信息论与编码理论习题答案全解

第1章 绪论1.1 信源、编码器、信道、干扰、译码器、信宿 1.2 香农1.3 通信系统模型1.4信号是消息的表现形式，是物理的，比如电信号、光信号等。

消息是信息的载荷者，是信号的具体容，不是物理的，但是又比较具体，例如语言、文字、符号、图片等。

信息包含在消息中，是通信系统中被传送的对象，消息被人的大脑所理解就形成了信息。

1.5 略第2章 信息的统计度量2.1 少2.2 y 的出现有助于肯定x 的出现、y 的出现有助于否定x 的出现、x 和y 相互独立 2.3 FTTTF 2.4 2.12比特2.5依题意，题中的过程可分为两步，一是取出一枚硬币恰好是重量不同的那一枚，设其发生的概率为1p ，由于每枚硬币被取出的概率是相同的，所以1181p =所需要的信息量()()1log 6.34I A p bit =-=二是确定它比其他硬币是重还是轻，设其发生的概率为2p ，则212p =总的概率12111812162p p p ==⨯=所需要的信息量()log log1627.34I p bit =-==2.6 设A 表示“大学生”这一事件，B 表示“身高1.60m 以上”这一事件，则()()()0.250.5|0.75p A p B p B A ===故()()()()()()|0.750.25|0.3750.5p AB p A p B A p A B p B p B ⨯====()()()11|loglog 1.42|0.375I A B bit p A B ===2.7 四进制波形所含的信息量为()log 42bit =，八进制波形所含信息量为()log 83bit =，故四进制波形所含信息量为二进制的2倍，八进制波形所含信息量为二进制的3倍。

2.8()()()()()()2322log 3log 32log 3 1.585I p bit I p bit I I =-=-==故以3为底的信息单位是比特的1.585倍。

信息论与编码理论课后答案【篇一：《信息论与编码》课后习题答案】式、含义和效用三个方面的因素。

2、 1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

3、按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。

4、按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。

5、人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。

6、信息的是建立信息论的基础。

7、8、是香农信息论最基本最重要的概念。

9、事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。

10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。

11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。

12、自信息量的单位一般有比特、奈特和哈特。

13、必然事件的自信息是。

14、不可能事件的自信息量是15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于两个自信息量之和。

16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变小。

17、离散平稳无记忆信源x的n次扩展信源的熵等于离散信源x的熵的。

limh(xn/x1x2?xn?1)h?n???18、离散平稳有记忆信源的极限熵，。

19、对于n元m阶马尔可夫信源，其状态空间共有m个不同的状态。

20、一维连续随即变量x在[a，b] 。

1log22?ep21、平均功率为p的高斯分布的连续信源，其信源熵，hc（x）=2。

22、对于限峰值功率的n维连续信源，当概率密度均匀分布时连续信源熵具有最大值。

23、对于限平均功率的一维连续信源，当概率密度24、对于均值为0，平均功率受限的连续信源，信源的冗余度决定于平均功率的限定值p和信源的熵功率p25、若一离散无记忆信源的信源熵h（x）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为。

2728、同时掷两个正常的骰子，各面呈现的概率都为1/6，则“3和5同时出现”这件事的自信息量是 ?mn?ki?11?mp(x)?em29、若一维随即变量x的取值区间是[0，∞]，其概率密度函数为，其中：x?0，m是x的数学2期望，则x的信源熵c。

第二章 信息量和熵2.2八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步,每秒1000个码字,求它的信息速率.解:同步信息均相同，不含信息，因此 每个码字的信息量为 2⨯8log =2⨯3=6 bit因此，信息速率为 6⨯1000=6000 bit/s2。

3 掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为:(a ） 7； （b) 12。

问各得到多少信息量.解:(1) 可能的组合为 {1，6｝，｛2，5}，｛3，4},{4，3｝,{5，2｝,｛6,1｝)(a p =366=61得到的信息量 =)(1loga p =6log =2。

585 bit (2） 可能的唯一，为 {6,6｝)(b p =361得到的信息量=)(1logb p =36log =5。

17 bit2.4 经过充分洗牌后的一副扑克(52张）,问：（a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量?解:（a ） )(a p =!521信息量=)(1loga p =!52log =225.58 bit （b) ⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ⨯=1352134C 信息量=1313524log log -C =13。

208 bit2.9随机掷3颗骰子，X 表示第一颗骰子的结果，Y 表示第一和第二颗骰子的点数之和，Z 表示3颗骰子的点数之和，试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。

解:令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ，1x ，2x ，3x 相互独立,则1x X =，21x x Y +=，321x x x Z ++=)|(Y Z H =)(3x H =log 6=2.585 bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H=2⨯(361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+366log 6 =3。

