湖北省武汉市重点中学5G 联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年11月8日试卷满分：150分祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线πtan4y =的倾斜角为（）A.0B.π4 C.π2D.π【答案】A 【解析】【分析】由题及倾斜角定义可得答案.【详解】πtan 4y =斜率为0，则倾斜角为0.故选：A2.已知空间向量()()1,3,5,2,,a b x y =-= ，且a∥b ，则x y +=（）A.10B.6C.4D.4-【答案】C 【解析】【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.【详解】因为a∥b ，所以352xy-==1,即6,10x y =-=，则4x y +=.故选：C.3.已知直线21:10l a x y ++=与直线2:370l x ay -+=，则“3a =”是“12l l ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由垂直关系求出a 的值，再结合充分、必要条件的概念即可得答案.【详解】若12l l ⊥，则230a a -=，解得0a =或3a =，所以“3a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件．故选：A .4.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A5.如图，在直三棱柱11ABC AB C -中，2AC =，3BC =，14CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成的角的余弦值为（）A.3210B.8210C.30525D.8525【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用111111cos ,CA CA CA BC BC BC ⋅=⋅计算出1BC 与1AC 所成的角的余弦值.【详解】以C 为坐标原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,2,0,4,0,3,0,0,0,4C A B C ，则()()110,3,4,2,0,4B A C C =-= ，则1BC 与1AC 所成的角的余弦值为()()1111110,3,542,0,416cos ,916415610825CA CA B C C A C BC B ⋅-⋅====+⨯+⋅.故选：D6.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的任意一点，则错误的是（）A.C的离心率为2B.128PF PF +=C.1PF的最大值为4+ D.使12F PF ∠为直角的点P 有2个【答案】D 【解析】【分析】AB 选项，由题可得a ，b ，c ，后由离心率计算式，椭圆定义可判断选项正误；C 选项，由椭圆方程结合两点间距离公式可判断选项正误；D 选项，即判断以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆是否有两个交点.【详解】2222:4161164x y C x y +=⇔+=，则42，，a b c ===.AB 选项，32c e a ==，故A 正确；1228PF PF a +==，故B 正确；C选项，由题可知，()1F -，设s ，则1PF ===+，由题可得[]4,4x ∈-，则14PF ≤=+，故C 错误；D 选项，因12F PF ∠为直角，则P 在以原点为圆心，半焦距为半径的圆上，则2212x y +=，与22:416C x y +=联立，可得2232343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.则满足条件的点P为,,,,33333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，共4个，故D 错误.故选：D7.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为21s ，平均数为1x ；去掉的两个数据的方差为22s ，平均数为2x ；原样本数据的方差为2s ，平均数为x ，若12x x =，则下列选项错误．．的是（）A.1x x =B.剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变C.22221109s s s =+D.剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数【答案】D 【解析】【分析】设20个样本数据从小到大排列分别为12320,,,,x x x x ，再根据中位数、平均数、第22百分位数与方差的定义与公式推导即可.【详解】设20个样本数据从小到大排列分别为12320,,,,x x x x ，则剩下的18个样本数据为2319,,,x x x ，对于A ，依题意，()12319118x x x x =+++ ，21201()2x x x =+，()1220120x x x x =+++ ，由12x x =，得()()1231912011182x x x x x x =+++=+ ，即231911201182x x x x x x x +++=+= ，于是1231920120x x x x x x +++++= ，因此()12319201120x x x x x x +++++= ，即1x x =，A 正确；对于B ，原样本数据的中位数为10112x x +，剩下的18个样本数据的中位数为10112x x +，B 正确；对于C ，因为12x x x ==，则22222123191()18s x x x x =+++- ，22221201()2s x x x =+-，()222221220120s x x x x =+++- ，于是2222231911818x x x s x +++=+ ，222120222x x s x +=+，因此()222222221212191181822201010s s x s x x s s =+++-=+，即22221109s s s =+，C 正确；对于D ，因为1822% 3.96⨯=，则剩下18个数据的22%分位数为5x ，又2022% 4.4⨯=，则原样本数据的22%分位数为5x ，D 错误.