《直线与角》全章复习与巩固(基础)知识讲解

第四章：直线与角复习（1课时）教学目标【知识与技能】1、使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章知识；2、对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的进一步的认识；3、掌握本章的全部定理和公理；4、理解本章中数学中数形结合的思想方法；5、了解本章的题目类型，进行简单的知识计算；【过程与方法】回顾线和角的有关概念，采用自学与小组学习相结合的方法，培养学生主动参与、勇于探究的精神。

【情感、态度与价值观】通过让学生回顾线段、直线、射线和角的简单的图形，引导学生把数学知识与现实生活想联系。

教学重难点【重点】重点是理解本章的知识结构，掌握线段和角的有关知识计算；【难点】理解本章数学中的数形结合的思想方法．教学过程一、知识回顾知识回顾1：（1）几何图形有关概念，几何图形由、、、组成；（2）线段、射线、直线。

1、直线的性质；2、线段的性质；知识回顾2：（1）指出线段、射线、直线三者的相同点和不同点知识回顾3：（1）角的基本知识（2）余角和补角的性质二、基础知识过关1、下列图形中哪些是角?2、判断正误3、角的个数4、线段、射线、直线的个数三、共同提升练习1、如图4－2，D是AB的中点， E是BC的中点，BE＝15AC＝2 cm，求线段DE的长四、合作交流1、如图4－6，已知OE是∠BOC的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠AOB＝150°，则∠DOE的度数是________．2、若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数？五、总结：今天我们学习了什么知识？你有那些收获？还有什么问题吗？六、作业：1、A组复习题 2，32、B组复习题 1, 2。

《直线与角》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 经历从现实世界抽象几何图形的过程，能说出常见的几何体和平面图形；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、表示方法、性质、及画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何图形1.几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.2.几何图形的构成元素几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本事实(1)直线:两点确定一条直线． (2)线段:两点之间线段最短． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②两条直线相交只有一个交点.③两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 3．线段的长短比较与运算（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC ＝AC ，或AC ＝a+b ；AD ＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==.要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PNMBA要点三、角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.4.角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法；③估算法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.5.余角、补角 （1）定义：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补. 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余. （2）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”． 6.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 要点四、用尺规作线段与角 1.尺规作图几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画圆，这种画圆的方法叫做尺规作图. 2.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.要点诠释：画一条线段等于已知线段①度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. ②用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB ＝ａ，如下图：（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 3.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 【典型例题】类型一、几何图形1. 观察图中的立体图形，分别写出它们的名称．【答案】从左向右依次是：球、六棱柱、圆锥、正方体、三棱柱、圆柱、四棱锥、长方体． 【解析】针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可．【总结升华】熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键．类型二、线段和角的概念或性质2.下列说法正确的是( )A.射线AB与射线BA表示同一条射线.B.连结两点的线段叫做两点之间的距离.C.平角是一条直线.D.若∠1+∠2＝900,∠1+∠3＝900,则∠2＝∠3. 【答案】D【解析】选项A中端点和延伸方向不同，所以是两条射线；选项B中两点之间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是图形；C中角和直线是两种不同的概念，不能混淆.【总结升华】理解概念，掌握概念与概念的本质区别，并进行“比较”性分析和记忆．举一反三：【变式】下列结论中，不正确的是（）．A．两点确定一条直线B．两点之间，直线最短C．等角的余角相等D．等角的补角相等【答案】B3.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短? 画出图来，并说明原因．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．4. (广西钦州)钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了________度．【思路点拨】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【答案】90【解析】根据钟表的特征；整个钟面是360°，分针每5分钟旋转30°，所以经过15分钟旋转了90°．【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．举一反三：【变式】100°－60°52′10″＝【答案】39°7′50″类型三、线段或角的计算1.方程的思想方法5. 如图所示，在射线OF上，顺次取A、B、C、D四点，使AB:BC:CD＝2:3:4，又M、N分别是AB、CD的中点，已知AD＝90cm，求MN的长．【思路点拨】有关比例问题，可设每一份为x，列方程求解，再利用中点定义，找出线段的和、差．【答案与解析】解：设线段AB，BC，CD的长分别是2x cm，3x cm，4x cm，∵AB+BC+CD＝AD＝90 cm，∴2x+3x+4x＝90，x＝10，∴AB＝20 cm，BC＝30 cm，CD＝40 cm，∴MN＝MB+BC+CN＝12AB+BC+12CD＝10+30+20＝60(cm)．【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时，可根据比设未知数x，用x的式子表示相关的线段的长度，列方程求出x的值，进而求出线段的长．举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度数．【答案】解：设∠AOB的度数为2x，则∠AOD的度数为7x．由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，可得7x＝2x+100°．解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°＝60°，∠COD＝∠BOD -∠BOC＝100°-60°＝40°．2.分类的思想方法6.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．(1)若∠AOB＝18°，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)若∠AOB＝m，求∠AOC与∠BOC的度数．【答案与解析】解：(1)分两种情况：①OC在∠AOB的外部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x 得∠AOB＝x，即x＝18°所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°②OC在∠AOB的内部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x ∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x所以9x＝18°，则x＝2°所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，则∠AOC＝59m，∠BOC＝49m，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．举一反三：【变式1】已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC＝3cm，求线段AC的长．【答案】解：分两种情况：(1)如图(1)，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)；(2)如图(2)，AC＝AB+BC＝8+3＝11(cm)．所以线段AC的长为5cm或11cm．【变式2】下列判断正确的个数有( )．①已知A、B、C三点，过其中两点画直线一共可画三条．②过已知任意三点的直线有1条．③三条直线两两相交，有三个交点．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A3.类比的思想方法7.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.(2)如图，在∠AOD的内部有两条射线OB、OC，则图中共有个角.【答案】（1）6；（2）6.【解析】（1）以A为端点的线段有3条，同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条，又因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：3462⨯=（条）.（2）以射线OA为一边的角有3个，同样以OB，OC，OD为一边的角也各有3个，又因为所有角均重复一次，所以共有角的个数：3462⨯=（个）.【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容.类型四、线段或角的作图8.在如图中，补充作图：在AD的右侧作∠DCP=∠DAB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.【答案与解析】解：（1）作图如下：【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，正确掌握基本作图是解决本题的关键．举一反三：【变式】下列作图属于尺规作图的是（）．A．画线段MN=3cm． B．用量角器画出∠AOB的平分线．C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线．D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α．【答案】D。

