黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末（理工类）数学试卷【满分150分，考时120分钟】第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

1．已知集合{(,),M x y x y =为实数，且}222x y +=，{(,),N x y x y =为实数，且}2x y +=，则M N 中的元素的个数为（）A.0 B.1 C.2D.32．“2m =”是“复数24z m mi =-+为纯虚数”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（）A．6斤B．7斤C．8斤D．9斤4．若双曲线2221(0)9y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（）A.2B.4C.18D.365．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则()P B A =（）A．110B．15C．14D．256．已知平面向量,m n u r r 的夹角为3π且1,2m n == ，在ABC ∆中，22AB m n =+uu u r u r r ，26AC m n =-uuu r u r r ，D 为BC 中点，则AD =uuu r()A.23B.43C.6D.127．如图，半径为R 的圆O 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为,,,A B C D ，这四个小圆都与圆O 内切，且相邻两小圆外切，则在圆O 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A.322-B.642-C.962-D.1282-8．已知将函数()cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<向右平移12π个单位长度后,所得图象关于y 轴对称，且2(0)2f =,则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为()A．()cos(5)4f x x π=+ B.()sin(9)4f x x π=- C.()cos(3)4f x x π=+ D.1()cos()34f x x π=+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,CD CC A B 的中点，用过点,,E F G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为()AB C D 10．若函数1()(0,0)bx f x e a b a =->>的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（）A.4 B.2 C.2 D.2211．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=,2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12018113n T ->成立的最大正整数n 的值为（）A.5 B.6 C.7 D.812．已知函数21(01)()(1)(1)x x f x f x m x ⎧-≤≤=⎨-+>⎩在定义域[)0,+∞上单调递增，且对于任意0a ≥，方程()f x a=有且只有一个实数解，则函数()()g x f x x =-在区间*0,2()n n N ⎡⎤∈⎣⎦上的所有零点的和为（）A．(1)2n n +B．21122n n --+C．2(21)2n +D．21n -第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．621(2)x x +的展开式中，3x -的系数为______.14．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤--00304y y x y x ，则2log (26)z x y =-+的最大值为______.15．由1，2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有_____个.16．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：①直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ；③三棱锥1E AAO -的体积为定值；④1AE EC +的最小值为22.其中正确的序号序号是______.三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,BC 边上的中线AD m =,且满足2224a bc m +=.(1)求BAC ∠的大小；(2)若2a =，求ABC ∆的周长的取值范围18．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AEBF =.（1）求证：11A F C E ⊥；（2）当三棱锥1B BEF -的体积取得最大值时，求二面角1B EF B --的正切值．19．（本小题满分12分）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为“国际数学节”，其来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的“数学嘉年华”活动中,设计了如下的有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，则分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定：当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为321,,432，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（2）设该选手所得学豆总数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）已知直线:l y x =+225x y +=相交的弦长等于椭圆222:1(03)9x y C b b +=<<的焦距长．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，椭圆C 与抛物线22(0)y px p =>交于,M N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线,PM PN 与x 轴分别交于,G H 两点，求证：OG OH ⋅为定值．21．（本小题满分12分）已知函数()1,f x xlnx ax a R=++∈（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n n ln ln ln n n n +<+++<++ ．请考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并填写序号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程是cos x a y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ是参数，0a >），直线l 的参数方程是31x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 是参数），曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若点1(,)A ρθ，22(,3B πρθ+，34(,)3C πρθ+在曲线C 上，求222111OA OB OC++的值．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a =-.（1）若()f x m ≤的解集为[1,5]-，求实数,a m 的值；（2）当2a =且02t ≤<时，解关于x 的不等式()(2)f x t f x +≥+．理科数学答案1-12BADC CADC C BBB 13．16014．315．12016①③④17.18.19．20．21.22．23．。