《信息论与编码理论》（王育民李晖梁传甲）课后习题答案高等教育出版社.docx信息论与编码理论习题解第二章-信息量和熵2.1解:平均每个符号长为：2 0.2 - 0.4二兰秒3315每个符号的熵为-log - 1 Iog3 = 0.9183比特/符号32 3所以信息速率为0.91833.444比特/秒 42.2解：同步信号均相同不含信息，其余认为等概，每个码字的信息量为 3*2=6比特; 所以信息速率为6 1000 =6000比特/秒解:(a) —对骰子总点数为7的概率是-36所以得到的信息量为 Iog 2(~6) = 2.585比特36(b) 一对骰子总点数为12的概率是136所以得到的信息量为 Iog 2丄=5.17比特36解：(a)任一特定排列的概率为古,所以给出的信息量为1-Iog 2225.58 比特52!(b)从中任取13张牌,所给出的点数都不相同的概率为13! 413 413 A 13 C 13 A 52 C 52C 13所以得到的信息量为log2C? =13.21比特. 42.5解:易证每次出现i 点的概率为丄,所以212.3 2.4I(^i^-log 2-,i =1,2,3,4,5,621 I (x = 1) = 4.392 比特 I (x =2) =3.392 比特 I (x =3) =2.807 比特 I (x =4)=2.392 比特 I (x =5) =2.070 比特 I (x =6) =1.807 比特6H(X)ilog 2i2.398比特i 421 212.6解：可能有的排列总数为277203! 4! 5!没有两棵梧桐树相邻的排列数可如下图求得, YXYXYXYXYXYXYXY一(7 \一图中X 表示白杨或白桦，它有7种排法，Y 表示梧桐树可以栽(8\种的位置，它有8种排法，所以共有8*=佃60种排法保证没有I 5丿&八3丿两棵梧桐树相邻，因此若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列的信息为Iog 227720-Iog 21960=3.822比特 2.7解：X=0表示未录取，X=I 表示录取；Y=0表示本市，Y=I 表示外地；Z=O 表示学过英语，Z=I 表示未学过英语，由此得3 1 P(X=O) , P(X=I ),44p( y = O) = P(X=O)P(y = O x = 0)十 P(X=I)P(y = O X = 1) — J5 = Oy=O) p(y =1)p(z=0y = 1)_ 13 _ 25,1 3 1/ - 10 4 5 1 1 1 P(X=Iy= O)= p(y=0x=1)p(x= 1)∕p(y=0) =—-/- =2 4 5P(X=Oy =0) P(X = Iy =0)p(x =1 y =O)log2 -P(X =O) P(X =I)5 8log 2θ(b) P(X=OZ = O)= (p(z=Oy=O,x=O)p(y=Ox=O)+p(z = Oy = 1,x = O)p(y=1x=O))p(x = O)∕p(z = O) 1 9 4 =(———)-/1O 1O 1O 4 25 1O4P(X=IZ =O)= (P(Z=Oy=O, x = 1)p(y=0x = 1) +p(z = O y = 1, x =1) p( y =1 x = 1)) p(x = 1)/ P(Z = O) =(1.1 Z) 1虎一—22 54 25104P(X=OZ = 0)I (X ; z = O) = P(X=OZ= O) log 2 -- --------------- +P(X = O)6935単og 2马4亜g 马410423 1042144= 0.02698 比特3 4 1(C) H(X)= log23 Jog 24 =0?8113 比特H(YX)=P(X= O) p( y = O X = 0) l0g 2 p(y = Ox = 0)十 p(x = O)p(y =1 X = O)log 2 p(y = 1x = 0)十1131=—X — +—× —4 2 4 10 1 4p(y =1) =1 -5 5P(Z=O)= P(^O)P(Z 1 440 =+ X :5 5 10013 12 P(Z =I) =1 -2525_ 38 5 8(a) P(X=Oy=O) =p(y = Ox = 0)p(x = 0) / p(y =0)=I (X ; y = 0) = P(X=Oy=O) Iog 2 3 385 4 = 0.45123,13 69 35P(X =IZ =O)log 2 P (X ( 1Z O)P(X = I)比特("x t x 七 X)HH(Z)H93r 06。

信息论与编码理论-习题答案-姜楠-王健-编著-清华⼤学第1章绪论1.1 信源、编码器、信道、⼲扰、译码器、信宿 1.2 ⾹农1.3 通信系统模型1.4信号是消息的表现形式，是物理的，⽐如电信号、光信号等。

