2020年宁夏石嘴山市数学高二(下)期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【详解】将()f x 横坐标缩短到原来的12得：()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin x Q 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；()g x 的最小正周期为：22T ππ== 2π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12x π=-时，206x π+=，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()g x ∴关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.2．从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为（ ） A ．13B ．23C ．14D ．34【答案】B 【解析】 【分析】算出总的个数和满足所求事件的个数即可 【详解】从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，总共有246C =种情况 其中满足甲乙两人仅有一人入选的有11224C C =种情况所以甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为4263= 故选：B 【点睛】本题考查了古典概型的求法，组合问题的简单应用，属于基础题3．5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的和为32，则该展开式中x 的系数为（ ） A ．10 B ．10- C ．5 D ．5-【答案】A 【解析】 【分析】令1x =得各项系数和，求得a ，再由二项式定理求得展开式中x 的系数． 【详解】令1x =得5(1)32a -=，1a =-， 二项式为51()x x+，展开式通项为5521551()r rr r r r T C xC x x--+==，令521r -=，2r =， 所以x 的系数为2510C =．故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开式中各项系数的和．掌握二项式定理是解题关键．赋值法是求二项展4．某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种 A ．222 B ．253 C ．276 D ．284【答案】A 【解析】 【分析】“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有223253C =种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法. 【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为223253C =种，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），再对场馆分配，共有1103131C +=种，所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有25331222-=种， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除. 5．．设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（ ）A ．和的相关系数为直线的斜率B ．和的相关系数在0到1之间C ．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同因回归直线一定过这组数据的样本中心点，故选D ．点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.6．抛物线2x my =上的点到定点()0,4和定直线4y =-的距离相等，则m 的值等于（ ） A ．116B ．116-C ．16D ．16-【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义可知，定点(0,4)为抛物线的焦点，进而根据定点坐标求得m ． 【详解】根据抛物线定义可知，定点(0,4)为抛物线的焦点，且0m >，∴44m=，解得：16m =. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对概念的理解，属于容易题． 7．命题2:,0p x R x ∀∈≥的否定是（ ） A ．2,0x R x ∃∈≥ B ．2,0x R x ∃∈< C ．2,0x R x ∀∈< D ．2,0x R x ∀∈>【答案】B 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以：，故选B.考点：1.全称命题；2.特称命题.8．已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且,,a b c 成等比数列，且3B π=，则11tan tan A C+=（ ） A 3B ．32C ．33D 43因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =,利用正弦定理化简得：2sin sin sin B A C =,又3B π=，所以原式=2cos cos sin cos cos sin sin()sin 123sin sin sin sin sin sin sin sin 3A C C A C A A CB AC A C A C B B +++===== 所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.9．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3 B ．()1,1-C ．()()1,01,3-UD ．()()1,00,1-U【答案】C 【解析】若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--Q （），（）是偶函数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，（），， ，作出函数f x （）在[13]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜， 若10x -≤≤ ，则不等式0xf x （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．10．将偶函数()()()sin 30πf x x ϕϕ=+<<的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（ ）C ．()ππ,0336k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z D ．