2021在职研究生全国联考数学模拟及参考答案

专业科目考试：2021数学3真题模拟及答案(1)共690道题1、若函数u＝xy·f[（x＋y）/xy]，f（t）为可微函数，且满足x2∂u/∂x－y2∂u/∂y＝G （x，y）u，则G（x，y）必等于（）。

（单选题）A. x＋yB. x－yC. x2－y2D. （x＋y）2试题答案：B2、设曲线则曲线（）。

（单选题）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 无渐近线D. 有一条水平渐近线和一条垂直渐近线试题答案：D3、设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{x n}为数列，下列命题正确的是（）。

（单选题）A. 若{x n}收敛，则{f（x n）}收敛B. 若{x n}单调，则{f（x n）}收敛C. 若{f（x n）}收敛，则{x n}收敛D. 若{f（x n）}单调，则{x n}收敛试题答案：B4、向量组α→1，α→2，…，α→s 线性相关的充要条件是（ ）。

（单选题） A. α→1，α→2，…，α→s 均为零向量 B. 其中有一个部分组线性相关C. α→1，α→2，…，α→s 中任意一个向量都能由其余向量线性表示 D. 其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合 试题答案：D5、（ ）。

（单选题） A. 10/3 B. 20/3 C. 40/3 D. 50/3 试题答案：B6、曲线与r 2＝cos2θ所围成图形的公共部分面积S ＝（ ）。

（单选题） A. 1 B. e C. D. 试题答案：C7、曲面z ＝x ＋f （y －z ）的任一点处的切平面（ ）。

（单选题） A. 垂直于一定直线 B. 平行于一定平面 C. 与一定坐标面成定角D. 平行于一定直线 试题答案：D8、若g （0）＝g ′（0）＝0。

则f ′（0）＝（ ）。

（单选题） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 试题答案：A9、设f （x ）为连续函数，，则F ′（2）等于（ ）。

（单选题） A. 2f （2） B. f （2） C. －f （2） D. 0 试题答案：B10、d ∫lnxdx ＝（ ）。

2021考研管理类联考综合能力数学真题答案以及解析2021考研管理类联考数学真题答案如下：1—5 BABAE 6—10 BCCEC11—15 ECADD 16—20 BDAAD21—25ADCED2021考研管理类联考数学真题答案以及解析一、问题求解：第1~15小题，每题3分，共45分，以下每题给出的A 、C 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项为哪一项符合试题要求的。

1.学科竞赛设一、二、三等奖，比例1：3：8获奖率30%，10人已获一等奖，那么参赛人数〔〕.A.300B.400C.500D.550E.600 解析：比例问题应用题。

由总量=分量÷分量百分比可得参赛总人数为：10÷〔30%÷12〕=400人，选B 。

2.为了解某公司员工年龄构造，按男女人数比例进展随机抽样，结果如下：男员工年龄〔岁〕 23 26 28 30 32 34 36 38 41女员工年龄〔岁〕 23 25 27 27 29 31据表中数据统计，该公司男员工的平均年龄与全体员工平均年龄分别是〔〕.A.32，30B.32，29.5C.32，27D.30，27E.29.5，27解析：平均值问题。

由表可知，男员工的平均年龄=32，女员工的平均年龄=27，男女员工人数之比=9:6=3:2，总平均年龄为305227332=⨯+⨯，选A 。

3.某单位分段收费收流量〔单位：GB 〕费：每日20〔含〕GB 以免，20到30〔含〕每GB 收1元，30到40〔含〕每GB 3元，40以上每GB 5元，小本月用45GB 该交费〔〕元.A.45B.65C.75D.85E.解析：分段计费，可知应该缴费"10+10×3+5×5=65〞，选B 。

4.圆O 是△ABC 切圆△ABC 面积与长比1:2，那么图O 面积〔〕.A.πB.2πC.3πD.4πE.5π解析：平面几求面积问题。

设切圆的半径为r ，△的三边为c b a ,,，那么2:1)(:2)(=++⨯++c b a r c b a ，化简可得,1=r 圆的面积为π，选A 。

2021在职研究生全国联考数学模拟及参考答案202*在职研究生全国联考数学模拟及参考答案1. 有一正的既约分数，若在其分子加上24，分母加上54，则其分数值不变，此既约分数的分子与分母的乘积等于( )(A)24(B) 30(C)32(D)36参考答案：(D)2. 在一个101人参加的聚会上，下列结论正确的是( )(A) 每个人必须和奇数个人握手(B) 每个人必须和偶数个人握手(C ) 所有人和别人握手的次数的和必为偶数(D) 所人有和别人握手的次数的和必为奇数参考答案：(C)3.曱、乙、丙三人分奖金，三人所得之比为，曱分得900元，则奖金总数为 ( )(A) 2850元(B)2580元(C) 2770元(D) 3050元参考答案：(C)4.一个圆柱底面直径和高都为8，一个圆锥底面直径和高都为4，则圆锥和圆柱的体积比为( )(A)1:2(B)1:24(C)1:2(D)1:4参考答案：(B)5由A地至B地，曱需走14小时，乙需走12小时，曱、乙同时从A地出发，5小时后乙因故要与曱见面，乙此时返行会曱约需走( )(A) 0.3小时(B )0.4小时(C)0.5小时(D)0.6小时 (取最接近的选项)参考答案：(B)6.将一根绳子折5折从正中剪断，这根绳子断成了( )截。

(A)6(B)10(C)5(D)8参考答案：(A)7.一艘小艇在江上顺水开100公里用4小时，在同样水流速度下，逆水开90公里用了6小时，这艘小艇在静水上开120公里要用时间是( )(A)4小时(B)5小时(C)4.5 小时(D)6小时参考答案：(D)8.用边长为1的小正方体堆成的几何体，每一层摆的都是正方形。

从下向上第一层16块，第二层9块，第三层4块，第一层1块。

这个几何体的表面积是( )(A) 56(B) 180(C) 72(D) 120参考答案：(B)9.一个充气的救生圈的大部分水平放在一张桌子上，一只蚂蚁沿半径33厘米的救生圈上的圆周爬行，另一个蚂蚁沿垂直桌子的半径9厘米的圆周爬行。

的右导数存在=x 0在点f x )(存在当且仅当-→h f h lim 1cosh 102)(，可知-≥1cosh 0由于）正确。

B （可导的充要条件。

可知=x 0在点f x )(存在为-→h f e h h lim 110)(存在。

可知，--=→→-=e t f e f t h t h h e t h 1lim 1lim 1001)()(存在等价于-→h f e h hlim 110)(：】【解析）B （：答案【、4⎰⎰⎰==---=--+f x dx x d x xC 231111112222213)()()()(可知=f x )(，因此==xf x x arcsin ')()(可得⎰=+xf x dx x C arcsin )(由：】【解析）D （：、答案3）C 条渐近线，故选（3有=++x y e x ln 11)(可知。

=y x 有斜渐近线=++x y e x ln 11)(，故++-=→+∞x e x x x lim ln 101)(，=++→+∞xx e x x lim 1ln 11)(。

=y 0有水平渐近线=++x y e x ln 11)(，故++=→-∞xe x x lim ln 101)(。

=x 0有垂直渐近线=++x y e x ln 11)(，故++=∞→x e x x lim ln 110)(：】【解析）C （：．答案2。

）C 是同阶无穷小。

故选（x 3与Fx ')(时，→x 0可知当⎰===≠→→→x x x f f x F x f t dt x x x x 2lim lim lim (0)02()2()000320'')(则⎰=Fx x f t dt x 2()0')(：】【解析）C （：答案1.选择题一、考研数学测试卷（一）参考答案因此（A）错误。

令()f x x =，此时有()2200sinh 1lim sinh lim 0h h h f h h h →→--==，可知()201lim sinh h f h h →-，但()f x 在点0x =不可导，可知（C）错误。

