第2课时面积问题与其他问题敦字目师【知识与技能】本节课使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解.并会验根.【过程与方法】1. 使学生军握运用去分母或换元的方法解可化为一元二次方程的分式方程：使学生理解转化的数学根本思想：2. 使学生能够利用最简公分时进行验根.【情感态度】结合对期目的分析与解答，对学生进行辩证唯物主义思想的教育.【教学重点】掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法.【教学难点】解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验.学生容易无视对分式方程的解进行检验.通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的页要性.教字国程一、创设情境，导说新课1 .怎样解分式方程：1 4.12 .---- F—7 + ------------- = 1 ・x +2 .V2 -4 22. 怎样进行检验？【教学说明】先让学生尝试完成.然后让学生比拟各自的解法，发现存在的问题，教师再进行总结和强调：分式方程解完后一定要检验.二、例如讲解，合作探究1 .请同学们思考以下问题，总结方法例1正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的的小正方形，围成高20cm, 容积为2880cm：的开口方盒.问原来金风片的边长是多少？【分析】如果设原来金属片的边长是xcm.那么方盒的底边长是___________ ,底面积是______ ，方盒的高是_____ ，那么方盒的容枳用含有x的式了表示为_______ ，根据“容积为2幽0品”可以列出方程为_____ .清同学们列出方程求解.2. 小结：求得解有两个，其中后28不符合实际，应该舍去（2）方盒的底边长应该是尸40,减去两个小正方形的边长（3）长方体的容枳二底面积X高【教学说明】例1是对面积和体枳问题的研究，m以先让学生口述面积和体积公式，然后让学生观察图形，对分解的何题逐步进行研究，最后根据相等关系列山方程.教师对容易出现的何题进行总结和强调.3. 靖I司学们思考以下问圈思考所列方程与前面的方程有什么不同.解此类方程应该注意什么？例2 一组学生组织春游，预计共需资用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少？【分析】设原来这组学生的人数是x人，那么把题中的信恩雄理成卜表：根据“每人可少分摊3元”可列出方程: __________________________ ・这是一个分式方程.怎样解这个分式方程？解分式方程要注意什么？4. 学生尝试解分式方程，并进行检验5 .小结:（1）将分式方程通过去分母转化为整式方程求解（2）解分式方程一定要检验（3）要根据实际情况将不符合实际的解舍去【教学说明】先让学生填表，给学生•个新的分析问题的方法.然后根据相等关系列出方程.观察方程的特征,让学生自主解出方程.最后让学生总结要注意的何题.三、练习反应，稳固提高1・解方程, i 6.v + 2 - 2 + 6.v + 4仁小+3》+2=5 ■—37TI -*2. 电冰箱庄缩机厂接到了批4800台的无窥戌缩机的订单，为了提前2天完成任务， 需每天比原来多生产200台.原定每天生产多少台？3. A 、B 两码头相距48干米，一轮席从A 码头顺水航行到B 码头后，立即逆水航行返回 到A 码头，共用了 5小时：己知水流速度为4千米/时，求轮船在静水中的速度.【答案】1. (1)解：原方程就是!一3x -了 =2方程两边都乘以(i +x )(i 1-x (I + A )(1-X ) 一x),约去分母，1+X -(3X -X 2)=2(1+X )(1-X ).整理后，很 3x 」2x-l=0,X| = 1. X2= —： .检验：把X = 1代入(1+x) (1—x),它等于0,所以x=l 是增根; 把X = -|代入(l+x)(l-x),它不等于0.所以乂 = 一!是原方程的根.・.・原方程的根是X 331 =—一3(2)解：原方程可化为2(3.v+1) 2(J+3x+2) •六(3x+l)-- -------------- =5 — ------------------------ ・ vi -- ------------x 4-3x + 2 3x+I x +3x + 2 方程可变形为2y=5-Z.方程的两边都乘以y,2y 」5y+2=0•解这个方程, V得 yi=2, y2=：・当y=2时， 产*), =2,去分时，整理，得2『+3x + 3=0. ...△=3」4X2X3= r+3x+2 9-24V0,..・y=-时，去分母，整理，得x 」3x=0,解得，x,=0, 2XJ =3.检验：把”=0,刈=3分别代入原方程的分母，各分母都不等于0,所以它们都是原方 程的根..・•原方程的根是Xi=0. x2 = 3.2.解：设原定每天生产x 台.=”那么3+3x+2) = 土，于是原 3x+l V根据题意，得维4800"200方程两边同乘以x (x+200),得1800 (x + 200) 一4800x=2x <x + 200),整理,得x'+200x・480000=0,解理xi=600, x2=-800经检知x=600和x = -800都是所列分式方程的根，但、=一800不合题意，舍去.答：原定每天生产600台.3. 分析⑴顺水速度：1顺=、，船+v水.逆水速度：v逆=\，船一"水.(2)等量关系：轮船顺流航行时间与轮船逆流航行时间之和等丁• 5小时.根据题意. 可以列出方程.解：设轮船在静水中的速度为、千米/时，根据题意，得 =一==5・工+4 x-4方程的两边都乘以(x+4)(x-4),约去分似，整理得5x2—96x-80=0.解这个方程，得为=20, x2 = -|.4经检验,x,=20.x=20.答：轮船在静水中的速度为20千米/时.【教学说明】第12、3题是列分式方程解应用题, 妥提醒学生注意解的合理性.四、师生互动，课堂小结】•体枳问题中：长方体的容积二底面积X高2. (1)将分式方程通过去分母转化为整式方程求解(2)解分式方程一定要检验(3)要根据实际情况将不符合实际的解舍去【教学说明】教师引导学生对本节课内容进行总结.强调解分式方程•定要检验和要根据实际情况舍去不符合实际的解•同时漆透转化的数学思想.V谢后作业完成同步练习册中本课时的练习・晶教字反思本节课主要学习列分式方程解应用题，•方面要学生适应这种解题的思珞，明确此类何 T 定要进行检验，这•点学生容易忽略.最后要对求得的解进行分析，舍去不符合实际的解.。
![[数学]-专项17.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】(举一反三)(沪科版)(原版)](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/33a9b7f7970590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed49f.webp)
专题17.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】【沪科版】【题型1 数字问题】 ................................................................................................................. 错误!未定义书签。
【题型2 平均变化率问题】 . (2)【题型3 销售利润问题】 (3)【题型4 传播问题】 (4)【题型5 循环问题】 (4)【题型6 树枝分叉问题】 (5)【题型7 工程问题】 (6)【题型8 图形问题】 (8)【题型9 面积问题】 (10)【题型1 数字问题】【例1】（2022•苏州期末）一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．【变式1-1】（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（）A．10（x+3）+x＝x2B．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2C．10（x﹣3）+x＝x2D．10（x+3）+x＝（x﹣3）2【变式1-2】（2022•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是．【变式1-3】（2022•秦都区期末）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．【题型2 平均变化率问题】【例2】（2022春•钟山县期末）某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（）A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20【变式2-1】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．20% B．11% C．22% D．44%【变式2-2】（2022春•芝罘区期末）某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是．【变式2-3】（2022•秀峰区校级期中）某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？