消息是信息的载荷者，是信号的具体容，不是物理的，但是⼜⽐较具体，例如语⾔、⽂字、符号、图⽚等。

信息包含在消息中，是通信系统中被传送的对象，消息被⼈的⼤脑所理解就形成了信息。

1.5 略第2章信息的统计度量2.1 少2.2 y 的出现有助于肯定x 的出现、y 的出现有助于否定x 的出现、x 和y 相互独⽴ 2.3 FTTTF 2.4 2.12⽐特2.5依题意，题中的过程可分为两步，⼀是取出⼀枚硬币恰好是重量不同的那⼀枚，设其发⽣的概率为1p ，由于每枚硬币被取出的概率是相同的，所以1181p =所需要的信息量()()1log 6.34I A p bit =-=⼆是确定它⽐其他硬币是重还是轻，设其发⽣的概率为2p ，则212p =总的概率12111812162p p p ===所需要的信息量()log log1627.34I p bit =-==2.6 设A 表⽰“⼤学⽣”这⼀事件，B 表⽰“⾝⾼1.60m 以上”这⼀事件，则()()()0.250.5|0.75p A p B p B A ===故()()()()()()|0.750.25|0.3750.5p AB p A p B A p A B p B p B ?====()()()11|loglog 1.42|0.375I A B bit p A B ===2.7 四进制波形所含的信息量为()log 42bit =，⼋进制波形所含信息量为()log 83bit =，故四进制波形所含信息量为⼆进制的2倍，⼋进制波形所含信息量为⼆进制的3倍。

2.8()()()()()()2322log 3log 32log 3 1.585I p bit I p bit I I =-=-==故以3为底的信息单位是⽐特的1.585倍。

信息论和编码理论习题集答案解析第二章信息量和熵2.2 八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。

解：同步信息均相同，不含信息，因此每个码字的信息量为2?8log =2?3=6 bit 因此，信息速率为 6?1000=6000 bit/s2.3 掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。

问各得到多少信息量。

解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1} )(a p =366=61 得到的信息量 =)(1loga p =6log =2.585 bit (2) 可能的唯一，为 {6，6} )(b p =361 得到的信息量=)(1log b p =36log =5.17 bit2.4 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) )(a p =!521 信息量=)(1loga p =!52log =225.58 bit (b) 花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ?=1352134C 信息量=1313524log log -C =13.208 bit2.9 随机掷3颗骰子，X 表示第一颗骰子的结果，Y 表示第一和第二颗骰子的点数之和，Z 表示3颗骰子的点数之和，试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。

解：令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ，1x ，2x ，3x 相互独立，则1x X =，21x x Y +=，321x x x Z ++=)|(Y Z H =)(3x H =log 6=2.585 bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H =2?(361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+36 6log 6 =3.2744 bit)|(Y X H =)(X H -);(Y X I =)(X H -[)(Y H -)|(X Y H ]而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H = 2)(X H -)(Y H =1.8955 bit 或)|(Y X H =)(XY H -)(Y H =)(X H +)|(X Y H -)(Y H而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H =2)(X H -)(Y H =1.8955 bit ),|(Y X Z H =)|(Y Z H =)(X H =2.585 bit)|,(Y Z X H =)|(Y X H +)|(XY Z H =1.8955+2.585=4.4805 bit2.10 设一个系统传送10个数字，0，1，…，9。

信息论与编码理论习题答案全解第二章信息量和熵2.2 八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。

解：同步信息均相同，不含信息，因此每个码字的信息量为2?8log =2?3=6 bit因此，信息速率为 6?1000=6000 bit/s2.3 掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。

问各得到多少信息量。

解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1} )(a p =366=61得到的信息量 =)(1loga p =6log =2.585 bit (2) 可能的唯一，为 {6，6})(b p =361得到的信息量=)(1logb p =36log =5.17 bit2.4 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) )(a p =!521信息量=)(1loga p =!52log =225.58 bit (b) 花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ?=1352134C 信息量=1313524log log -C =13.208 bit2.9 随机掷3颗骰子，X 表示第一颗骰子的结果，Y 表示第一和第二颗骰子的点数之和，Z 表示3颗骰子的点数之和，试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。

解：令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ，1x ，2x ，3x 相互独立，则1x X =，21x x Y +=，321x x x Z ++=)|(Y Z H =)(3x H =log 6=2.585 bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H =2?(361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+36 6log 6 =3.2744 bit)|(Y X H =)(X H -);(Y X I =)(X H -[)(Y H -)|(X Y H ]而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H = 2)(X H -)(Y H =1.8955 bit或)|(Y X H =)(XY H -)(Y H =)(X H +)|(X Y H -)(Y H而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H =2)(X H -)(Y H =1.8955 bit),|(Y X Z H =)|(Y Z H =)(X H =2.585 bit)|,(Y Z X H =)|(Y X H +)|(XY Z H =1.8955+2.585=4.4805 bit2.10 设一个系统传送10个数字，0，1，…，9。