直线与角知识点总结直线与角是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题和计算几何关系时起着关键作用。

本文将系统总结直线与角的基本概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解和运用这些知识。

一、直线的基本概念1. 直线的定义在几何学中，直线是由无数个点按一定方向无限延伸而成的。

它是一种没有宽度和厚度，只有长度的几何图形。

2. 直线的表示在几何绘图中，直线通常用两个端点，也可以用一个小写字母或者任意两个点的名字（如AB或BA）表示。

3. 直线的分类直线可分为水平线、垂直线、平行线和斜线等。

水平线是指与水平面垂直的直线，垂直线是指与地面平行的直线，平行线是指方向相同但不相交的直线，斜线则是方向不同的直线。

二、角的基本概念1. 角的定义在几何学中，角是由两条射线共同端点所围成的图形，通常用A、B、C表示，其中B是角的顶点，A和C分别是角的两边。

2. 角的度量角的度量通常用度（°）来表示，1度等于圆周的1/360。

此外，我们还可以用分、秒来表示更小的角度。

3. 角的分类根据角的大小和旋转方向，我们可以将角分为锐角、直角、钝角、周角、复角和对顶角。

三、直线与角的性质1. 直线的性质（1）直线上任意两点之间的距离是固定的。

（2）两条相交直线之间的角的和等于180°。

（3）两条平行直线之间的角是对应角，对应角相等。

2. 角的性质（1）锐角的度数小于90°，直角的角度为90°，钝角的角度大于90°。

（2）相邻角的度数相加等于180°。

（3）对顶角相等，即相对角等于180°减去其补角的度数。

四、直线与角的应用1. 直线与角的计算在解决几何问题和证明几何定理时，直线与角的计算是非常重要的。

通过计算直线的长度和角的度数，我们可以判断直线的位置关系、角的大小以及其他相关信息。

2. 直线与角的绘制在几何绘图中，我们经常需要根据给定的条件画出直线和角。

掌握绘制直线和角的方法，可以让我们更准确地解决问题和展示几何关系。

七年级直线与角知识点作为初中数学的基础知识之一，直线与角在七年级数学教学中占有重要地位。

那么，在这里就对七年级直线与角的知识点进行梳理和总结，以期能更好地帮助同学们进行数学的学习。

一、角的概念角是指由两条相交的线段（即边）所夹的平面图形部分。

其中，相交的两条线段称为角的边，而它们的交点称为角的顶点。

角的大小用角度来表示，记作∠ABC（A、B、C分别为角的顶点、起始点和终止点），单位是度（°）。

二、角的分类按照角的大小，角可分为以下几类：1.锐角：其度数小于90度（即0°<∠ABC<90°）。

2.直角：其度数等于90度（即∠ABC=90°）。

3.钝角：其度数大于90度但小于180度（即90°<∠ABC<180°）。

4.平角：其度数等于180度（即∠ABC=180°）。

三、直线及其性质直线是指连续的、无限的点构成的线段。

根据直线的不同特征和性质，可以分为以下几类：1.水平线：在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线称为水平线。

