，＞=﹣==，化简可得=2．故选：D．8．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．11【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移直线，得到最优解，求出斜率的最值，即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由u=3x+2y，平移直线u=3x+2y，由图象可知当直线u=3x+2y经过点A时，直线u=3x+2y的截距最大，此时u最大．而且也恰好是AO的连线时，取得最大值，由，解得A（1，2）．此时z的最大值为z=3×1+2×2+=9，故选：C．9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．21【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，其直观图如下所示：其体积为：×4×3×3=18，故选：C10．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】做出f（x）的图象，根据图象判断m的范围，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：∵f（m）=f（n），m＞n≥﹣1，∴1≤m＜4，∴mf（m）=m（1+）=m+≥2．当且仅当m=时取等号．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．12．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数先求出函数g（x）的最小值，再根据函数f（x）的图象和性质，即可求出m的最小值【解答】解：∵g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，∴g′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1），则当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，∴g（x）min=g（1）=2，∵f（x）=﹣x2﹣6x﹣3=﹣（x+3）2+6≤6，作函数y=f（x）的图象，如图所示，当f （x ）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1， 则m 的最小值为﹣5， 故选：A二、填空题13.7 14.140- 15.4- 16.15π 三、解答题17. 1）设数列{}n a 的公差为d由题意可知3142215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩ ，即112a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =-（2）由（1）知21n a n =- ，∴2n S n = ，∴416S = ，836S = ，又248n S S S = ，∴22368116n == ，∴9n = ，公比8494S q S == 18.由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3 ，4 ，2 ，1 ，从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C = 种， 这两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++= 种.所以所求概率102459P == （2）由（1）知，在参加问卷调查的10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3 ，2 .X 的可能取值为0 ，1 ，2 ，22251(0)10C P X C === ，1132253(1)5C C P X C === ，23253(2)10C P X C === .所以X 的分布列为()012105105E X =⨯+⨯+⨯=19.（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN ，因为1=3B M MA ，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN ∥ ， 因为GM ∥ 平面1B EF ，GM ⊂ 平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11B EF B E =所以1GM B E ∥ ，即1AN B E ∥ ，又1B N AE ∥ ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N = ，所以E 为AB 的中点.（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz - ，不妨令正方体的棱长为2 ，则1(222B ，，） ，(210)E ，， ，(021)F ，， ，1(202)A ，， ，可得1(012)B E =--，， ，(211)EF =-，， ，设()m x y z =，， 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令2z = ，得(142)m =--，， 易得平面11ABC D 的一个法向量为1(202)n DA ==，，所以cos 22m n m n mn⋅===，故所求锐二面角的余弦值为4220.解：（1）因为原点到直线10x -=的距离为12， 所以2221()()22b += （0b > ），解得1b = .又22222314c b e a a ==-= ，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y += .（2） 当直线l 的斜率为0 时，12MA MB λ=⋅=当直线l 的斜率不为0 时，设直线l ：4x my =+ ，11()A x y ， ，22()B x y ， ，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22(4)8120m y my +++= 由22=6448(4)0m m ∆-+> ，得212m >， 所以122124y y m=+ 21122212(1)312(1)44m MA MB y m m λ+=⋅===-++由212m > ，得2330416m <<+ ，所以39124λ<< . 综上可得：39124λ<≤ ，即39(12]4λ∈，21.解：（1）当3k = 时，211()9(1)11f x x x x'=+--+- ，∴(0)11f '= 故曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程为11y x =（2）22223(1)()1k x f x x+-'=- 当(01)x ∈， 时，22(1)(01)x -∈， ，若23k -≥ ，2223(1)0k x +-> ，则()0f x '> ，∴()f x 在(01)， 上递增，从而()(0)0f x f >= .若23k <-，令()0(01)f x x '=⇒=，，当(0x ∈时，()0f x '< ，当1)x ∈ 时，()0f x '>，∴min ()(0)0f x f f =<= 则23k <- 不合题意.故k 的取值范围为2[)3-+∞，22.解：（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+= ，由2sin 0ρθθ-=得22sin cos 0ρθθ-= 所以曲线C的直角坐标方程为2y = （2）易得点P 在l，所以tan PQ k α===，所以56πα= 所以l的参数方程为2112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ，代入2y = 中，得21640t t ++= .设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t . 则12082t t t +==- ，所以08PM t ==23.解：（1）因为213()532212x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩，，≤≤， ，13x <-≤所以当3x <- 时，由()15f x ≤ 得83x -<-≤ ； 当32x -≤≤ 时，由()15f x ≤ 得32x -≤≤ ； 当2x > 时，由()15f x ≤ 得27x <≤ 综上，()15f x ≤ 的解集为[87]-，（2）（方法一）由2()x a f x -+≤ 得2()a x f x +≤ ，因为()(2)(3)5f x x x --+=≥ ，当且仅当32x -≤≤ 取等号， 所以当32x -≤≤ 时，()f x 取得最小值5 . 所以，当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5 ， 故5a ≤ ，即a 的取值范围为(5]-∞，（方法二）设2()g x x a =-+ ，则max ()(0)g x g a == ， 当32x -≤≤ 时，()f x 的取得最小值5 ， 所以当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5 ， 故5a ≤ ，即a 的取值范围为(5]-∞，。