故选：D8.已知P 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球表面一动点，且AP xAB =+1y AD z AA + ，则x y z ++的取值范围是（）A.32⎡-⎢⎣B.3333,22⎡+⎢⎣⎦C. D.3,2⎡+⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】如图建立坐标系，可将x y z ++转化为AP 在1AC uuu r倍，结合图形可得答案【详解】如图以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x ，y ，z 轴建系，则()()()11,0,00,0,10,1,0B A D ，，，()()()11,0,00,0,10,1,0AB AA AD ===，，则(,,)=AP x y z ，又()11,1,1C ，()11,1,1AC =则1111cos ,cos ,x y z AP AC AP AC AP AC AP AC ++=⋅=⋅=.1cos ,AP AP AC 表示AP 在1AC uuu r方向上的投影向量的长度.如图当P 在G 或F 时，即当A ，O ，P 共线时，1cos ,AP AP AC取最值.因111,,222O ⎛⎫⎪⎝⎭，内切球半径为12.则111cos ,22AO AP AP AC AO -≤≤+ ,则11cos ,22AP θ⎤-∈⎥⎣⎦，则33,22x y z ⎡+++∈⎢⎣⎦.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知事件A ，B 满足()0.5P A =，()0.2P B =，则（）A.若B A ⊆，则()0.5P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C.若P (AB )=0.1，则A 与B 相互独立D.若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，由B A ⊆，得()()0.2P AB P B ==，A 错误；对于B ，由A 与B 互斥，得()0.50.20.7P A B +=+=，B 正确；对于C ，由()0.10.50.2P AB ==⨯，得()()()P AB P A P B =，则A 与B 相互独立，C 正确；对于D ，由A 与B 相互独立，得,A B 相互独立，则()()()0.50.80.4P AB P A P B ==⨯=，D 错误.故选：BC10.（多选）如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段1DD 的中点，点F 为线段1BB 的中点，则（）A.点1A 到直线1B E 的距离为53 B.直线1FC 到直线AE 的距离为305C.点1A 到平面1AB E 的距离为13D.直线1FC 到平面1AB E 的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出直线1B E 的单位方向向量，由点到直线距离的向量公式求解可判断A ；先证明1AE FC ∥，然后由由点到直线距离的向量公式求解可判断B ；求出平面1AB E 的法向量，由点到平面的向量公式可判断CD.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()11,0,1A ，()11,1,1B ，10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，1,0,0．因为111,1,2B E ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，111221,,333B E u B E ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭ ，11(0,1,0)A B =．设()1110,1,0a A B == ，所以1123a u ⋅=- ，所以点1A 到直线1B E 22()a a u -⋅45193=-=，故A 正确．因为11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，111,0,2FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以1AE FC ∥，所以1AE FC ∥，所以点F 到直线AE 的距离即为直线1FC 到直线AE 的距离．2255,0,55AE u AE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，10,1,2AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．设210,1,2a AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以22510a u ⋅= ，所以直线1FC 到直线AE 255304105⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确．设平面1AB E 的一个法向量(,,)n x y z =，又1(0,1,1)AB = ，11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以10,10.2n AB y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取2z =，则2y =-，1x =，所以(1,2,2)n =-，所以0122,,333n n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．又1(0,0,1)A A =，所以点1A 到平面1AB E 的距离为1023A A n ⋅= ，故C 错误．因为1FC AE ∥，1FC ⊂/平面1AB E ，所以1//FC 平面1AB E ，所以1FC 到平面1AB E 的距离即为点F 到平面1AB E 的距离．又平面1AB E 的单位法向量0122,,333n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，110,0,2FB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以直线1FC 到平面1AB E 的距离为10FB n ⋅ 13=，故D 正确．