2.竖直线：在平面直角坐标系中，与y轴平行的直线称为竖直线。

3.斜线：在平面直角坐标系中，既不与x也不与y轴平行，且倾斜程度不为0或90度的直线称为斜线。

4.平行线：在平面直角坐标系中，如果两条直线永远也不相交，则它们被称为平行线。

5.垂直线：在平面直角坐标系中，如果两条直线相交，并且相交的角度为90度，则它们被称为垂直线。

四、角度计算1.角的度数：在平面直角坐标系中，可以通过直线边界所组成的角来进行度数计算。

若两条过顶点的线段在平面直角坐标系中确定的角是α，那么α的度数=∠MNP（即角度为α的相应弧）所对应的弧长l/R（其中，R为圆的半径）×360度，即α=l/R×360°。

2.补角和余角：互为补角的两个角，其度数之和为90度（即∠ABC和∠CBD是互为补角，那么∠ABC+∠CBD=90°），而互为余角的两个角，其度数之和为180度（即∠ABC和∠CBD是互为余角，那么∠ABC+∠CBD=180°）。

七年级直线与角知识点归纳在初中数学中，直线和角的知识点是数学基础的一部分，也是数学学习的重点。

对于七年级的学生来说，学习直线和角知识点是非常重要的。

在本文中，我们将对七年级直线和角知识点进行归纳总结。

直线一、基本概念1. 直线是由无数个点依次相连而成的图形，它有无限延伸性，可以无限制延伸。

2. 直线上的两个点可以用一个线段来表示。

3. 直线的两侧分别为直线的两个半平面，可以表示为 AB 的一侧和另一侧。

二、直线的性质1. 直线与直线的关系：平行、垂直和斜线。

2. 直线与平面的关系：相交、平行和垂直。

3. 直线的倾斜角：指直线与水平线的夹角。

4. 直线的斜截式方程： y=kx+b (k 为斜率，b 为截距)。

角一、基本概念1. 角是由两条相交的线段所围成的图形。

2. 角的顶点为两条线段的交点。

3. 角的边是与角相邻的线段。

二、角的分类1. 钝角：大于 90 度的角。

2. 直角：等于 90 度的角。

3. 锐角：小于 90 度的角。

三、角的性质1. 相邻角：公共边相同，两个非公共边分别为两个角，它们的和等于 180 度。

2. 互补角：两个角的和为 90 度。

3. 垂直角：两个互相垂直的角。

4. 对顶角：两个角的非公共边线段互相平行，它们的度数相等。

总结在初中数学的学习过程中，直线和角的知识点是数学基础的一部分，也是数学学习的重点。

学生应该重点掌握直线和角的基本概念、性质和分类等内容，建立起直线和角的概念框架，从而更好地完成后续相关数学知识的学习。

同时，加强实践，运用于生活实际中，就能更快的提高对数学知识的认识和学习效果。

直线与角（1)一、基础知识归纳1、立体图形和平面图形（1）长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等都是立体图形.(2）长方形、正方形、梯形、三角形、圆等都是平面图形。

(3)从不同的方向看一个立体图形，都只能看到立体图形的一部分,并且所看到的都不尽相同,从不同的主向看一个平面图形，看到的还是一个平面图形。

因此,常把立体图形的问题转化为平面图形来研究和处理。

2、点、线、面、体（1）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素，点、线、面、体经过运动变化，能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。

（2）从运动的角度看，点动成线,线动成面,面动成体.（3)一个长方体有六个面,面和面相交的地方成了线，共有12条线，线和线相交的地方成了点，共有8个点。

（4)立体图形可以展开，把立体图形的问题转化为平面图形来研究和处理。

3、如何识别几何体识别几何体，要注意识别它们的形状特征，几何体的表面可能是平的，也可能是曲的。

根据几何体的形状数出平的面和曲的面的个数,如常见的几种几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、各类棱柱、球,这些几何体中,表面都是平的有正方体、长方体、棱柱，表面都是曲的有球;只有一个面的是球;表面有两个面的圆锥；表面有三个面的有圆柱;表面有四个面的有三棱锥；表面有五个面的有三棱柱；表面有六个面的有正方体、长方体、四棱柱;表面有七个面的有五棱柱。

4、顶点数＋面数－棱数＝25、线段、射线、直线的定义(1）线段：可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。

可以量出长度。

（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。

射线无法量出长度. （3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线,直线没有端点。

直线无法量出长度. 2、线段、射线、直线的表示方法（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点(两个大写字母）来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。