()ππ,034k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为偶函数求出函数解析式，根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可. 【详解】∵()()()sin 30πf x x ϕϕ=+<<为偶函数， ∴()cos3f x x =±， ∴ππcos 3124f x x ⎛⎫⎛⎫-=±- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令()ππ3π42x k k -=+∈Z ，得()ππ34k x k =+∈Z ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质，属于中档题.11．有5本相同的数学书和3本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上,并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为（ ） A ．20 B ．120 C ．2400 D ．14400【答案】A 【解析】由题意3620C =，故选A ．点睛：本题是不相邻问题，解决方法是“插空法”，先把数学书排好（由于是相同的数学书，因此只有一种放法），再在数学书的6个间隔（含两头）中选3个放语文书（语文书也相同，只要选出位置即可），这样可得放法数为36C ，如果是5本不同的数学书和3本不同的语文书，则放法为5356A A ．12．已知函数f （x ）＝（mx ﹣1）e x ﹣x 2，若不等式f （x ）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围（ ） A ．2211,12e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ B ．2211,12e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ C ．323121,32e e⎡⎫++⎪⎢⎣⎭D ．323121,32e e⎛⎫++ ⎪⎝⎭令()0f x <，化简得21x x mx e-<，构造函数()()21,x xg x mx h x e =-=，画出两个函数图像，结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得m 的的取值范围. 【详解】()210xmx e x --<有两个正整数解即21x x mx e-<有两个不同的正整数解，令()()21,x x g x mx h x e =-=，()()2'22x xx x x x h x e e --==，故函数()h x 在区间(),0-∞和()2,+∞上递减，在()0,2上递增，画出()(),g x h x 图像如下图所示，要使21x x mx e -<恰有两个不同的正整数解等价于()()()()234212233931m g h e g h m e ⎧-<⎪⎧<⎪⎪⇒⎨⎨≥⎪⎩⎪-≥⎪⎩解得32312132m e e +≤<+ 故323121,32m e e⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，选C.【点睛】本小题主要考查不等式解集问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2)a =v ，(,1)b x =-v ，若()a a b -vv v P ，则a b ⋅=v v __________．【答案】52-先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的数量积计算即可． 【详解】解：∵()1,3a b x -=-v v ，因为()a a b v P v v -，所以()321x =-，解得：12x =-， 所以15222a b ⋅=--=-vv ．【点睛】本题考查了向量的平行和向量的数量积，属于基础题．14．某公司共有7名员工，他们的月薪分别为1.5万，2万，2.9万，4.8万，5万，4.6万，3.6万，则这7名员工月薪的中位数是__________． 【答案】3.6万 【解析】 【分析】将这7名员工的月薪按照从小到大的顺序排列后,正中间的数据就是中位数. 【详解】将这7名员工的月薪按照从小到大的顺序排列如下:1.5万，2万，2.9万,3.6万，4.6万,4.8万，5万，根据中位数的定义可得这7名员工月薪的中位数是: 3.6万. 故答案为: 3.6万. 【点睛】本题考查了中位数的概念,属于基础题.15．如图，已知四面体ABCD 的棱//AB 平面α，且2AB =，其余的棱长均为1，四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方，如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的取值范围为______.【答案】22,42⎣⎦【解析】用极限法思考.当直线CD ⊥平面α时, ()S x 有最小值,当直线//CD 平面α时, ()S x 有最大值,这样就可以求出函数()S x 的取值范围. 【详解】取AB 的中点M ,连接,CM DM ,,DA DB CA CB ==Q ,,AB CM AB DM ∴⊥⊥,于是有AB ⊥平面CDM ,所以AB CD ⊥,2AB =，其余的棱长均为1,所以2,2AC BC CM DM CM DM ∴⊥==∴⊥,M 到CD 的距离为12,当直线CD ⊥平面α时,()S x 有最小值,最小值为：1122224=； 当直线//CD 平面α时, ()S x 有最大值,最大值为12212=. 故答案为：2242⎢⎣⎦【点睛】本题考查了棱锥的几何性质,考查了线面垂直的判定与应用,考查了空间想象能力.16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答) 【答案】60 【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．17．已知函数()ln f x x x =，21()2g x mx x =+.（1）若函数()f x 与()g x 的图像上存在关于原点对称的点，求实数m 的取值范围；（2）设()()()F x f x g x =-，已知()F x 在(0,)+∞上存在两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212x x e>（其中e 为自然对数的底数）. 【答案】 (1) 22m e≥- (2)见证明 【解析】 【分析】（1）将问题转化为()21ln 2mx x x x +=-在(),0-∞有解，即()ln 112x m x--=在(),0-∞上有解，通过求解()ln 1x x --的最小值得到22m e ≥-；（2）通过极值点为12,x x 可求得12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，通过构造函数的方式可得：()121ln ln ln 1t t x x t ++=-；通过求证()1ln 21t t t +>-可证得12ln ln 2xx +>，进而可证得结论. 