第二章 信息量和熵2.2 八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。

解：同步信息均相同，不含信息，因此 每个码字的信息量为 2⨯8log =2⨯3=6 bit因此，信息速率为 6⨯1000=6000 bit/s2.3 掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。

问各得到多少信息量。

解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1})(a p =366=61得到的信息量 =)(1loga p =6log =2.585 bit (2) 可能的唯一，为 {6，6})(b p =361得到的信息量=)(1logb p =36log =5.17 bit2.4 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) )(a p =!521信息量=)(1loga p =!52log =225.58 bit (b) ⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ⨯=1352134C 信息量=1313524log log -C =13.208 bit2.9 随机掷3颗骰子，X 表示第一颗骰子的结果，Y 表示第一和第二颗骰子的点数之和，Z 表示3颗骰子的点数之和，试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。

解：令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ，1x ，2x ，3x 相互独立，则1x X =，21x x Y +=，321x x x Z ++=)|(Y Z H =)(3x H =log 6=2.585 bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H=2⨯(361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+366log 6=3.2744 bit)|(Y X H =)(X H -);(Y X I =)(X H -[)(Y H -)|(X Y H ]而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H = 2)(X H -)(Y H =1.8955 bit或)|(Y X H =)(XY H -)(Y H =)(X H +)|(X Y H -)(Y H而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H =2)(X H -)(Y H =1.8955 bit),|(Y X Z H =)|(Y Z H =)(X H =2.585 bit)|,(Y Z X H =)|(Y X H +)|(XY Z H =1.8955+2.585=4.4805 bit2.10 设一个系统传送10个数字，0，1，…，9。

信息论与编码课后习题答案详解2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？解：四进制脉冲可以表示4 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}八进制脉冲可以表示8 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2 个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量H X( 1) = log n = log4 = 2 bit symbol/ 八进制脉冲的平均信息量H X( 2) = log n = log8 = 3 bit symbol/二进制脉冲的平均信息量H X( 0) = log n = log2 =1 bit symbol/所以：四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和3 倍。

2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设随机变量X 代表女孩子学历X x1（是大学生）x2（不是大学生）P(X) 0.25 0.75设随机变量Y 代表女孩子身高Y y1（身高>160cm）y2（身高<160cm）P(Y) 0.5 0.5已知：在女大学生中有75%是身高160 厘米以上的即：p y( 1 / x1) = 0.75 bit求：身高160 厘米以上的某女孩是大学生的信息量p x p y( 1) ( 1 / x1 ) log 0.25×0.75=1.415 bit即：Ix( 1 / y1 ) = ?log p x( 1 / y1 ) = ?log = ?p y( 1 ) 0.52.3 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问(1)任一特定排列所给出的信息量是多少？(2)若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？解：(1) 52 张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：p x( i ) =I x( i ) =?log p x( i ) = log52!= 225.581 bit(2) 52 张牌共有4 种花色、13 种点数，抽取13 张点数不同的牌的概率如下：413p x( i ) =C5213413I x( i ) = ?log p x( i ) = ?log C5213 =13.208 bit2.4 设离散无记忆信源???P X(X )??? = ???x31 /= 8x2 =1 x3 = 2 x4 = 3??，其发出的信息为1/4 1/4 1/8 ?，求(1)此消息的自信息量是多少？(2)此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解：(1) 此消息总共有14 个0、13 个1、12 个2、6 个3，因此此消息发出的概率是：p = ??3??14 ×?? 1 ??25 ×??1??6?8? ? 4? ?8?此消息的信息量是：I =?log p =87.811 bit(2)此消息中平均每符号携带的信息量是：I n/ = 87.811/ 45 =1.951 bit2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？解：男士：p x( Y ) = 7%I x( Y ) = ?log p x( Y ) = ?log0.07 = 3.837 bitp x( N ) = 93%I x( N ) = ?log p x( N ) = ?log0.93 = 0.105 bitH X() p x( )log p x( ) 0.366 bit symbol/i女士：H X () p x ( )log p x ( )0.045 bit symbol /?P X ()?? ??0.2 0.19 0.180.17 0.16 0.17???H(X) > log6不满足信源熵的极值性。

2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。

解：状态图如下状态转移矩阵为：1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。

画出状态图，并计算各状态的稳态概率。

解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)p p== (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)p p==(1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 状态图为：设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有411i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到12345141717514W W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

1． 有一个马尔可夫信源，已知p(x 1|x 1)=2/3，p(x 2|x 1)=1/3，p(x 1|x 2)=1，p(x 2|x 2)=0，试画出该信源的香农线图，并求出信源熵。