（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。

七年级直线与角知识点总结在初中数学学习中，直线与角是一个非常重要的知识点，也是数学发展的重要基础。

掌握好直线与角的知识，能够帮助学生更好地理解其他数学知识点，提高数学解题能力。

以下是七年级直线与角知识点的总结。

一、直线1. 定义直线是由无数个点组成，且延伸方向不断地延伸着的路径。

2. 线段线段是由直线两端点和它们之间的部分组成的路径。

线段有固定的长度。

3. 射线射线由一个端点和一个方向组成，它由这个端点开始，朝着一个方向不断延伸。

4. 直线相关定理（1）两条不同直线如果有一个公共点，则称这两条直线相交。

（2）两条平行直线它们不会相交，但无限延长后相遇。

（3）一条直线与一个平面最多只有一个公共点。

（4）同一根直线上的两个角之和为180度。

5. 直线的常用符号表示直线的符号为“l”，两个平行的直线符号为“ll”。

二、角1. 定义角是由两条射线共同确定，并且有共同的一个端点的图形。

2. 角的度数与弧度角度是表示圆周的度量单位，一个圆完整的度数为360度。

弧度是表示圆周的度量单位，一个圆周的弧长等于半径的弧度。

3. 角相关定理（1）同一个圆中的圆周角相等。

（2）直角的度数为90度，钝角的度数大于90度，锐角的度数小于90度。

（3）如果两个角的度数相加等于180度，则这两个角互为补角。

（4）如果两个角的度数相加等于90度，则这两个角互为余角。

（5）如果两个角的度数相等，则这两个角互为等角。

（6）相邻角的度数之和为180度。

三、直线和角的关系1. 平行线之间的角平行线和横穿它们的另一条直线之间的角叫做对应角，它们的度数相等。

平行线和横穿它们的另一条直线之间的角叫做内错角，它们的度数之和为180度。

平行线和横穿它们的另一条直线之间的角叫做外错角，它们的度数相等。

2. 垂线之间的角垂线也叫作正交线，当两条直线相交且夹角为90度时，它们的交点称为直角。

这两条交叉的直线互相垂直，称作垂线。

垂线之间的角叫做直角，它的度数是90度。

《直线与角》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1. 经历从现实世界抽象几何图形的过程，能说出常见的几何体和平面图形；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、表示方法、性质、及画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何图形1.几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.2.几何图形的构成元素几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本事实(1)直线:两点确定一条直线． (2)线段:两点之间线段最短． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②两条直线相交只有一个交点.③两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 3．线段的长短比较与运算（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC ＝AC ，或AC ＝a+b ；AD ＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==.要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PNMBA要点三、角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.4.角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法；③估算法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.5.余角、补角 （1）定义：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补. 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余. （2）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．6.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.要点四、用尺规作线段与角1.尺规作图几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画圆，这种画圆的方法叫做尺规作图.2.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.要点诠释：画一条线段等于已知线段①度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.②用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.3.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.【典型例题】类型一、几何图形1.对于棱柱体而言，不同的棱柱体由不同的面构成：三棱柱由2个底面，3个侧面，共5个面构成；四棱柱由2个底面，4个侧面，共6个面构成；五棱柱由2个底面，5个侧面，共7个面构成；六棱柱由2个底面，6个侧面，共8个面构成；（1）根据以上规律判断，十二棱柱共有多少个面？（2）若某个棱柱由24个面构成，那么这个棱柱是什么棱柱？（3）棱柱底面多边形的边数为n，则侧面的个数为多少？棱柱共有多少个面？（4）底面多边形边数为n的棱柱，其顶点个数为多少个？有多少条棱？【答案与解析】解：(1)十二棱柱由2个底面，12个侧面，共14个面构成．(2)这个棱柱有24个面，由于底面有2个，故其侧面共有22个，从而这个棱柱是二十二棱柱．(3)棱柱底面多边形的边数与侧面的个数是相等的，即底面多边形的边数为n，则侧面的个数也为n，棱柱的面数为(n+2)．(4)底面多边形的边数为n的棱柱，其顶点个数为2n个，共有3n条棱．【总结升华】根据立体图形的特点，从特殊到一般，寻找规律．举一反三：【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（）A. B. C. D.【答案】B类型二、线段和角的概念或性质2.