哈尔滨市XX 中学上学期期末测试高三理科数学一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1．复数ii i 1313+-+等于（ ） A.i -3 B.i 2- C.i 2 D.02．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－123. 已知)6cos()42(cos 2ππ+=+x x ，则=x cos （ ） A.33 B. 33- C. 31 D 31-. 4．已知,x y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的比值为( )A.21 B.2 C.23 D.34 5．下列选项中，说法正确的个数是( )(1)命题“0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定为“0,2>-∈∃x x R x ”； (2)命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题； (3)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据n x x x ,,,21 的方差为1,则n x x x 2,,2,221 的方差为2； (5)若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数绝对值越接近1.A.1个B.2个C.3个D.4个6. 某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生CA ．13B ．21C ．197．如图，给出的是求111246+++ (1)20+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是( ) A ．10i ≥ B ．10i ≤ C ．9≥i D ．9≤i8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A.12B.4C.5639．某同学为了解秋冬季用电量（y 度）与气温（C x ）的关系，曾由下表数据计算出回归直线方程为602+-=∧x y ，现表中一个数据被污染，则被污染的数据为（ ）A ．40 B. 39 C ．38 D ． 37 10．若实数x ，y 满足|x －1|－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )A B C D11．从抛物线x y 42=的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线PB PA ,,B A ,为切点,若直线AB 的倾斜角为3π,则P 点的纵坐标为( ) A.33 B.332 C.334 D. 32 12. 若方程0122=---t x x 有四个不同的实数根4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<则)()(22314x x x x -+-的取值范围是（ ）A.]26,8[B.(]54,26C.[]54,8D.(]54,8 二、填空题：（共4题，每题5分，共20分）13．在52512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为 .14. 在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，在底面ABC ∆中，3,60=︒=AB C ，则此直三棱柱的外接球的表面积为 .15．已知点21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于B A ,两点，若|:|AB ||2BF 5:4:3|:|2=AF ，则双曲线的离心率为 .16.ABC ∆中，BC B c B A b ,tan 2)tan (tan =+边上中线长是1，则a 的最小值是 .三、解答题：（共70分）17．（共12分）已知数列{}n a 满足(){}21,n n n S a n N b *=-∈是等差数列，且1143,b a b a ==. （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若*)(211N n b b a c n n n n ∈-=+,求数列}{n c 的前n 项和n T .18．（共12分）2015年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为,,x y z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z ω=++的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4ω≥，则长势为一级；若23ω≤≤，则长势为二级；若01ω≤≤，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X m n =-，求X 的分布列及其数学期望.19．（共12分）如图，已知长方形ABCD 中，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --20.（共12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由.21．（共12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >．（1）当2a >，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线方程为():l y g x =，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()yh x =的“类对称点”，当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．请考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（共10分）已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 4=，曲线2C 的参数方程是)0(sin cos πααα<≤⎩⎨⎧=+=为参数，t t y t m x ，射线4,4,πϕθπϕθϕθ-=+==与曲线1C 交于极点O 外的三点C B A ,,. （1）求||||||OA OC OB +的值；（2）当12πϕ=时，C B ,两点在曲线2C 上，求m 与α的值.23．（共10分）已知c b a ,,都是正数. （1）若b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+；（2）求证：abc cb a ac c b b a ≥++++222222.高三理科数学答案1-12 DCABA ABBCB BD13.14.15.16.17.（1）由21,n n S a =-可得1121n n S a ++=-，两式作差可得1112n n n n a S S -++=-=，又111a S ==适合此通项公式，所以12n n a -=；由此可得11431,4,b a b a ====由等差数列的性质可得n b n=；（2）由题意写出数列{}n c 的通项公式111211221n n n n n c a b b n n -+⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭，再用分组求和法求之即可. 试题解析： （1） 1121,21n n n n S a S a ++=-=-,两式相减可得 111122,2n n n n n n n S S a a a a a ++++-==-∴=, 当1n =时，111121,1S a a a ==-∴=，所以n a 是以1为首项，2为公比的等差数列，所以12n n a -=，11431,4,n b a b a b n ====∴=.