【详解】（1）函数()f x 与()g x 的图像上存在关于原点对称的点 即()212g x mx x =+的图像与函数()()ln y f x x x =--=-的图像有交点 即()21ln 2mx x x x +=-在(),0-∞有解，即()ln 112x m x--=在(),0-∞上有解 设()()ln 1x x x ϕ--=，0x <，则()()22ln x x x ϕ--'= 当()2,x e∈-∞-时，()x ϕ为减函数；当()2,0x e ∈-时，()x ϕ为增函数()()22min 1x e e ϕϕ=-=-，即22m e ≥-（2）()()()21ln 2F x f x g x x x mx x =-=--，()ln F x x mx '=-()F x 在()0,∞+上存在两个极值点12,x x ，且12x x <1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧∴⎨-=⎩1212ln ln x x m x x +∴=+且1212ln ln x x m x x -=-12121212ln ln ln ln x x x x x x x x+-∴=+-，即112212112112221ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==-- 设()120,1x t x =∈，则()121ln ln ln 1t t x x t ++=- 要证212x x e >，即证12ln ln 2x x +>只需证明()1ln 21t t t +>-，即证明()21ln 01t t t --<+设()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++ 则()()21ln 1t h t t t -=-+在()0,1上单调递增，()()10h t h <=即()()21ln 01t h t t t -=-<+12ln ln 2x x ∴+>212x x e ∴>【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.18．已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析． 【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得F 22pA =+． 因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x=-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，所以G k A==，()G 01312k B ==---，所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x=-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，故直线G A的方程为30y -+=，从而r ==．又直线G B 的方程为223220x y ++=，所以点F 到直线G B 的距离2222428917d r +===+． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．19．如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3,且过点1(3,)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在7m =,使得217k k =. 【解析】 分析：(1)13,2⎫⎪⎭3(2)()00 ,A x y ,则()00,B x y --,所以 AF 的方程为0033y x x =--，联立AF 的方程和椭圆方程即可求得C 点坐标，同理求得D 点坐标，从而分析12,k k 的比值.详解：(1)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，22c a b -由题意知223311,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,1,a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=.(2)设()00,A x y ,则()00,B x y --,010y k x =,又)3,0F ,所以直线AF 的方程为()033y x x =--.由()00223,31,4y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得()220072383x x y x -- 2007830x x -+=.因为0x x =是该方程的一个解,所以点C 的横坐标00837723C x x x -=-.又点(),C C C x y 在直线()033y x x =--上，所以()0033C C y x x =-- 00723x =-，从而点C 的坐标为(0000837,)723723x x x --- 同理,点D 的坐标为(00837,)723723x x x +++，所以000020000723723837837723723x x k x x x x -+-=+--+- 0101472y k x ==， 即存在7m =,使得217k k =.点睛：椭圆和抛物线的结合也是高考一直以来的一个热点，设而不求思想是圆锥曲线题目的考查核心，韦达定理就是该思想的体现，所以在圆锥曲线中要把所求的问题转化出来韦达定理，整体带入是解题的关键. 20．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日至20日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取40人进行了问卷调查，其中男、女生各20人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：（Ⅰ）将得分不低于90分的称为“A 类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A 类”调查对象的更多信息，从“A 类”调查对象中抽取3人，设被抽到的女生人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下22⨯列联表.完成列联表，并说明能否有99%的把握认为是否为“A 类”调查对象与性别有关？附参考公式与数据：22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（Ⅰ）见解析，7（Ⅱ）见解析，没有 【解析】 【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于90分的人数及男女分别各几人，可知X 的可能取值为0,1,2,3，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得2K 的观测值，与临界值作比较即可进行判断. 【详解】（Ⅰ）40人中得分不低于90分的一共有14人，其中男性10人，女性4人. 所以X 的可能取值为0,1,2,3.则31031430(0)91C P X C ===，1241031445(1)91C C P X C ===， 2141031415(2)91C C P X C ===，343141(3)91C P X C ===. 