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设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于
点P(x,y)
(1) y叫做α的正弦,记作sinα,
即
sinα=y
(2) x叫做α的余弦,记作cosα,
y
即
cosα=x
P(x,y)
(3) y 叫做α正切,记作tanα,
α
即
x
tan
y x
x
0
k
k
Z
x
A(1,0)
2
4.三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数
y
T
P
O MA x
sin MP cos OM tan AT
规律：三角函数线是有向线段的数量，要 分清起点、终点。 1）凡含原点的线段，均以原点为起点； 2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点 为起点； 3）正切线AT：起点A一定是单位圆与轴的 非负半轴的交点，终点T为终边（或延长线） 与过A的圆的切线的交点
4
tan
17 8
tan
7 8
3
tan
7 8
0
5
sin
4
3
sin
4
3
2
sin
2
3
0
6 tan 556 tan 360 196 stiann119696o>00
B. 第一、三象限 D. 第二、四象限
练习3. 若 cos θ 0，且sin2 0则θ的终
边在 __C__
A. 第一象限
B. 第三象限
C. 第四象限
D. 第二象限
1.下面从图形角度
认识一下三角函数
α的 终边
P
y
A(1,0)
MO
x
角α的终边与单位圆
交于点P.过点P作x轴
的垂线,垂足为M.
证明:如果①②式都成tan立 ,那0.么②θ为第三
象限角.
若sinθ<0,那么θ角的终边可能位于第
三或第四象限,也可能位于y轴的非正半 轴上
又若tanθ>0,那么θ角的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立,所以θ角的终边只能
7.终边相同的角的同一种三角函数值相等 诱导公式一
sin k 2 sin cos k 2 cos tan k 2 tan
OP r
OP r
OM a
将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上
sin MP b,
OP
cos OM a,
OP
tan MP b
OM a
以原点O为 圆心,以单 位长度为 半径的圆 称为单位
圆
y
y
P(a,b)
1
α
P(a,bx)
M A(1,0)
α
OM x
3.利用单位圆定义任意角的三角函数
解:(1)因为250°是第_三__象限角,所以cos250°< 0
(2)因为
4
是第_四___象限角,所以
sin
4
<
0
(3)因为tan(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48°
而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) > 0
(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0
终边 (Ⅲ)
y T α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
(Ⅳ) 终边
这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、
AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切
线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正
切值都为0;
当角α的终边与y轴重合时,余
MP=y=sinα
思考
(2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一 样的线段来表示角α的正切吗?
过点A(1,0)作单 α的 y
位圆的切线,设它 终边 P
A(1,0)
与α的终边或其
MO
x
反向延长线相交 于点T.
T
(Ⅱ)
tan MP
OM
y
T
AT AT y
OA
x
M
A(1,0)
O
x
α的 P
弧度制下,角的集合与实数集R之间建立 了一一对应关系
三型例题
例1 求 5 的正弦、余弦和正切值.
解: 在3直角坐标系中,作出 AOB= 5
3
sin 5 3
y
32
cos 5 1
32
5
3
O
Ax
tan 5 3
3
练
B
1 2
,
解: r x2 y2 122 52 13
sin y 5
r 13
cos x 12
r 13
tan y 5
x 12 返
口答: 设α是三角形的一个内角,在sinα,
cosα, tanα, tan(α/2)那些可能取负值?
0 , 0 ,
练习
利用三角函数的定义求 7 的三个三角函数值
6
解:如图
7
6
与单位圆的交点为
3 2
,
1 2
sin 7 y 1
y
6
2
7
cos 7 x 3
6
2
6
A(1,0)
O
x
tan 7 y 3
6x3 返
3 2
,
1 2
练习 已知角θ的终边过点P(-12,5),求角θ的三 角函数值
3 2
例2 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值
解: OP0 32 42 5
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、 P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
M0P0 4, MP y, OM0 3, OM y x
sin y y MP
1 OP
M0 M Ox
M0P0 4 ;
OP0
5
P(x,y) P0(-3,-4)
cos x x OM OM0 3 ;
1 OP
OP0
5
tan y sin 4 x cos 3
知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 α的三角函数值.
（2）若sin m 3 ，cos 4 2m 都有意义，则
m5
m5
m ________ ．
（3）若角 的终边过点Pa，8 ，且 cos 3 ，
5
则 a ________．
22
sin 0, tan 0
2 cos 0, tan 0
2
练习
确定下列三角函数值的符号
1 sin156 >0
2 cos 16
5
cos
2
5
cos
5
0
3 cos 450 cos 450 720 cos 270 0
返
填表:
角α
0° 90° 180° 270° 360°
角α的弧度数 0
2
3 2
2
sinα
0 1 0 1 0
cosα
1 0 1 0 1
tanα
0
0
0
反馈训练
（1）若角 终边上有一点P 3，0，则下列函数值不存在
的是（ ）．
A．sin B．cos C． tan D． cot
α的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的
距离是_r_____a_2___b__2 ___0
过P作x轴的垂线,垂足为M,则
线段OM的长度为_a__
线段MP的长度为_b__
y P(a,b)
α
OM x
sin MP b , cos OM a , tan MP b
(Ⅱ)
y
|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
M
A(1,0)
O
x
α的 P
终边 (Ⅲ)
y
α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
P
α的
(Ⅳ) 终边
思考 (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它 们的取值与点P的坐标一致?
1.2.1 任意角的三角函数
1.复习引入
我们已经学习过锐角的三角函数，如图：
C
sin A BC AC
A
B
cos A AB tan A BC
AC
AB
你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?
2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半 轴重合,那么它的终边在第一象限.