（2）()1111221122211n n n n n n c a b b n n n n --+⎛⎫=-=-=-- ⎪++⎝⎭，111111111112221 (22121223121112)n n n n T n n n n ---⎛⎫⎛⎫∴=--+-++-=---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭-18.（1）由表可知：空气温度指标为0的有1A ；空气温度指标为1的有23,58,910,,,A A A A A A ,空气温度指标为2的有46,7,A A A .所以空气温度指标z 相同的概率22632101532455C C P C ++===.（2）计算10块青蒿人工种植地的综合指标, 可得下表：其中长势等级是一级的有234679,,,,A A A A A A ，共个，长势等级不是一级的4<有15810,,,A A A A ，共4个.随机变量X的所有可能取值为：1,2,3,4,5.()()11111132312211116464171,2424C C C C C C P X P X C C C C ⋅⋅+⋅======⋅⋅,()()1111111111312121112111116464713,4248C C C C C CC C C C P X P X C C C C ⋅+⋅+⋅⋅+⋅======⋅⋅,()111111641524C C P X C C ⋅===⋅,所以X的分布列为：()123454242482412E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19.（1）因为平面AMD ⊥平面ABCM ，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，AD DM ∴=，取AM 的中点O ，连结OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连结ON ，则ONAM ⊥，以O 为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得0,0,0,0,0,0,A B M D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭⎝⎭⎝，则AD ⎛=- ⎝⎭，()BM =，所以0AD BM ⋅=，故AD BM ⊥．（2）设DE DB λ=，因为平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =，2ME MD DB λ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0AM =．设平面AME 的一个法向量为(),,m x y z =，)2210x y z λλ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取1y =，得20,1,1x y z λλ===-，所以20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，因为5cos ,m n m n m n⋅==⋅，求得51=λ 20.（1）设()00,y x B ，则()00,y x C --，142020=+y x所以4144114222022020000021-=--=-=+⋅-=x x x y x y x y k k （2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=， 解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)2(221y x x k y 得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=， 解得212141)14(2k k x B +-=，2111414)2(k k x k y B B +-=-= 所以121241B BC B y k k x k -==-，121122112141562(1)641515P PQP k y k k k k k x k -+-===--+++， 所以52PQBC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQBC k k =．21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，∵()()22l n f xx ax a x=-++，∴()()()()22122222a x x x a x a af x x a x xx⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭=-++==，∵2a>，∴12a >，令()0f x '>，即()2120a x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭>，∵0x >，∴01x <<或2a x >，所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1,,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当4a=时，()264ln f x xx x =-+，∴()426f x x x'=+-，()()200000042664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭， 令()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x φ⎛⎫=-=-+-+--+-+ ⎪⎝⎭，则()00x φ=，()()()()00000000002442222262621x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫'=+--+-=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0x ()x φ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x φφ<=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x φ<-，当0x ()x φ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x φφ>=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x φ<-， ∴当(()2,x ∈+∞时，()y f x=不存在“类对称点”．当0x ()(22x x xφ'=，∴()x φ在()0,+∞上是增函数，故()00x x x φ>-，所以当0x=()y f x =存在“类对称点”．。