2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 函数1,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处 ( )(A) 连续且取得极大值. (B) 连续且取得极小值.(C) 可导且导数等于零. (D) 可导且导数不为零. 【答案】(D)【解析】因为()20000111110lim lim lim =lim 222x x x x x x x e e x e x x f x x x x →→→→-----'====，所以函数()f x 在0x =可导且导数不等于0，故选(D).(2) 设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df = ( )(A) dx dy +. (B) .dx dy - (C) dy .(D) dy -.【答案】(C)【解析】方程()()21,1xf x ex x +=+两边对x 求导得：()()()()2121,1,121x x x f x e f x e e x x x ''+++=+++. ①将0x =代入①得 ()()121,11,11f f ''+=. ② 方程()22,2ln f x x x x =两边对x 求导得：()()222121,,24ln 2f x x f x x x x x x x''+⋅=+⋅. ③将1x =代入③得 ()()121,11,122f f ''+⋅=. ④ 联立②④解得：()11,10f '=,()21,11f '=，故选(C).(3) 设函数2sin ()1x f x x=+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则 ( )(A) 71,0,6a b c ===-. (B) 71,0,6a b c ===.(C) 71,1,6a b c =-=-=-. (D) 71,1,6a b c =-=-=.【答案】(A) 【解析】由()331sin 6x x x x ο=-+，()2442111x x x xο=-+++，则()332sin 716x x x x xο=-++，所以71,0,6a b c ===-.故选(A).(4) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则1()f x dx =⎰( )(A) 1211lim()22nn k k f n n →∞=-∑. (B) 1211lim ()2nn k k f n n →∞=-∑. (C) 2111lim()2nn k k f n n →∞=-∑. (D) 212lim ()2nn k k f n n →∞=∑.【答案】(B)【解析】由定积分定义()1011lim nn k k f x dx f n n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，这里将区间[]0,1分为n 等份，即10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,1n n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 特殊点依次取区间中点1212,(1,,)2k k k n n n --==⋅⋅⋅， 故()101211lim 2nn k k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰. (5) 二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为( )(A) 2,0.(B) 1,1.(C) 2.1.(D) 1,2.【答案】（B ）【解析】二次型矩阵为011121110A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,11101||1211211111A E λλλλλλλλ---+-=-=---101(1)121(1)(3)011λλλλλλ-=+-=-+-=-. 所以A 的特征值为：0,1,3-，所以正负惯性指数为1,1.答案为（B ）.(6) 已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记11βα=,221k βαβ=-,331122l l βαββ=--，若123,,βββ两两正交，则12,l l 依次为 ( )(A)51,22. (B) 51,22-. (C)51,22-. (D) 51,22--. 【答案】（A ）【解析】由施密特正交法：11βα=，21221110(,)2(,)0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭，313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--所以31111(,)5(,)2l αβββ==，32222(,)1(,)2l αβββ==.所以选（A ） (7) 设,A B 为n 阶实矩阵，下列结论不成立的是（ ）(A) ()2TA O r r A O A A ⎛⎫=⎪⎝⎭(B) ()2T A AB r r A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭(C) ()2T A BA r r A OAA ⎛⎫=⎪⎝⎭(D) ()2T A O r r A BAA ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】（C ）【解析】（C ）选项，因为()(),(),()TT A BA r r A BA r AA r A BA r A O AA ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，且(),(,)A BA E B A =,所以(),()r A BA r A ≥.所以2()T ABA r r A O AA ⎛⎫≥⎪⎝⎭. (8) 设,A B 为随机事件，且()01,P B << 下列命题中为假命题的是（ ）(A) 若()(),P A B P A = 则()()P A B P A = (B) 若()(),P A B P A > 则()()P A B P A > (C) 若()(),P A B P A B > 则()()P A B P A > (D) 若()(),P A A B P A AB > 则()()P A P B >【答案】(D)【解析】()(),P A B P A A B =⇒相互独立，所以()()P A B P A =，故（A ）正确；()()P A B P A >中对任意满足题设条件的随机事件均成立，而,A B 也满足条件，所以()()P A B P A >，故（B ）正确； ()()()()()()()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇒>=⇒>- ()()()()()P AB P A P A B P A P B ⇒>⇒>，故（C ）正确；(())(())()()()()()()P A A B P A A B P A A B P A A B P A P AB P A B P A B >⇒>⇒>，故（D ）不正确，选（D ）. (9) 设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本.令121111,,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑ 则（ ）(A) θ是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(B) θ不是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(C) θ是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=(D) θ不是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=【答案】(C)【解析】12ˆ()()()E E X E Y θμμθ=-=-=，所以ˆθ是θ的无偏估计； 2212212ˆ()()()2cov(,)cov(,)niii D D X D Y X Y X Y n n σσθ=+=+-=-∑2222121212122122ni nnnσσσσρσσρσσ=++-=-=∑，故选（C ）.(10) 设1216,,,X X X 是来自总体(),4N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：01:10,:10.H H μμ≤> ()x Φ表示标准正态分布函数.若该检验问题的拒绝域为{}11,W X => 其中161116i i X X ==∑，则11.5μ= 时，该检验犯第二类错误的概率为 （ ）(A) ()10.5-Φ (B) ()11-Φ (C) ()1 1.5-Φ(D) ()12-Φ【答案】(B)【解析】检验犯第二类错误的概率为{11}P X ≤.由题可知1~(,)4X N μ，所以11.5{11}{1}1(1)1/2X P X P -≤=≤-=-Φ，选（B ）.二、填空题：1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (11)222dxx x +∞=++⎰__________. 【答案】4π【解析】2022dxx x +∞=++⎰()211dxx +∞=++⎰()0arctan 1x +∞+24ππ=-4π=.(12) 设函数()y y x =由参数方程()22141tt x e t y t e t⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则22t d y dx ==______.【答案】23【解析】dy dy dt dx dt dx =⋅()441221t t t e t e t e +-+=+422,21t t te t t e +==+ ()22212,2121t t dy d d t d y dt dx dx dt dx dt e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅==++ 222.3t d y dx ==(13) 欧拉方程2x y xy y "+'-4=0满足条件()1=1y ，()1=2y '的解为y =_______.【答案】2y x =【解析】作变换tx e =,故()()()ty t y x e xy x '='=',()()()()()y t x t y x xy x x t "=''+"'()()2xy x x y x ='+"()()2y t x y x ='+"则原方程可化为：()()()()40y t y t y t y t "-'+'-=,即()()40y t y t "-=.其特征方程为240λ-=，特征根为12λ=,22λ=-,则该方程的通解222121221tty C e C eC x C x -=+=+,又()1=1y ，()1=2y ', 故11C =,20C =.于是2y x =.(14) 设∑为空间区域{}22(,,)44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰__________【答案】π4【解析】利用高斯公式可得：22(221).x dydz y dzdx zdxdy x y dv ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰（其中Ω为Σ围成的封闭区域）由于图形关于xoz 平面对称，所以20.ydv Ω=⎰⎰⎰同理：图形关于yoz 平面对称，则.02=⎰⎰⎰Ωxdv则2222222444424.x y x y x dydz y dzdx zdxdy dv dxdy dz dxdy πΩ+≤+≤++====∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(15) 设()ij A a =为3阶矩阵，ij A 为元素ij a 的代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3A =，则112131A A A ++=__________ 【答案】32. 【解析】因为A 的每行元素之和为2，所以1112111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1112111A A A **⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111||311122111A A *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故A *的每行元素之和为32.