4.5 统计量的选择与应用 教材全解

4.5统计量的选择与应用◆知识技能全解一、课程标准要求1、会根据反映数据的集中程度、离散程度的不同需要选择合适的统计量.2、初步会根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流．二、教材知识全解知能1 平均数、中位数、众数、方差、标准差统计量的选择与应用以前学习的统计量有平均数、中位数、众数、方差、标准差。

平均数、中位数、众数是描述一组数据集中的统计量，方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量。

在实际生活中，我们不仅关注数据的集中程度，也关注数据的离散程度，但反映集中程度的三个统计量也有局限性，如平均数容易受极端值的影响，中位数不能充分利用全部数据信息。

当一组数据出现多个众数时，这时众数就没有多大的意义。

例1、下列各个判断或做法正确吗？请说明理由。

（1）篮球场上10人的平均年龄是18岁，有人说这一定是一群高中生（或大学生）在打球。

（2）某柜台有A、B、C、D、E五种品牌的同一商品，按销售价格排列顺序为A、B、C、D、E，经过市场调查发现，对该商品消费的平均水平与C品牌的价格相同，所以柜台老板到批发部大量购进C品牌。

分析：（1）平均年龄18岁并不一定人人都18岁左右，也可能是几个年龄教大的带着几个年龄教小的在一起打球。

（2）平均消费水平与C品牌的价格相同，并不代表消费者都喜欢购买品牌，比如消费者大量购买了B、D品牌后，其平均消费水平有可能与C品牌的价格相同，但在消费者心目中，C品牌并不是首选商品。

解：（1）错，比如2名30岁的老师带着8名15岁的初中生在一起打球。

（2） 错，好比消费者在分别大量购买了价格比C 品牌高和比C 品牌低的其他商品后，其平均消费水平也有可能和C 品牌的价格相当。

点拨：（1）中最好利用平均数、中位数和众数一起判断更为精确；（2）中进货的依据应该是众数，而不是平均数。

例2．小明和小聪最近5次数学测验成绩如下：（单位：分）哪位同学的数学成绩比较稳定？分析：哪位同学的数学成绩比较稳定，显然要看数据的稳定性，我们可从数据的方差（或标准差）角度着手进行比较。

解：80738780847651=++++=-）（小明x （分），80818079827851=++++=-）（小聪x （分） []）（分）（）（）（小明222222680738084807651=-++-+-= S []）（分）（）（）（小聪22222280818082807851=-++-+-= S 因为22S S >小明小聪，所以小聪成绩稳定。

点拨：方差越小，数据越稳定，波动也越小。

◆典型例题全解一、知能综合题例1．求下面一组数据的平均数、中位数、众数。

10，20，80，40，30，90，50，40，50，40。

分析：根据数据的不同，选择运用需要的公式（如算术平均数或加权平均数、找基准求平均数等）去求平均数，求中位数时，一定要将数据按顺序（从大到小或从小到大）进行排列后再计算。

而众数，只需找出次数出现最多的数据。

解：1(101201801403301901502)4510x -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 将这一组数据按从小到大的顺序排列后为：10，20，30，40，40，40，50，50，80，90。

第5个数与第6个数的平均数为4024040=+，即中位数为40。

在这组数据中，出现次数最多的是40，所以众数是40。

平均数为45，中位数为40，众数为40。

方法总结：平均数、中位数、众数从不同的侧面反映了一组数据的特征。

平均数能充分利用数据信息，所有数据都参加运算，但很容易受极端值的影响；中位数计算简单，只与数据的位置有关，但不能充分利用和反映所有的数据信息；众数计算简单，只与数据重复的次数有关，但不能充分利用和反映所有的数据信息，且可能不唯一，当各数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。

例2、某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售额，统计了者15人某月的销售量如下：（1）求者15人营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；（2）假设销售部负责人把每位营销人员的月销售量定320件，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由。

分析：（1）题利用有关定义容易求解；（2）销售部负责人所确定的“月销售量”应该是大多数营销人员经过努力能够完成的生产零件个数。

“月销售量”太低，不利于提高效率；“月销售量”太高，不利于提高积极性，因此可以从平均数、中位数、众数这几个统计量中去考虑如何确定定额。

销售部负责人用平均个数320个作为月销售量，此时将有13名营销人员可能完不成任务，因此不可取；再考虑营销人员销售件数的中位数和众数都是210个，如果以210个作为月销售量，那么大多数工人都能完成或超额完成任务，有利于调动营销人员的积极性。

因此可以把定额确定为210个。

解：（1）平均数1800151012503210515031202320113532x-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++（件）而中位数为210件,众数为210件。

所以平均数为320件,中位数为210件,众数为210件。

（2）不合理。

如果把每位营销人员的月销售量定320件，320件是一个平均销售量，其中一个营销员特别有能力，这个平均数受这个人的影响很大，而中位数为210件,众数为210件，因此我们认为以210件为规定量比较科学。