【题型3 销售利润问题】【例3】（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（）A．70元B．80元C．70元或80元D．75元【变式3-1】（2022春•乳山市期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为元．【变式3-2】（2022春•垦利区期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以2元/张的价格订购了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10张．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．（1）当每张书签定价为3.5元时，商店每天能卖出件；（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？【变式3-3】（2022•市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售20m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政3府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．【题型4 传播问题】【例4】（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【变式4-1】（2022•长兴县校级期中）截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为；n轮感染后，被感染的活禽只数为只．（用含n的代数式表示）【变式4-3】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【题型5 循环问题】【例5】（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式5-1】（2022•大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？【变式5-2】（2022•保亭县校级月考）要组织一次排球循环赛，参赛的每两队之间赛一场．赛程计划7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参加？【变式5-3】（2022•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？【题型6 树枝分叉问题】【例6】（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【变式6-1】（2022秋•鼓楼区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 C．x+x2＝43 D．（1+x）2＝43【变式6-2】（2018秋•同安区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则每个枝干长出（）小分支．A．7根B．6根C．5根D．4根【变式6-3】（2022•河西区期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？若设每个枝干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为1；②从主干中长出的枝干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述枝干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．【题型7 工程问题】【例7】（2022•渝中区校级自主招生）工程队在完成某项工程的过程中，因提高了工作效率从而缩短了工作时间．经测试：工作时间缩短的百分率是工作效率提高的百分率的2倍，且提高工作效率后的工作量是原来工作量的0.88倍．若完成原来工作量的时间为3小时，求提高工作效率后完成工作量所花的时间．【变式7-1】（2022•沙坪坝区校级开学）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100米（1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少修路多少米？（2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的最施工速度进行施工，但在实际的施工过程中，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了m%．市政府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队同时施工60天，再由乙单独多施工（m+7）天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m的值．【变式7-2】（2022•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程并且甲、乙两队的工作效率与题干的不同，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【变式7-3】（2022•开州区期中）为进一步改善路容路貌，提升干线公路美化度，某地相关部门初步拟定派一个工程队对一段长度不少于39000米的公路进行路基标准化整修．该工程队以旧设备与新设备交替使用的方式施工，原计划旧设备每小时整修公路30米，新设备每小时整修公路60米．，当这个工程完（1）出于保护旧设备的目的，该工程队计划使用新设备的时间比使用旧设备的时间多23工时，旧设备的使用时间至少为多少小时？（2）通过精确的勘察、测量、规划，以及新增了部分支线公路整修，此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米．于是在实际施工中，旧设备在整修公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多 3.2a%，同时，因为工人操作新设备不够熟练，使得新设备整修公路的效率比原计划下降了a%，使用时间比（1）中新设备使用的最短时多（1a+30）%，求a的值．2【题型8 图形问题】【例8】（2022春•海安市期末）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．（1）花园内的小路面积为平方米（用含x的代数式表示）．（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值．【变式8-1】（2022•峄城区期末）有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600cm2，则纸盒的高为．【变式8-2】（2022•沈阳模拟）如图，某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，半径为x米，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15米．当x等于多少时，窗户通过的进光面积是4平方米．【变式8-3】（2021秋•朝阳区校级月考）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长100m，下底长180m，上下底相距80m，在两腰中点连线外有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道的面积是梯形面积的六分之一．甬道的宽应是多少（精确到0.01m）？（友情提示：中间甬道的中位线就是等腰梯形的中位线）【题型9 面积问题】【例9】（2022•蜀山区校级模拟）我国南宋数学教杨辉曾经提出这样的一个问题，“直田积，八百六十四，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步”．大意：矩形田地的面积为864平方步，宽比长少12步，问矩形田地的长与宽各几步？（请你利用所学知识解决以上问题）【变式9-1】（2022•淮安区期中）用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米．（1）若矩形的面积为96平方厘米，求x的值；（2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由．【变式9-2】（2022•贵阳期末）我们规定：如果一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形的周长和面积的n倍，则称这个矩形是另一个矩形的“加倍矩形”．已知一个矩形的长为5，宽为3，是否存在这样的“加倍矩形”，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的3倍，请说明理由．【变式9-3】（2022•达川区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠长为18m的墙，另三边用木栏围成，木栏长为32m．（1）鸡场的面积能围成120m2吗？（2）鸡场的面积能围成130m2吗？。