(16) 甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令,X Y 分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数为______________. 【答案】15. 【解析】由题可知，X 与Y 的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示YX0 1i p ⋅0 0.3 0.2 0.5 10.2 0.3 0.5j p ⋅0.50.51所以()0.3E XY =，()()0.5E X E Y ==，()()0.25D X D Y ==.故X 与Y 的相关系数为0.30.2510.255ρ-==.三、解答题：1722小题,共70分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本题满分10分)求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰ 【解析】原式2220sin (1)(1)sin (1)(1)limlimsin (1)xxt x t x xx x x e dt e x e dt e x e x→→+--+--==⋅-⎰⎰2222cos (1)sin cos 1cos sin 1limlim22xx t x xt x xx x x e dt x e ex x e dt x e e x x→→++⋅--++⋅+-==⎰⎰2200000cos cos 1sin 11111lim lim lim lim 022222222xt x x x x x x x e dtx x ee xxxx →→→→-⋅-=+++=++-=⎰. (18) (本题满分12分)设()()()11,2,1n nxn x u x en n n +-=+=+，求级数()1n n u x ∞=∑的收敛域及和函数.【解析】设112111()()()()(1)n nxnn n n x S x ux eS x S x n n +∞∞∞-=====+=++∑∑∑， 当1xe-<时，则0x >，此时1()S x 收敛，且11()1xnxxn e S x ee-∞--===-∑，0x >. 121()(1)n n x S x n n +∞==+∑，由21(1)(2)lim 1(1)n n n x n n x x n n ++→∞++=<+，得收敛区间为(1,1)-， 在1x =±时，当n →∞时，()1211(1)n n n n +±+，且211n n ∞=∑收敛，故()111(1)n n n n +∞=±+∑收敛， 故2()S x 的收敛域为[]1,1-，故原级数的收敛域为(]0,1.21()=n n xS x n∞='∑，1211()=1n n S x x x ∞-=''=-∑， 222001()()(0)ln(1)1xxS x S t dt S dt x t ''''=+==---⎰⎰，2220()()(0)ln(1)(1)ln(1)xxS x S t dt S t dt x x x '=+=--=--+⎰⎰，()0,1x ∈，当1x =时，211111(1)[]1(1)(1)n n S n n nn ∞∞====-=++∑∑， 故12()()()(1)ln(1)1xxe S x S x S x x x x e--=+=+--+-，()0,1x ∈， 11211(1)(1)(1)1111nn e eS S S ee e -∞--==+=+=+=--∑， 综上所述：(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩(19) (本题满分12分)已知曲线2226,:4230,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大值.【解析】取C 上点(),,x y z ，到xOy 坐标面距离为z ，目标函数为()2,,f x y z z =,构造拉格朗日函数()222,,,,(26)(4230)F x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-.22240(1)420(2)20(3)260(4)42300(5)xy z F x F y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+--=⎪⎪'=++-=⎪⎩ 1(1)(2):(4)02x y λ⨯--=. 若0λ=，则0μ=，代入（3）可得0z =，代入（4）（5）2226042300F x y F x y λμ⎧'=+-=⎪⎨'=+-=⎪⎩，此方程无解.若0λ≠，则4x y =，代入（4）（5）2216260162300F y y z F y y z λμ⎧'=+--=⎪⎨'=++-=⎪⎩.可解得4112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8266x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.()()224,1,1212,8,2,6666f f =--=.故曲线上的点到xOy 坐标面最大距离为66. (20) (本题满分12分)设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D .(I) 求1()I D 的值； (II) 计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰，其中D ∂是1D 的正向边界.【解析】(I)要使22()(4)DI D x y dxxdy =--⎰⎰最大，则D 应该包含所有使得被积函数22(,)40f x y x y =--≥并且D 中不能包含使得22(,)40f x y x y =--<的区域，故221{(,)|4}D x y x y =+≤，从而11122221()(4)41()D D D I D x y dxdy dxdy x y dxdy =--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2230161688d r dr ππθπππ=-=-=⎰⎰.(II) 由于22224224222(81)(4)(4)2(4)xy xy Q P xye x y ye x xx yx y ++∂∂-+---=∂∂+22224224222(81)(4)()8(4)xy xy xye x y xe y yx y ++++-+-+0=.且(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂围成的区域上1D 上有奇点，所以要补线222:4,0L x y εε+=>足够小，取顺时针方向，且L 围成的区域为D ''，则(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂与L 围成的区域D '上满足格林公式的条件，于是11(,)(,)(,)(,)(,)(,)D D LLP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ∂∂++=+-+⎰⎰⎰()(,)(,)D L Q Pdxdy P x y dx Q x y dy x y -'∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰ 22210()(4)D L dxdy xey dx ye x dy εεε-'=+++-⎰⎰⎰2211(11)2D D dxdy dxdy πεε''''=--=-=-⎰⎰⎰⎰.(21) (本题满分12分)设矩阵111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭， (I) 求正交矩阵P ，使TP AP 为对角矩阵；(II) 求正定矩阵C ，使2(3)C a E A =+-，其中E 为3阶单位矩阵.【解析】(I) 因为11||=11(1)(2)(1)011a A E a a a a a λλλλλλλ-----=--+---=---， 所以A 的特征值为121a λλ==-，32a λ=+，当121a λλ==-时，[(1)]0A a E x --=，111111(1)=111000111000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭121a λλ==-所对应的两个无关特征向量为：1110α-⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭，2101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当32a λ=+时，[(2)]0A a E x -+=，211101(2)=121011112000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭32a λ=+所对应的两个无关特征向量为：3111α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.对12,αα正交化，11110βα-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，21221111(,)11(,)22αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 对123,,ββα单位化111110e ββ-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，222112e ββ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，333111e αα-⎫⎛⎪==-⎪⎪⎭则123(,,)0P e e e ⎛--==-⎪⎪⎝⎭，112a a a -⎛⎫⎪Λ=- ⎪ ⎪+⎝⎭.T P AP =Λ(II) 因为()2(3)(3)(3)TTTC a E A a PP P P P a E P =+-=+-Λ=+-Λ422422111T T TP P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以251112=15131115T C P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (22) (本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X ，较长一段的长度记为Y ，令Y Z X=. (I) 求X 的概率密度； (II) 求Z 的概率密度； (III) 求X E Y ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】(I)2+=X Y ,且<X Y ，由题意：~(0,1)X U . 所以X 的概率密度：1,01()0,<<⎧=⎨⎩x x f x 其他.(II)2X Y +=，则2Y X =-,于是2Y X Z X X-==. {}2()-⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭Z X F z P Z z P z X ,①1<z ，()0=Z F z ; ②1z ≥，222()111Z X F z P z P X X z z -⎧⎫⎧⎫=≤=≥=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭;综上所述01()2111Z z F z z z <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩+，，,所以221(1)()()01Z Z z z f z F z z ⎧>⎪'+==⎨⎪≤⎩，，. (III)法1：令2==-X X U Y X ,同理可得：22,01(1)()0,⎧<<⎪+=⎨⎪⎩U u u f u 其他, 所以()12022ln 21(1)X E E U u du Y u ⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭⎰. 法2：10()2ln 21222+∞-∞⎛⎫⎛⎫==⋅==- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰X X X x x E E f x dx dx Y X x x .。