所以X 的分布列为所以3045151786()012391919191917E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （Ⅱ） 不是“A 类”调查对象 是“A 类”调查对象 合计男 1010 20 女164 20 合计 261440所以2240(1041016)3603.9562614202091K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为3.956 6.635<，所以没有99%的把握认为是否是“A 类”调查对象与性别有关. 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算2K 的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.21．从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()175.6224.4P Z <<；（ⅱ）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值()175.6,224.4Z ∈）的定价为16元；若为次品（质量指标值()15.6,224.4Z ∉），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，记Y 表示这件产品的利润，求EY .12.2≈，若()2~,Z Nμσ，则()0.68,(22)0.95P Z P Z μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈.【答案】（1）200,150；（2）（i ）0.95；（ⅱ）280. 【解析】 【分析】（1）直接利用样本平均数x 和样本方差2s 公式计算得到答案. （2）（i ）先判断()2~200,12.2Z N ，则(175.6224.4)(22)0.95P Z P Z μσμσ<<=-<<+≈（ⅱ）Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得()~100,0.95X B ，计算95EX =，再计算280EY = 【详解】 （1）由题意得1700.021800.091900.222000.332100.24220x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.082300.02200+⨯=.∴22222(170200)0.02(180200)0.09(190200)0.22(200200)0.33s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+222(210200)0.24(220200)0.08(230200)0.02150-⨯+-⨯+-⨯=，即样本平均数为200，样本方差为150.（2）（i ）由（1）可知，200,12.2μσ==≈，∴()2~200,12.2,(175.6224.4)(22)0.95Z N P Z P Z μσμσ∴<<=-<<+≈ （ⅱ）设Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得()~100,0.95X B ，∴， ∴1648510010280EY EX =-⨯-⨯=. 【点睛】本题考查了数学期望，方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.22．已知抛物线:C 22y px =的焦点为F ，圆Γ：22230x y x ++-=与y 轴的一个交点为A ，圆Γ的圆心为E ，AEF ∆为等边三角形.()1求抛物线C 的方程；()2设圆Γ与抛物线C 交于,U V 两点，点()00,P x y 为抛物线C 上介于,U V 两点之间的一点，设抛物线C 在点P 处的切线与圆Γ交于,M N 两点，在圆Γ上是否存在点Q ，使得直线QM QN 、均为抛物线C 的切线，若存在求出Q 点坐标（用00,x y 表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】()124y x =；()2存在,000032,11x y Q x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭.【解析】 【分析】(1)由题意EF p =，从而求得抛物线方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，可设出切线方程QM l 及QN l ，并设出过点M 的直线()11x x t y y -=-与抛物线C 相切，从而联立抛物线知0∆=，同理，可表示过点N 的切线，从而计算两直线相交的交点，于是可得答案. 【详解】()1AEF QV 是等边三角形，∴原点O 为,E F 中点，∴半径EF p =圆()22:14x y Γ++=，半径2EF p ==，抛物线2:4.C y x =()2设()()1122,,,M x y N x y ，过点,M N 作抛物线C 的两条切线（异于直线MN ）交于点Q ，并设切线()111:QM l x x t y y -=-，()222:QN l x x t y y -=-由替换法则，抛物线C 在点()00,P x y 处的切线方程为()002y y x x =+ 即00:,2MN y l x y x =-记002yt =① 设过点M 的直线()11x x t y y -=-与抛物线C 相切，代入抛物线方程24y x =得2114440y ty ty x -+-=()21116160t ty x ∴∆=--=，即2110t y t x -+=根据韦达定理011011t t x t t y =⎧⎨+=⎩，由①可得，0111022y x t y y ==- 2101024y y x y ∴=+② 同理可得，2202x t y =∴切线()11102:QM x l x x y y y -=-③ ()22202:QN x l x x y y y -=-④联立00:2MN y l x y x =-与圆可得，()()2222200000482430y x x y x x y ++++-= 韦达定理可得()()2220000001220003434124411x x x y x x x x y x x ---⋅===+++ ()200000122000828844411x y x x x x x y x x +++=-=-=-+++， 联立③、④并代入可求得012200341Q x x x x y x -==+，代入③可求得 0021Q y y x =-+. 所以()221Q Q x y ++=22000032111x y x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()222000022002242216411x y x x x x -+-+==++ 即切线,QM QN 的交点Q 在圆Γ上，故存在圆上一点000032,11x y Q x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭满足,QM QN 均为抛物线C 的切线. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力，分析能力，转化能力，难度较大.。