故选：ABD11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线22:22C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A.曲线C 围成的图形有6条对称轴B.曲线C围成的图形的周长是C.若(),T a b 是曲线C 上任意一点，4318a b +-的最小值是11-D.曲线C 上的任意两点间的距离不超过6【答案】BCD 【解析】【分析】分情况去掉绝对值，可得曲线的四段关系式，进而作出曲线的图像，即可判断各选项.【详解】当0x >，0y >时，曲线方程可化为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是以()1,1为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆，同理可作出其他象限内的图象，且()0,0在曲线C上，如图所示，A 选项：曲线C 围成的图形有4条对称轴，分别是直线0x =，0y =，y x =，y x =-，A 错误；B 选项：曲线C 围成的图形的周长为4π⨯=，B 正确；C 选项：(),T a b 到直线43180x y +-=的距离为43185a b d +-=，且点()1,1到直线43180x y +-=的距离为115，由圆的性质，曲线C 上任意一点到直线43180x y +-=的距离最小值为115，即115d ≥所以4318a b +-的最小值是11-，C 正确；D选项：综上，易知曲线上任意两点间的距离最大值为6<，D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______；【答案】112【解析】【分析】按古典概型概率公式求解.【详解】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有6636⨯=个；设两枚骰子点数之和为4为事件A ，则事件A 包含：()1,3，()2,2，()3,1共3个基本事件，所以()313612P A ==.故答案为：11213.过点()3,1P -且与圆C ：222660x y x y +--+=相切的直线方程为________【答案】3x =或3450x y +-=【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.【详解】圆C ：222660x y x y +--+=即()()22134x y -+-=，圆心为()1,3C，半径2r =，当切线的斜率不存在时，直线3x =恰好与圆C 相切；当切线的斜率存在时，设切线为()13y k x +=-，即310kx y k ---=，则2d ==，解得34k =-，所求切线方程为3450x y +-=，综上可得过点()3,1P -与圆C 相切的直线方程为3x =或3450x y +-=.故答案为：3x =或3450x y +-=14.已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形ABCD ，过棱PC 的中点M 和点A 作一平面，分别交棱PB 和PD 于点E 和F .①设,,PB a PC b PD c === ，则PA =uu r ______.（用向量,,a b c表示）②记四棱锥P ABCD -的体积为V ，四棱锥P AEMF -的体积为1V ，则1V V 的取值范围是______.【答案】①.a c b +- ②.13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】①根据向量加法的平行四边形法则可得PA PC PB PD +=+ ，从而得解；②设,PE PF x y PB PD==,利用空间向量基本定理中的推论四点共面得到113x y +=,设1V =,利用体积分割转化将1V V 表示为()14x y +然后利用得到的关系将此式转化为关于x 的函数，适当整理，利用对勾函数的单调性即可求得其取值范围.【详解】根据题意，底面是平行四边形ABCD ，所以，即得PA a c b =+- ，如图所示，设11,,2PE PF x y PA PM PE PF PB PD x y==+=+ ，112PA PM PE PF x y∴=-++ ，又A ，M ，E ，F 四点共面，,,PM PE PF 不共面，111121,3x y x y∴-++=∴+=，设1V =，则112C PAB PMF EMA PMF EMA A PMF M AEP A PCD M PAB A PCD PCD PAB PCD PAB V V S S S S V V V V V V V S S S S ------==+=+=+⨯1124PF PM PE PD PC PB ⨯=⨯+⨯⨯11112()144443393x y x y x x ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=+=+=-++ ⎪⎛⎫ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1131y x =-≥，求得11121,2633x x ≤≤∴≤-≤，当1133x -=时，1V V 取得最小值为13，此时23x y ==，当1136x -=，或1233x -=时，即当11,2x y ==或1,12x y ==时1V V 取得最大值为38，故答案为：13,.38a c b ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦，，【点睛】关键点点睛：设,PE PF x y PB PD==,利用空间向量基本定理中的推论四点共面得到113x y +=,设1V =,利用体积分割转化将1V V 表示为()14x y +然后利用得到的关系将此式转化为关于x 的函数，适当整理，利用对勾函数的单调性即可求得其取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y 表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么（1）在树状图中填写样本点，并写出样本空间；（2）求李明第二次答题通过面试的概率；（3）求李明最终通过面试的概率．