2021年全国硕士研究生入学统一考试参考答案数学（二）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把所选选项前的字母填在答题卡制定的位置上.） （1）当0→x 时，dt e x t ⎰-23)1(是7x 的（ ）（A ）低阶无穷小 （B ）等价无穷小 （C ）高阶无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小 【答案】C【解析】因为当0→x 时，7'02~)1(2)1(623x e x dt e x x t -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰，所以dt e x t ⎰-230)1(是7x 的阶无穷小 ，正确答案为C.（2）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,10,1)(x x x e x f x ，在0=x 处（ ）（A ）连续且取得极大值 （B ）连续且取得极小值 （C ）可导且导数为0 （D ）可导且导数不为0 【答案】D【解析】因为)0(11lim)(lim 00f xe xf x x x ==-=→→，故)(x f 在0=x 处连续； 因为211lim 011lim 0)0()(lim 2000=--=---=--→→→x x e x x e x f x f x x x x x ，故正确答案为D.（3）有一圆柱底面半径与高随时间变化的速率分别为s cm /2，s cm /3-，当底面半径为cm 10，高为cm 5时，圆柱体的体积与表面积随时间的变化率分别为（ ） （A ）s cm /1253π，s cm /403π （B ）s cm /1253π，s cm /403π- （C ）s cm /1003π-，s cm /403π （D ）s cm /1003π-，s cm /403π- 【答案】C【解析】由题意知，2=dt dr ，3-=dtdh ，又h r V 2π=，222r rh S ππ+=， 则dt dh r dt dr rh dt dV 22ππ+=，dtdrr dt dh r dt dr h dt dS πππ422++=， 当5,10==h r 时，π100-=dt dV ，π40=dtdS，故正确答案为C. （4）设函数x b ax x f ln )(-=（0>a ）有两个零点，则ab的取值范围是（ ）（A ）),(+∞e （B ）),0(e （C ）)1,0(e （D ）),1(+∞e【答案】A【解析】令0ln )(=-=x b ax x f ，xba x f -=)('，令0)('=x f ，有驻点a b x =，0ln <⋅-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛a b b a b a a b f ，从而1ln >a b ，可得e a b >，正确答案为A.（5）设函数x x f sec )(=在0=x 处的2次泰勒多项式为21bx ax ++，则（ ）（A ） 21,1-==b a （B ）21,1==b a （C ）21,0-==b a （D ）21,0==b a【答案】D【解析】由)(2)0('')0(')0()(22x o x f x f f x f +++=，知当x x f sec )(=时，10sec )0(==f ，00tan 0sec )0('=⋅=f ，1)sec tan (sec )0(''032=+==x x x x f ，则)(211sec )(22x o x x x f ++==，故正确答案为D. （6）设函数),(y x f 可微，且2)1(),1(+=+x x e x f x，x x x x f ln 2),(22=，则=)1,1(df （ ）（A ）dy dx + （B ）dy dx - （C ）dy （D ）dy - 【答案】C【解析】)1(2)1(),1('),1('221+++=+++x x x e x f e e x f xxx①x x x x x xf x x f 2ln 4),('2),('2221+=+ ①分别将⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==11y x 代入①①式有 1)1,1(')1,1('21=+f f ， 2)1,1('2)1,1('21=+f f ，联立可得1)1,1('0)1,1('21==f f ，，于是dy dy f dx f df =+=)1,1(')1,1(')1,1(21，故正确答案为C.（7）设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，则=⎰dx x f 1)(（ ）（A ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n n n k f 121212lim（B ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n nn k f 11212lim（C ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n n n k f 212121lim（D ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n nn k f 2122lim 【答案】B【解析】由定积分的定义知，将)1,0(分成n 份，取中间点的函数值，则=⎰dx x f 1)(∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n n n k f 11212lim ，故正确答案为B.（8）二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f --+++=的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）（A ）0,2 （B ）1,1 （C ）1,2 （D ）2,1 【答案】B【解析】313221222132322213212222)()()(),,(x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=--+++=所以二次型矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110A ，故特征多项式为λλλλλλλ)3)(1(1112111-+=-------=-A E ，令上式等于零，故特征值为0,3,1-，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，故答案应选B.（9）设3阶矩阵),,(321ααα=A ，),,(321βββ=B ，若向量组321,,ααα可以由向量组321,,βββ线性表示，则（ ）（A ）0=Ax 的解均是0=Bx 的解 （B ）0=x A T的解均是0=x B T的解 （C ）0=Bx 的解均是0=Ax 的解 （D ）0=x B T的解均是0=x A T的解 【答案】D【解析】令),,(321ααα=A ，),,(321βββ=B ，由题向量组321,,ααα可以由向量组321,,βββ线性表示，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇒=T T TA B r B r A B r B r )(),()(,所以0=x B T与0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x A B T T 同解，即0=x B T 的解均是0=x A T的解，故选项D 正确. （10）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=521112101A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使得PAQ 为对角矩阵，则Q P ,可以分别取（ ）（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310101 （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123012001 ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123012001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310101 （D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛131010001，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100210321 【答案】C【解析】()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101620012310001101100523010112001101,E A),(123000012310001101P F =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→，则=P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123012001； ⎪⎪⎭⎫⎝⎛Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q E F 100310101000010001100010001000310101，则=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100310101.故正确答案为C. 或者：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+-62031010152131010152111210113122r r r r A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−+++00001000100031000100031010123132332c c c c r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−-0000100012r ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=123012001100012001101010001120010001100010001P⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100310101100310001100010101Q二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上） （11）.__________32=⎰+∞∞--dx x x【答案】3ln 1 【解析】3ln 133ln 1)(332322222=⋅-=--==∞+-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰x x x x x d dx x dx x .（12）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=2)1(412te t y t e x t t确定，则._________022==t dx y d【答案】32【解析】由1224++=tt e tte dx dy ，得222)12()24()12)(244(++++++=t t t t t t e e t te e te e dx y d ， 将0=t 代入得.32022==t dxyd（13）设函数),(y x z z =由方程1)2arctan(ln )1(=-++xy z y z x 确定，则.__________)2,0(=∂∂xz【答案】1【解析】方程两边对x 求导，得04121)1(22=+-∂∂+∂∂++yx yx z z y x z x z ，将0=x ，2=y 代入原方程，得1=z ，再将0=x ，2=y ，1=z 代入，得.1)2,0(=∂∂xz（14）已知函数dy yx dx t f x t⎰⎰=11sin )(，则.__________2'=⎪⎭⎫⎝⎛πf 【答案】2cos 222coscos 223ππππππ--⎰du uu.【解析】交换积分次序，有dx yxdy t f t y t⎰⎰-=2sin )(1，从而⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t ty tdy y y ty dx y x dy t f 11cos cos sin )(2 ⎰⎰⎰⎰-=-=t t t t t ydy y dy uut ydy y dy y t y 13211cos cos cos cos ， t t t t t t t t dy u u t t f t t cos 21cos cos cos 2)('23323-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅--=⎰，故 2cos 222coscos )2('223πππππππ--=⎰du u u f .（15）微分方程0'''=-y y 的通解为._________=y【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-x C x C ee C y x x23sin 23cos 32211，R C C C ∈321,, 【解析】由特征方程013=-λ，解得11=λ，i 23213,2±=λ，故方程的通解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-x C x C ee C y x x23sin 23cos 32211，R C C C ∈321,,.（16）多项式xxx x x xx f 11211212121)(--=中3x 项的系数为.__________【答案】5-【解析】112122121311211121212111111211211212121)(---------=--=x x x xx xx x xxx x xxx x x x x f ，所以展开式中含3x 项的 有3x -，34x -，即3x 项得系数为5-.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.）（17）（本题满分10分）求极限⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎰→x e dt e x x t x sin 111lim 002. 【答案】21 【解析】⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→→→⎰⎰x e e dt e x e dt e x x x x t x x x t x sin 111lim 1lim sin 111lim 0000022， xe x x e x x e e x e xx x x x x x x x 2cos lim 11sin lim 1sin )1(1sin lim 1lim 020002-+=+-+=-+-+=→→→→ .212112sin lim 10=-=--+=→x x e x（18）（本题满分12分） 已知xx x x f +=1)(，求)(x f 的凹凸性及渐近线.【答案】凹区间),0(),1,(+∞--∞，凸区间)0,1(-，斜渐近线是1-=x y ，1--=x y .【解析】因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+->+=0,10,1)(22x xx x xx x f ，故0>x 时，22)1(2)('x x x x f ++=，3)1(2)(''x x f +=， 0<x 时，22)1(2)(''x x x x f +--=，3)1(2)(''x x f +-=， 所以故x x x x f +=1)(凹区间),0(),1,(+∞--∞，凸区间)0,1(-.因为∞=+-→xxx x 1lim1，所以1-=x 是垂直渐近线；因为1)1(lim=++∞→x x x x x ，11lim -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→x x x x x ，所以1-=x y 为斜渐近线； 因为1)1(lim -=+-∞→x x xx x ，11lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-∞→x x x x x ，所以1+-=x y 为斜渐近线.（19）（本题满分12分） 已知函数)(x f 满足C x x dx xx f +-=⎰261)(，L 为曲线)(x f y =（94≤≤x ），L 的弧长为s ，L 绕x 轴旋转一周所形成的面积为A ，求s 和A . 【答案】322=s ，9425π=A . 【解析】C x x dx x x f +-=⎰261)(两边求导，得131)(-=x xx f ，所以212331)(x x x f -=，曲线的弧长32241421'194942=++=+=⎰⎰dx x x dx y s ； 曲面的侧面积为942521)31(2'12942123942πππ=++-=+=⎰⎰dx x x x x dx y y A .（20）（本题满分12分）函数)(x y y =的微分方程66'-=-y xy ，满足10)3(=y ， （1）求)(x y 的表达式；（2）P 为曲线)(x y y =上的一点，曲线)(x y y =在点P 的法线在y 轴上的就截距为y I ，为使y I 最小，求P 的坐标.【答案】（1）31)(6x x y +=；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛±34,1P 时，y I 有最小值.611【解析】（1）由66'-=-y xy ，得xy x y 66'-=-，所以 6666611)6(Cx C x x C dx e x e y dx x dx x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰-⎰=⎰-，将10)3(=y 代入，得31=C ，所以31)(6x x y +=.（2）设),(y x P ，则过P 点的切线方程为)(25x X x y Y -=-， 法线方程为)(215x X xy Y --=-， 令0=X ，得462131xx I Y y ++==，为偶函数，故只需要考虑),0(+∞即可. 令022'55=-=x x I y ，解得1=x ， 所以当)1,0(∈x 时，0'<y I ；当),1(+∞∈x 时，0'>y I ；故当1=x 时462131xx I Y y ++==取得极小值，也是最小值，且最小值为611)1(=±y I ，且P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛±34,1P .（21）（本题满分12分）曲线22222)(y x y x -=+（0,0≥≥y x ）与x 轴围成的区域为D ，求.dxdy xy D⎰⎰【答案】481【解析】使用极坐标计算⎰⎰⎰⎰⎰==4022cos 0340cos sin 2cos 41cos sin πθπθθθθθθθd dr r d dxdy xy D.4812cos 4812cos 2cos 161403402=-=-=⎰ππθθθd（22）（本题满分12分）设矩阵仅有两个不同的特征值. 若相似于对角矩阵，求的值，并求可逆矩阵为对角矩阵.【解】由，故或.（1）当时，由于相似于对角矩阵，二重特征根有两个线性无关的特征向量，从而，故.此时，的两个线性无关的特征向量为，,的一个特征向量为.令为对角矩阵.（2）当时，类似的讨论可知. 此时，的两个线性无关的特征向量为，，的一个特征向量为.令为对角矩阵.。