2019.53．） .A .B 2.C 1-24，,x y 1,(x x y y a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）.A B .D 5n .A 8 .C .D 126．中,已知,4,34∠=AC ,则.A .38.C 34或38 7{n a n 项和为n S ，若5a -，则8S =（ )A .C .D 728.( ).A 32π.B 34π .C 43π .D 23π 9.将函数()3sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =图像的一条对称轴是（ ）.A 12x π=.B 6x π=.C 3x π=.D 23x π=10. 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为ο60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于B A ,两点，则BFAF 的值等于（ ）.A 5 .B 4 .C 3 .D 211.函数22()log (0)1x g x x x =>+，关于方程2()()230g x m g x m +++=有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）.A ((),44-∞-++∞U .B (44-+.C 32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .D 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦12.已知椭圆221:132x y C +=的左右焦点为21,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()11221,2,(,),(,)A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是（ ）.A ()[),610,-∞-+∞U .B (][),610,-∞-+∞U .C ()(),610,-∞-+∞U .D()(,6]10,-∞-+∞U二、填空题（每题5分共20分）13．若等比数列{}n a 的首项811=a ，且241(2)a x dx =⎰，则数列{}n a 的公比是_______.14．已知命题2:121xp x ->-，命题2:210(0)q x x m m ++-≤>，若非p 是非q 的必要不充分条件，那么实数m 的取值范围是 .15.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 . 16.已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中正确的为 (将正确的序号都填上)①()f x 既是奇函数,又是周期函数②()y f x =的图像关于直线2x π=对称③()f x ④()y f x =在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 三、解答题17．（本小题满分12分）设函数)32cos(cos 2)(2π--=x x x f .（Ⅰ）当]20[π，∈x 时，求)(x f 的值域；（5分）（Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，若23)(=+C B f ，2=a ，求ABC ∆面积的最大值．（7分）18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+. （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（4分） （2）数列{}n b 满足n n n n a nb ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式12)1(-+<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围. （8分）DBCPM考生注意，19题只选一题A 或B 作答，并用2B 铅笔在答题卡上把对应的题号涂黑19．（本小题满分10分）A:己知圆1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为22)4πρθ=-． （1）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）圆1C ，2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．B ．如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥ABCD P -中,平面⊥PAD 平面ABCD ,AB ∥,DC PA PD =,已知,102==DC AB 834==AD BD （1）设M 是PC 上的一点,求证:平面⊥MBD 平面PAD ;（4分） （2）当三角形PAD 为正三角形时，点M 在线段PC （不含线段端点） 上的什么位置时，二面角M AD P --的大小为3π（8分）21．（本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其中32b a =，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D ，且满足AP PC λ=u u u r u u u r ，BP PD λ=u u u r u u u r，其中λ为正常数. 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的57λ=. （1）求椭圆E 的离心率；（2分） （2）求a 与b 的值；（4分）（3）当λ变化时，AB k 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. （6分）22. （本小题满分12分）已知函数()2()ln x a f x x-=（其中a 为常数）.(Ⅰ)当0a =时，求函数的单调区间；（4分）(Ⅱ)当01a <<时，设函数)(x f 的3个极值点为123,,x x x ，且123x x x <<. 证明：13x x e+>. （8分）（2）12-=n n n b ， --------------------------------------6分122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T Λ n n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=-Λ ， 两式相减得n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=-Λ，1224-+-=∴n n n T -----------8分 1224)1(--<-∴n nλ若n 为偶数，则3,2241<∴-<∴-λλn若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn32<<-∴λ --------------------12分19.A:（1）由cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩得221,x y += ------------------------2分又22cos 2cos 2sin ,4πρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭Q 22cos 2sin .ρρθρθ∴=+ 22220,x y x y ∴+--=即()()22112,x y -+-= ----------------------------4分（2）圆心距()()2201012(21,21),d =-+-=∈-+得两圆相交，---------- 6分由22221220x y x y x y ⎧+=⎪⎨+--=⎪⎩得直线AB 的方程为2210,x y +-= -----------------7分所以，点O 到直线AB 的距离为|20201|2.422⨯+⨯-= ----------------------- 8分 2214||21()42AB ∴=-=-------------------------------------- 10分19.B: 解：(1)证明：如图，连接DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC . (2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. 20.