下列判断错误的有( )①延长射线OA；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA＝PB，则点P是线段AB的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．A．0个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA＝PB，只有当点P在线段AB上时，才是线段AB的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属性不同．【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别．举一反三：【变式】下列说法正确的个数有( )①若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．②互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角．③因为钝角没有余角，所以，只有当角为锐角时，“一个角的补角比这个角的余角大”这个说法才正确．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B 提示：③正确3. (安徽芜湖)如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于()．A ．330°B ．315°C ．310°D ．320° 【答案】B【解析】通过网格的特征首先确定∠4＝45°．由图形可知：∠l 与∠7互余，∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°． 【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关． 举一反三：【变式】如图所示，AB 和CD 都是直线，∠AOE ＝90°，∠3＝∠FOD ，∠1＝27°20′，求∠2，∠3．【答案】解：因为∠AOE ＝90°，所以∠2＝90°-∠1＝90°-27°20′＝62°40′． 又∠AOD ＝180°-∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD ．所以∠3＝12∠AOD ＝76°20′． 答：∠2为62°40′，∠3为76°20′．4. 如图所示，时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次重合．【答案与解析】解：设时针转过的度数为x °时，与分针第一次重合，依题意有： 12x ＝90+x 解得9011x =答：时针转过9011⎛⎫⎪⎝⎭°时，与分针第一次重合．【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及问题来解决． 举一反三：【变式】125°÷4＝ °＝ ° ′ 【答案】31.25°，31°15′类型三、线段或角的计算 1.方程的思想方法5. 如图所示，B 、C 是线段AD 上的两点，且32CD AB =，AC ＝35cm ，BD ＝44cm ，求线段AD 的长．【答案与解析】解：设AB ＝x cm ，则3cm 2CD x =(35)cm BC x =-或3(44)cm 2x -于是列方程，得335442x x -=-解得：x ＝18，即AB ＝18(cm ) 所以BC ＝35-x ＝35-18＝17(cm )33182722CD x ==⨯=(cm ) 所以AD ＝AB+BC+CD ＝18+17+27＝62(cm )【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解． 2.分类的思想方法6. 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知AD ＝59DB ，AC ＝95CB ，且CD ＝4cm ，求AB 的长．【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小． 【答案与解析】 解：利用条件中的AD ＝59DB ，AC ＝95CB ，设DB ＝9x ，CB ＝5y ， 则AD ＝5x ，AC ＝9y ，分类讨论：（1）当点D ，C 均在线段AB 上时，如图所示：∵ AB ＝AD+DB ＝14x ，AB ＝AC+CB ＝14y ，∴ x ＝y∵ CD ＝AC －AD ＝9y －5x ＝4x ＝4，∴ x ＝1，∴ AB ＝14x ＝14(cm )． （2）当点D ，C 均不在线段AB 上时，如图所示：方法同上，解得87AB =(cm )．（3）如图所示，当点D 在线段AB 上而点C 不在线段AB 上时，方法同上，解得11253AB =(cm )．（4）如图所示，当点C 在线段AB 上而点D 不在线段AB 上时，方法同上，解得11253AB =(cm )．综上可得：AB 的长为14cm ，87cm ，11253 cm ．【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决的方法，注意设量法在图形中的体现，使比较复杂的问题得以顺利的解决，在正确答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解．类型四、线段或角的作图7. 阅读：在用尺规作线段AB 等于线段a 时，小明的具体作法如下： 已知：如图，线段a求作：线段AB ，使得线段AB=a ． 作法：①作射线AM ；②在射线AM 上截取AB=a ． ∴线段AB 为所求．解决下列问题：已知：如图，线段b ．（1）请你仿照小明的作法，在上图中的射线AM 上作线段BD ，使得BD=b ； （不要求写作法和结论，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，取AD 的中点E ．若AB=5，BD=3，求线段BE 的长．（要求：第（2）问重新画图解答） 【思路点拨】（1）在射线BM 上截取线段BD ，则BD′=b 或BD=b 即为所求；（2）由于点D 与线段AB 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①点D在线段AB的延长线上，则BE=AB-AE=1；②点D在线段AB的延长线上，则BE=AB-AE=4．【答案与解析】解：（1）如图，使得BD=b的点D有两个，分别为点D和点D′．（2）∵E为线段AD的中点，如图1，点D在线段AB的延长线上．∵AB=5，BD=3，∴AD=AB+BD=8．∴AE=4．∴BE=AB-AE=1．如图2，点D在线段AB上．∵AB=5，BD=3，∴AD=AB-BD=2．∴AE=1．∴BE=AB-AE=4．综上所述，BE的长为1或4．故答案为：1或4．【总结升华】本题考查的是两点间的距离，解答此类题目时要注意线段之间的和差关系及分类讨论的思想．。