2021考研数学模拟测试题完整版及答案解析〔数三〕一、选择题：1~8小题，每题4分，共32分。

在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。

〔1〕()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()baM xf x dx =⎰，01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+⎰⎰，那么必有〔 〕〔A 〕M N ≥；〔B 〕M N ≤；〔C 〕M N =；〔D 〕2M N =； 〔2〕设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞内可导，函数()y y x =的图像为那么其导数的图像为〔 〕(A) (B)y xOyxOxyO(C) (D)(3)设有以下命题： ①假设2121()n n n uu ∞-=+∑收敛，那么1n n u ∞=∑收敛； ②假设1n n u ∞=∑收敛，那么10001n n u ∞+=∑收敛；③假设1lim1n n n u u +→∞>，那么1n n u ∞=∑发散； ④假设1()n n n u v ∞=+∑收敛，那么1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑收敛正确的选项是〔 〕〔A 〕①②〔B 〕②③〔C 〕③④〔D 〕①④(4)设220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=，那么〔 〕 〔A 〕51,2a b ==-；〔B 〕0,2a b ==-；〔C 〕50,2a b ==-；〔D 〕1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组〔I 〕0Ax =有非零解，那么非齐次线性方程组〔II 〕T A x b =，对任何12(,,)T n b b b b =〔A 〕不可能有唯一解； 〔B 〕必有无穷多解；〔C 〕无解； 〔D 〕可能有唯一解，也可能有无穷多解(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，那么行列式1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为 〔A 〕1(2)n A B--； 〔B 〕2T A B -； 〔C 〕12A B --； 〔D 〕12(2)n A B--(7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X 为来自X 的样本，X 为样本均值，那么〔 〕y xOyxO〔A 〕2211()~(1)1n i i X X n n χ=---∑； 〔B 〕2211(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑； 〔C 〕2212()~()2ni i X n χ=-∑； 〔D 〕221()~()2n i i X X n χ=-∑；(8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，假设概率1()2P aX bY μ-<=那么〔 〕 〔A 〕11,22a b ==；〔B 〕11,22a b ==-；〔C 〕11,22a b =-=；〔D 〕11,22a b =-=-； 二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分。

2021年全国硕士研究生入学统一考试〔数学三〕试题及答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分。

以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

0→x 时，假设tan x x -及kx 是同阶无穷小，那么k =〔 〕〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕4550x x k -+=有3个不同的实根，那么k 的取值范围是〔 〕〔A 〕)4,(--∞〔B 〕),4(+∞〔C 〕)4,4(-〔D 〕），44(- x ce by y a y =+'+''的通解为x e e x C C y x ++=-)(21，那么a ，b ，c 依次为〔 〕〔A 〕1, 0, 1〔B 〕1, 0, 2 〔C 〕2, 1, 3〔D 〕2, 1, 4∑∞=1n nun 绝对收敛，1nn v n∞=∑条件收敛，那么〔 〕〔A 〕∑∞=1n nn vu 绝对收敛 〔B 〕∑∞=1n nn vu 绝对收敛〔C 〕∑∞=1n nn vu 收敛 〔D 〕∑∞=1n nn vu 发散5.设A 是4阶矩阵，A*为A 的伴随矩阵，假设线性方程组Ax=0的根底解系中只有2个向量，那么=)(*A r 〔 〕 〔A 〕0〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，假设E A A 22=+，且4=A ，那么二次型Ax x T 的标准形为〔 〕 〔A 〕222123y y y ++〔B 〕232221y y y -+〔C 〕232221y y y --〔D 〕232221y y y ---7.设A ，B 为随机事件，那么P(A)=P(B)的充分必要条件是〔 〕 〔A 〕()()()P AB P A P B =+〔B 〕)()()(B P A P AB P =〔C 〕)()(A B P B A P =〔D 〕)()(AB P AB P =8.设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，那么=}1-P{＜Y X 〔 〕〔A 〕及μ无关，及σ2有关 〔B 〕及μ有关，及σ2无关 〔C 〕及μ、σ2都有关〔D 〕及μ、σ2都无关二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分。