（1）因为834==AD BD ，得6,8==AD BD ，又因为10=AB ，所以有222AB BD AD =+即BD AD ⊥ 又因为平面⊥PAD 平面ABCD ，且交线为AD ，所以PAD BD 平面⊥，BDM BD 平面⊂，故平面⊥MBD 平面----------------------4分（2）由条件可知，三角形PAD 为正三角形，所以取AD 的中点O ，连PO ，则PO 垂直于AD ，由于平面⊥PAD 平面ABCD ，所以PO 垂直于平面ABCD ，过O 点作BD 的平行线，交AB 于点E,则有AD OE ⊥,所以分别以OP OE OA ,,为z y x ,,轴，建空间直角坐标系所以点)33,0,0(),0,8,3(),0,0,3(),0,0,3(),0,0,0(P B D A O --，由于DC AB //且DC AB 2=，得到)0,4,6(-C ， 设λ=PCPM（)10<<λ，则有))1(33,4,6(λλλ--M ，因为由（1）的证明可知PAD BD 平面⊥，所以平面PAD 的法向量可取：)0,8,0(1=n ，设平面MAD 的法向量为),,(2z y x n =，则有14,33,00))1(33,4,36)(,,(0)0,0,6)(,,(0022-===⇒⎩⎨⎧=-+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅λλλλλz y x z y x z y x DM n AD n 则有令即有)14,33,0(2-=λλn 由二面角M AD P --成3π得139=λ，故当M 满足：PC PM 139=时符合条件-------12分21.（1）因为b =，所以2234b a =，得22234a c a -=，即2214a c =， 所以离心率12c e a ==.------------------2分 （2）因为(,0)C a ，57λ=，所以由AP PC λ=u u u r u u u r ，得12512(,)77a A -，--------------4分将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a -+=⨯，解得2a =，所以2,a b ==. --------------------------------------------6分从而121234y y x x -=--，即34AB k =-为定值. -------------------------12分法二：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AP PC λ=u u u r u u u r ，得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，---------------------8分将,A B 坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12123()4()0AB x x y y k +++=， -------------------------------------10分同理，34343()4()0CD x x y y k +++=，而AB CD k k =，所以34343()4()0AB x x y y k +++=，所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=，所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=，即6(1)8(1)0k λλ+++=，所以34AB k =-为定值.-----------------------------------12分 22.(Ⅰ)求导得：xx x x f 2ln )1ln 2()('-=. 令0)('=x f 可得e x =.列表如下:分(Ⅱ)由题，xx a x a x x f 2ln )1ln 2)(()('-+-=对于函数1ln 2)(-+=x a x x h ，有22)('x ax x h -=∴函数)(x h 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a上单调递增∵函数)(x f 有3个极值点321x x x <<， 从而012ln2)2()(min <+==aa h x h ，所以ea 2<， 当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ， 此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xax x h 的两个零点，--------------6分。

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知复数321i z i=+，则(z = )A ．1i --B ．1i -C ．132i+ D ．13i +2．（5分）已知集合2{|20A x x x =-<，}x Z ∈，集合{1B =-，0，1，2}，则集合()Z A B I ð的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．83．（5分）已知函数2()(2cos 1)sin 2xf x x =-，则函数()f x 的最小正周期和最大值分别为( )A ．π和1B ．π和12C ．2π和1D ．2π和124．（5分）已知向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，若()a b b +⊥r r r ，则实数x 的值为( ) A ．12B ．32C ．52D ．725．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里6．（5分）已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为( )A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=7．（5分）设函数3,0()21,0x log x x f x x ->⎧=⎨+⎩…，若f （a ）2=，则实数a 的值为( )A ．9B ．0或9C ．0D ．1-或98．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线C右支上一点，若122||||F F PF =，1230PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( )A 1BC 1D 9．（5分）某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“12+”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中名层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有( )种选派方法． A ．160B ．80C ．40D ．2010．（5分）已知E ，F 分别为矩形ABCD 的边AD 与BC 的中点，M 为线段EF 的中点，把矩形ABFE 沿EF 折到11A B FE ，使得190A ED ∠=︒，若2AD AB =，则异面直线1A M 与1B D 所成角的余弦值为( )A B C D 11．（5分）已知圆22:1O x y +=，过直线:20l x y +-=上第一象限内的一动点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过A ，B 两点的直线与坐标轴分别交于P ，Q 两点，则OPQ ∆面积的最小值为( ) A ．1B ．12C ．14 D ．1812．（5分）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且[0x ∈，1]时，()f x x =，则函数()()cos g x f x x π=-在[2x ∈-，4]上的所有零点之和为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．（5分）在6(x+的展开式中，3x 项的系数是 ．（用数学作答） 14．（5分）水平放置一个底面半径为20cm ，高为100cm 的圆柱形水桶（不计水桶厚度），内装高度为50cm 的水，现将一个高为10cm 圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中（圆锥的底面半径小于20)cm ，圆柱形水桶的水面高度上升了2.5cm ，则圆锥形铁器的侧面积为 2cm ．15．（5分）已知a ，b 均为正实数，若a b ab +=，则4ba a+的最小值为 ． 16．