《直线与角》全章复习与巩固（基础）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：吴婷婷【学习目标】1. 经历从现实世界抽象几何图形的过程，能说出常见的几何体和平面图形；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、表示方法、性质、及画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何图形1.几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.2.几何图形的构成元素几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本事实(1)直线:两点确定一条直线． (2)线段:两点之间线段最短． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②两条直线相交只有一个交点.③两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 3．线段的长短比较与运算（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC ＝AC ，或AC ＝a+b ；AD ＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==.要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PNMBA要点三、角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.4.角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法；③估算法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.5.余角、补角 （1）定义：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补. 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余. （2）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．6.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.要点四、用尺规作线段与角1.尺规作图几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画圆，这种画圆的方法叫做尺规作图.2.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.要点诠释：画一条线段等于已知线段①度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.②用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.3.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.【典型例题】类型一、几何图形1. 观察图中的立体图形，分别写出它们的名称．【答案】从左向右依次是：球、六棱柱、圆锥、正方体、三棱柱、圆柱、四棱锥、长方体．【解析】针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可．【总结升华】熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键．类型二、线段和角的概念或性质2.下列说法正确的是( )A.射线AB与射线BA表示同一条射线.B.连结两点的线段叫做两点之间的距离.C.平角是一条直线.D.若∠1+∠2＝900,∠1+∠3＝900,则∠2＝∠3. 【答案】D【解析】选项A中端点和延伸方向不同，所以是两条射线；选项B中两点之间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是图形；C中角和直线是两种不同的概念，不能混淆.【总结升华】理解概念，掌握概念与概念的本质区别，并进行“比较”性分析和记忆．举一反三：【变式】下列结论中，不正确的是（）．A．两点确定一条直线B．两点之间，直线最短C．等角的余角相等D．等角的补角相等【答案】B3.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短? 画出图来，并说明原因．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．4. (广西钦州)钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了________度．【思路点拨】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【答案】90【解析】根据钟表的特征；整个钟面是360°，分针每5分钟旋转30°，所以经过15分钟旋转了90°．【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．举一反三：【变式】100°－60°52′10″＝【答案】39°7′50″类型三、线段或角的计算1.方程的思想方法5. 如图所示，在射线OF上，顺次取A、B、C、D四点，使AB:BC:CD＝2:3:4，又M、N分别是AB、CD的中点，已知AD＝90cm，求MN的长．【思路点拨】有关比例问题，可设每一份为x，列方程求解，再利用中点定义，找出线段的和、差．【答案与解析】解：设线段AB，BC，CD的长分别是2x cm，3x cm，4x cm，∵AB+BC+CD＝AD＝90 cm，∴2x+3x+4x＝90，x＝10，∴AB＝20 cm，BC＝30 cm，CD＝40 cm，∴MN＝MB+BC+CN＝12AB+BC+12CD＝10+30+20＝60(cm)．【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时，可根据比设未知数x，用x的式子表示相关的线段的长度，列方程求出x的值，进而求出线段的长．举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度数．【答案】解：设∠AOB的度数为2x，则∠AOD的度数为7x．由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，可得7x＝2x+100°．解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°＝60°，∠COD＝∠BOD -∠BOC＝100°-60°＝40°．2.分类的思想方法6.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．(1)若∠AOB＝18°，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)若∠AOB＝m，求∠AOC与∠BOC的度数．【答案与解析】解：(1)分两种情况：①OC在∠AOB的外部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x得∠AOB＝x，即x＝18°所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°②OC在∠AOB的内部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x所以9x＝18°，则x＝2°所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，则∠AOC＝59m，∠BOC＝49m，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．举一反三：【变式1】已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC＝3cm，求线段AC的长．【答案】解：分两种情况：(1)如图(1)，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)；(2)如图(2)，AC＝AB+BC＝8+3＝11(cm)．所以线段AC的长为5cm或11cm．【变式2】下列判断正确的个数有( )．①已知A、B、C三点，过其中两点画直线一共可画三条．②过已知任意三点的直线有1条．③三条直线两两相交，有三个交点．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A3.类比的思想方法【高清课堂：图形认识初步章节复习399079 类比思想例5】7.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.(2)如图，在∠AOD的内部有两条射线OB、OC，则图中共有个角.【答案】（1）6；（2）6.【解析】（1）以A为端点的线段有3条，同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条，又因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：3462⨯=（条）.（2）以射线OA为一边的角有3个，同样以OB，OC，OD为一边的角也各有3个，又因为所有角均重复一次，所以共有角的个数：3462⨯=（个）.【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容. 类型四、线段或角的作图8.在如图中，补充作图：在AD的右侧作∠DCP=∠DAB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.【答案与解析】解：（1）作图如下：【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，正确掌握基本作图是解决本题的关键．举一反三：【变式】下列作图属于尺规作图的是（）．A．画线段MN=3cm． B．用量角器画出∠AOB的平分线．C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线．D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α．【答案】D。