解：该信源的香农线图为： 1/3○○2/3(x 1) 1 (x 2)在计算信源熵之前，先用转移概率求稳定状态下二个状态x 1和 x 2的概率)(1x p 和)(2x p 立方程：)()()(1111x p x x p x p =+)()(221x p x x p=)()(2132x p x p + )()()(1122x p x x p x p =+)()(222x p x x p=)(0)(2131x p x p + )()(21x p x p +=1 得431)(=x p 412)(=x p 马尔可夫信源熵H = ∑∑-IJi j i jix x p x xp x p )(log )()( 得 H=0.689bit/符号2．设有一个无记忆信源发出符号A 和B ，已知4341)(.)(==B p A p 。

求： ①计算该信源熵；②设该信源改为发出二重符号序列消息的信源，采用费诺编码方法，求其平均信息传输速率； ③又设该信源改为发三重序列消息的信源，采用霍夫曼编码方法，求其平均信息传输速率。

解：①∑-=Xiix p x p X H )(log )()( =0.812 bit/符号②发出二重符号序列消息的信源,发出四种消息的概率分别为1614141)(=⨯=AA p 1634341)(=⨯=AB p 1634143)(=⨯=BA p 1694343)(=⨯=BB p 用费诺编码方法 代码组 b iBB 0 1 BA 10 2 AB 110 3 AA 111 3 无记忆信源 624.1)(2)(2==X H X H bit/双符号 平均代码组长度 2B =1.687 bit/双符号BX H R )(22==0.963 bit/码元时间③三重符号序列消息有8个,它们的概率分别为641)(=AAA p 643)(=AAB p 643)(=BAA p 643)(=ABA p 649)(=BBA p 649)(=BAB p 649)(=ABB p 6427)(=BBB p用霍夫曼编码方法 代码组 b i BBB 6427 0 0 1 BBA 649 0 )(6419 1 110 3 BAB 649 1 )(6418)(644 1 101 3 ABB 649 0 0 100 3AAB 643 1 )(646 1 11111 5 BAA 643 0 1 11110 5ABA 643 1 )(6440 11101 5AAA 6410 11100 5)(3)(3X H X H ==2.436 bit/三重符号序列 3B =2.469码元/三重符号序列3R =BX H )(3=0.987 bit/码元时间 3．已知符号集合{ 321,,x x x }为无限离散消息集合，它们的出现概率分别为 211)(=x p ，412)(=x p 813)(=x p ···i i x p 21)(=···求： ① 用香农编码方法写出各个符号消息的码字（代码组）； ② 计算码字的平均信息传输速率； ③ 计算信源编码效率。

信息论与编码习题参考答案 第一章 单符号离散信源1.1同时掷一对均匀的子，试求：(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量； (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量； (3)两个点数的各种组合的熵； (4)两个点数之和的熵；(5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。

解：bitP a I N n P bit P a I N n P c c N 17.536log log )(361)2(17.418log log )(362)1(36662221111616==-=∴====-=∴===⨯==样本空间：(3)信源空间：bit x H 32.436log 3662log 3615)(=⨯⨯+⨯⨯=∴ bitx H 71.3636log 366536log 3610 436log 368336log 366236log 36436log 362)(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴＋＋ (5) bit P a I N n P 17.11136log log )(3611333==-=∴==1.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A 和B ，分别以等概落入任一方格，且它们的坐标分别为（Xa ，Ya ）, （Xb ，Yb ）,但A ，B 不能同时落入同一方格。

（1） 若仅有质点A ，求A 落入任一方格的平均信息量； （2） 若已知A 已落入，求B 落入的平均信息量； （3） 若A ，B 是可辨认的，求A ，B 落入的平均信息量。

解：bita P a P a a P a I a P A i 58.548log )(log )()(H 48log )(log )(481)(:)1(481i i i i i ==-=∴=-=∴=∑=落入任一格的概率Θbitb P b P b b P b I b P A i 55.547log )(log )()(H 47log )(log )(471)(:B ,)2(481i i i i i ==-=∴=-=∴=∑=落入任一格的概率是落入任一格的情况下在已知ΘbitAB P AB P AB H AB P AB I AB P AB i i i i i i i 14.11)4748log()(log )()()(log )(471481)()3(47481=⨯=-=-=∴⨯=∑⨯=是同时落入某两格的概率1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。

第二章习题参考答案2-1解：同时掷两个正常的骰子，这两个事件是相互独立的，所以两骰子面朝上点数的状态共有6×6＝36种，其中任一状态的分布都是等概的，出现的概率为1/36。

(1)设“3和5同时出现”为事件A ，则A 的发生有两种情况：甲3乙5，甲5乙3。

因此事件A 发生的概率为p(A)=(1/36)*2=1/18 故事件A 的自信息量为I(A)=－log 2p(A)=log 218=4.17 bit(2)设“两个1同时出现”为事件B ，则B 的发生只有一种情况：甲1乙1。