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B两点，若2AF FB =u u u r u u u r ，且弦AB ，则抛物线C 的方程为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，cos cos 2A aC b c=-+． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2bc =，ABC ∆的周长为37+，求a 的值．18．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面是直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，E 为AB 中点，且4AB =，2AD CD ==．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面SAC ；（Ⅱ）若SC 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角B SC E --的余弦值．19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n n S a a +=g ． （Ⅰ）证明：当2n …时，112n n a a +--=； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设2212n a n n b a -=g ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知动点M 与到定点(1,0)F 距离到定直线2x =的距离2． （Ⅰ）求动点M 轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若轨迹C 上存在点P ，使32OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数2()2()8f x x lnx a =-++，a R ∈． （Ⅰ）证明：当1a =时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若1x …时，()0f x …恒成立，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．（Ⅰ）写出曲线1C 的极坐标方程，并求出曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)2πθϕϕ=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 点，且||2AB =，求tan ϕ的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．设1()||||(0)f x x a x a a=-++>． （Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （2）3>，求a 的取值范围．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知复数321i z i=+，则(z = )A ．1i --B ．1i -C ．132i+ D ．13i +【解答】解：Q 复数322111i iz i i i-===--++，故选：A ．2．（5分）已知集合2{|20A x x x =-<，}x Z ∈，集合{1B =-，0，1，2}，则集合()Z A B I ð的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．8【解答】解：Q 集合2{|20A x x x =-<，}{|02x Z x x ∈=<<，}{1}x Z ∈=， 集合{1B =-，0，1，2}，∴集合(){1Z A B =-I ð，0，2}， ∴集合()Z A B I ð的子集个数为：328=．故选：D ．3．（5分）已知函数2()(2cos 1)sin 2xf x x =-，则函数()f x 的最小正周期和最大值分别为( )A ．π和1B ．π和12C ．2π和1D ．2π和12【解答】解：Q 函数21()(2cos 1)sin cos sin sin 222x f x x x x x =-==， 故它的最小正周期为22ππ=；它的最大值为12， 故选：B ．4．（5分）已知向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，若()a b b +⊥r r r ，则实数x 的值为( )A ．12B ．32C ．52D ．72【解答】解：Q 向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，∴(2,3)a b x +=-rr，Q ()a b b +⊥rr r ，()2(2)30a b b x ∴+=--+=r r r g ， 解得实数72x =． 故选：D ．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-， 解得1192a =，∴第此人二天走1192962⨯=步 故选：C ．6．（5分）已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为( )A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=【解答】解：由1()1x e f x x -=+，得11122(1)()(1)(1)x x x x e e xe f x x x ---+-'==++， 则f '（1）14=， 又f （1）12=， ∴函数()f x 在1x =处的切线方程为11(1)24y x -=-，即410x y -+=． 故选：A ．7．（5分）设函数3,0()21,0x log x x f x x ->⎧=⎨+⎩…，若f （a ）2=，则实数a 的值为( )A ．9B ．0或9C ．0D ．1-或9【解答】解：根据题意，函数3,0()21,0x log x x f x x ->⎧=⎨+⎩…，若f （a ）2=，当0a >时，f （a ）3log 2a ==，解可得9a =； 当0a …时，f （a ）212a -=+=，解可得0a =； 则0a =或9； 故选：B ．8．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线C右支上一点，若122||||F F PF =，1230PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( )A 1B C 1 D 【解答】解：在等腰三角形12PF F 中，122||||2F F PF c ==，1230PF F ∠=︒，可得1||PF ==，由双曲线的定义可得12||||22PF PF c a -=-=，即有c e a ===． 故选：B ．9．（5分）某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“12+”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中名层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有( )种选派方法． A ．160B ．80C ．40D ．20【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先把6名教师和2名中名层干部分成2组，每组3名教师和1名中层干部，有3126222022C C A ⨯⨯=种分组方法； ②，将分好的2组分派到两个学校，有222A =种安排方法； 则有20240⨯=种选派方法；故选：C ．10．（5分）已知E ，F 分别为矩形ABCD 的边AD 与BC 的中点，M 为线段EF 的中点，把矩形ABFE 沿EF 折到11A B FE ，使得190A ED ∠=︒，若2AD AB =，则异面直线1A M 与1B D 所成角的余弦值为( ) A ．15B．15 C ．15 D ．