[人教版初一上册数学第五章线与角知识点归纳] 九年级政
治知识点归纳人教版
《线与角》知识点归纳
线的认识
【知识点】：
认识直线、线段与射线，会用字母正确读出直线、线段和射线。

直线：可以向两端无限延伸;没有端点。

读作：直线AB或直线BA。

线段:不能向两端无限延伸;有两个端点。

读作：线段AB或线段BA。

射线：可以向一端无限延伸;有一个端点。

读作：射线AB(只有一种读法，从端点读起。

) 补充【知识点】：
画直线。

过一点可画无数条直线;过两个能画一条直线;过三点，如果三点在一条线上，经过三点只能画一条直线，如果这三点不在一条线上，那么经过三点不能画出直线。

明确两点之间的距离，线段比曲线、折线要短。

直线、射线可以无限延长。

因为直线没有端点，射线只有一个端点，所以不可以测量，没有具体的长度。

如：直线长4厘米。

是错误的。

只有线段才能有具体的长度。

感谢您的阅读！。

4.4 角的度量1、定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角。

角的端点为顶点，两条射线为角的两边。

2、 1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度；钟表上分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°4.5 角的比较与运算角的平分线：角平分线把一个角分成两个相等的角，角平分线是一条射线。

如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个叫互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。

如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个叫互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角。

等角（同角）的补角相等。

即两个相等的角的补角相等，同一个角的补角相等。

等角（同角）的余角相等。

即两个相等的角的余角相等，同一个角的余角相等。

注：互余、互补关系只强调角度的和为特定的度数，与两个角的位置无关。

4.6 作线段与角1、尺规作图：几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图2、作一条线段等于已知线段：（1）作一条直线L（2）在L上任取一点A，以A为圆心，以线段a的长度为半径画弧，交直线L于点B 则线段AB为所求作的线段3、作一个角等于已知角：（1）在∠AOB上以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F；（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角。