点拨：正确理解各统计量的意义是解决本题的关键，（1）平均数可用加权平均数方法求。

（2）对平均数、中位数和众数进行综合分析后才可以制定合理的销售定额。

二、实践应用题1．数学与生活点拨：本例是方差在生活中的具体应用，在平均寿命接近的前提下，哪个厂家的产品寿命的波动越小，该产品也就越稳定。

2．数学与生产例4．甲、乙两名工人加工同一种直径为10.00mm 的零件，现从他们加工好的零件中各抽取6个，量得它们的直径如下（单位：mm ）：甲：9.98，10.02，10.00，10.00，10.01，9.99乙：10.00，10.03，10.00，9.97，10.10，10.90根据上述数据，如何评价两人的加工质量？分析：通常加工零件质量的优劣是通过平均数、方差（或标准差）来衡量的。

解：，）（甲1099.901.1000.1000.1002.1098.961=+++++=-x 1090.1010.1097.900.1003.1000.1061=+++++=-）（乙x 而 4703.300017.022==乙甲，S S 。

甲、乙两位工人加工零件的平均尺寸相同。

甲工人加工的零件都接近规定尺，而乙工人加工的零件的尺寸波动较大，不稳定，所以甲工人的加工质量更高。

点拨：在对数据进行分析的过程中，选择有关的统计量中的哪种来统计分析，关键是对各种统计量意义的理解。

三、拓展创新题1．创新题点拨：利用所给的统计图得出甲、乙两人五次测试的成绩是前提，而后利用这些数据进行有关的计算，要注意并不是说方差越小这组数据就越好，如本题中甲的波动大，但甲的成绩基本呈上升趋势，从这方面可以说明甲的发展潜力比较大。

2．难题巧解例6、一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：已经算得两个组的人均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁劣，并说明理由。

分析：本例已算得两组的人均分都是80分，从平均数入手已不可能，那么从众数、中位数、方差、商分数分别进行考虑，进行综合考察，才能找到一个完整答案，一般地说，都是从方差入手进行比较，那是不科学的，只能反映一个侧面，一是不符合实际；二者也犯了以偏概全的错误，以生活中的实际问题，不但要从数学角度去分析，也要切合实际，这是我们解决实际问题的宗旨。

解：下面我们从众数、中位数、方差、高分数来解答这个问题。

⑴甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分。

从成绩的众数比较看，甲组成绩好些。

⑵甲、乙两组成绩的中位数都是80分。

甲组成绩在中位数以上的有33人，乙组成绩在中位数以上的有26人，从这一角度看甲组的成绩总体较好。

172)4006100140131001040059002(501])80100(6)8090(14)8080(13)8070(10)8060(5)8050(2[6141310521)3(2222222=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-+-+-+-+-+-+++++=甲S 256)4001210012021001640049004(5012=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙S 22乙甲S S <，甲组成绩较乙组波动要小。

⑷从成绩统计表看，甲组成绩高80分的人数为14+6=20(人)，乙组成绩高于80分的人数为12+12=24(人)。

∴乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好。

点拨：以上求解，使我们体会到难题之难，难在哪里？⑴考察的知识面宽；⑵考察综合能力强；⑶考察知识跨度大；⑷考察隐蔽点多；⑸考察思路方法以多等诸多原因，使问题难度加大，对此，我们首先要沉着，冷静，树立必胜的信心，然后积极进行思考，全方位进行考虑。

分散兵力，重点击破。

把本例分成四个小问题：①从中位数进行思考；②从众数进行分析；③利用方差进行比较；④从题设表中观察高分段及满分来考虑。

这样将原题剖析的淋漓尽致，再一个个的攻破，集中起来，便找到圆满答案，一般地说，遇到难题通常都是剖析，把重复问题分散开来，化为简单问题，化为熟悉问题及图形，使容易找到解题的突破口，对待难题千万不要畏惧，只要基础扎实，思维方法对头，就可以化难为易。

◆挑战课标中考一、中考考点点击本平均数、中位数、众数、方差、标准差这几个常见的统计量在中考中常综合在一起进行考查，是重点内容，主要是能根据具体的问题，选择适当的统计量表示数据的不同特征，并根据统计结果作出合理的推断和预测，考查题型多种多样，可以是选择、填空，也可是解答题。

二、中考典题全解例、国家统计局发布的统计报告显示：2001年到2005年，我国GDP增长率分别为8.3%，9.1%，10.0%，10.1%，9.9%。

经济学家评论说：这五年的年底GDP增长率之间相当平稳。

从统计学的角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的（）比较小。

A、中位数B、标准差C、平均数D、众数分析：本题考查了常用的几个统计量：平均数、众数、中位数、标准差的含义，其中平均数、众数、中位数都是反映一组数据集中趋势的量，它们之间又可有侧重；标准差是反映一组数据波动大小的量，一组数据的标准差越小，说明这组数据的波动越小，这组数据也就越平稳，所以本题应选B。

解：B.新课标剖析：本题考查的几个常用的统计量：平均数、众数、中位数、标准差的选择和应用。