5 【解答】解：如图所示，把矩形ABFE 沿EF 折到11A B FE ，使得190A ED ∠=︒， 建立空间直角坐标系，由2AD AB =，设2CD =．可得1(1A ，0，2)，(1D ，2，0)，1(1B -，0，2)， ∴1(1MA =u u u u r ，0，2)，1(2DB =-u u u u r，2-，2)， ∴112042MA DB =-++=u u u u r u u u u rg ． 1||5MA =u u u u r，1||23DB =u u u u r ．1cos MA ∴<u u u u r ，1111115||||523MA DB DB MA DB >===⨯u u u u r u u u u ru u u u r g u u u u r u u u u r g ．则异面直线1A M 与1B D 所成角的余弦值为15． 故选：A ．11．（5分）已知圆22:1O x y +=，过直线:20l x y +-=上第一象限内的一动点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过A ，B 两点的直线与坐标轴分别交于P ，Q 两点，则OPQ ∆面积的最小值为( ) A ．1B ．12C ．14 D ．18【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由OA AM ⊥，可得切线MA 方程：1111()x y y x x y -=--， 又因为22111x y +=，所以切线MA 方程：111x x y y +=， 同理可得切线MB 方程：221x x y y +=， 而MA ，MB 交于点0(M x ，0)y ， 即10101x x y y +=，20201x x y y +=， 可得AB 的直线方程为：001xx yy +=， 即有01(P x ，0)，01(0,)Q y ，000011111||||22||2OPQ S OP OQ x y x y ∆===，0(02x <<，002)y << 2000011112(2)22OPQ S x x x x ∆==--+，0(02x <<，002)y << 所以20(2)1max x x -+=， OPQ S ∆最小值为12， 故选：B ．12．（5分）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且[0x ∈，1]时，()f x x =，则函数()()cos g x f x x π=-在[2x ∈-，4]上的所有零点之和为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数()()cos g x f x x π=-的零点，即方程()cos 0f x x π-=的根， 也就是两函数()y f x =与cos y x π=图象交点的横坐标． 由()f x 是定义在R 上的偶函数， 且满足(2)()f x f x +=， 可得函数周期为2．又当[0x ∈，1]时，()f x x =，作出函数()y f x =与cos y x π=的图象如图： 由图可知，函数()()cos F x f x x π=-在区间[2-，4]上的所有零点之和为2266-++=． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．（5分）在6(x x+的展开式中，3x 项的系数是 60 ．（用数学作答） 【解答】解：Q 6()x x的通项是366266(2r r rrr rC xC xx--=，3632r∴-=， 2r ∴=，3x ∴项的系数是226260C ⨯=故答案为：6014．（5分）水平放置一个底面半径为20cm ，高为100cm 的圆柱形水桶（不计水桶厚度），内装高度为50cm 的水，现将一个高为10cm 圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中（圆锥的底面半径小于20)cm ，圆柱形水桶的水面高度上升了2.5cm ，则圆锥形铁器的侧面积为 2003π 2cm ．【解答】解：圆锥的体积为2211020 2.53V r ππ=⋅⋅=⋅⋅圆锥，化简得2300r =，解得103r =； 所以圆锥形铁器的侧面积为 ())222103103102003S rl cm ππ==⋅+圆锥侧．故答案为：15．（5分）已知a ，b 均为正实数，若a b ab +=，则4ba a+的最小值为 5 ． 【解答】解：a ，b 均为正实数，且a b ab +=， 所以01ab a =>-， 故1a >，则44441111511ab a a a a a a a a a -+=+=+=-++=--…， 当且仅当411a a -=-即3a =，32b =时取等号，此时取得最小值5． 故答案为：516．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AF FB =u u u r u u u r ，且弦AB的中点纵坐标为2，则抛物线C 的方程为 24y x = ．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意可知图象如图：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AF FB =u u u r u u u r，AE FB ∴=，1cos :tan 3AE BAE BAE AB ∠==∠=，直线:)2pAB y x =-，中点12(2x x M +，12)2y y +，122y y +=，)2p y x =-，代入22y px =，消去x，可得20y y p --=，12y y +=，可得12=，所以2p =， 所以，抛物线方程为：24y x =． 故答案为：24y x =．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，cos cos 2A aC b c=-+． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2bc =，ABC ∆的周长为37，求a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为cos cos 2A aC b c=-+， 由正弦定理得：cos sin cos 2sin sin A AC B C=-+， 可得sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ++=， 可得sin()2cos sin 0A C A B ++=， 可得sin 2cos sin 0B A B +=， 由于(0,)B π∈，可得sin 0B ≠， 可得1cos 2A =-，由于(0,)A π∈， 可得23A π=． （Ⅱ）因为23A π=，2bc =， 所以由余弦定理得：222222222cos 2()2a b c bc A b c bc b c b c =+-=++=++=+-， 又因为周长37a b c ++= 所以22(37)2a a =+-， 所以7a ．18．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面是直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，E 为AB 中点，且4AB =，2AD CD ==．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面SAC ；（Ⅱ）若SC 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角B SC E --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以SA BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，得出AC BC ⊥， 又AC SA A =I ，所以BC ⊥平面SAC ．