4.3 立体图形的表面展开图【基本目标】1.让学生通过直观感知、操作等实践活动，丰富立体图形的认知和感受，进一步认识立体图形与平面图形的关系；2.会判断所给定的平面图形能否折成立体图形；3.给出一些立体图形的展开图，能说出相应立体图形的名称；4.会判断给定的平面图形是否为某立体图形的展开图，并会把一个简单的立体图形展开成平面图形；5.培养学生的观察、实践操作能力和空间想象能力.【教学重点】根据立体图形研究其展开图和根据展开图判别立体图形.【教学难点】研究一个简单立体图形的展开图.一、情境导入，激发兴趣1.观察生活的周围，就会发现物体的形状千姿百态……，这其中蕴含着许多图形的知识.2.当我们进行包装时，它们的展开图是怎样的呢？下面让我们一起来探究.【教学说明】教师可展示实物，方便探究.通过实物展示，引起学生探究的兴趣.二、合作探究，探索新知1.圆柱体是我们所熟悉的图形，那么圆柱体的侧面展开图是什么图形呢？请你画出来.【教学说明】可以让学生动手操作，再画图，有一个直观的认识.2.“折一折”：如下图是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？【教学说明】先让学生想象、猜测，再动手做，然后请学生来回答，在折起时，应掌握一定的规律性东西，即，如何折，从何折起.3.学生以小组为单位展开探究，将结果画在黑板上，教师及时予以总结.正方体展开图如下图：根据图形做出归纳小结：第一行是1-4-1组合；第二行第1-3个是2-3-1组合；第二行最后两个分别是2-2-2和3-3组合.【教学说明】注意：（1）立体图形有几个面，它的平面展开图就由几个面构成；（2）同一个立体图形，按不同方式展开得到的平面展开图是不一样的.三、示例讲解，掌握新知把如右的正方体纸盒展开成平面图形：思考：（1）沿着一个正方体的一些棱将它剪开得到一个平面图形，需要剪开几条棱？（2）对上述正方体的展开图尝试分类.【教学说明】可以汇集学生所剪得的不同的展开图，张贴在黑板上，必要时教师提供几种新的展开图让学生作参考.四、练习反馈，巩固提高1.画出圆柱、长方体、三棱柱、圆锥的表面展开图，看它的平面展开图是什么，把相应的图形连起来.2.在下面的图形中，不可能是圆锥体的展开图的是（）3.如图，在这些图形中，是四棱柱的侧面展开图的是（填序号）.4.如图，（）不是正方体的展开图5.如图，下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称.6.在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有（）A.7种B.4种C.3种D.2种【教学说明】让学生充分发挥想象，将结果与其他同学进行交流.对于第6题，要注意总结规律，便于学生掌握.【答案】①4.D5.长方体、三棱锥、三棱柱、五棱锥6.B五、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？【教学说明】让学生自我总结收获和疑问，在小组内进行交流，教师再根据交流的情况，对典型问题进行强调.尤其是对正方体的展开图规律再次进行强化.完成本课时对应的练习.本节课主要内容是立体图形的平面展开图，学习本节课内容需要学生有一定的空间想象能力，所以在实际教学中，应多从具体的实物入手，让学生通过动手操作来发现规律并及时进行总结，然后再通过抽象的想象来解决问题，给学生一个适应的过程.10.3 课题学习从数据谈节水一、导学1.导入课题:目前全球正面临着缺水的严峻挑战，我国是一个严重缺水的国家.通过下面的统计活动，同学们将对世界淡水资源，中国缺水的形势以及我国水资源的利用情况有所了解，你会感到我们每个家庭和个人都应该有节水意识.2.学习目标：（1）会用图表描述数据来反映我国水资源的状况.（2）培养节约用水的意识.3.学习重、难点：会用适当统计图表描述数据，并作适当的分析说明.4.自学指导：（1）自学内容：课本P153至P155的内容.（2）自学时间：12分钟.（3）自学要求：对照自学参考提纲中的问题研读教材.（4）自学参考提纲：①阅读P153材料中的内容，从中收集数据.②完成P154问题1，2，3.二、自学同学们可结合自学指导进行自学.三、助学1.师助生（1）明了学情：教师深入课堂了解自学进度和自学中存在的问题.（2）差异指导：对学习有困难或方法不当的学生进行引导.2.生助生：小组内学生之间相互交流，提供帮助.四、强化1.归纳收集数据，画出统计图的要点.2.练习:现在“校园手机”越来越受到社会的关注，为此某校九(1)班随机调查了本校若干名学生和家长对中学生带手机上学现象的看法，统计整理并制作了如下统计图.（图1和图2）（1）求这次调查的家长总人数，并补全图1.（120+120）÷（1-20%）=300(名)（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数.120×360°=144°300（3）从这次接受调查的家长来看，若该校的家长为2400名，则有多少名家长持反对态度？120×2400=960(名)300五、评价1.学生的自我评价：各小组长汇报本组的学习收获和困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、合作交流的方式方法和学习成效进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从生活的实际入手，从同学们非常熟悉的事物出发，通过让学生实际感受、动手操作、协作交流，充分体会到了数学来源于生活，又应用于生活的数学理念.同学们通过本节课的学习，直观地感受到我国目前水资源短缺的严峻形势，从而培养了节水意识；同时，同学们发现自己身边有很多节水的生活实例，马上就可以实践，使他们更好地体会到数学知识的应用价值.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（50分）1.（30分）在设计调查问卷时，下面的提问是否合适?合适的画“√”，不合适的画“×”．(1)难道你不认为参加体育活动有益身心健康吗? (× )(2)你赞同对学生经常进行测验和加强体育锻炼吗? ( √ )(3)问一位老师“你对维持良好的课堂学习气氛感到困难吗?” (× )(4)问一名学生“你是否遵守学校的各项纪律?” ( √ )(5)在一年内，你做家务的次数大约是多少? ( √ )(6)问一名学生“周六你花多长时间做作业?” ( √ )2.（20分）近30年来我国湖泊水面面积已缩小了30％，洞庭湖在1949年后的34年间湖区面积已减少1459km2，平均每年减少42.9km2，容量共减少了115亿m3，平均每年减少3.4亿m3，如果按此速度发展，现有容量为168亿m3的洞庭湖将会在 50 年内消失.二、综合运用（25分）3.某市开展了党员干部“一帮一扶贫”活动.为了了解贫困群众对帮扶情况的满意程度，有关部门在该市所管辖的甲、乙两个区内，分别随机抽取了若干名贫困群众进行问卷调查.根据收集的信息进行了统计，并绘制了下面尚不完整的统计图.已知在甲区所调查的贫困群众中，非常满意的人数占甲区所调查的总人数的35％．根据统计图所提供的信息解答下列问题：(1)甲区参加问卷调查的贫困群众有 1200 人；(2)请将统计图补充完整；(3)小红说：“因为甲区有30人不满意，乙区有40人不满意，所以甲区的不满意率比乙区低.”你认为这种说法正确吗?为什么?错误，甲区不满意率为 2.5%，乙区不满意率为2%，2.5%>2%，所以甲区的不满意率大于乙区.三、拓展延伸（25分）4.九（1）班同学为了了解2015年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理.请解答以下问题：（1）把下面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）求该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据统计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？解：（1）如图；（2）（6+12+16）÷50=68%；(3)（8%+4%）×1000=120(户)答：该小区月均用水量超过20t的家庭大约有120户.。