【答案】（1）树状图见解析，样本空间为{,,,}Y NY NNY NNN Ω=（2）0.24（3）0.936【解析】【分析】（1）根据题意，列出树状图，并写出样本空间即可；（2）由第二次通过面试，即第一次没有通过，第二次通过，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；（3）先求出未通过面试的概率，结合对立事件的概率求法，即可求解.【小问1详解】解：根据题意，可得树状图及样本点，如图所示，其样本空间为{,,,}Y NY NNY NNN Ω=.【小问2详解】解：由题意知，()0.6,()1()0.4P Y P N P Y ==-=，所以第二次答题通过面试的概率()()()0.40.60.24P NY P N P Y ==⨯=.【小问3详解】解：由题意，李明未通过的概率为()0.40.40.40.064P NNN =⨯⨯=，所以李明通过面试的概率为1()10.0640.936P P NNN =-=-=.16.为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），使居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)[)0,1,1,2,,8,9 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =.（1）求直方图中a ，b 的值；（2）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【答案】（1）0.15a =，0.06b =（2）4.07吨（3）5.8【解析】【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；（3）结合图中数据易知标准x 在[5,6)中，由此即可求出x 的估计值.【小问1详解】由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =.【小问2详解】该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.15 6.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨）.【小问3详解】因[0,5)的频率为0.040.080.150.200.260.730.85++++=<，[0,6)的频率为0.730.150.880.85+=>，故x 的估计值为()0.850.73565 5.80.15-+⨯-=（吨）．所以有85%的居民每月的用水量不超过标准5.8（吨）．17.已知ABC V 中，(1,1),(3,1),(4,0)A B C ---；（1）求边AB 的中线所在直线的方程；（2）求经过A ，B ，C 三点的圆1O 的标准方程；（3）已知圆222:4420O x y x y +---=与（2）中圆1O 相交于,A B ，求直线AB 的方程，并求A .【答案】（1）0y =（2）22(1)(4)25x y +++=（3）21x y +-=.【解析】【分析】（1）先求出AB 的中点坐标，进而求出中线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）根据两点坐标表示求出AB 的斜率，进而可得直线AB 、BC 的中垂线方程，联立方程组，解之可得1(1,4)O --，结合圆的标准方程即可求解；（3）根据两圆的方程相减可得:210AB x y +-=，利用点线距公式和几何法求弦长计算即可求解.【小问1详解】AB 中点为00(1,0),014CD D k -==+，所以其中线CD 方程为0y =.【小问2详解】1(1)1132AB k --==---，直线AB 的中垂线方程为2(1)y x =-，同理直线BC 的中垂线方程为15322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，2(1)15322y x y x =-⎧⎪⎨⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得14x y =-⎧⎨=-⎩，即11(1,4)5O O C --⇒==，所以所求圆标准方程为22(1)(4)25x y +++=.【小问3详解】由题意，圆1O 与2O 的方程相减，得:210AB x y +-=，1O 直线AB==，所以||AB ==18.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC V 的重心，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）在线段1AC 上是否存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34？若存在，求出CN 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）π4（3【解析】【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系.用向量法求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）假设存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34，设1CN CA λ= ，分别求解两平面的法向量，用λ表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在Rt ABC △中，90C ∠=︒，DE BC ∥，且BC CD ⊥，所以DE CD ⊥，DE AD ⊥，则折叠后，1DE A D ⊥，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以DE ⊥平面1A CD ，1A C ⊂平面1ACD ，所以1DE A C ⊥，又已知1A C CD ⊥，CD DE D = 且都在面BCDE 内，所以1A C ⊥平面BCDE ；【小问2详解】由（1），以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系-C xyz.因为2AD CD =，故223DE BC ==，由几何关系可知，2CD =，14A D =，1AC =，故()0,0,0C ，()2,0,0D ，()2,2,0E ，()0,3,0B，(10,0,A，(M，(CM =，(10,3,A B =-，(12,2,A E =- ，设平面1A BE 的法向量为(),,n x y z =r ，则1100n A B n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220y x y ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，不妨令2y =，则z =，1x =，(n = .