第四章《圆与方程》测试(1)(新人教A版必修2)

（2）由（1）可知M的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆.
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作必修2第四章《圆与方程》单元测试题（时间：60分钟，满分：100分）班别 座号 姓名 成绩一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ） (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )(A) 222=+y x (B) 422=+y x(C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-=8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=49．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交选择题答题表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 . 12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 .15.过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA 。

单元测评(四) 圆与方程(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．点A (2a ，a －1)在以点C (0,1)为圆心，半径为5的圆上，则a 的值为( )A ．±1B ．0或1C ．－1或15D ．－15或1解析：由题意，已知圆的方程为x 2＋(y －1)2＝5，将点A 的坐标代入圆的方程可得a ＝1或a ＝－15.答案：D2．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相交或相切D ．不能确定解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，所以直线与圆相交或相切．答案：C3．点P (x,2,1)到点A (1,1,2)、B (2,1,1)的距离相等，则x 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由题意，|PA |＝|PB |，即(x －1)2＋(2－1)2＋(1－2)2 ＝(x －2)2＋(2－1)2＋(1－1)2，即x ＝1. 答案：B4．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )A ．8B ．4C ．2 2D ．4 2解析：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2.圆心(－2,2)在直线x －y ＋4＝0上． ∴被截得的弦长为直径2 2. 答案：C5．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＜12 B ．m ＜0 C ．m ＞12D ．m ≤12解析：∵(－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12，故选A. 答案：A6．直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为D (0,1)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：圆C 的圆心坐标为(－1,2)，弦AB 中点D (0,1)，∴k CD ＝2－1－1－0＝－1，∴k AB ＝－1k CD＝1，∴直线l 的方程为y －1＝x －0，即：x －y ＋1＝0. 答案：A7．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2解析：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.如图，当已知圆与所求圆圆心连线垂直于已知直线时，半径最小，此时2r ＋32等于已知圆圆心到已知直线的距离，即|6＋6－2|2＝2r ＋32，解得：r ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧b －6a －6＝1，|a ＋b －2|2＝2.解得：a ＝2，b ＝2.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 答案：A8．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋3×4－11|5＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．答案：B9．方程4－x 2＝lg x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无法确定解析：设f (x )＝4－x ，g (x )＝lg x ，则方程根的个数就是f (x )与g (x )两个函数图像交点的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像．由图可得函数f (x )＝4－x 2与g (x )＝lg x 仅有1个交点，所以方程仅有1个根．答案：B10．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|32＋(－4)2＝a 2＋7－1，解得a ＝±3.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．解析：原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.答案：x 2＋y 2＝2512．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．解析：由题意知A、B两点在圆上，∴AB的垂直平分线x＝3过圆心，又圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，∴k BC＝－1，∴直线BC的方程为y＝－x＋3，∴圆心坐标为(3,0)，∴r＝2，∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.答案：(x－3)2＋y2＝213．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有1个公共点，则b 的取值范围是__________．解析：曲线x＝1－y2可化为x2＋y2＝1(x≥0)，它表示单位圆的右半部分，在同一坐标系中画出直线与曲线的图像，如图，相切时b ＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.答案：b＝－2或－1＜b≤114．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y ＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________．解析：设圆心(a,0)(a ＞0)，∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫|a －1|22＋(2)2＝|a －1|2. ∴a ＝3.∴圆心(3,0)．∴所求直线方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝0三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)求平行于直线3x ＋3y ＋5＝0且被圆x 2＋y 2＝20截得长为62的弦所在的直线方程．解：设弦所在的直线方程为x ＋y ＋c ＝0.① 则圆心(0,0)到此直线的距离为d ＝|c |1＋1＝|c |2.(6分)因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|c |22＋(32)2＝20.(10分)由此解得c ＝±2，代入①得弦的方程为x ＋y ＋2＝0或x ＋y －2＝0.(12分)16．(12分)已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.(4分) (2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，∴d＝|1－1＋m|12＋(－1)2＝|m|2＝2.(8分)m＝±2 2.(10分)即m＝±22时，直线l与圆相切．(12分)17．(12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B、C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.(2分) 又∵∠BAC＝90°.∴|MA|＝12|BC|＝|MB|.(6分)∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7.(10分)∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．(12分)18．(14分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．解：如图所示．以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.(4分)由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，O′(0,0,2)．(8分)由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，(10分)设E点坐标为(0,2，z)，根据空间两点间距离公式得|EC|＝(0－1)2＋(2－0)2＋(z－1)2＝(z－1)2＋5，(12分)故当z＝1时，|EC|取得最小值为5，此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．(14分)。