（Ⅱ）解：因为SA ⊥平面ABCD ，所以SCA ∠是SC 与底面ABCD 所成角，45SCA ∠=︒， 所以22SA AC ==以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则(0S ，0，2)，(2C ，2，0)，(2E ，0，0)，(4B ，0，0)，(2ES =-u u u r ，0，22)，(0EC =u u u r ，2，0)，(4SB =u u r ，0，22)-，(2SC =u u u r，2，22)-，设平面SCE 的法向量(n x =r，y ，)z ，则222020n ES x z n EC y ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取2x =，则(2n =r 0，1)， 设面SBC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则422022220m SB x z m SC x y z ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩u u r r g u u u r r g ，取1x =，得2)m =r ， 设二面角11C A D C --的平面角为θ，则||226cos ||||32m n m n θ===r rg r r g g ，∴二面角11C A D C --的余弦值为6．19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n n S a a +=g ． （Ⅰ）证明：当2n …时，112n n a a +--=； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设2212n a n n b a -=g ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）证明：2n …时，112n n n S a a --=g ，又12n n n S a a +=g ． 作差得11122n n n n n n S S a a a a -+--=-g g ， 即112n n n n n a a a a a +-=-g g ， 又0n a >，所以有112n n a a +--=；（Ⅱ）因为2n …时，112n n a a +--=，所以{}n a 的奇数项是以11a =为首项，2为公差的等差数列；偶数数项是以22a =为首项，2为公差的等差数列； 所以2112(1)21n a n n -=+-=-；222(1)2n a n n =+-=， 所以n a n =；（Ⅲ）2(21)2n n b n =-，前n 项和14316(21)4n n T n =++⋯+-g gg ， 14116364(21)4n n T n +=++⋯+-g g g ，两式相减可得1342(16644)(21)4n n n T n +-=+++⋯+--g1116(14)42(21)414n n n -+-=+---g g ，化简可得12065499n n n T +-=+g ． 20．（12分）在平面直角坐标系中，已知动点M 与到定点(1,0)F 距离到定直线2x =的距离． （Ⅰ）求动点M 轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若轨迹C 上存在点P ，使32OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求直线l 的方程．【解答】解（Ⅰ）设(,)M x y 因为，M 到定点(1,0)F 的距离与到定直线2x =，所以有|||2|2MF x =-，2|x -，整理得：2222x y +=， 所以动点M 的轨迹方程为：2212x y +=；（Ⅱ）由题意直线l 斜率存在，设:(1)l y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-=，2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+， 32OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以121233,22p p x x x y y y =+=+，将P 点坐标代入椭圆有22121233()2()222x x y y +++=， 又221122x y +=，222222x y +=，所以2222112212129()()3(2)24x y x y x x y y +++++=12123202x x y y ++=，22212123(21)2()202k x x k x x k ++-++=， 代入得216k =，直线方程:1)l y x =-． 21．（12分）已知函数2()2()8f x x lnx a =-++，a R ∈． （Ⅰ）证明：当1a =时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若1x …时，()0f x …恒成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）证明：2()()x lnx a f x x--'=，当1a =时，2(1)()x lnx f x x --'=，()1h x x lnx =--，1()x h x x-'=， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>， 所以()h x 在区间(1,)+∞增，在区间为(0,1)上减，所以()h x h …（1）0=，即()0f x '…，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； （Ⅱ）设2()()x lnx a f x x --'=，()u x x lnx a =--，1()0x u x x-'=…，所以()u x 在(1,)+∞上单调递增，()1u x a -…，（1）当10a -…，即1a …时，()f x 在[1，)+∞上是单调递增的，()f x f …（1）0a ⇒厔?所以1a ； （2）当10a -<，即1a >时，u （1）0<，x →+∞，()u x →+∞， 故存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使000()0u x x lnx a =--=， 所以当01x x <<时，()0u x <，当0x x >时，()0u x >， 所以()f x 在区间0(x ，)+∞增，在区间为0(1,)x 上减，所以0()()0f x f x 厖，2000()2()80f x x lnx a =-++…， 又00x lnx a =+，得200028014x x x -+⇒<厔， 又易得00a x lnx =-是a 随0x 而增大的，所以1422a ln <-…，综上：422a ln -． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．（Ⅰ）写出曲线1C 的极坐标方程，并求出曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)2πθϕϕ=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 点，且||2AB =，求tan ϕ的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，ρθ=，2cos ρθ=，得tan θ=． 所在直线的极坐标方程()6R πθρ=∈，（或6πθ=和7)6πθ=．（Ⅱ）把(0)θφφπ=<<，代入ρθ=，2cos ρθ=，得||2cos OA φ=；||OB φ=，又||2AB =，则2cos 2φφ-=，1sin(),(,)62663ππππφφ-=-∈-．所以3πφ=，tan φ=[选修4-5：不等式选讲] 23．设1()||||(0)f x x a x a a=-++>． （Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （2）3>，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）证明：111()||||||||2f x x a x x a x a a a a=-++---=+厖； （Ⅱ）f （2）11|2||2|3|2|1a a a a=-++>⇔->-， 121a a ∴->-或121a a-<-+，0a ∴<<或a >。