因此事件B 发生的概率为p(B)=1/36 故事件B 的自信息量为I(B)=－log 2p(B)=log 236=5.17 bit (3) 两个点数的排列如下：因为各种组合无序，所以共有21种组合： 其中11，22，33，44，55，66的概率是3616161=⨯其他15个组合的概率是18161612=⨯⨯ symbol bit x p x p X H ii i / 337.4181log 18115361log 3616)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯-=-=∑(4) 参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布：sym bolbit x p x p X H X P X ii i / 274.3 61log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 3612 )(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑(5)“两个点数中至少有一个是1”的组合数共有11种。

bitx p x I x p i i i 710.13611log )(log )(3611116161)(=-=-==⨯⨯=2-2解：(1)红色球x 1和白色球x 2的概率分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121)(21x x x p X i 比特 12log *21*2)(log )()(2212==-=∑=i i i x p x p X H(2)红色球x 1和白色球x 2的概率分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100110099)(21x x x p X i 比特 08.0100log *100199100log *10099)(log )()(22212=+=-=∑=i i i x p x p X H (3)四种球的概率分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡41414141)(4321x x x x x p X i ，42211()()log ()4**log 4 2 4i i i H X p x p x ==-==∑比特2-5解：骰子一共有六面，某一骰子扔得某一点数面朝上的概率是相等的，均为1/6。

信息论与编码习题答案信息论与编码是通信和数据传输领域的基础学科，它涉及到信息的量化、传输和编码。

以下是一些典型的信息论与编码习题及其答案。

# 习题1：信息熵的计算问题：给定一个随机变量X，其可能的取值为{A, B, C, D}，概率分别为P(A) = 0.3, P(B) = 0.25, P(C) = 0.25, P(D) = 0.2。

计算X的熵H(X)。

答案：H(X) = -∑(P(x) * log2(P(x)))= -(0.3 * log2(0.3) + 0.25 * log2(0.25) + 0.25 *log2(0.25) + 0.2 * log2(0.2))≈ 1.846# 习题2：信道容量的计算问题：考虑一个二进制信道，其中传输错误的概率为0.01。

求该信道的信道容量C。

答案：C = log2(2) * (1 - H(error))= 1 * (1 - (-0.01 * log2(0.01) - 0.99 * log2(0.99))) ≈ 0.98 nats# 习题3：编码效率的分析问题：一个编码器将4位二进制数字编码为8位二进制码字。

如果编码器使用了一种特定的编码方案，使得每个码字都具有相同的汉明距离，求这个编码方案的效率。

答案：编码效率 = 信息位数 / 总位数= 4 / 8= 0.5# 习题4：错误检测与纠正问题：给定一个(7,4)汉明码，它能够检测最多2个错误并纠正1个错误。

如果接收到的码字是1101100，请确定原始的4位信息位是什么。

答案：通过汉明码的生成矩阵和校验矩阵，我们可以计算出接收到的码字的校验位，并与接收到的码字的校验位进行比较，从而确定错误的位置并纠正。

通过计算，我们发现原始的4位信息位是0101。

# 习题5：数据压缩问题：如果一个文本文件包含10000个字符，每个字符使用8位编码，如何通过霍夫曼编码实现数据压缩？答案：首先，我们需要统计文本中每个字符的出现频率。

信息论与编码理论习题答案全解第二章 信息量和熵2.2 八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。

解：同步信息均相同，不含信息，因此 每个码字的信息量为 2⨯8log =2⨯3=6 bit因此，信息速率为 6⨯1000=6000 bit/s2.3 掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。

问各得到多少信息量。

解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1})(a p =366=61得到的信息量 =)(1loga p =6log =2.585 bit (2) 可能的唯一，为 {6，6})(b p =361得到的信息量=)(1logb p =36log =5.17 bit2.4 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) )(a p =!521信息量=)(1loga p =!52log =225.58 bit (b) ⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ⨯=1352134C 信息量=1313524log log -C =13.208 bit即)0;(1u I ，)00;(1u I ，)000;(1u I ，)0000;(1u I)0(p =4)1(81⨯-p +481⨯p =21)0;(1u I =)0()|0(log1p u p =211log p-=1+)1log(p - bit)00(p =]2)1(4)1(2[8122p p p p +-+-=41)00;(1u I =)00()|00(log 1p u p =4/1)1(log 2p -=)]1log(1[2p -+ bit)000(p =])1(3)1(3)1[(813223p p p p p p +-+-+-=81)000;(1u I =3[1+)1log(p -] bit)0000(p =])1(6)1[(814224p p p p +-+- )0000;(1u I =42244)1(6)1()1(8logp p p p p +-+-- bit2.12 计算习题2.9中);(Z Y I 、);(Z X I 、);,(Z Y X I 、)|;(X Z Y I 、)|;(Y Z X I 。