662021考研数学真题及答案解析数学(-)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)>-1(1)函数 /(%>，在 ％ = 0 处1,% = 0(A)连续且取极大值. 连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为lim/⑶=lim --------- =1=/(0),故/(%)在％ = 0处连续；X 1e -1-! x因为 1in/(x )"(0)=ii m——=lim gX -^-X =-,故 /'(0) =丄，正确答案为 D. no x-0x-0 x 2 2 2(2)设函数可微，且/(x + l,e x ) = x(x + l)2, /(x,x 2) =2x 2lnx ,则 df(l.V)= (A) dx + dy . (W )dx-dy .(C)办.(D) ~dy【答案】c.【解析】乂'(x + l ，e x ) + e%(x + l ，e x ) = (x + 1)2 + 2X (X + 1)① /'(x ，%2) +2^/^'(x ，x 2) = 4x In x + 2x②——Q 又一1分别将 ， 带入①②式有y = Q [y =乂'(1，1)+汾1，1) = 1，乂'(1,1) + 2側1) = 2联立可得乂'(1，1) = 0，人'(1，1) = 1，#(1，1) = 乂'(1，1)办+人'(1，1)办=办，故正确答案为C. ⑶设函数f (x) = Sin ^在％ = 0处的3次泰勒多项式为ax + bx 2 +cx 3,贝1 + x 7(A) a = l,Z )= O ，c =— 6 (C) a = _l ，p = _l ，c 【答案】A. 【解析】根据麦克劳林公式有7{%3) • [1 -X 2 + o(x 3)] = x - -x 3 + o(x 3)(B)a = l,b = O,c = -.6-1X C =故a = l,b = Q,c = -I ，本题选 A. 6⑷ 设函数在区间［0，1］上连续，则^f(x)dx = (A)lim^/ 2n(C) lim£/ 2k-l} 1 2n 2nk-1} 1 2n 2k-1、1 2n k 2n 【答案】B.【解析】 由定积分的定义知，将(0,1)分成Z?份，取中间点的函数值，则 ，2众-1)1 _ 2n (5)二次型/(x p x 2，x 3) = (x r +x 2)2+(x 2 +X 3)2-(X 3-X 1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为 (A)2,0. (B)l,l. (C)2,l. 【答案】B. 【解析】/(x 1?x 2,x 3) = (x t +x 2)2 +(x 2 +x 3)2 -(x 3 -xj 2 = 2X 22 + 2x r x 2 + 2x 2x 3 + 2x^3 r l nf /(x)d?x = lim S / JOn^oo k=l >oo k=l 一，即选B. n(D)l ，2. <0，故特征多项式为0J-1 -1 \AE-A\= -1 -2 -1 =(2+ 1)(2-3)2 -1 -1 令上式等于零，故特征值为-1，3, 0,故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B. ⑼H(A)-,-. 2 2 【答案】A. 【解析】利用斯密特正交化方法知(D) 2 2]32=a 2-^^ P 3=a 3- A - 7^41 A ， [A ，A] [A ，A] 故/1=競=* (7)设浼5为77阶实矩阵，下列不成立的是故选A .【答案】C. 本题选C.(8) 设d ，5为随机事件，且0<尸(5)<1，下列命题中不成立的是(A) 若 P(A\B)=P(A)，则 P(A\B)=P(A). (B) 若 P(A\B)>P(A),则 P (A\B)>P (A) (C) 若 F(A | B) > F(A 15),则 P(A | B) > P(A). (D)若P(A\A\JB)>P(A\A\JB)，则P(^)>P(5). 【答案】D.P(] M P (如⑽)=P(柄=⑼-酬P(A) +P(5) -P(AB)因为P(^MU5)>P(JMU5),固有P(A)〉P(B)_P(AB)，故正确答案为 D.(9) 设()为来自总体N 的简单随机样本，令1 1 — 0 = ^-^.X = -^X P Y=-^Y P 0 = X-Y. ~ n z=i n z=i2 2(A) g 是沒的无偏估计，D (3}=ai +C72v 7 n2 2(B) 不是沒的无偏估计，D (0}=ai +^2v' n (C) 是沒的无偏估计，=v'n(D) g 不是沒的无偏估计，D (0)=AI +C72-W I ^2\ ) n【答案】C.【解析】因为z ，y 是二维正态分布，所以叉与r 也服从二维正态分布，则X-Y 也服从二维正态 分布，’Ao 、=2r (d) zA TA J(B)r\ ，A BA 、/ 、oAA T ,=2厂(d) (D)r\(A)r(C)rAO A BA AB}/少o'【解析】(A)rfAo 、A TA ^= r(A) + r(A r A) = 2r (A).故 A 正确."A (C)BA 的列向量不一定能由d 的列线性表示. (B)AB 的列向量可由d 的列线性表示，故r (D)BA 的行向量可由A 的行线性表示，rAB 、A"A 0、 <o A =r(A) + r(A r ) = 2r(A).【解析】P(A\A^B)PG4G4U^B))PG4U5) P(A)+P(B)-P(AB)r ) = 2r(A).即E(3) = E(X-Y) = E(J)-E(y) = ^-^=0fD 也=D{X - F) = D(J) + D (y )- cov(J^，y) =+a2 -2/?啊，故正确答案为 c.n(10) 设^p ^2...,^16是来自总体2V (//?4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：①(X)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W = {x>ll],1 16其中则^= 11-5时，该检验犯第二类错误的概率为 16 Z=1(A) 1-0(0.5) (B)l-O(l) (C)l-0(1.5) (D) 1-0(2)【答案】B.【解析】所求概率为P{X <11} X-N(11.5,-),P{X<11}=P<•+°° dx° %2 + 2x + 22【答案】一.3【解析 】 由—-+ 2t 得 d 2y(4e z + 4te f + 2)(2e z +1) - (4/e z + 2t )2e zdx~ 2e z +l ^~dx^~ (2〆+1)3’将’=。

数学考研真题答案2021数学考研作为研究生入学考试的重要组成部分，其难度和重要性不言而喻。

2021年的数学考研真题，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计等多个领域。

以下是对2021年数学考研真题的部分答案解析。

一、选择题1. 根据极限的定义，若\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)，则对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε。

此题考查了极限的ε-δ定义。

2. 线性代数中的矩阵运算，若A和B是两个可逆矩阵，则AB也是可逆的，且\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。

此题考查了矩阵的逆运算。

3. 概率论中的全概率公式，设事件A1, A2, ..., An是两两互斥的完备事件组，即P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = 1，对于任意事件B，有P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An)。

此题考查了全概率公式的应用。

二、填空题1. 根据泰勒公式，函数f(x)在x=a处的泰勒展开为\(f(x) = f(a) +f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)\)，其中R_n(x)是余项。

此题考查了泰勒公式的理解和应用。

2. 线性空间中，向量组的线性相关性可以通过行列式来判定。

若向量组构成的矩阵的行列式为零，则该向量组线性相关。

此题考查了线性空间中向量组的线性相关性。

3. 连续型随机变量的分布函数F(x)定义为P(X ≤ x)，其中X是连续型随机变量。

此题考查了连续型随机变量分布函数的定义。

三、解答题1. 高等数学中的微分方程问题，求解给定的一阶微分方程，需要运用分离变量法、变量替换法或特征方程法等。

2021年考研《数学》试题及答案(卷五)一、选择题x_设yi=EereF = 2e”+eF = ef是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是()。

A C1e^+C2e-x+2c^+e-I+e IB C(e2 +C2e x+2e1+e-xXC. C|e x+C2e'x+3e2D G j+CzeFe，参考答案：A二、填空题设A=a(ij)为3阶矩阵，A(ij)为代数余子式，若A的每行元素之和均为2 且|A|=3,则All+A21+A31=。

3参考答案：2三、解答题1. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在一个周期内的表达式为rx( 1+x) ,-1<XC0,/(x)= <I*(l-X),0<%Wl.将f(x)展开成傅里叶级数，并求级数y (-1广Al (21)3 的和。

参考答案：因为f(-x)=-x(l-x)=-f(x),所以f(x)在-1 98%> 由狄利克雷收敛定理，f(x)的傅里叶展开式为8 * 1f(x)=— y —― sin(2n -l)<TTx,-oo <x<+oo. x -— …i (21)令2 ,得y (-1广二/ £ (2n-l)3~32' 2.设函数f(x)= In cos(%-1) --- ,x#1, I-sin —~x 2 1, =1'问f(x)在X=1处是否连续? 若不连续，修改f(x)在x=l 处的定义，使之连续。