圆与方程一、选择题 1 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点， 则AB 地垂直平分线地方程是（ ）A. 30x y ++= B 250x y --= C 390x y --= D 4370x y -+=2 方程211(1)x y -=--表示地曲线是（ ）A 一个圆B 两个半圆C 两个圆D 半圆3 已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ， 当直线l 被C 截得地弦长为32时，则a =（ ） A 2 B 22-C 12-D 12+4 圆1)1(22=+-y x 地圆心到直线x y 33=地距离是（ ）A 21 B 23 C 1 D 35 直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得地劣弧所对地圆心角为（ ）A 030B 045 C 060 D 090 6 圆122=+y x 上地点到直线02543=-+y x 地距离地最小值是（ ）A 6B 4C 5D 17 两圆229x y +=和228690x y x y +-++=地位置关系是（ ）A 相离B 相交C 内切D 外切二、填空题 1 若(1,2,1),(2,2,2),A B -点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 地坐标为 2 若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 地取值范围是___________；若有一个交点，则b 地取值范围是________；若有两个交点，则b 地取值范围是_______； ３ 把圆地参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 21y x 化成普通方程是______________________ ４ 已知圆C 地方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -地直线l 与圆C交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 地方程是________________ ５ 如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么x y 地最大值是________6 过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆地两条切线，切点为12,T T ， 则直线12T T 地方程为________ 三、解答题1 求由曲线22x y x y +=+围成地图形地面积2 设10,x y -+=求229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d 地最小值3 求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线32-=x y 上地圆地方程4 平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，点P 在圆周()()44322=-+-y x 上，求使22BP AP +取最小值时点P 地坐标数学2（必修） 第四章 圆和方程参考答案一、选择题 1 C 由平面几何知识知AB 地垂直平分线就是连心线2 B 对x 分类讨论得两种情况3 C 231,212a d a -+===4 A 3111332d =+=5 C 直线地倾斜角为0120，得等边三角形6 B 514d r -=-=7 B 43543-<<+二、填空题1 (0,0,3) 设(0,0,),,P z PA PB =则2214(1)44(2),3z z z ++-=++-=2 [1,2]-；[){}1,12-U ；)1,2⎡⎣ 曲线21x y -=代表半圆 3 22(1)(3)4x y -++= 4 30x y -+= 当AB CP ⊥时，AB 最小，1,1,21CP l k k y x =-=-=+5 3 设22222,,(2)3,(1)410y k y kx x k x k x x x ==-+=+-+=，2164(1)0,33k k ∆=-+≥-≤≤另可考虑斜率地几何意义来做 6 220x y -+= 设切点为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 地方程为11(2)(2)4x x y y +--=2AT 地方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则1124(2)4,x y --=2224(2)4x y --=24(2)4,220x y x y ∴--=-+=三、解答题1. 解：当0,0x y ≥≥时，22111()()222x y -+-=，表示地图形占整个图形地14而22111()()222x y -+-=，表示地图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 1114(11)2222S ππ∴=⨯⨯+⨯⨯=+ 2. 解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d=可看作点(3,5)A -和(2,15)B到直线10,x y -+=上地点地距离之和，作(3,5)A -关于直线10,x y -+=对称地点'(4,2)A -，则'min d A B == 3 解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 地垂直平分线4x =上，即4,23x y x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r ==22(4)(5)10x y ∴-+-= 4 解：在ΔABP 中有22221(4)2AP BP OP AB +=+，即当OP 最小时，22BP AP +取最小值，而min 523OP =-=，394129123,3,(,)555555x y P P P =⨯==⨯=。