信息论与编码理论习题解第二章 -信息量和熵2.1 解: 平均每个符号长为 :20.2 10.4 4 秒3315每个符号的熵为 2log31 log 3 0.9183 比特 /符号 32 3所以信息速率为 0.9183 15 3.444 比特 /秒42.2 解: 同步信号均相同不含信息,其余认为等概 ,每个码字的信息量为 3*2=6 比特；所以信息速率为 6 10006000 比特 /秒2.3 解:(a) 一对骰子总点数为 7 的概率是 636所以得到的信息量为log 2( 6) 2.585 比特36(b)一对骰子总点数为 12 的概率是 136所以得到的信息量为log 21 比特5.17362.4 解: (a)任一特定排列的概率为1,所以给出的信息量为52!1log252 !225.58比特(b) 从中任取 13 张牌 ,所给出的点数都不相同的概率为13! 413413A 5213C 135213所以得到的信息量为 log 2C 5213.21 比特 .4132.5 解:易证每次出现 i 点的概率为i,所以21I (x i )log 2i, i 1,2,3,4,5,6 21I (x1) 4.392 比特I (x2) 3.392 比特I (x3) 2.807 比特I (x4) 2.392比特I (x5) 2.070 比特I (x6) 1.807 比特6i log2i比特H(X)212.398i 1212.6 解: 可能有的排列总数为12!277203! 4! 5!没有两棵梧桐树相邻的排列数可如下图求得，Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y图中 X 表示白杨或白桦，它有73种排法， Y 表示梧桐树可以栽种的位置，它有8种排法，所以共有8 *7=1960种排法保证没有553两棵梧桐树相邻，因此若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列的信息为 log2 27720log 2 1960 =3.822比特2.7 解: X=0 表示未录取， X=1 表示录取；Y=0 表示本市， Y=1 表示外地；Z=0 表示学过英语， Z=1 表示未学过英语，由此得p( x0) 3 ,p(x1)4 p( y0)p( x 0) p( y 1 1 3 142 410 p( y 1)1 1 4 ,5 5p( z 0)p( y 0) p(z 14405 5 100 p( z 1)1 13 12 ,25 25(a) p( x0 y 0) p( yp( x1 y 0) p( y1 , 40 x 0)p( x 1) p( y 0 x 1)1 , 50 y 0) p( y 1) p( z 0 y 1)13 , 250 x 0) p( x 0) / p( y0)13 1310/5 84 0 x 1) p( x 1) / p( y0) 1 1 / 152 4 58I ( X ; y 0)p(x0 y p(x 0 y 0) p( x 1 y 0)0) log 2p(x 1 y 0) log 2p( x 0)p( x 1)3 log 2 35log 2 58 8 8 3 8 14 40.4512比特(b) p( x0 z 0)( p( z 0 y 0, x 0) p( y 0 x 0) p( z 0 y 1, x 0) p( y 1x 0)) p(x0) / p( z 0)(19 4 ) 3/1369 10 10 10 4 25 104p( x 1z 0)( p( z 0 y 0, x 1) p( y 0 x 1) p(z 0 y1, x 1) p( y 1 x 1)) p( x1) / p(z 0)(11 2) 1/13 3522 5 4 25104I ( X ; z 0)p( x 0 zp( x 0 z 0)p( x p(x 1 z 0)0) log 21z 0) log 21)p( x 0)p( x6969log 2104104343510435log 21041 40.02698 比特(c) H ( X )3 log 24 1 log 2 40.8113 比特4 3 4H(Y X)p( x 0) p( y 0 x 0) log 2 p( y 0 x 0) p( x 0) p( y 1 x 0) log 2 p( y 1x 0)p( x 1) p( y 0 x1) log 2 p( y 0 x 1)p( x 1) p( y 1 x1) log 2 p( y 1 x1)3 1log 2 10 3 9log 2 10 1 1 log 2 2 11log 2 2 410410 9 4 2 4 20.6017比特2.8 解:令X A,B,Y T,F,R ，则P(T)P(T A)P(A)P(T B)P(B)0.5 p0.3(1p)0.3 0.2 p同理P(F )0.50.2 p,P(R)0.2I ( p) I ( X ; Y)H (Y)H(Y X)(0.30.2p) log2 (0.30.2 p)(0.50.2p) log2 (0.50.2 p)0.2log 2 0.2(0.5 p log2 20.3 plog 21030.2 p log2 50.3(1p) log2103 0.5(1 p) log2 20.2(1p) log2 5)0.3log 