设CM 与平面1A BE 所成角的大小为θ，则有sin cos ,2CM n CM n CM nθ⋅=== ，设θ为CM 与平面1A BE 所成角，故π4θ=，即CM 与平面1A BE 所成角的大小为π4；【小问3详解】假设在线段1AC 上存在点N ，使平面CBM 与平面BMN成角余弦值为4.在空间直角坐标系中，(1,BM =-，CM =，1(0,0,CA = ，设1CN CA λ=，则(0,0,)CN =，(0,3,0)(0,0,)(0,3,)BN BC CN =+=-+=- ，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则有2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222223030x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令2z =22y λ=，263x λ=-，所以(263,2n λλ=-，设平面CBM 的法向量为()3333,,n x y z = ，则有3300n BM n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33333300x y x ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨令3z =，则33x =-，30=y，所以(3n =- ，若平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34.则满足232323cos ,n n n n n n ⋅== ，化简得22310λλ-+=，解得1λ=或12，即1CN CA = 或112CN CA = ，故在线段1AC 上存在这样的点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34.此时CN或19.有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点F 到纸片圆心E的距离为一点M 与点F 重合，以点F ，E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点O ，建立平面直角坐标系．（1）记折痕与ME 的交点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程．（2）若直线():0l y kx m m =+>与曲线C 交于A ，B 两点．（ⅰ）当k 为何值时，22OA OB +为常数d ，并求出d 的值．（ⅱ）以A ，B 为切点，作曲线C 的两条切线，设其交点为Q ，当2OQ d =时，证明：QA QB ⊥【答案】（1）2214x y +=（2）（ⅰ）12k =±，5；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义判断轨迹，即可求出方程．（2）（ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出22OA OB +，写出关于k 的表达式分析可得．（ⅱ）分情况讨论，当切线斜率存在时，根据切线与椭圆只有一个切点，利用0∆=以及根与系数的关系，得到QA ，QB 的斜率关系，即可证得．【小问1详解】由题意可知，4PF PE PM PE ME EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，4为长轴长的椭圆，即c =，2a =，所以1b ==，所以曲线C 的方程，即椭圆方程为2214x y +=．【小问2详解】（ⅰ）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得，()222418440k x kmx m +++-=，由()()222264164110k m k m ∆=-+->，得22410k m -+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，所以22222212121144x x OA OB x x +=+-++-()2212324x x =++()212123224x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦()222222246246241k m m k k -++=++()()()22222641641241m k k k -++=++，当22OA OB +为常数d 时，即与2m 无关，令2410k -=，得12k =±，此时225OA OB +=恒成立，即当12k =±时，225OA OB d +==．（ii ）证明：设()00,Q x y ，则22005x y +=当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x 轴垂直时，切线方程为2x =±，即02x =±，得01y =±，所以另一条切线方程为1y =±，即与x 轴平行，显然，两切线垂直，即QA QB ⊥．当斜率存在时，2m ≠，设切线方程为()000y k x x y =-+，由()0002214y k x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()()22200000000148440k x k y k x x y k x ++-+--=，由()()()20000220000Δ4144408k y k x k y k x ⎡⎤=-⨯+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦-，化简得()2220000004210x k x y k y --+-=．设两条切线的斜率分别为1k ，2k ，因为2040x -≠，所以220012220014144y x k k x x --===---，所以两条切线相互垂直，即QA QB ⊥．综上，QA QB ⊥．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。