参考答案: , ~ In cos(%~ 1) lim /(%)= lim ----------------------- x―1 x —I 1—sin2 .. x-1=hm ------------------ = lim 7T7TI 竹一 . TT —cos —x -- sin —%2 24 2-sin( %-1) .. cos(x-l) tan(x-l) hm --------------------- = hm ------------------- I 】 TT TT *-*■ TT TT COS —cos —x 2 2 2 21 4 , TT即故f (x )在x=i 处不连续。

2021年考研《数学》试题及答案（卷一）[ABCD参考答案：A[单选题]设随机变量，则方程有实根的概率为()。

ABCD0参考答案：C[单选题]ABCD参考答案：D[问答题]设，则参考答案：因为P(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8。

[问答题]二元函数f(x，y)=在(0，0)点是否可微?________。

(填是或否)参考答案：否[问答题]设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X-2Y，则=_____。

参考答案：[单选题]函数y=x+ex的反函数的二阶导数=()。

ABCD[问答题]设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X-3，则E(Y)=_____。

D(Y)=_____。

参考答案：因为X~P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(Y)=4E(X)-3=5，D(Y)=16D(X)=32[问答题]参考解析：[问答题]参考答案：[问答题]一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为;，以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=______。

参考答案：令Ak={第k个零件不合格}(k=1，2，3)，则[问答题]参考答案：[问答题]设y=y(x)满足y’=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性。

参考答案：[单选题]设，则A与B()。

A合同且相似B合同但不相似C不合同但相似D不合同且不相似参考答案：A[单选题]设f(x)的导函数为，则f(x)的一个原函数是()。

A1+arctan xB1-arctan xC1+ln(1+x2)D1-ln(1+x2)参考答案：C[单选题]设总体X服从N(μ，σ2)，与分别是取自总体X的样本容量为10和15的两个样本均值，记P1=。

AP1<p2< p="">BP1=P2CP1>P2DP1=1，P2=σ参考答案：C[问答题]设f(x)是连续函数，且，则f(7)=______。

2021管理类联考综合数学真题解析及答案〔新东方在线版〕新东方在线2021考研管理类综合考试已结束。

新东方在线全国研究生入学考试研究中心专业硕士教研室对各科真题进行了深度全面逐一解析，帮助大家对自己的作答情况有一个整体、客观的认识，并希望能对广阔2021考的备考有所帮助。

以下是管理类综合数学局部真题及参考答案。

新东方在线名师提醒：由于试题为一题多卷，因此现场试卷中的选择题局部，不同考生有不同顺序。

请在 核对答案时注意题目和选项的具体内容。

一、问题求解：第1~15小题，每题3分，共45分。

以下每题给出的A 、B 、C 、D E 五个选项中，只有一项为哪一项符合试题要求的。

请在答题卡..上将所选项的字母涂黑。

1. 某部门在一次联欢活动中共设了 26个奖，奖品均价为280元，其中一等奖单价为400元， 其他奖品均价为270元，一等奖的个数为〔A 〕 6〔B 〕 5 〔C 〕 4 〔D 〕 3 〔E 〕 2 【答案】E【解析】设一等奖的个数为，那么其他奖品个数为，由题可得：，解得，所以答案选 E 。

【知识点】应用题-平均值问题【难易度】 ★☆☆☆☆2. 某单位进行办公室装修，假设甲、乙两个装修公司合作，需 10周完成，工时费为100万元， 甲公司单独做6周后由乙公司接着做18周完成，工时费为96万元。

甲公司每周的工时费为 〔A 〕 万元〔B 〕 7万元 〔C 〕 万元 〔D 〕 6万元 〔E 〕 万元 【答案】B【解析】设甲公司每周工时费为万元，乙公司每周工时费为万元，根据题意可得方程组 解得。

【知识点】应用题-工程问题3. 如图1,AE=3AB BF=2BC 假设厶ABC 的面积是2,那么厶AEF 的面积为【解析】利用等高三角形面积比等于底边比的性 应选B 。

【知识点】平面几何 4.某公司投资一个工程。

上半年完成了预算的，下半年完成了剩余局部的，此时还有8 千万元投资未完成，那么该工程的预算为〔A 〕 3亿元〔B 〕 亿元 〔C 〕 亿元 〔D 〕 亿元 〔E 〕 亿元【答案】B【解析】设某公司的投资预算为亿元，那么由题可知 (A ) 14(B ) 12 (C ) 10(D ) 8 (E ) 6 【答案】BB图1,即，解得所以答案选B。

专业科目考试：2021数学2真题模拟及答案(1)共756道题1、已知f（x）是微分方程满足f（1）＝0的特解，则（）。

（单选题）A. π/4B. －π/4C. π/8D. －π/8试题答案：D2、设曲线f（x）＝x n在点（1，1）处的切线与x轴的交点为（ξn，0），则（）。

（单选题）A. eB. 1/eC. 2eD. 1/2e试题答案：B3、设函数f（x）处处可微，且有f′（0）＝1，并对任何x，y恒有f（x＋y）＝e x f （y）＋e y f（x），则f（x）＝（）。

（单选题）A. e xB. xe xC. （1－x）e xD. （1＋x）e x试题答案：B4、设，则f （x ）＝（ ）。

（单选题） A. 正常数 B. 负常数 C. 恒为0 D. 不是常数 试题答案：A5、设A 是m ×n 矩阵，则m ＜n 是齐次线性方程组A TA X →＝0→有非零解的（ ）。

（单选题）A. 必要条件B. 充分条件C. 充要条件D. 以上都不对 试题答案：B6、若已知df （x ，y ）＝（x 2＋2xy －y 2）dx ＋（x 2―2xy ―y 2）dy ，则f （x ，y ）＝（ ）。

（单选题）A. x 3/3－x 2y ＋xy 2－y 3/3 B. x 3/3－x 2y －xy 2－y 3/3 C. x 3/3＋x 2y ＋xy 2－y 3/3 D. x 3/3＋x 2y －xy 2－y 3/3＋C 试题答案：D7、曲线（ ）。

（单选题） A. 仅有水平渐近线 B. 仅有垂直渐近线 C. 既有垂直又有水平渐近线D. 既有垂直又有斜渐近线 试题答案：D8、若|y|≤1，则（ ）。

（单选题） A. 2e y＋y （e ＋e －1）＋2e －1B. 2e y＋y （e ＋e －1）－2e －1C. 2e y－y （e ＋e －1）＋2e －1D. 2e y－y （e ＋e －1）－2e －1试题答案：D9、设非齐次线性微分方程y ′＋P （x ）y ＝Q （x ）有两个不同的解y 1（x ），y 2（x ），C 为任意常数，则该方程的通解是（ ）。

在职研究生数值分析复习资料考试时间：120分钟一、单项选择题(每小题4分，共20分)1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( A )。

(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a ，b] 上连续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(x k )=y k ,(k=0,1, … ,n)3. n 阶差商递推定义为：01102110],,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-ΛΛΛ，设差商表如下：那么差商f [1，3，4]＝( A )。

A. (15－0)/(4－1)＝5B. (13－1)/(4－3)=12C. 4D. －5/4 4. 分别改写方程042=-+x x 为42+-=x x 和2ln /)4ln(x x -=的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是：( B )(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散5. 区间[a ，b]上的三次样条插值函数是( A )。

A. 在[a ，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式B. 在区间[a ，b]上连续的函数C. 在区间[a ，b]上每点可微的函数D. 在每个子区间上可微的多项式二、填空题(每空2分，共20分)1. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是226104()25555P x x x =-++（题目有问题，或许应该是：x = -1，0，4时…） 2. 求解非线性方程01=-x xe 的牛顿迭代公式是1,(0,1,2...)1kx k k k k x e x x k x -+-=-=+3. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是k k X X →∞=()*lim 。