2 0.30.5log 2 0.5(0.30.2p) log2 (0.30.2 p)(0.50.2 p) log2 (0.5 0.2 p)令I '( p)0.2 log2(0.50.2 p)0,得p0.50.30.2 pI ( p)max I ( p) p0 .50.03645比特2.9 & 2.12解:令 X=X 1,Y=X 1+X 2,Z=X 1+X 2+X 3, H(X 1)=H(X 2)=H(X 3)= log26比特H(X)= H(X 1) = log26=2.585 比特H(Y)= H(X 2+X 3)=2( 1log 2 362log 2363log 2364log 2365log 236 )1log 2 6363623633643656 = 3.2744 比特H(Z)= H(X 1+X 2+X 3)=2( 1 log 2 216 3 log 2 216 6log 2 216 10 log 2 216 15 log 2 216216 216 3 216 6 216 10 216 15 21 216 25 216 27 216 )log 2 21 log 2 log 2 27216 216 25 216= 3.5993 比特所以H(Z/Y)= H(X 3)= 2.585 比特H(Z/X) = H(X 2+X 3)= 3.2744 比特H(X/Y)=H(X)-H(Y)+H(Y/X)= 2.585-3.2744+2.585 =1.8955 比特H(Z/XY)=H(Z/Y)= 2.585 比特 H(XZ/Y)=H(X/Y)+H(Z/XY)=1.8955+2.585=4.4805 比特I(Y;Z)=H(Z)-H(Z/Y)=H(Z)- H(X 3)= 3.5993-2.585 =1.0143 比特I(X;Z)=H(Z)-H(Z/X)=3.5993- 3.2744=0.3249 比特I(XY ;Z)=H(Z)-H(Z/XY)=H(Z)-H(Z/Y)=1.0143 比特I(Y;Z/X)=H(Z/X)-H(Z/XY)=H(X 2+X 3)-H(X3) =3.2744-2.585=0.6894 比特I(X;Z/Y)=H(Z/Y)-H(Z/XY)=H(Z/Y)-H(Z/Y)=02.10 解:设系统输出10 个数字 X 等概 ,接收数字为 Y,9191显然 w( j )Q(i ) p( j i )p( j i )i010 i 110H(Y)=log10H(YX)p( x, y) log 2 p( y x)p( x, y) log2 p( y x)y x 偶y x 奇0p( x) p( x x) log 2 p( x x)p(x) p( y x) log 2 p( y x) i奇y x,奇 x奇511log2 2 5 411log2 81021081比特所以I(X;Y)=log 2 10 1 2.3219比特2.11 解:（a）接收前一个数字为0 的概率81w( 0)q(u i ) p( 0 u i )2i 0I (u1 ;0)log2p(0 u1)1p(1 p) bitslog 21 1 log 2w(0)28（b ） 同理w(00)q(u ) p(00 u ) 41iI (u 1;00)p(00u 1)log 2 (1p)22 2 log 2 (1 p) bitslog 2 w(00)14（c ） 同理 w(000)8q(u i ) p(000 u i )81i 0I (u 1;000) log 2 p(000u 1 ) log 2 (1 p)33 3log 2 (1p)bitsw(000)18（d ） 同理 w(0000 )8q(u i ) p(0000 u i )81((1p)66 p 2 (1 p)2p 4 )i 0p(0000u 1 )(1 p)4I (u 1;0000)log 2w(0000)log 281((1 p)6 6 p 2 (1p) 2p 4 )log 2 8(1 p) 4bits(1 p) 6 6 p 2 (1 p) 2p 42.12 解:见 2.92.13 解:(b)H(YZ/ X)xyzxyzxyzH(Y/ X)1p( xyz)logp( yz / x)1p( xyz) logp( y / x) p(z / xy)11p( xyz) logp(xyz)logp( y / x)x yzp( z / xy)H(Z/ XY)(c)H (Z / XY )p(xy)p( z / xy) log1xyzp(xy)xyzH(Z / X)p(z / xy)1p( z/ xy) log （由第二基本不等式） p(z / x)或H(Z/XY)H(Z/X)p(xy)1p( z / xy) logxyzp(z / xy)p( xy)p( z/ xy) log1p( z / x)xyzp( xy)p( z/ xy) logp(z / x)（由第一基xyzp( z / xy )p( xy)p(z / xy) log e( p(z / x)1)xyzp(z / xy)本不等式）所以H(Z/XY) H(Z/X)(a)H(Y/ X) H(Z / X)H(Y/ X) H(Z/XY) H(YZ/X)等号成立的条件为 p(z / xy) p( z / x) ,对所有 xX , y Y, z Z ,即在给定 X条件下 Y 与 Z 相互独立。