21届考生考研高等数学复习效果检测1（含答案）一、选择题(共6 道小题，每小题3 分，满分18分)1．曲线33310y xy x -+-=在点(0,1)处的切线方程为（ ）．(A)． 1y x =+； (B)． 1y x =-+； (C)．1y x =-； (D)．1y x =--． 2．若点0x x =是函数y =f (x )的极值点，则 ( )．(A)．必有0()f x '存在且等于零； （B ）．必有0()f x '存在但不等于零； (C)．如果0()f x '存在则必等于零； （D ）．如果0()f x '存在则必不等于零． 3．如果)(x f 的导数为cos x ，则)(x f 的一个原函数为（ ）． （A ）．1si n x +； （B ）．1si n x -； （C ）．1c o sx +； （D ）．1c o sx -．4．下列反常积分发散的是（ ）． （A ）．211d 1x x +∞+⎰；（B ）．311d x x +∞⎰； （C ）．10x ⎰； （D ）．1211d x x -⎰． 5．求方程 2()0yy y '''-= 的通解时，可令（ ）． （A ）．y P '=，则 d d Py x''=； （B ）．y P '=，则 d d P y P y ''=；（C ）．y P '=，则 d d Py Px''=； （D ）．y P '=，则 d d P y P y '''=.6．函数(,)f x y 在点(,)P x y 的某一邻域内具有一阶连续的偏导数是函数(,)f x y 在该点可微的 ( )．（A ）．必要条件，但不是充分条件； （B ）．充分必要条件；（C ）．充分条件，但不是必要条件； （D ）．既不是充分条件，也不是必要条件．二、填空题(共6 道小题，每小题3 分，满分18分)1．设1(1),0,(),0,kx x x x f x e x -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩ 在0x =点处连续，则常数k = ．2．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= ． 3．函数43341y x x =-+的凸区间为 ． 4．4．曲线24y x x=+的斜渐近线为 ． 5．31211d 1x x x -+=+⎰ ． 6．微分方程40y y ''+=的通解为_________________．三、计算下列各题 (共5 道小题，每小题各6 分，满分30分)1．极限 222010cos d limx x x t tx →-⎰．2．求积分2ln(1)d x x x x+-⎰.3.求积分23221d (4)xx+⎰．4．求累次积分2dyy xπ⎰．5．求积分dDx y⎰⎰，其中D是由曲线221x y+=，0x=，0y=围成的第一象限部分区域．四、 (共2 道小题，每小题6分，满分12 分)1．设(e ,)yz f x x =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.2．由方程222cos cos cos 1x y z ++=确定函数(,)z f x y =，求d z ．五、(共1 道小题，满分8 分)设可导函数()f x 满足221()()()d 3x f x f t f x t x x t'-=-⎰，且2)1(=f ，求()f x .六、 应用题 (共2 道小题，第1小题6分，第2小题8分，满分14分) 1．求函数24(1)()2x f x x +=-的极值，并求曲线()y f x =的拐点．2.设由曲线2xy e-=，与其在1(,)2e -点处的切线及y 轴围成的平面图形． ⑴ 求该平面图形的面积；⑵ 求由该平面图形绕x 轴旋转所生成的旋转体的体积．21届考生考研高等数学复习效果检测1（答案）一、选择题(共6 道小题，每小题3 分，满分18分)1．曲线33310y xy x -+-=在点(0,1)处的切线方程为（ A ）．(A)． 1y x =+； (B)． 1y x =-+； (C)．1y x =-； (D)．1y x =--． 2．若点0x x =是函数y =f (x )的极值点，则 ( C )．(A)．必有0()f x '存在且等于零； （B ）．必有0()f x '存在但不等于零； (C)．如果0()f x '存在则必等于零； （D ）．如果0()f x '存在则必不等于零． 3．如果)(x f 的导数为cos x ，则)(x f 的一个原函数为（ D ）． （A ）．1si n x +； （B ）．1si n x -； （C ）．1c o sx +； （D ）．1c o sx -．4．下列反常积分发散的是（ D ）． （A ）．211d 1x x +∞+⎰；（B ）．311d x x +∞⎰； （C ）．10x ⎰； （D ）．1211d x x -⎰． 5．求方程 2()0yy y '''-= 的通解时，可令（ B ）． （A ）．y P '=，则 d d Py x''=； （B ）．y P '=，则 d d P y P y ''=；（C ）．y P '=，则 d d Py Px''=； （D ）．y P '=，则 d d P y P y '''=.6．函数(,)f x y 在点(,)P x y 的某一邻域内具有一阶连续的偏导数是函数(,)f x y 在该点可微的 ( C )．（A ）．必要条件，但不是充分条件； （B ）．充分必要条件；（C ）．充分条件，但不是必要条件； （D ）．既不是充分条件，也不是必要条件．二、填空题(共6 道小题，每小题3 分，满分18分)1．设1(1),0,(),0,kx x x x f x e x -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩ 在0x =点处连续，则常数k = 1 ．2．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= 2 ．3．函数43341y x x =-+的凸区间为 23(0,) ．4．4．曲线24y x x=+的斜渐近线为 y x = ． 5．31211d 1x x x -+=+⎰ 2π ． 6．微分方程40y y ''+=的通解为_________________．12cos 2sin 2y C x C x =+三、计算下列各题 (共5 道小题，每小题各6 分，满分30分)1．极限 222010cos d limx x x t tx →-⎰．解 法一 222410900cos d 22cos limlim 10x x x x t tx x x x x→→--=⎰4801c o s l i m 5x x x →-= （3分） 88012lim 510x x x →== （6分） 法二 222410900cos d 22cos limlim 10x x x x t tx x x xx→→--=⎰4801c o s l i m 5x x x →-= （3分）42802sin 2lim 5x x x →=244011lim sin /102210x x x →⎛⎫== ⎪⎝⎭ （6分） 2．求积分2ln(1)d x x x x +-⎰.解 原式21ln(1)d d x x x x x -=-⎰⎰1ln ln(1)d x x x=--⎰11lnln(1)d (1)x x x x x x =----⎰ （4分）111lnln(1)d 1x x x x x x ⎛⎫=---+ ⎪-⎝⎭⎰ 1(1)ln(1).x C x =--+ （6分） 3. 求积分23221d (4)x x +⎰．解 令2tan x t =，2d 2sec d x t t =；0x =时，0t =；2x =时，4t π=；于是 （2分）224330222211d 2sec d (4)(4tan 4)x t t x t π=++⎰⎰401cos d 4t t π=⎰ 401sin 4t π=8= （6分） 4．求累次积分2d yy x π⎰．积分区域为02y D y x π⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩2022x D x y x ππ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，于是222200sin d d d x x yx y x x y x πππ=⎰⎰⎰ （2分）220sin 2()d x x x x x ππ=-⎰22002sin d sin d x x x x x πππ=-⎰⎰ 22002cos d cos x x x πππ=-+⎰22021(cos cos d )x x x x πππ=+-⎰20221sin 1x πππ=-=- （6分）5．求积分d Dx y ⎰⎰，其中D 是由曲线221x y +=，0x =，0y =围成的第一象限部分区域．解积分区域为201Drπθ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩，于是1200d d drDx y e r rπθ=⋅⎰⎰⎰⎰（2分）11100d(d)22r r rr e re e rππ==-⎰⎰10()22re eππ=-=（6分）四、(共2 道小题，每小题6分，满分12 分)1．设(e,)yz f x x=，其中f具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解设e yu x=，v x=，则(,)z f u v=1212e yz uf f f fx x∂∂''''=+=+∂∂（3分）2211121e e ey y yzf x f x fx y∂'''''=++∂∂（6分）2．由方程222cos cos cos1x y z++=确定函数(,)z f x y=，求d z．解法一方程两边关于x求导2cos(sin)2cos(sin)0zx x z zx∂-+-=∂，则sin2sin2z xx z∂=-∂，由对称性sin2sin2z yy z∂=-∂（4分）所以sin2sin2d d d d dsin2sin2z z x yz x y x yx y z z∂∂=+=--∂∂．（6分）法二设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin2xF x x x'=-=-，sin2yF y'=-，sin2zF z'=-。